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2016年高考真题——理科数学(山东卷) Word版含解析

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本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、

县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =

（A ）1+2i

（B ）1-2i

（C ）12i -+ （D ）12i --

【答案】B

考点：注意共轭复数的概念.

（2）设集合

{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-

（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞

【答案】C 【解析】

试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则}1|{->=x x B A ，选C. 考点：本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时

间不少于22.5小时的人数是（A ）56

（B ）60

（C ）120

（D ）

140

【答案】

考点：频率分布直方图

（4）若变量x ，y 满足2,239,0,

x y x y x ì+?????

-?í??锍??则22x y +的最大值是

（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12

【答案】C 【解析】

试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3, -1)为顶点的三角形区域,2

x y +表

示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值2

10OC =,故选C.

考点：线性规划求最值

（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 【答案】C

考点：根据三视图求体积.

（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】

试题分析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A.

考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.

（7）函数f （x ）=x +cos x ）（x –sin x ）的最小正周期是

（A ）

2π（B ）π （C ）2

3π （D ）2π 【答案】B 【解析】

试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ?

???

?=+

?+=+ ? ? ??

?????

,故最小正周期22

T π

π=

=,故选B. 考点：三角函数化简求值，周期公式

（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos=1

.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为

（A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94

【答案】B

考点：平面向量的数量积

（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3

()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，

()()f x f x -=-；当12x >

时，11

()()22

f x f x +=- .则f (6)= （A ）?2（B ）?1（C ）0（D ）2 【答案】D 【解析】试题分析：当12x >

时，11()()22f x f x +=-,所以当1

x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为函数()f x 是奇函数，所以

()3

(1)(1)112f f ??=--=---=??

，故选D.

考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键.

（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3 【答案】A 【解析】

试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π?=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.

考点：本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________.

【答案】3

考点：循环结构抓住结束点是关键. (12)若（a x 2

）3的展开式中x 3的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2

试题分析：因为5102552

()

r r

r T C ax C a

---+==，所以由510522

r r -=?=，因此

252580 2.C a a -=-?=-

考点：二项展开式

（13）已知双曲线E 1：22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，

CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】

试题分析：易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以2

2b |AB |a =，|BC |2c =，由2A B 3B C =，

222c a b =+得离心率e 2=或1

e 2

=-（舍去），所以离心率为2.

考点：把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.

（14）在[1

,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 . 【答案】

考点：直线与圆位置关系；几何概型概率

（15）已知函数2||,

()24,x x m f x x mx m x m

≤?=?-+>? 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方

程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】(3,)+∞

试题分析：由题意画出函数图像为图时才符合，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根应2

4m m m -<解得m 3>，即(3,)+∞.

考点：能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.

三、解答题：本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B

A B B A

+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

()∏由()I 知2

a b

c +=

, 所以 2

2222cos 22a b a b a b c C ab ab

+??+- ?+-??==

311

842

b a a b ??=+-≥ ???，当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为

. 考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式.

17.（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.

（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =

=AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析；

GH平面ABC.所以//

由0

m BC m BF ??=???=??

可得0

,30

z ?--=??

+=?? 可得平面BCF

的一个法向量(m =-

因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n =

所以cos ,||||m n m n m n ?<>==

，

所以二面角F BC A --

的余弦值为

考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）令1(1).(2)n n n n

n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .

【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+?=n n n T .

考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人

都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是3

，乙每轮猜对的概率是

；每

轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.

【答案】（Ⅰ）2

（Ⅱ）分布列见解析，

(Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得

()11111

04343144

P X ==???=,

()3111121110

5124343434314472

P X ??==????+???==

???, ()313131121231121225

24343434343434343144P X ==???+???+???+???=,

()321111321

34343434312

P X ==???+???=,

()323132125

424343434312P X ??==????+???= ???,

()32321

643434

P X ==???=，

可得随机变量X 的分布列为

所以数学期望0123461447214412124

EX =?+?+?+?+?+?=. 考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和期望 (20)(本小题满分13分) 已知()2

()ln ,x f x a x x a R x -=-+

∈. （I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）当1a =时，证明()3

()'2

f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

（2）当0>a 时，3

)2)(2)(1()(x a x a x x a x f -+

。

若20<a ，所以当)1,0(∈x 或),2

(+∞a

时，0)(/>x f ，函数)(x f 单调递增；当)2

1(a

时，0)(/

，0)(/≥x f ，函数)(x f 单调递增；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1=a 时，

13ln )2211(12ln )()(32322

/--++-=+----+-=-x x x x x x x x x x x x x f x f ，

x x x h x x x g ，则)()()()(/x h x g x f x f +=-，由01

)(/

≥-=

x x g 可得1)1()(=≥g x g 当且仅当1=x 时取等号；又4

2623)(x

x x x h +--=，设623)(2

+--=x x x ?，则)(x ?在]2,1[上单调递减，且10)2(,1)1(-==??，

所以在]2,1[上存在0x 使得),1(0x x ∈ 时，)2,(,0)(0x x x ∈>?时，0)(

由于21)2(,1)1(=

=h h ，因此2

)2()(=≥h x h 当且仅当2=x 取等号，所以23)2()1()()(/=+>-h g x f x f ，即2

3)()(/

+>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 恒成立。

考点：利用导函数判断单调性；分类讨论思想. （21）(本小题满分14分）

平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞

的离心率是2

，抛物线E ：

22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. （i ）求证：点M 在定直线上;

（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG 的面积为1S ，PDM 的面积为2S ，求1

S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标

【答案】（Ⅰ）142

=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为4

，此时点P 的坐标

为)4

,22(

所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为)(22m x m m y -=-，即2

m mx y -=.

（2）由（1）知直线l 的方程为2

m mx y -=，

令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2

m G -，又D F m m P ),0,21(),2,(2))

14(2,142(22

23+-+m m m m ，所以)1(41||212

1+==m m m GF S ，)

14(8)12(||||212

2202++=-?=m m m x m PM S ，所以2

22221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，令122

+=m t ，则211)1)(12(222

1++-=+-=t t t t t S S ，

考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.