2021-2022年高考数学专题复习导练测 第二章 第7讲 函数图象 理 新人教A版
2021年高考数学专题复习导练测 第二章 第7讲 函数图象 理 新人
教A 版
一、选择题
1．函数y ＝|x |与y ＝x 2＋1在同一坐标系上的图像为( )
解析 因为|x |≤x 2＋1，所以函数y ＝|x |的图像在函数y ＝x 2＋1图像的下方，排除C 、D ，当x →＋∞时，x 2＋1→|x |，排除B ，故选A. 答案 A
2．函数y ＝1
1－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和
等于( )．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．
如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8. 答案 D
3．已知函数f (x )＝? ????1e x －tan x ? ????
－π2
则f (t )的值 ( )． A ．大于1 B ．大于0 C ．小于0 D ．不大于0 解析 分别作出函数y ＝? ????1e x 与y ＝tan x 在区间? ?? ?? －π2，π2上的图象，得到0 且在区间(0，x 0)内，函数y ＝? ?? ?? 1e x 的图象位于函数y ＝tan x 的图象上方，即0 时，f (x )>0，则f (t )>0，故选B. 答案 B 4．如图，正方形ABCD 的顶点A ? ????0， 22，B ? ?? ?? 22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是 ( )． 解析 当直线l 从原点平移到点B 时，面积增加得越来越快；当直线l 从点B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C. 答案 C 5．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )， ④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( ) A ．①甲，②乙，③丙，④丁 B ．①乙，②丙，③甲，④丁 C ．①丙，②甲，③乙，④丁 D ．①丁，②甲，③乙，④丙 解析 图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y ＝x 的图象，满足①. 答案 D 6．如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0 ( )． 解析 (1)当0 2 时，过E 点的截面为五边形EFGHI (如图1所示)，连接FI ， 由SC 与该截面垂直知，SC ⊥EF ，SC ⊥EI ，∴EF ＝EI ＝SE tan 60°＝3x ，SI ＝2SE ＝2x ，IH ＝FG ＝BI ＝1－2x ，FI ＝GH ＝2AH ＝2 2x ，∴五边形EFGHI 的面积S ＝ FG ×GH ＋12 FI × EF 2－? ?? ?? 12FI 2＝22x －32x 2， ∴V (x )＝V C －EFGHI ＋2V I －BHC ＝13(22x －32x 2 )×CE ＋2×13×12×1×(1－2x )×22 (1－2x ) ＝2x 3－2x 2＋ 2 6 ，其图象不可能是一条线段，故排除C ，D. (2)当1 2≤x <1时， 过E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG ，则EG ＝EF ＝EC tan 60°＝3(1－x )，CG ＝CF ＝2CE ＝2(1－x )，三棱锥E －FGC 底面FGC 上的高 h ＝EC sin 45°＝ 2 2 (1－x )， ∴V (x )＝13×12CG ·CF ·h ＝2 3(1－x )3， ∴V ′(x )＝－2(1－x )2， 又显然V ′(x )＝－2(1－x )2在区间? ????12，1上单调递增，V ′(x )<0? ?? ?? x ∈? ????12，1， ∴函数V (x )＝ 23(1－x )3在区间? ?? ?? 12，1上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B ，应选A. 答案 A 二、填空题 7．函数y ＝1 1－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和 等于________． 解析 函数y ＝11－x ＝－1 x －1和y ＝2sin πx 的图象有公 共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y ＝ 1 1－x 与y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1 由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8. 答案 8 8．使log 2(－x ) 解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2 x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知－1 等式化为?? ? －x >0，－x <2x ＋1 后作图． 答案(－1,0) 9．设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象如图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6. 答案6 10.已知函数f(x)=()x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，令 h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0； ④h(x)在(0，1)上为减函数. 其中正确命题的序号为_________.(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析 g(x)= x, ∴h(x)= (1-|x|), ∴h(x)= 得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为②③. 答案 ②③ 三、解答题 11．讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数． 解 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数． 由右边图象可知：当－1≤k <0时，方程没有实数根； 当k ＝0或k <－1或k ≥1时，方程只有一个实数根； 当0 12．设函数f (x )＝x ＋1 x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为 g (x )． (1)求g (x )的解析式； (2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标． 解析 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点， 则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )， 代入f (x )＝x ＋1 x ， 可得2－y ＝4－x ＋ 14－x ，即y ＝x －2＋1x －4 ， ∴g (x )＝x －2＋ 1x －4 . (2)由? ???? y ＝m ，y ＝x －2＋1 x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4. 当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)． 13．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2 (x －1)2 只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．