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第二节排列与组合(知识梳理)

第二节排列与组合

复习目标学法指导

1.了解排列、组合的概念.

2.了解排列数公式、组合数公

式.

3.会用排列数公式、组合数公

式解决一些简单的实际问题.

弄清所取元素是否考虑顺序,熟记排

列数、组合数公式是基础,掌握有限

制条件的排列、组合问题的常用方法

是关键.

排列与组合

排列与排列数组合与组合数

定

义

排列:从n个不同元素中取出

m(m≤n)个元素,按照一定的顺

序排成一列,叫做从n个不同元

素中取出m个元素的一个排列.

排列数:从n个不同元素中取出

m(m≤n)个元素的所有不同排列

的个数叫做从n个不同元素中

取出m个元素的排列数

组合:从n个不同元素中取出

m(m≤n)个元素合成一组,叫做

从n个不同元素中取出m个元素

的一个组合.

组合数:从n个不同元素中取出

m(m≤n)个元素的所有不同组合

的个数,叫做从n个不同元素中

取出m个元素的组合数

排列数公式组合数公式C m n=A

A m

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=

()

n m

()()()

121

n n n n m

---+

…=

()

m n m

A n

=n×(n-1)×(n-2)×…

×3×2×1=n!;

0!=1

=1;

C m

=C n m

C m

=C m

C-m

备

注

n,m∈N*且m≤n

1.概念(公式)理解

(1)组合与排列问题都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的计数问题,它们的差别是:排列考虑元素顺序,组合不考虑元素顺序.

(2)A m

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)的右边第一个因数为n,后面每个因数都比前面因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.

(3)公式C m

体现了组合数与排列数的关系.

(4)当m,n较大或对含有字母的排列数或组合数的式子进行变形和证

明时,常用公式A m

()

n m

或C m

()

m n m

(5)当m>

n时,常利用组合数的性质将计算C m

转化为计算C n m

2.与排列(数)组合(数)有关的结论

(1)若C x

=C y

,则x=y或x+y=n.

(2)A m

=n1

A-

,A m

=C m

·A m

(3)C m

+…+C m

C+

(4)(n+1)!=(n+1)·n!,(n+1)!-n!=n·n!.

(5)k C k n

=n 11

C --k n .

1.若32A n

=103A n

,则n 等于( B )

(A)1 (B)8 (C)9 (D)10 解析:32A n

=103A n

所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2), 所以n=8. 2.若3C n

=4C n

,则

()!

3!3!

-n n 的值为( C )

(A)1 (B)20 (C)35 (D)7 解析:由3C n

=4C n

,得n=7,

可求出

()!

3!3!

-n n =765434！！！???=765321????=35. 3.有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5. (1)从中任取4张,共有种不同取法;

(2)从中任取4张,排成一个四位数,共组成个不同的四位数.

答案:(1)5 (2)120

4.(2019·嘉兴期末联考)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A,B 两个专业各需要一门科目满足要求即可,A 专业:物理、化学、技术;B 专业:历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有种.(用数字作答)

解析:当考生选择技术时,两个专业均可报考,再从剩下的6门选择两

科即可,这样有选考方式2

C=15种,当考生不选技术时,可以从物理、

化学中选一科,再从历史、地理选一科,最后从政治、生物中选一科,这样有选考方式2×2×2=8种;当考生同时选历史、地理时,还需要从物理、化学中选择一科,这样有选考方式为2种,类似,同时选物理,化学时,还需从历史、地理中选择一科,这样有2种;

故一共有选考方式15+8+2+2=27种.

答案:27

考点一排列的应用问题

[例1] 有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排;

(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;

(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;

(4)全体排成一排,女生必须站在一起;

(5)全体排成一排,男生互不相邻.

解:(1)从7人中选5人排列,

有5

A=7×6×5×4×3=2 520(种).

(2)法一分两步完成,先选3人站前排,

有3

A种方法,余下4人站后排,有44A种方法,

A·44A=5 040(种).

法二(分排问题直排法)前排3人,后排4人,可视为7人排成一排,其中前3人为前排,后4人为后排,排法有7

A=5 040(种).

(3)法一(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有6

A种排

列方法,共有5×6

A=3 600(种).

法二(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人,有2

A种排

法,其他有5

A种排法,

A A=3 600(种).

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有4

A种方

法,再将女生全排列,有4

A种方法,共有44A·44A=576(种).

(5)(插空法)先排女生,有4

A种方法,再在女生之间及首尾5个空位中

任选3个空位安排男生,有3

A种方法,

A·35A=1 440(种).

求解排列应用问题的主要方法

直接

法

把符合条件的排列数直接列式计算

优先

法

优先安排特殊元素或特殊位置

捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列

插空法对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中

定序对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元

问题

除法

处理

素的全排列

间接

法

正难则反、等价转化的方法

直接

法

分排问题按单排处理

1.四位男演员与五位女演员(包含女演员甲)排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站两端的排法数为( A )

(A)5

A-244A45A(B)55A46A-44A45A

A-244A44A(D)55A45A-44A44A

解析:四位男演员互不相邻可用插入法,有5

A种排法,其中女演员甲

站在两端的方法有24

A,因此所求排法数为55A46A-244A45A.故选A. 2.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( B )

(A)36种(B)42种(C)48种(D)54种

解析:分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中间4个节

目无限制条件,有4

A种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之

外的3个节目中选1个节目排在第一位有1

C种排法,其他3个节目有33A

种排法,故有13

C 33A 种排法.依分类加法计数原理,共有44A +13C 3

3A =42种编

排方案.

考点二组合的应用问题

[例2] 有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数: (1)有女生但人数少于男生; (2)某女生一定要担任语文课代表;

(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;

(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.

解:(1)先选后排.符合条件的课代表人员的选法有(35

C 2

C +45C 13C )种,排列方法有5

A 种,所以满足题意的选法有(35

C +45C 13C )·55A =5 400(种). (2)除去该女生后,即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表,有4

A =840(种)选法.

(3)先选后排.从剩余的7名学生中选出4名有47

C 种选法,排列方法有

14C 44A 种,所以选法共有47C 14C 4

4A =3 360(种).

(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人,有3

C 种选法,该男生

的安排方法有13

C 种,其余3人全排列,有33

A 种,因此满足题意的选法共

有36

13C 3

3A =360(种).

组合问题常见以下几个题型

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解,用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.

(3)名额分配问题:将n 个名额分给m 个单位,每个单位至少有一个名额可以看作将n 个相同的小球放入m 个盒子里,每个盒子里至少有一个小球,其放法为将n 个小球串成一串.从(n-1)个间隙里选(m-1)个插入隔板,有11

C m n --种放法,即名额分配问题隔板法.

1.(2019·温州市2月模拟)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡,若顾客甲只带了现金,顾客乙只用支付宝或微信付款,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有种.

解析:这四名顾客购物后,恰好用了其中三种结账方式情况有: (1)当结账方式为现金、支付宝、微信,则他们的结账方式有

12C (1+12C 1

2C )=10

种;

(2)当结账方式为现金、支付宝、银联卡,则他们的结账方式有1+1

12C =5种;

(3)当结账方式为现金、微信、银联卡,则他们的结账方式有1+1

C 12C =5

种;

所以这四名顾客购物后,恰好用了其中三种结账方式为10+5+5=20种. 答案:20

2.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试1人.则不同的安排方式有种.(用数字作答)

解析:(分类讨论思想)上午测试安排有4

A 种方式,下午测试分为:(1)

若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”,其余三位同学有2种安排方式;(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”,则该同学有13

C 种安排方式,其余三位同学选1人测试“握力”,有13

C 种安排

方式,其余两人只有1种安排方式,则共有13

C ·13

C =9(种),因此安排方

式共有44

A (2+9)=264(种).

答案:264

考点三分组、分配问题

[例3] 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本;

(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 解:(1)无序不均匀分组问题. 先选1本,有16

C 种选法;

再从余下的5本中选2本,有25

C 种选法;

最后余下3本全选,有33

C 种选法.

故共有16

25C 33C =60(种).

(2)有序不均匀分组问题.

由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有

16C 25C 33C 3

3A =360(种).

(3)无序均匀分组问题. 分配方式有2

226

C C C A

=15(种).

(4)有序均匀分组问题. 在(3)的基础上再分配给3个人, 共有分配方式2226

C C C A

·33

A =26

24C 2

2C =90(种).

(5)无序部分均匀分组问题.

C C C A =15(种).

(6)有序部分均匀分组问题. 在(5)的基础上再分配给3个人,

共有分配方式4116

C C C A ·33

A =90(种).

(7)直接分配问题.

甲选1本,有16

C 种方法;乙从余下的5本中选1本,有15

C 种方法,余下4

本留给丙,有44

C 种方法,故共有分配方式16

15C 4

4C =30(种).

(1)均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问

题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序有关;有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.

(2)分配问题:先将元素分组,再将各组排列,或者逐一分配.

1.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,则不同的分配方案有( D )

(A)30种 (B)60种 (C)90种 (D)150种解析:5名教师分成3组有2,2,1;3,1,1两种情况,

第一种情况的分法有22

C C A =15(种),

第二种情况的分法有35

C =10(种),

所以5名教师分成3组的分法有15+10=25(种), 3个组分配到3个班的分法有33

A =6(种),

由分步乘法计数原理知不同的分配方案有 25×6=150(种).故选D.

2.(2019·绍兴上虞5月模拟)某市举办全运会开幕式.现从

A,B,C,D,E5个节目中任选3个节目进行开幕式表演,若3个节目中有

A和B时,A需排在B的前面出场(不一定相邻),则不同的出场方法有种.

解析:根据题意分两个情况进行讨论:

(1)在5个节目中任选3个,同时有A,B时,有1

C种选法,要求A需排在

B的前面出场,有3种情况,则此时有3×3=9种.

(2)A,B没有同时入选,有3

C-13C=7种选法,每种选法有33A=6种情况,则

此时有7×6=42种排法,所以一共有9+42=51种排法.

答案:51

高中排列组合知识点汇总和典型例题[全]

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定：组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注：若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

组合数学第二节Ramsey问题与Ramsey数

第二节：Ramsey 问题与Ramsey 数 1958年6~7月号美国《数学月刊》上登载着这样一个有趣的问题：“任何6个人的聚会，其中总会有3个互相认识或3人互相不认识。”这就是著名的Ramsey 问题。以6个顶点分别代表6个人，如果两人相识，则在相应的两顶间连一红边，否则在相应的两顶点间连一蓝边，则上述的Ramsey 问题等价于下面的命题：命题1.3.1 对6个顶点的完全图6K 任意进行红、蓝两边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。证明设123456,,,,,υυυυυυ是6K 的6个顶点，1υ与23456,,,,υυυυυ所连的5条边着红色或蓝色。由鸽巢原理知，其中至少有532??=???? 条边同色，不妨设1υ与234,,υυυ所连的3条边均为红色，如图1.3.1所示。若234,,υυυ间有一条红边，不妨设为23υυ，则123υυυ?是一红色三角形。否则，234,,υυυ间均为蓝边，即 234υυυ?是一蓝色三角形。类似于命题1.3.1，还有如下的命题1.3.2~命题1.3.4：命题1.3.2 对6个顶点的完全图6K 任意进行红、蓝两边着色，都至少有两个同色三角形。证明设123456,,,,,υυυυυυ是6K 的6个顶点，由命题1.3.1知，对6K 任意进行红、蓝两边着色都有一个同色三角形，不妨设123υυυ?是红色三角形，以下分各种情况来讨论：（1）若123456,,,,,υυυυυυ均为蓝边，如图1.3.2所示，则若456,,υυυ之间有一蓝边，不妨设为45,υυ，则 145υυυ?为蓝色三角形；否则，456υυυ?为红色三角形。

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标，m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标，m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注：若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（43．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

第二节排列与组合-高考状元之路

第二节排列与组合预习设计基础备考知识梳理 1．排列与排列数 (1)排列的定义：一般地，从n 个元素中取出m )(n m ≤个元素，按照一定的排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为.m A π (3)排列数公式 =+---=)1()2)(1(m n n n n A m n =???-?-?=123).2()1( n n n A n n ，规定.1!0= 2．组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n 个的元素中取m ?≤)(n m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n 个元素中取出)(n m m ≤个元素的的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n c 表示． (3)组合数公式 =m n C = (4)组合数的性质性质1：=m n C 性质2；= +m n c 1 ).,,(?∈∈≤*N m N n n m 3．解排列组合题的"24宇方针，12个技巧”： (1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘． (2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即： ①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少（多）问题间接法；⑩选排问题先取后排法；（11）局部与整体问题排除法；（12）复杂问题转化法．典题热身

高中数学排列组合与二项式定理知识点总结

排列组合与二项式定理知识点１．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

(完整版)排列组合知识点与方法归纳

排列组合知识点与方法归纳一、知识要点 1.分类计数原理与分步计算原理（1）分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。（2）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 2.排列（1）定义从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 . （2）排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）= 特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！ =1 b)排列数的性质：（Ⅰ） =（Ⅱ）（Ⅲ） 3.组合（1）定义

a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。（2）组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示）（阶乘表示）特例： b)组合数的主要性质：（Ⅰ）（Ⅱ） 4.排列组合的区别与联系（1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。（2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：二、经典例题例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有

排列与组合的综合应用.

高三数学(理一轮复习—— 10.3排列与组合的综合应用教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。教学重点:排列组合综合题的解法。教学过程: 一.主要知识: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 3.分配、分组(堆问题的解法: 4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。 5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个” 6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 . 7.剪截法(隔板法 :n 个相同小球放入m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球

的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m -1块隔板 , 有 11 --m n C 种方法 . 8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当 n=2,3,4,5时的错位数各为 1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。关于 5个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题: ① 5个元素的全排列为:5 5120A =; ②剔除恰好有 5对球盒同号 1种、恰好有 3对球盒同号 (2个错位的 351C ?种、恰好有 2对球盒同号 (3个错位的 252C ?种、恰好有 1对球盒同号 (4个错位的 1 59C ?种。 ∴ 120-1-351C ?-252C ?-1 59C ?=44. 用此法可以逐步计算:6个、 7个、 8个、……元素的错位排列问题。二.典例分析【题型一】“分配” 、“分组”问题例 1.将 6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲 3 本,学生乙 2本,学生丙 1本;

11.2第二节排列与组合

1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有() A．36种B．18种 C．24种D．12种 2．(2020届吉林延边二中高三开学考试)某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场，乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有() A．24种B．144种 C．48种D．96种 3．(2020届上海宝山区一模)2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有________场球赛．4．(2020届浙江嘉兴一中、湖州中学期中)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个无重复数字的三位数，也可以组成________个能被5整除且无重复数字的五位数．5．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有______(用数字作答)． 6．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答)． 7．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是________．8．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是________(结果用最简分数表示)．9．2019北京世园会期间，安排5名志愿者到3个展区提供服务，每个展区至少一名志愿者，不同的安排方案共有______种． 10．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且为偶数的四位数，有______个． 11．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人． (1)有________种不同的保送方法； (2)若甲不能被保送到北大，有________种不同的保送方法． 12．某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为() A．144 B．132 C．96 D．48

高二数学排列组合的知识点归纳

高二数学排列组合的知识点归纳高二数学排列组合的知识点归纳排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列把5本书分给3个人，有几种分法组合 1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号p(n，m)表示. p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n，m)表示. c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);

从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n- r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1，m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例： Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数? A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于排列P计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997 之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择第二步配一个素菜有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有N=3×5×2=30（种）例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算。解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二类从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9（种）（2）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步从下层取一本书有4种选择共有N=5×4=20（种）例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析： 1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 略解：N=5×5×5=125（个）【例题解析】 1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？

组合的综合应用

组合的综合应用探究点1 有限制条件的组合问题课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选． (2)至多有两名女生当选． (3)既要有队长，又要有女生当选．【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种． (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种． (3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C412种；第二类：女队长不当选，有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种．故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种． [变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？解：分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法．所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种．有限制条件的组合问题分类有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( ) A．60种B．63种

高中数学排列组合知识点

高中数学排列组合知识点公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

排列组合复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A

排列与组合综合用题

排列与组合的综合应用题（2）授课教师：黄冈中学高级教师汤彩仙一、知识概述例1、有13名医生，其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式： ①②；③；④；其中能成为P 的算式有________．（填序号）答案：②③ 例2、袋中有3个不同的红球，4个不同的黄球，每次从中取出一球，直到把3个红球都取出为止，共有多少种不同的取法？解：＋＋＋＋=4110（种）．例3、某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？（1）5辆车停放的位置连在一起；（2）有且仅有两车连在一起；（3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起. 解：（1）（种）．

（2）（种）．（3）要求任何3辆车不能连在一起，可以分成①5辆车均不相邻，②有且仅有两辆车相邻，③有2组2辆车相邻，三种情况．有．例4、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内：（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）．（2）．（3）（种）．法二：恰有两个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种；恰有三个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种；恰有五个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为1种；故至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投法数为

例5、某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男女同学分别有多少人？解：设有男生x人，女生8－x人，（x∈N＋，且2≤x≤7）．则有，即x（x－1）（8－x）=60． ∴x＝6或x＝5． ∴男生6人，女生2人或男生5人，女生3人．例6、一栋7层的楼房备有电梯，现有A，B，C，D，E五人从一楼进电梯上楼，求：（1）有且仅有一人要上7楼，且A不在2楼下电梯的所有可能情况种数．（2）在（1）的条件下，一层只能下1个人，共有多少种情况？解：（1）分A上不上7楼两类A上7楼，有54种；A不上7楼，有4×4×53种．共有54＋4×4×53=2625种．（2）（种）．例7、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有__________种．（以数字作答）解：（种）．

第二节 排列与组合(知识梳理)