向量空间的同构

5.6向量空间的同构

授课题目： 向量空间的同构 教学目标

1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义.

2.掌握有限维向量空间同构的充要条件. 授课时数：2学时

教学重点：向量空间同构的概念. 教学难点：同构的判别. 教学过程：

一、线性空间同构的定义 定义1：

设()V, F 、()W, F

是两个向量空间。V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射，如果 （i ）f 是V 到W 的双射； （ii ）()()(), V f

f f αβαβαβ?∈?+=+；

（iii ） ()()F, V a f a af ααα?∈∈?=

如果V 到'

V 的同构映射存在，则称V 与'

V 同构，记为'

.V V ? 二、 同构映射的性质

1. 设f 是V 到W 的同构映射，则1

f -是W 到V 的同构映射。

2. 设f 是V 到W 的同构映射，则 （i ）()00f =

（ii ）()()V f f

ααα?∈?-=-

（iii ）()()(), F, , V a b f a b af bf αβαβαβ?∈∈?+=+

（iv ）12, ,

, n ααα 线性相关12(),( ),

, ()n f f f ααα? 线性相关.

证明: (i) 由定义的条件(3), 取0α=, 那么(0)(0)0()0f f f αα===. (i i) 由定义的条件(2), ()()(())(0)0f f f f αααα+-=+-==. 所以有()()f f αα-=-.

(i i i) 利用条件(2)和(3)可直接得到. (iv) 如果12,,

,n ααα线性相关, 那么存在不全为零的数12,,

,n a a a F ∈, 使得

11220

n n a a a ααα+++=.由(i)和(iii)得到

1122()()()n n a f a f a f ααα++

+1122()(0)0n n f a a a f ααα=+++==.

于是12(),(),

,()n f f f ααα线性相关.

反之, 如果12(),(),,()n f f f ααα线性相关, 那么存在不全为零的数

12,,,n a a a F ∈,使得1122()()()0n n a f a f a f ααα++

+=

3. 设()V, F 、()W, F 是两个向量空间，12, ,, n ααα是V 的基，f 是V 到W 的同构

映射，则12(),( ),

, ()n f f f ααα是W 的基.

证明思路: 1、12(),(),,()n f f f ααα线性无关.

2、每个都能由12(),(),

,()n f f f ααα线性表出.

三、 线性空间的同构

如果两个线性空间 ()V, F 与 ()W, F 之间可以建立一个同构映射,那么就说 ()V , F 与()W, F 同构,记作()()V, F W, F ? 定理5.6.1

设 ()V , F , d i m V n =，则 V F n

?.

证明: 由V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一个基12{,,,}n ααα, 对任意关于

基12{,,

,}n ααα的坐标为12(,,

,)n a a a .

令12:(,,

,).n f a a a α→

显然f 是V 到n

F 的一个双射.

如果对于任意,,V αβ∈ 并且12()(,,,)n f a a a α=, 12()(,,,)n f b b b β=. 由定理5.5.1

得11221122()(,,

,)(,,,)n n n n f f a b a b a b a b a b a b αβ+=+++=+++

1122(,,,)n n a b a b a b =+++

1212(,,

,)(,,

,)n n a a a b b b =+

()()f f αβ=+

对于12,(,,)()n a F f a a a af αααα∈=, 从而f 是V 到n F 的同构映射, 故n V F ?.

定理5.6.2

向量空间的同构是一个等价关系.

证明: 反身性和传递性显然, 下面主要证明对称性.

设V W ?, f 是线性空间V 到W 的同构映射, 由于f 是V 到W 的双射, 所以是1

f

-是W 到V 的双射, 且1ff -是W 到W 的恒等映射,是1f f -是V 到V 的恒等映射. 设

,W αβ∈, 由于f 是V 到W 的同构映射

111(())(())(())f f f f f f αβαβαβ---+=+=+ 11(()())f f f αβ--=+.

因为f 是单射, 所以1

11()()()f

f f αβαβ---+=+.

同理可证, 对任意,,a F W α∈∈1

1()()f a af αα--=, 故有1f -是W 到V 的同构映射.

定理5.6.3

()()V, F, dimV W, F, dimW n m n m =?=?=

证明: ""?如果V W ?, 设f 是V 到W 的同构映射, 12{,,,}n ααα是V 的基, 则由定理

有12(),(),

,()n f f f ααα是W 的一个基, 因而m n =.

""?设m n =, 则,n n V F W F ??, 于是V W ?.

定理表明: 数域F 上具有相同维数的线性空间本质上是一致的.

例：设n ααα,,,21 是n 维空间的V 的一个基，A 是n ?s 矩阵

A n s ),,,(),,,(2121αααβββ = 证明：),,,(21s L βββ 的维数等于A 的秩。

证明: 设k A 为A 的第k 列，则k n k A ),,,(21αααβ =，设jt j j βββ,,,21 是s βββ,,,21 中的任意t 个向量，则

),,,(),,,(1

1

211

211

=?=?=?=∑∑∑∑====t

i ji ji t

i ji ji n t i ji n ji t

i ji ji A x A x A x x

αααθαααθβ

于是知，jt j j βββ,,,21 与其所对应的t 个列向量jt j j A A A ,,,21 有完全相同的线性关系，

故s βββ,,,21 与r A A A ,,,21 有相同的秩，即),,,(21s L βββ 的维数等于A 的秩。

2.5.2向量在物理中的应用举例(教学设计)

2.5 .2向量在物理中的应用举例（教学设计） [教学目标] 一、 知识与能力： 1. 运用向量方法解决某些简单的物理问题. 二、过程与方法： 经历用向量方法解决某些简单的物理问题的过程；体会向量是一种处理物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点. [教学重点] 运用向量方法解决某些简单的物理问题. [教学难点] 运用向量方法解决某些简单的物理问题. 一、新课引入 物理学家很早就在自己的研究中使用向量概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。数学家在物理学家使用向量的基础上，对向量又进行了深入的研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用. 二、师生互动，新课讲解 ()() 1212122,457,020,151,2,. A B =+=-已知两个力（单位：牛）作用于同一质点，此质点在这两个力的共同作用下，由移动到（单位：米），试求： （）分别对质点所做的功； （）求的合力对质点所做的功例1f i j f i j f f f f ()()112212125,3, 13,15, ·43,23, ·20 4323AB W AB W AB W AB ==?+=-======--解：和所做功分别为焦和焦，它们的合力所做功为20所以焦.f f f f f f f f 变式训练1： ()()()12312333,42,5,. x y ==-=++=0已知三个力，，的合力， 求F F F F F F F ()33205,145051x x y y ++=?=-=-???-+=???=?解：由平面向量的加法的坐标运算，则 F .

希尔伯特空间

一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900 年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。 希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。 大家知道，在一个欧几里得空间R^n 上，所有的点可以写成为：X= （x1，x2，x3，...， xn ）。那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3 ，xn，.................................................................... ），一个 点的序列。 欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2= ∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2 可以不存在（为无穷大）。于是希尔伯特将所有∑ xn^2 为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'= ∑ xn*xn' 作为两点的内积。这个空间我们现在叫做l^2 ，平方和数列空间，这是最早 的希尔伯特空间了。 注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。只有范数的空间叫做Banach 空间，（以后有时间再慢慢讲:- ）。 如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。 Hilbert 空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑ xn^2 为有限的点。这个最早的Hilbert space 叫做l^2 （小写的l 上标2，又叫小l2 空间），非常类似于有限维的欧氏空间。

2.5平面向量应用举例教案

2.5.1 平面向量应用举例 一．【教材分析】 前面已学习了向量的概念及向量的线性运算以及向量的数量积，本节课应用向量的知识来解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题！ 二．【教学目标】 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究几何结论和生活中的实际问题； 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神. 三．【教学重难点】 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 四．【教学过程】 (一). (二).【新课引入】 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．本节课，我们就通过几个具体实例，来研讨 建议 说明向量方法在平面几何中的运用 （三）【典例精讲】 例1. 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD． 求证：2222 2() AC BD AB BC +=+ 证明：不妨设AB=a，AD=b，则 AC=a+b，DB=a-b，2 || AB=|a|2，2 || AD=|b|2． 得2 || AC AC AC =?=( a+b)·( a+b) = a·a+ a·b+b·a+b·b =|a|2+2a·b+|b|2．① 同理,2 || DB=|a|2-2a·b+|b|2．② ①+②得2 || AC+2 || DB=2(|a|2+|b|2)=2(2 || AB+2 || AD)． 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 对比其他方法： 建系设坐标法和做辅助线勾股定理等方法体验向量法的优越性. 跟踪练习应用上述结论解题 引导学生归纳，用向量方法解决平面几何问题“三步曲”： ⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面 几何问题转化为向量问题； ⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ⑶把运算结果“翻译”成几何关系． 简述为： 几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化

利用向量解决空间角问题

利用向量解决空间角问题 一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。 二、学情分析 学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。 三、教学目标 知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。 认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。 能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。 情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情. 教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式； 2）空间角与向量夹角的区别和联系。 教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别； 2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题. 四、课型及课时安排 课型：高三首轮复习专题课课时：一节课 五、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价 六、教学手段：借助多媒体辅助教学

2.5 平面向量应用举例(3课时)

第一课时 2.5.1 平面几何中的向量方法 教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则；会用向量知识解决几何问题；能通过向量运算研 究几何问题中点、线段、夹角之间的关系. 教学过程： 一、复习准备： 1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的? 2.讨论：① 若o 为ABC ?的重心，则OA +OB +OC =0； ②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |，则这个四边形为等腰梯形。类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? 二、讲授新课： 1.教学平面几何的向量： (1). 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行ABCD 中，设AB ＝，AD ＝， 则+=+= （平移） ，-=-=， 2 2 b AD ==（长度） ．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠ (2). 讨论：①向量运算与几何中的结论“若b a =，则 =，且,所在直线平行或重合”相类比，你 有什么体会？ ②由学生举出几个具有线性运算的几何实例． (3). 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量． ② 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． ③ 把运算结果“翻译”成几何关系． 2.教学例题： ①例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 分析:由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积． ② 例2：如图，平行四边行ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC 之间的关系吗？ 分析：设,,,,n m ====分别 求向量,,即可。 ③ 例3、如图，在OBCA 中，b OB a OA ==,-=+，求证四边形OBCA 为矩形 分析：要证四边形OBCA 为矩形，只需证一角为直角． C F

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m

2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a

（二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ， 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ， （1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ， 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ， 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ， 又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量， 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S

§4.4-5 线性空间的同构

§4.4 线性空间的同构 下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。设V 与V '都 是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。 定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足 （1） )()()(βσασβασ+=+； （2） )()(ασασk k =， 其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。 同构的线性空间具有如下性质。 定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则 （1） )0(σ=0； （2） 对任意V ∈α，)()(ασασ-=-； （3） 如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则 )()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ； （4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组； （5） 如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且 )(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。 证明 （1）－(3) 由定义4.4.1即得。 （4） 如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得 011=++m m k k αα 由（1）和（3）得 0)()(11'=++m m k k ασασ 所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。 反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得 0)()(11=++m m k k ασασ 即

高一数学平面向量应用举例教案

高一数学平面向量应用举例教案 一、教学分析 1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为: 则向量方法的流程图可以简单地表述为: 这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点. 2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括: 综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论; 解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等. 前三种方法都是中学数学中出现的内容. 有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化. 二、教学目标 1．知识与技能： 通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. 2．过程与方法： 明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示. 3．情感态度与价值观： 通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 三、重点难点 教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 四、教学设想 （一）导入新课

利用空间向量求空间角考点与题型归纳

利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b | ? ， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向 向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量， φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | ? . 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ，如图(2)(3)． 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 直线与平面所成角的范围为????0，π 2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互

补，需要结合图形进行判断． 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2. (1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)． (1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→ ＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则????? n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0， 即????? 2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．

数学：平面向量应用举例教案北师大版必修

7．２平面向量应用举例 一.教学目标： １．知识与技能 （１）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （２）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. ２．过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. ３．情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法：（１）自主性学习法+探究式学习法 （２）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】

[展示投影] 同学们阅读教材的相关内容思考： １．直线的向量方程是怎么来的？ ２．什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P １0３练习１、２、３题 [展示投影]例题讲评（教师引导学生去做） 例１．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。 证：设BE 、CF 交于一点H ， ?→ ?AB = a , ?→?AC = b , ?→ ?AH = h , 则?→ ?BH = h a , ?→ ?CH = h b , ?→ ?BC = b a ∵?→ ?BH ?→ ?AC , ?→?CH ?→ ?AB ∴ 0)()()(0)(0)(=-???-=?-?? ?? =?-=?-a b h a b h b a h a a h b a h ∴?→ ?AH ?→ ?BC 又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识： １．设P １, P ２是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P １, P ２的任一点，存在实数λ，使?→ ?P P 1=λ?→ ?2PP ，λ叫做点P 分?→ ?21P P 所成的比， 有三种情况： λ>0（内分） （外分） λ<0 （λ<—１） （ 外分）λ<0 （—１<λ<0） A B C E F H P P P 222P P P

Hilbert空间

Hilbert 班级：15级自动化三班 姓名：谢洪涛 学号：115110001090 指导老师：姚洪亮 [《现代分析基础》读书报告——HILBERT 空间] 摘要：本文从初学者的角度详细介绍了Hilbert空间的引出与定义，直交性与投影定理，内积空间的直交系以及Hilbert空间在量子力学中的引用。其中包括了详细的定义定理阐述与证明，以及相应问题的典型举例。在文章最后给出了Hilbert个人的一些介绍，可以感受到Hilbert空间理论的深刻的背景，加深对理论的学习和理解，同时也向伟大的数学家致敬。

目录 1. 内积与H ILBERT空间 (1) 内积的定义与性质 (1) Hilbert空间的定义 (3) 2. 直交性与投影定理 (5) 直交性 (5) 投影定理 (6) 3. 内积空间中的直交系 (8) 标准直交系 (8) 标准直交系的一些性质 (11) 4. H ILBERT空间在量子力学中的应用 (13) 对Hilbert空间的描述 (13) 量子力学中对Hilbert空间的描述 (14) 为何要引进Hilbert空间来描述态矢量所在空间 (14) 5. 附录 (15) Hilbert简介 (15) 感想与致谢 (16) 参考文献 (17)

1. 内积与Hilbert 空间 内积的定义与性质 在欧式空间中有一些重要的基本概念，如向量的内积、夹角、正交以及投影等，这些概念在欧式空间几何学中起着重要的作用。为此，我们将把这些概念抽象化、引入到线性空间中去，就得到Hilbert 空间。首先回顾解析几何中的有关概念： 例如，在R^2中，任意两个向量),(),,(2121y y y x x x ==的内积为 2211),(y x y x y x += x 与y 的夹角为 | |||),(cos y x y x =α 当x=y 时，1cos =α，),(||2x x x =，从而向量长度为 ),(||x x x = 当x 与y 正交，2π α=，0cos =α?→? 0),(=y x 。 由此可见，内积的概念是基本的，用它可以引进向量长度（范数）、向量间的正交、投影等概念。在实欧式空间中内积还具有如下基本性质： 1) 对称性：),(),(x y y x =； 2) ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+（对第一变元线性） 3) 0),(≥x x ，当且仅当ο=x 时0),(=x x （正定性） 以此为基础，对一般抽象线性空间中引入内积概念如下： 定义 设X 为实（或复）数域K 上的线性空间，若X 内任意一对元素x,y 恒对应K 中一个数，记为),(y x ，它满足：

平面向量应用举例(教学案)

2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O为ABC 重心,则OA+OB+OC=0 （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。

第六章 线性空间分析

第六章线性空间§1基本知识 §1. 1 基本概念 1、集合的相关概念： 2、映射： 3、单射： 4、满射： 5、双射（一一映射）： 6、可逆映射及其逆映射： 7、线性空间： 8、向量的线性组合： 9、向量组的等价： 10、向量的线性相关与无关： 11、线性空间的维数（有限维与无限维线性空间）： 12、线性空间的基与坐标： 13、过渡矩阵： 14、线性空间的子空间： 15、生成子空间： 16、子空间的和： 17、两个子空间的直和：

18、有限个子空间的直和： 19、线性空间的同构： §1. 2 基本定理 1、基与维数的判定定理：设n ααα,,,21 是线性空间V 上n 个线性无关的向量，如果V 上任何一个向量都可以由它线性表出，那么V 是n 维的，n ααα,,,21 是它的一组基. 2、子空间的判定定理：设W 是线性空间V 的一个非空子集，如果W 关于V 的两种运算是封闭的，那么W 是V 的一个子空间. 3、生成子空间的相等与维数的判定定理： （1）两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是这两个向量组等价； （2）),,,(),,,(dim 2121r r R L αααααα =. 4、基的扩充定理：设m ααα,,,21 是n 维线性空间V 上任意m 个线性无关的向量，如果n m <，那么在V 上必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,211 ++，使得 n ααα,,,21 是V 的一组基. 5、子空间的交的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V ?也是V 的子空间. 6、子空间的和的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V +也是 V 的子空间. 7、维数定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么 )dim(dim dim )dim(212121V V V V V V ?-+=+.

新人教A版《平面向量应用举例》word教案

2.5 平面向量应用举例 [教学目标] 一、知识与能力： 1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.运用向量方法解决某些简单的物理问题. 二、过程与方法： 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题的过程；体会向量是一种处理几何问题和物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点. [教学重点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题. [教学难点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题. [教学时数] 2课时． [教学要求] 教师应该引导学生运用向量解决一些物理和几何问题，例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题. [教学过程] 第一课时 一、复习回顾 1．向量的概念； 2．向量的表示方法：几何表示、字母表示； 3．零向量、单位向量、平行向量的概念； 4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动； 5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量； 6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量. 7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；

8． 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义； 9． 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量. 10． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系； 11． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算； 12． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件； 13． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线. 二、讲授新课 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题. 例1 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 1111 ,2222 ,/./. ABCD AC BD O AO OC AB AC DB DC DB AC AB DC AB DC AB BO DC AB D C O D === +=+∴==，即且所以四边形是平行四边形，即对角证明：设四边形的对角线、交于点，且线互相平分的四边形是平行四边形， 1 //. 2 DE ABC DE BC DE BC ?=已知是的中位线， 用向量的方法证明：，且例2 () 11,,22 11 .22 1 //. 2AD AB AE AC DE AE AD AC AB BC DE BC D BC DE BC = ==-=-==证明：易知所以即，又不在上，所以 例3 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.

线性空间的同构

§8 线性空间的同构 一、数域 P 上的 n 维线性空间 n P 二、数域 P 上的一般的n 维线性空间 V 例如：[]n P x 等 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的 一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的 一个双射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设 n n a a a εεεα+++= 2211, n n b b b εεεβ+++= 2211 而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么 n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ; n n ka ka ka k εεεα+++= 2211. 于是向量,βα+αk 的坐标分别是 ),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++, ),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =. 以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论. 三、线性空间同构 1．定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，

具有以下性质： 1）)()()(βσασβασ+=+; 2) ).()(ασασk k = 其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射. 前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应 就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构. 2．同构映射具有下列性质 由定义可以看出，同构映射具有下列性质： (1). )()(,0)0(ασασσ-=-=. (2). )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ . (3).V 中向量组r ααα,,,21 线性相关?它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知， 同构的线性空间有相同的维数. (4). 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合 {}11|)()(V V ∈=αασσ 是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同. (5). 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. 同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性. 既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得， 数域P 上任意两个n 维线性空间都同构. 3. 定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数. 由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算 是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的 唯一的本质特征.

北师大版数学高一 2.7《平面向量应用举例》教案(必修4)

2.7平面向量应用举例 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P118练习1、2、3题 例题讲评（教师引导学生去做） 例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。 证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C

北师大版必修4高中数学第二章 向量应用举例教案

向量应用举例 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P100练习1、2、3题

[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做） 例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。 证：设BE 、CF 交于一点H ， ?→ ?AB = a , ?→?AC = b , ?→ ?AH = h , 则?→ ?BH = h - a , ?→ ?CH = h - b , ?→ ?BC = b - a ∵?→ ?BH ⊥?→?AC , ?→?CH ⊥?→ ?AB ∴ 0)()()(0)(0)(=-???-=?-?? ?? =?-=?-a b h a b h b a h a a h b a h ∴?→ ?AH ⊥?→ ?BC 又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识： 1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使?→?P P 1=λ?→ ?2PP ，λ叫做点P 分?→ ?21P P 所成的比， 有三种情况： λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 注意几个问题： ①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在 ②始点终点很重要，如P 分?→ ?21P P 的定比λ=2 1 则P 分?→?12P P 的定比λ=2 2．线段定比分点坐标公式的获得： 设?→ ?P P 1=λ?→ ?2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算 ?→?P P 1=(x-x 1,y-y 1) ?→ ?2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1) A B C D E F H P 1 P 1 P 1 P 2 P 2 P 2 P P P O P 1 P P 2

用空间向量解决空间中“夹角”问题

利用空间向量解决空间中的“夹角”问题 学习目标 ： 1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.提高分析与推理能力和空间想象能力。 重点 ： 利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点 ： 向量夹角与空间中的“夹角”的关系 一、复习引入 1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义：><=?,cos |||| （2）两向量夹角公式：| |||,cos b a >= < （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 知识点1：异面直线所成的角（范围：]2 , 0(π θ∈） （1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和， 问题1： 当与的夹角不大于90 的角θ与 和 的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？ 结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ a

例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则 )2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC -=，)2,21 ,23(1a a a CB = 即21 323||||,cos 22 111111==>=<,与θ的关系？ 例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a AA ==)2,21 ,23(1a a a AC -= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n = x y