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高中数学线性规划问题

一．选择题（共28 小题）

1．（ 2015?马鞍山一模）设变量x， y 满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）

A．﹣ 2 B．﹣ 4 C．﹣ 6 D．﹣ 8

2．（ 2015?山东）已知 x， y 满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则 a=（）

A ． 3 B． 2 C．﹣ 2 D．﹣ 3

3．（ 2015?重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则 m 的值为（）

A．﹣ 3 B． 1 C．D．3

4．（ 2015?福建）变量 x， y 满足约束条件，若z=2x ﹣ y 的最大值为2，则实数 m 等于（）

A．﹣ 2 B．﹣ 1 C．1 D． 2

5．（ 2015?安徽）已知 x， y 满足约束条件，则z=﹣ 2x+y 的最大值是（）

A．﹣ 1 B．﹣ 2 C．﹣ 5 D． 1

6．（ 2014?新课标 II ）设 x， y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）

A．10 B．8C．3D．2

7．（ 2014?安徽） x、y 满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为

（）

A．或﹣1B．2或C．2或 1D．2或﹣1

8．（ 2015?北京）若 x， y 满足，则z=x+2y的最大值为（）

A．0B．1C．D．2

9．（ 2015?四川）设实数 x， y 满足，则xy的最大值为（）

A ．B．C．12D． 16

10．（2015?广东）若变量 x ， y 满足约束条件

，则 z=3x+2y 的最小值为（ ）

A ． 4

B ．

C ．6

D ．

11．（ 2014?新课标 II ）设 x ， y 满足约束条件，则 z=x+2y 的最大值为（ ） A ． 8

B ． 7

C ．2

D ． 1

12．（2014?北京）若 x ，y 满足且 z=y ﹣ x 的最小值为﹣ 4，则 k 的值为（ ）

A ． 2

B ．﹣ 2

C ．

D ．﹣

13．（2015?开封模拟）设变量 x 、 y 满足约束条件

，则目标函数

z=x 2+y 2

的取值范围为（

）

A ．[2，8]

B ．[4，13]

C ．[2，13]

D ．

14．（2016?荆州一模）已知 x ， y 满足约束条件

，则 z=2x+y 的最大值为（ ）

A ．3

B ．﹣ 3

C ．1

D ．

15．（2015?鄂州三模）设变量 x ， y 满足约束条件 ，则 s= 的取值范围是（ ）

A ．[1， ]

B ．[ ，1]

C ．[1，2]

D ．[ ，2] 16．（2015?会宁县校级模拟）已知变量 x ， y 满足，则 u= 的值范围是（ ）

A ．[ ，

] B ．[﹣

，﹣ ]

C ．[﹣

， ] D ．[﹣

，

]

17．（2016?杭州模拟）已知不等式组

所表示的平面区域的面积为 4，则 k 的值为（ ）

A ．1

B ．﹣ 3

C ．1 或﹣ 3

D ．0

18．（2016?福州模拟）若实数 x ， y 满足不等式组目标函数 t=x ﹣2y 的最大值为 2，则实数 a 的值是（

）

A ．﹣ 2

B ．0

C ．1

D ．2

19．（2016?黔东南州模拟）变量 x 、 y 满足条件

，则（ x ﹣ 2） 2+y 2

的最小值为（

）

A ．

B ．

C ．

D ．5

20．（ 2016?赤峰模拟） 已知点 ，过点 P 的直线与圆 x 2+y 2

=14 相交于 A ，B 两点，则 |AB|

的最小值为（ ）

A ． 2

B ．

C ．

D ． 4

21．（2016?九江一模）如果实数 x ， y 满足不等式组 ，目标函数 z=kx ﹣ y 的最大值为 6，最小值

为 0，则实数 k 的值为（ ） A ． 1

B ． 2

C ．3

D ． 4

22．（ 2016?三亚校级模拟） 已知 a ＞ 0，x ，y 满足约束条件 ，若 z=2x+y 的最小值为 ，则 a=（ ）

A ．

B ．

C ．1

D ．2

23．（2016?洛阳二模）若 x ， y 满足约束条件

，则目标函数 z=x+y 的最大值为 2，则实数 a 的值

为（ ） A ．2

B ．1

C ．﹣ 1

D ．﹣ 2

24．（2016?太原二模）设 x ， y 满足不等式组 ，若 z=ax+y 的最大值为 2a+4，最小值为 a+1，则

实数 a 的取值范围为（ ）

A ．[﹣ 1，2]

B ．[﹣2，1]

C ．[﹣3，﹣ 2]

D ． [﹣ 3， 1]

25．（2016?江门模拟）设实数 x ， y 满足：

，则 z=2x +4y

的最小值是（

）

A ．

B ．

C ．1

D ．8

26．（ 2016?漳州二模） 设 x ，y 满足约束条件

，若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数 m=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

27．（2016?河南模拟）已知 O 为坐标原点， A ， B 两点的坐标均满足不等式组，设

与 的夹角为 θ，则 tan θ

的最大值为（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

28．（2016?云南一模）已知变量x、 y 满足条件，则z=2x+y的最小值为（）

A．﹣ 2 B．3C．7D．12

二．填空题（共 2 小题）

29．（2016?郴州二模）记不等式组所表示的平面区域为 D ．若直线y=a（ x+1 ）与 D 有公共点，则 a 的取值范围是．

30．（2015?河北）若x，y 满足约束条件．则的最大值为．

高中数学线性规划问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共28 小题）

1．（ 2015?马鞍山一模）设变量x， y 满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）

A．﹣ 2 B．﹣ 4 C．﹣ 6 D．﹣ 8

【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标

函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣ 3y 的最小值．

【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，

由图可知目标函数在点（﹣ 2， 2）取最小值﹣ 8

故选 D．

【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目

中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函

数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

2．（ 2015?山东）已知 x， y 满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则 a=（）

A．3B．2C．﹣ 2 D．﹣ 3

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

则 A（ 2，0）， B（ 1， 1），

若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4，则 2a=4，解得 a=2，此

时，目标函数为 z=2x+y ，

即 y=﹣ 2x+z ，

平移直线y= ﹣2x+z ，当直线经过 A （ 2，0）时，截距最大，此时z 最大为 4，满足条件，

若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4，则 a+1=4，解得 a=3，

此时，目标函数为 z=3x+y ，

平移直线y= ﹣3x+z ，当直线经过 A （ 2，0）时，截距最大，此时z 最大为 6，不满足条件，

故 a=2，

故选： B

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．

3．（ 2015?重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）

A．﹣ 3 B．1C．D．3

【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

若表示的平面区域为三角形，

由，得，即A（2，0），

则 A（ 2，0）在直线x﹣ y+2m=0 的下方，

即 2+2m＞ 0，

则 m＞﹣ 1，

则 A（ 2，0）， D（﹣ 2m， 0），

由，解得，即B（1﹣m，1+m），

由，解得，即C（，）．

则三角形ABC 的面积 S△ABC =S△ADB﹣ S△ADC

=|AD||y B﹣ y C|

= （ 2+2m）（ 1+m﹣）

=（ 1+m）（ 1+m﹣） = ，

即（ 1+m）× = ，

即（ 1+m）2

=4

解得 m=1 或 m= ﹣ 3（舍），

故选： B

【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．

4．（ 2015?福建）变量 x， y 满足约束条件，若z=2x ﹣ y 的最大值为 2，则实数 m 等于（）

A．﹣ 2 B．﹣ 1 C．1 D． 2

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优

解的坐标，代入目标函数求得m 的值．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得 A（），

化目标函数z=2x﹣ y 为 y=2x ﹣ z，

由图可知，当直线过 A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为，

解得： m=1．

故选： C．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

5．（ 2015?安徽）已知 x， y 满足约束条件，则z=﹣ 2x+y 的最大值是（）

A．﹣ 1 B．﹣ 2 C．﹣ 5 D．1

【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y 的最大值就是y=2x+z 在 y 轴的截距的最大值．

【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，

当直线 y=2x+z 经过 A 时使得 z 最大，由得到A（1，1），

所以 z 的最大值为﹣2×1+1=﹣ 1；

故选： A．

【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．

6．（ 2014?新课标 II ）设 x， y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）

A．10 B．8C．3D．2

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．

由 z=2x﹣ y 得 y=2x ﹣ z，

平移直线 y=2x ﹣ z，

由图象可知当直线 y=2x ﹣ z 经过点 C 时，直线 y=2x ﹣ z 的截距最小，此

时 z 最大．

由，解得，即C（5，2）

代入目标函数z=2x ﹣ y，

得 z=2×5﹣ 2=8．

故选： B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基

本方法．

7．（ 2014?安徽） x、y 满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为

（）

A．或﹣1B．2或C．2或 1D．2或﹣1

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z 斜率的变化，从而求出 a 的取值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．

由 z=y﹣ ax 得 y=ax+z ，即直线的截距最大，z 也最大．

若 a＞0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a＞ 0，要使 z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则

直线 y=ax+z 与直线 2x﹣ y+2=0 平行，此时 a=2，

若 a＜0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a＜ 0，要使 z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则

直线 y=ax+z 与直线 x+y ﹣ 2=0 ，平行，此时 a=﹣ 1，

综上 a=﹣ 1 或 a=2，

故选： D

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基

本方法．注意要对 a 进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．

8．（ 2015?北京）若 x， y 满足，则z=x+2y的最大值为（）

A．0B．1C．D．2

【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，即可求出z 取得最大值．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，

当 l 经过点 B 时，目标函数z 达到最大值

∴z 最大值 =0+2×1=2 ．

故选： D．

【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域

和简单的线性规划等知识，属于基础题．

9．（ 2015?四川）设实数 x， y 满足，则xy的最大值为（）

A ．B．C．12D． 16

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；

由图象知y≤10﹣ 2x ，

则 xy≤x（ 10﹣ 2x） =2x（5﹣ x））≤2（）2

= ，

当且仅当 x= ， y=5 时，取等号，

经检验（， 5）在可行域内，

故 xy 的最大值为，

故选： A

【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（2015?广东）若变量x， y 满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）

A ． 4 B．C．6 D．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．

【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：

由 z=3x+2y 得 y= ﹣ x+ ，平移直线 y= ﹣ x+ ，

则由图象可知当直线y=﹣ x+ ，经过点 A 时直线 y= ﹣ x+ 的截距最小，

此时 z 最小，

由，解得，即 A（1，），

此时 z=3×1+2 × = ，

故选： B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．

11．（ 2014?新课标 II ）设 x， y 满足约束条件，则 z=x+2y 的最大值为（）

A．8B．7C．2D．1

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域，

由 z=x+2y ，得 y=﹣，

平移直线 y= ﹣，由图象可知当直线 y= ﹣经过点 A 时，直线 y=﹣的截距最大，此时z 最大．由，得，

即 A（ 3，2），

此时 z 的最大值为z=3+2 ×2=7 ，

故选： B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

12．（2014?北京）若x，y 满足且 z=y ﹣ x 的最小值为﹣ 4，则 k 的值为（）

A．2B．﹣ 2 C．D．﹣

【分析】对不等式组中的kx ﹣ y+2≥0 讨论，当 k≥0 时，可行域内没有使目标函数z=y ﹣x 取得最小值的最优解，k ＜0 时，若直线 kx﹣ y+2=0 与 x 轴的交点在 x+y ﹣ 2=0 与 x 轴的交点的左边， z=y ﹣ x 的最小值为﹣ 2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：对不等式组中的kx﹣ y+2 ≥0 讨论，可知直线kx﹣ y+2=0 与 x 轴的交点在x+y ﹣ 2=0 与 x 轴的交点的

右边，

故由约束条件作出可行域如图，

由 kx﹣ y+2=0 ，得 x=，

∴ B（﹣）．

由 z=y ﹣ x 得 y=x+z ．

由图可知，当直线

y=x+z 过 B （﹣

）时直线在 y 轴上的截距最小，即 z 最小．

此时

，解得： k= ﹣ ．

故选： D ．

【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

13．（2015?开封模拟）设变量 x 、 y 满足约束条件

，则目标函数 z=x 2+y 2

的取值范围为（

）

A ．[2，8]

B ．[4，13]

C ．[2，13]

D ．

【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论． ．

【解答】 解：作出不等式对应的平面区域，

则 z=x 2+y 2

的几何意义为动点 P （ x ， y ）到原点的距离的平方，则当动点 P 位于 A 时， OA 的距离最大，

当直线 x+y=2 与圆 x 2+y 2

=z 相切时，距离最小，

即原点到直线 x+y=2 的距离 d=

，即 z 的最小值为 z=d 2

=2，

由

，解得

，即 A （3，2），

2

2

2

2

， 此时 z=x +y =3 +2 =9+4=13 即 z 的最大值为 13，即 2≤z ≤13，

故选： C

【点评】 本题主要考查线性规划的应用， 利用目标函数的几何意义， 结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

14．（2016?荆州一模）已知 x ， y 满足约束条件

，则 z=2x+y 的最大值为（ ）

A ．3

B ．﹣ 3

C ．1

D ．

【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可

行域直线在 y 轴上的截距最大值即可． 【解答】 解：作图 易知可行域为一个三角形，

当直线 z=2x+y 过点 A （ 2，﹣ 1）时， z 最大是 3， 故选 A ．

【点评】本小题是考查线性规划问题，

本题主要考查了简单的线性规划， 以及利用几何意义求最值， 属于基础题．

15．（2015?鄂州三模）设变量 x ， y 满足约束条件

，则 s= 的取值范围是（ ）

A．[1，]B．[，1]C．[1，2]D．[，2]

【分析】先根据已知中，变量 x，y 满足约束条件，画出满足约束条件的可行域，进而分析s= 的几何意义，我们结合图象，利用角点法，即可求出答案．

【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：

根据题意， s=可以看作是可行域中的一点与点（﹣1，﹣ 1）连线的斜率，

由图分析易得：当x=1，y=O 时，其斜率最小，即s=取最小值

当 x=0， y=1 时，其斜率最大，即s=取最大值 2

故 s=的取值范围是[，2]

故选 D

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域，“角点法”是解答此类问题的常用方法．

16．（2015?会宁县校级模拟）已知变量x， y 满足，则 u= 的值范围是（）

A．[， ] B．[﹣，﹣ ] C．[﹣， ] D．[﹣， ]

【分析】化简得 u=3+ ，其中 k= 表示 P（x， y）、Q（﹣ 1， 3）两点连线的斜率．画出如图可行域，得到如图所示的△ABC 及其内部的区域，运动点P 得到 PQ 斜率的最大、最小值，即可得到u= 的值范围．【解答】解：∵u= =3+ ，

∴ u=3+k ，而 k= 表示直线 P、 Q 连线的斜率，

其中 P（ x， y）， Q（﹣ 1， 3）．

作出不等式组表示的平面区域，

得到如图所示的△ ABC 及其内部的区域

其中 A （ 1， 2）， B（ 4， 2）， C（3， 1）

设 P（ x， y）为区域内的动点，运动点P，

可得当 P 与 A 点重合时， k PQ=﹣达到最小值；当 P 与 B 点重合时， k PQ=﹣达到最大值

∴ u=3+k 的最大值为﹣+3= ；最小值为﹣+3=

因此， u= 的值范围是 [ ，]

故选： A

【点评】本题给出二元一次不等式组，求u=的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组

表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．

17．（2016?杭州模拟）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则 k 的值为（）

A．1B．﹣ 3 C．1 或﹣ 3 D．0

【分析】由于直线 y=kx+2 在 y 轴上的截距为2，即可作出不等式组表示的平面区域三角形；再由三角形面积公

式解之即可．

【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图，

解得点 B 的坐标为（ 2， 2k+2 ），

所以 S△ABC = （ 2k+2）×2=4 ，

解得 k=1．

故选 A．

【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法．

18．（2016?福州模拟）若实数 x， y 满足不等式组目标函数t=x ﹣2y 的最大值为2，则实数 a 的值是（）A．﹣ 2 B．0C．1D．2

【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x ﹣ 2y 的最大值为2，确定约束条件中 a 的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域

由? A （ 2， 0）是最优解，

直线 x+2y ﹣ a=0，过点 A（ 2， 0），

所以 a=2，

故选 D

【点评】本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．

19．（2016?黔东南州模拟）变量x、 y 满足条件，则（x﹣2）2

+y

2

的最小值为（）

A．B．C．D．5

【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（ x﹣2）2

+y

2

，利用距离公式进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，

2 2

D （2， 0）的距离的平方，

设 z=（x﹣ 2） +y ，则 z 的几何意义为区域内的点到定点

由图象知 CD 的距离最小，此时 z 最小．

由得，即 C（ 0， 1），

2 2

此时 z=（ x﹣ 2） +y =4+1=5 ，

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．

20．（ 2016?赤峰模拟） 已知点

，过点 P 的直线与圆 x 2+y 2

=14 相交于 A ，B 两点，则 |AB|

的最小值为（

） A ．2 B ．

C ．

D ．4

【分析】 本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点的坐

标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（

1， 3）处取得最小值．

【解答】 解：约束条件 的可行域如下图示：

画图得出 P 点的坐标（ x ， y ）就是三条直线

x+y=4 ， y ﹣ x=0 和 x=1 构成的三角形区域，

三个交点分别为（ 2， 2），（ 1， 3），（ 1， 1），

因为圆 c ： x 2+y 2

=14 的半径 r= ，得三个交点都在圆内， 故过 P 点的直线 l 与圆相交的线段 AB 长度最短， 就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度 ．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），

可用圆 d ： x 2+y 2

=10 与直线 x=y 的交点为（ ， ）验证，

过点（ 1， 3）作垂直于直线 y=3x 的弦，

国灰 r 2

=14，故 |AB|=2

=4，

所以线段 AB 的最小值为 4． 故选： D

【点评】 在解决线性规划的小题时，我们常用 “角点法 ”，其步骤为： ① 由约束条件画出可行域 ? ② 求出可行域 各个角点的坐标 ? ③ 将坐标逐一代入目标函数

? ④ 验证，求出最优解．

21．（2016?九江一模）如果实数 x ， y 满足不等式组

，目标函数 z=kx ﹣ y 的最大值为 6，最小值

为 0，则实数 k 的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【分析】 首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出

k ．

【解答】 解：作出其平面区域如右图：

A （ 1， 2），

B （ 1，﹣ 1），

C （ 3，0）， ∵ 目标函数 z=kx ﹣ y 的最小值为 0，

∴ 目标函数 z=kx ﹣ y 的最小值可能在 A 或 B 时取得； ∴ ① 若在 A 上取得，则 k ﹣ 2=0，则 k=2，此时， z=2x ﹣ y 在 C 点有最大值， z=2×3﹣ 0=6 ，成立；

② 若在 B 上取得，则 k+1=0 ，则 k=﹣ 1，

此时， z=﹣ x ﹣ y ，在 B 点取得的应是最大值，

故不成立，

故选 B ．

【点评】 本题考查了简单线性规划的应用，要注意分类讨论，属于基础题．

22．（ 2016?三亚校级模拟）已知 a＞ 0，x，y 满足约束条件，若z=2x+y的最小值为，则a=（）

A．B．C．1D．2

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z 的最优解，然后确定 a 的值即可．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）

由 z=2x+y ，得 y=﹣ 2x+z ，

平移直线y= ﹣2x+z ，由图象可知当直线y= ﹣ 2x+z 经过点 A 时，直线y=﹣ 2x+z 的截距最小，此时z 最小．

由，解得，

即 A（1，），

∵点 A 也在直线y=a（ x﹣ 3）上，

∴，

解得 a=．

故选： A．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

23．（2016?洛阳二模）若x， y 满足约束条件，则目标函数z=x+y 的最大值为2，则实数 a 的值

为（）

A．2B．1C．﹣ 1 D．﹣ 2

【分析】先作出不等式组的图象，利用目标函数z=x+y 的最大值为2，求出交点坐标，代入3x﹣y﹣a=0 即可．

【解答】解：先作出不等式组的图象如图，

∵目标函数z=x+y 的最大值为2，

∴z=x+y=2 ，作出直线 x+y=2 ，

由图象知 x+y=2 如平面区域相交 A，

由得，即A（1，1），

同时 A （ 1， 1）也在直线3x﹣ y﹣ a=0 上，

∴3﹣1﹣

a=0，则 a=2，

故选： A．

24．（2016?太原二模）设 x ， y 满足不等式组

，若 z=ax+y 的最大值为 2a+4，最小值为 a+1，则

实数 a 的取值范围为（

）

A ． [﹣ 1， 2]

B ． [﹣ 2，1]

C ．[﹣3，﹣ 2]

D ． [﹣ 3， 1]

【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

【解答】 解：由 z=ax+y 得 y= ﹣ ax+z ，直线 y=﹣ ax+z 是斜率为﹣ a ， y 轴上的截距为

z 的直线，

作出不等式组对应的平面区域如图：

则 A （ 1，1）， B （ 2， 4），

∵ z=ax+y 的最大值为 2a+4，最小值为 a+1，

∴ 直线 z=ax+y 过点 B 时，取得最大值为 2a+4，

经过点 A 时取得最小值为 a+1，

若 a=0，则 y=z ，此时满足条件， 若 a ＞0，则目标函数斜率 k= ﹣ a ＜ 0，

要使目标函数在 A 处取得最小值，在 B 处取得最大值，

则目标函数的斜率满足﹣ a ≥k BC =﹣ 1，

即 0＜a ≤1，

若 a ＜0，则目标函数斜率 k= ﹣ a ＞ 0， 要使目标函数在 A 处取得最小值，在

B 处取得最大值，

则目标函数的斜率满足﹣ a ≤k AC =2，

即﹣ 2≤a ＜ 0， 综上﹣ 2≤a ≤1， 故选： B ．

【点评】 本题主要考查线性规划的应用，

根据条件确定 A ，B 是最优解是解决本题的关键．

注意要进行分类讨论．

25．（2016?江门模拟）设实数 x ， y 满足：

，则 z=2x +4y

的最小值是（

）

A ．

B ．

C ．1

D ． 8

【分析】 先根据约束条件画出可行域，设

t=x+2y ，把可行域内的角点代入目标函数

t=x+2y 可求 t 的最小值，由

x

y x

2y ，可求 z 的最小值

z=2 +4 =2 +2

【解答】 解： z=2x +4y =2x +2

2y

，令 t=x+2y

先根据约束条件画出可行域，如图所示

设 z=2x+3y ，将最大值转化为 y 轴上的截距，

由

可得 A （﹣ 2，﹣ 1）

由

可得 C （﹣ 2，3）

由

B （4，﹣ 3）

把 A， B， C 的坐标代入分别可求t= ﹣4， t=4， t=﹣ 2

Z的最小值为

故选 B

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．

26．（ 2016?漳州二模）设 x，y 满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数 m=（）

A．B．C．D．

【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优

解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7 求得实数m 的值．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得 A （1， 2），

联立，解得 B （m﹣1， m），

化 z=x+3y ，得．

由图可知，当直线过 A 时， z 有最大值为7，

当直线过 B 时， z 有最大值为4m﹣1，

由题意， 7﹣（ 4m﹣ 1） =7，解得： m=．

故选： C．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

27．（2016?河南模拟）已知O 为坐标原点， A ， B 两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（）

A．B．C．D．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合求出 A ， B 的位置，利用向量的数量积求出夹角的余弦，

即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使tanθ最大，

则由，得，即A（1，2），

由，得，即B（2，1），

∴ 此时夹角θ最大，

则，

则 cosθ==，

∴ sin，

此时 tan=，

故选： C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，以及向量的数量积运算，利用数形结合是解决本题的关键．

28．（2016?云南一模）已知变量x、 y 满足条件，则z=2x+y的最小值为（）

A．﹣ 2 B．3C．7D．12

【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．

【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，

将交点分别求得为（1，1），（ 5，2），（ 1，）

当 x=1， y=1 时， 2x+y=3

当 x=1， y=时，2x+y=

当 x=5， y=2 时， 2x+y=12

∴当 x=1， y=1 时， 2x+y 有最小值 3．

故选： B

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档

题．二．填空题（共 2 小题）

29．（2016?郴州二模）记不等式组所表示的平面区域为 D ．若直线y=a（ x+1 ）与 D 有公共点，则 a 的取值范围是[，4]．

【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（ x+1 ）中，求出y=a（ x+1）对应的 a 的端点值即可．

【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：

因为 y=a（ x+1）过定点（﹣ 1， 0）．

所以当 y=a（ x+1）过点 B （ 0，4）时，得到a=4，

当 y=a（ x+1 ）过点 A （ 1， 1）时，对应a=．

又因为直线y=a（ x+1 ）与平面区域 D 有公共点．

所以≤a≤4．

故答案为： [，4]

【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：① 由约束条件画出可行域? ②求出可行域

各个角点的坐标? ③将坐标逐一代入目标函数? ④验证，求出最优解．

30．（2015?河北）若x，y 满足约束条件．则的最大值为3．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．

设 k= ，则 k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由

图象知 OA 的斜率最大，

由，解得，即A（1，3），

则 k OA= =3，

即的最大值为3．

故答案为： 3．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决

此类问题的基本方法．