第7讲函数图象
【2013年高考会这样考】
1.考查函数图象的识辨.
2.考查函数图象的变换.
3.利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数.
【复习指导】
函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻.
基础梳理
1.函数图象的变换
(1)平移变换
①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.
②竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到.
(2)对称变换
①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
由对称变换可利用y=f(x)的图象得到y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象.
①作出y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图象;
②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=f(|x|)的图象.
(3)伸缩变换
①y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1时)或缩(a<1
时)到原来的a 倍,横坐标不变.
②y =f (ax )(a >0)的图象,可将y =f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >
1时)到原来的1a 倍,纵坐标不变.
(4)翻折变换
①作为y =f (x )的图象,将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y =|f (x )|的图象;
②作为y =f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分,并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象,即得y =f (|x |)的图象.
2.等价变换
例如:作出函数y =1-x 2的图象,可对解析式等价变形
y =1-x 2???? y ≥01-x 2≥0
y 2=1-x 2????
y ≥0y 2=1-x 2?x 2+y 2=1(y ≥0),可看出函数的图象为半圆.此过程可归纳为:(1)写出函数解析式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图.
3.描点法作图
方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.
一条主线
数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点.作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可本末倒置.
两个区别
(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称.
(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系.
三种途径