信与系统课后习题答案汇总
信与系统课后习题答案汇
总
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第一章习题参考解答
绘出下列函数波形草图。
(1) |
|3)(t e t x -=
(2) ()?
???<≥=0
2
021)(n n n x n
n
(3) )(2sin )(t t t x επ=
(5) )]4()([4cos )(--=-t t t e t x t εεπ (7) t t t t x 2
cos )]2()([)(π
δδ--=
(8) )]1()3([)(--+=n n n n x δδ
(9) )2()1(2)()(-+--=t t t t x εεε (10) )5(5)]5()([)(-+--=n n n n n x εεε (11) )]1()1([)(--+=
t t dt
d
t x εε (12) )()5()(n n n x --+-=εε (13) ?∞
--=t
d t x ττδ)1()(
(14) )()(n n n x --=ε
确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。 (1) ||3)(t e t x -=
解 能量有限信号。信号能量为：
(2) ()?????<≥=0
2
021)(n n n x n
n
解 能量有限信号。信号能量为： (3) t t x π2sin )(=
解 功率有限信号。周期信号在(∞-∞,)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，t π2sin 的周期为1。 (4) n n x 4sin
)(π
=
解 功率有限信号。n 4
sin π
是周期序列，周期为8。
(5) )(2sin )(t t t x επ=
解 功率有限信号。由题(3)知，在),(∞-∞区间上t π2sin 的功率为1/2，因此)(2sin t t επ在
),(∞-∞区间上的功率为1/4。如果考察)(2sin t t επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。
(6) )(4
sin
)(n n n x επ
=
解 功率有限信号。由题(4)知，在),(∞-∞区间上n 4
sin
π
的功率为1/2，因此)(4
sin
n n επ
在
),(∞-∞区间上的功率为1/4。如果考察)(4
sin
n n επ
在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。
(7) t e t x -=3)(
解 非功率、非能量信号。考虑其功率： 上式分子分母对T 求导后取极限得∞→P 。 (8) )(3)(t e t x t ε-=
解 能量信号。信号能量为：
已知)(t x 的波形如题图所示，试画出下列函数的波形。
(1) )2(-t x
(2) )2(+t x
(3)
)2(t x
(4
1
-1 0 1
1
-1/2 0 1
1
-2 -1 0 1 2
(5) )(t x - (6) )2(+-t x
(7)
)2(--t x
(8)
(9)
)22
1
(-t x
(10) )221
(--t x
(11) )22
1()(-+t x t x
(12) )2
1()2(t x t x ?
(1
(14)
?∞-t d x ττ)(=????????
?-<≥<≤+<≤-++=1
2232
021
012
1
221t t t t t t t
已知)(1t x 及)(2t x 的波形如题图所示，试分别画出下列函数的波形，并注意它们的区别。
1
-2 -1 0
1
0 1 2 1
1
0 1 3/2
1
1
0 1 2 3 4 5 6 1
-1 0 1 2 3 4 5 6
1 -1/
2 0 1
1
-1 0 3/2
1/2
(1) )2(1t x
(2) )2
1(1t x
(3) )2(2t x
(4) )2
(2t x
已知)(n x 的波形如题
图所示，试画出下
列序列的波形。
(1))
4(+n x
(3) )3(--n x
(4) )3(+-n x
(5)
)3(--n x +)3
(+-n x
(6
(7) )1()(
)(--=?n x n x n x
(8)
∑-∞
=n
m m x )(
任何信
号可以分解为奇分量和偶
2
2
1
2
1
2
1 2
1
1 1
8
分量的和：
)()()(t x t x t x o e += 或 )()()(n x n x n x o e +=
其中e x 为偶分量；o x 为奇分量。偶分量和奇分量可以由下式确定：
)]()([21)(t x t x t x e -+=
， )]()([2
1
)(t x t x t x o --= )]()([21)(n x n x n x e -+=
， )]()([2
1
)(n x n x n x o --= (1) 试证明)()(t x t x e e -=或)()(n x n x e e -=；)()(t x t x o o --=或)()(n x n x o o --=。 (2) 试确定题图(a)和(b)所示信号的偶分量和奇分量，并绘出其波形草图。
(1) 证明 根据偶分量和奇分量的定
义：
离散序列的证
明类似。
(2) 根据定义可绘出下图
n n x 2)(=，试求)
(),(),(),(22n x n x n x n x ????。
11222
122)1()()(--=?=
-=--=?n n
n n n x n x n x
判断下列信号是否为周期信号，若是周期的，试求其最小周期。 (1) )6
4cos()(π+=t t x
解 周期信号，2
1π
=
T
(2) )()2sin()(t t t x επ= 解 非周期信号。 (3) )2cos()(t e t x t π-= 解 非周期信号。 (4) )3(4)(-=t j e
t x π
解 周期信号，81=T 。 (5) )cos()5sin()(t b t a t x π+=
解 若,0,0≠=b a 则)(t x 为周期信号，21=b T ；
若,0,0=≠b a 则)(t x 为周期信号，π5
2
1=a T ； 若,0,0≠≠b a 则)(t x 为非周期信号。 (6) )38
cos()(+=n n x π
解 周期信号，161=N 。 (7) )9
7
cos()(n n x π=
解 周期信号，181=N 。 (8) )16()(n con n x =
解: 非周期信号。 (9) n j e
n x 15
2)(π=
解: 周期信号，151=N 。
(10) )3
4
sin(2)3
sin()6
cos(3)(ππππ+-+=n n n n x
解: 周期信号，最小公共周期为241=N 。 计算下列各式的值。 (1) ?∞
∞--dt t t t x )()(0δ
解: 原式dt t t x )()(0δ?∞
∞
--==).(0t x -
(2) ?∞
--t
d t x ττδτ)()(0
解: 原式ττδd t x t
)()(0?∞
--=)()(0t t x ε?-=
(3) ?∞
∞
--dt t t t x )()(0δ
解: 原式dt t t x )()(0δ?∞
∞
-=)(0t x =
(4) ?∞
∞
--dt t t t x )(')(0δ
解: 原式)(')(00
0't x t t x t --=--==
(5) ?∞
∞--
-dt t t t t )2
()(0
0εδ 解: 原式dt t t t t )()2(000-?-
=?∞
∞-δε)2
(0t ε= (6) ?∞
---t
d t t ττετδ)2()(00
解: 原式=?∞
---t d t t t τετδ)2()(000=?∞
---t
d t t ττδε)()(00)()(00t t t --=εε=??
?<->0
)(0
000t t t t ε
(7) ?∞
∞
-dt t )(δ
解: 原式1= (8) ?-
∞-0)(dt t δ 解: 原式0= (9) ?∞
+0)(dt t δ
解 原式0= (10) ?+
-00)(dt t δ 解 原式1=
(11) ?∞
∞--+-dt t t t )12)(33(2δ
解 令t v 3=得：
原式dv v v v 31]132)3)[(3(2-+-=?∞
∞-δ32]132)3[(31=-+=x v v 3
2=
(12) ?∞
∞
-+dt t x t )()1('δ
解: 原式)1()('1'--=-=-=x t x t (13) ?∞
∞--dt e t t )('δ
解: 原式1][0'=-==-t t e (14) ?
--31
3
1)()32(dt t x t δ
解: 令t v 2=得：
原式dv v x v 21)2()3(32
3
2
?
-=?
-
δ＝dv v x v 21)2()3(32
3
2
?
-=?
-
δ
因为0)3(32
3
2=-?
-dv v δ，所以: 原式＝0
设)(t x 或)(n x 为系统的输入信号，)(t y 或)(n y 为系统的输出信号，试判定下列各函数所描述的系统是否是：(a) 线性的 (b) 时不变的 (c) 因果的 (d) 稳定的 (e) 无记忆的
(1) )4()(+=t x t y 解 )(a 线性的.
若 );4()()(111+=→t x t y t x )4()()(222+=→t x t y t x
则: )()()4()4()()()(212121t by t ay t bx t ax t y t bx t ax +=+++=→+
)(b 时不变的.
若 )4()()(+=→t x t y t x 则: )4()(ττ-+→-t x t x
)(c 非因果的.
0t 时刻的响应取决于0t 以后时刻(即40+t 时刻)的输入.
)(d 稳定的.
若
|M t x ≤|)(<∞ 则:∞<≤M t y |)(|
)(e 有记忆的
若系统的输出仅仅取决当前时刻的输入，则称此系统为无记忆系统。题给系统显然不
满足此条件。
(2) )()()(τ-+=t x t x t y (0>τ，且为常数)
解 )(a 线性的.
若 )()()()(1111τ-+=→t x t x t y t x ，)()()()(2222τ-+=→t x t x t y t x
则: )]()([)]()([)()()(221121ττ-++-+=→+t x t x b t x t x a t y t bx t ax =)()(21t by t ay +
)(b 时不变的.
若 )()()()(τ-+=→t x t x t y t x
则: )()()()(0000t t y t t x t t x t t x -=--+-→-τ
)(c 当0>τ时为因果的.
当0>τ时:系统0t 时刻的输出仅与0t 及0t 以前时刻的输入有关. 当0<τ时:系统0t 时刻的输出与0t 以后时刻的输入有关.
)(d 稳定的.
若|)(|t x ∞<， 则∞
<|)(|t y
)(e 有记忆的.
系统0t 时刻的输出与0t 时刻以前的输入有关.
(3) )2/()(t x t y =
解:)(a 线性的. (说明略)
)(b 时变的
若)2
()()(t x t y t x =→ 则: )2
(
)2
()(τ
ττ-≠-→-t x t
x t x )(c 非因果的.
)21()1(-=-x y . 即1-=t 时刻的输出与1-=t 时刻以后)2
1
(-=t 的输入有关.
)(d 稳定的. (说明略) )(e 有记忆的.
)21()1(x y =. 即1=t 时刻的输入与1=t 时刻以前)2
1
(=t 的输入有关.
(4) )()(2t x t y = 解:)(a 非线性的.
若 )()()(2111t x t y t x =→， )()()(2
2
22t x t y t x =→ 则: )()()()()]()([)()(212
2
2122121t by t ay t bx t ax t bx t ax t bx t ax +=+≠+→+ )(b 时不变的.
若)()()(2t x t y t x =→ 则: )()()(2τττ-=-→-t y t x t x
)(c 因果的. (说明略) )(d 稳定的. (说明略) )(e 无记忆的.
t 时刻的输出仅取决于0t 时刻的输入.
(5) )(2)(t x e t y =
解:)(a 非线性的. (说明略)
)(b 时不变的. (说明略)
)(c 因果的. (说明略)
(d)稳定的.
若 |)(t x |∞<≤M , 则∞<≤M e t y 2|)(|
(e)无记忆的. (说明略) (6) t t x t y π2sin )()(= 解: (a)线性的.
若 )(]2[sin )()(111t x t t y t x π=→，)(]2[sin )()(222t x t t y t x π=→ 则: )()()]()([2sin )()(212121t by t ay t bx t ax t t bx t ax +=+→+π (b)时变的.
若 )()(t y t x →
则: )()](2[sin )()()2(sin )(ττπττπτ--=-≠-→-t x t t y t x t t x (c)因果的. (说明略) (d)稳定的.
若∞<≤M t x |)(|， 则∞<≤≤M t M t y |2sin ||)(| (e)无记忆的. (说明略) (7) ??
?>=0
)()()(t x t x t y
解: (a)非线性的.