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山财自考37线性代数考核作业(已填好答案)

线性代数（经管类)综合试题一

（课程代码 4１84)

一、单项选择题（本大题共10小题,每小题2分，共2０分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将

其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设D==M≠0,则D1＝=

( B ).

A．-2M B.2MＣ.-6Ｍ D.６M

2.设A、B、C为同阶方阵,若由AＢ= AC必能推出B＝C,

则A应满足

( D)．

A. A≠ O B．A=Ｏ C.|A|= 0 D．|A|≠0

3．设A，B均为n阶方阵，则（A)．

A.|A+AB|=０,则|Ａ|＝0或|Ｅ+Ｂ｜=０

B.(A+B)2=Ａ2+２

AB+B2

C.当ＡB=O时,有A=O或B=Ｏ D．（AＢ）-1=B－1A-1

4．二阶矩阵Ａ,|Ａ|＝1,则Ａ-1= ( B).

A.Ｂ. C.

，则下列说法正确的是( B).

Ａ.若两向量组等价,则ｓ＝t .

Ｂ.若两向量组等价，则ｒ()＝ｒ()

C.若s = t，则两向量组等价.

D．若ｒ()=ｒ(),则两向量组等价.

6.向量组线性相关的充分必要条件是

（C )．

A.中至少有一个零向量

B.中至少有两个向量对应分量成比例

Ｃ.中至少有一个向量可由其余向量线性表示

Ｄ.可由线性表示

７.设向量组有两个极大无关组与

,则下列成立的是( Ｃ).

Ａ. r与s未必相等 B. r + s ＝ｍ

Ｃ. r = s D. r + s > m

８.对方程组Ａx ＝b与其导出组Ax＝o,下列命题正确的是( Ｄ).

A. Ax =o有解时,Ax = b必有解.

Ｂ．Ax＝o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.

C．Ax = b无解时，Ax= o也无解.

D．Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.

9．设方程组有非零解，则ｋ=( D)．

A. ２B．3 C. -1 D. 1

１0．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D).

A.|A｜>０Ｂ.存在n阶方阵C使A=C T C

C.负惯性指标为零 D．各阶顺序主子式均为正数

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.四阶行列式D中第３列元素依次为-1，2,0,1，它们的余子式的值依次为５,3,-7，4，则D= -1５．

１２.若方阵A满足A2= A,且A≠Ｅ，则|A|= 0 .

13.若A为3阶方阵,且,则|2A｜= 4．

14.设矩阵的秩为２,则t= -３ .

１５.设向量＝(6，８，0），=(4，–3，5),则（，)= 0 .

1６.设n元齐次线性方程组A x= o,r（A)= r＜n,则基础解系含有解向量的个数为ｎ-r个.

17.设＝(1，１,0),＝(0，1，1），＝(0,0，１)是Ｒ3的

基,则

＝（1，2,3)在此基下的坐标为 (1,1，２）

１8.设A 为三阶方阵，其特征值为1,-１，2，则A 2的特征值为１,1,4 .

１9.二次型

的矩阵A =

???

? ??---11013

2022

２０.若矩阵A 与Ｂ=相似,则A 的特征值为 1，2,3

三、计算题（本大题共6小题,每小题9分,共５４分)

２1.求行列式

的值

解：

y x x

-+-+1111

111111111111=

y x x x

--+--+0

01111001111

=xy

110000110011y

x ++=xy

0000000

1000

y x ＝ｘ2y 2

２2.解矩阵方程:

解:令A=????? ??--111112111，B ＝???

? ??632

因为(ＡE ）＝????? ??--100111010112001111→???

??---101200012130001111→

??????

210

211006131210103131

0001，所以A 1-=???????

? ??--

210

161312

131310 由A Ｘ=B ，得X= A 1-B=??????

??--210

21613121

3131

0????? ??632=????? ??231

23.求向量组＝( 1, １, ２, 3 ),

＝(-１,-１, 1, 1 ），=(1,

3, 3, 5 ）,

=（4,-2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组,并将其余

向量用该极大无关组线性表示.

解：将已知向量按列构成矩阵,并对其进行行变换:

（r r r r 4321αααα）＝??????? ??----6200311062004111→????

???

??----6240313

0620

041

1 →??????? ??----6200311062004111→???????

??---000

0310

0311041

11→?

???

? ??-000031000010

所以，r(r r r r 4321αααα)=3,极大无关组为1α,2α,3α；4α＝71α-33α

2４.ａ取何值时，方程组有解?并求其通

解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．

解:对方程组的增广矩阵施以初等变换：

A =????? ??---a 114712412111112→????? ??------273503735024121a →????

? ??-----500003735024121a

若方程有解,则ｒ(A )＝ｒ（A)，故a ＝5 当a=5时,继续施以初等行变换得:

A →????

???

?-00

000535753

105456510

1,原方程组的同解方程组为：

????

?-+=--=4

324315

75353565154x x x x x x ,x 3,x 4为自由未知量,令x 3=ｘ4=0得原方程组的一个特解:?

????

??005354与导出组同解的方程组为： ?????-=--=4

3243157535651x x x x x x

ｘ3，x 4为自由未知量，令???

??43x x

分别取???? ??01,???? ??10，得到导出组的基础解系:?

???

??-015351，????????? ??--105756，所以，方程组的全部解为v ＝????????? ??005354+ｃ1????????

??-015351+ｃ2????

??--105756,其中ｃ1，

c 2为任意常数。

2５.已知,求A 的特征值及特征向量，并判断

Ａ能否对角化,若能，求可逆矩阵P ,使P –1AP ＝Λ(对角形矩阵）．

解:矩阵A 的特征多项式为：

A E -λ=1

002

-----λλλ=)1()2(2--λλ

所以,A 的特征值为:1,2321===λλλ

对于：221==λλ，求齐次线性方程组O x A E =-)2(的基础解系，

????? ??-→????? ??--=-0000001011011010002A E ,得基础解系：,101,010???

?? ??????? ??从而矩阵A

的对应于特征值22

1==λλ的全部特征向量为:????

??+????? ??10101021c c 21,c c 不全为零。

对于13=λ，求齐次线性性方程组(E-Ａ)ｘ=O 的基础解

系,????? ??-→????? ??----=-000110001001111001A E ,得基础解系:???

??110,从而矩阵A

的对应于特征值13=λ的全部特征向量为：()0110≠???

??c c

因为三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量????? ??010，????? ??101，???

?? ??110，所

以,Ａ相似于对角矩阵,且????

??=Λ????? ??=100020002,110101010P

２6.用配方法将下列二次型化为标准形

解：3231212322213214442),,(x x x x x x x x x x x x f --+-+= =[]3223222322323212142)(4)(4)(4x x x x x x x x x x x x --+---+-+ ＝2332222321542)22(x x x x x x x -+--+ =2323322223213)2(2)22(x x x x x x x x -+---+ =2323223213)(2)22(x x x x x x ----+

令?????=-=-+=33322321122x y x x y x x x y ，即??

???=+=-=333222112y x y y x y y x 得二次型的标准型为：23222132y y y --.

四、证明题（本大题共6分) 27.设向量

，证明向量组

是R ３空间中的一个基.

证：因为021

000200

11111011011≠==-，所以321,,ααα线性无关，

所以向量组321,,ααα是3R 空间的一个基。

线性代数(经管类)综合试题二

(课程代码４184)

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题２分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．若三阶行列式=0,则ｋ= ( Ｃ ).

Ａ．1Ｂ.0 Ｃ.-1D.-2

2.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是（ D).

A.A可逆Ｂ．Ｂ可逆 C.|A｜=｜B｜D．AB=ＢＡ

3.设A是ｎ阶可逆矩阵,Ａ*是A的伴随矩阵, 则（ A）.

A．B．

C. D.

4．矩阵的秩为２,则λ =（ B).

A．2B.1C.0D.

５.设3×4矩阵A的秩r(Ａ)＝1，是齐次线性方程组Ａx=o 的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为(D）.

A． B.

C.Ｄ．

6.向量线性相关,则( Ｃ).

A.ｋ=-４B．k = 4 Ｃ.ｋ=-3 D．k= 3

7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ａｘ=b的两个解, 若是其导出组Ax=ｏ的解, 则有(Ｂ）．

A．c1+c２=１B．c1＝c2C．c1+ c2=０Ｄ．c1＝２c2

8.设A为ｎ(ｎ≥2)阶方阵，且A2=E，则必有（B ).

Ａ．Ａ的行列式等于1 B．A的秩等于ｎ

C.A的逆矩阵等于E

D.Ａ的特征值均为１

9.设三阶矩阵A 的特征值为2, 1, １, 则A -1的特征值为 ( D ).

A ．1, 2 Ｂ.２, １, １Ｃ．, 1 D ．, 1, 1 １0.

二

次

型

是

( A ).

A ．正定的

B .半正定的

C .负定的Ｄ.不定的二、填空题(本大题共10小题，每小题２分,共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1１．=___＿___５_＿．

12.设A 为三阶方阵,且|A ｜=４,则｜2A |=＿__＿_32_＿_.

13.设A =, B ＝，则A T Ｂ

=___???

? ??--1040011

011___＿___． 14.设A ＝,则A －1＝＿＿＿_????

??--25

12＿___＿_． 15.向量

表示为向量组

的线性组合式为

_32152e e e ++-_＿＿______.

16.如果方程组有非零解, 则k ＝__＿

-1_______. 17.设向量与

正交，则ａ＝＿__＿

2______．

18.已知实对称矩阵A =,写出矩阵A 对应的二次型

_3121232221321332),,(x x x x x x x x x x f -+-+=______＿＿_．

19.已知矩阵Ａ与对角矩阵Λ=相似,则A ２=___E__＿

＿_.

２0.设实二次型

的矩阵A 是满秩矩阵,且二次型的

正惯性指数为3，则其规范形为_＿24232221y y y y -++_＿______．三、计算题（本大题共6小题,每小题9分,共54分）

21．计算行列式的值.

解:原式=

x y y y x

y x y y x y y x y x

y y y y x 3333++++=x

y y y x y y y x y y

y y x 1111)3(+ =y

x y

x y x y

y x ---+0

0000

)

3( =3))(3(y x y x -+

2２．设矩阵Ａ=,B =，求矩阵A －１Ｂ .

解:（ＡB)=??

??--123222012111011????

? ??-→1341003111011011 ?????

??---→134100103010111011 ????

??----→

13410010301092001 ????

??----=∴-134103921

B A

23.设矩阵,求k 的值，使Ａ的秩r （A )分别等于

1,２，3.

解：对矩阵Ａ施行初等变换:

当k ＝1时,???

??-=000000321A ,矩阵Ａ的秩r （A ）=1；

当k=-2时,???

?? ??----=000330621A ，矩阵Ａ的秩r(Ａ）=2；

当k 2k 且1-≠≠时，???

??-=100110321k A ，矩阵A 的秩r （A)=3.

２4.求向量组的秩和一

个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．

解:将所给列向量构成矩阵A ，然后实施初等行变换：

????

? ??-+---→????? ??-----→??

??-----→????? ??----=)1)(2(00110321336003322032133220332203213232132122k k k k k k k k k k k k k k k k k k A

???

??-→???????

??→???

???

??→??????? ??→???????

??=000

02100201

020010000

210022102111210

04200221

02111181230862022102111201341107314321

1)(4321αααα

所以,向量组的秩3),,,(4321=ααααr ,向量组的一个极大无关组为： ,,,321ααα且有3214222αααα+-=.

25．求线性方程组的基础解系，并用基础

解系表示其通解．

解：对方程组的系数矩阵(或增广矩阵）作初等行变换:

????

? ??--→??

??? ??--→????? ??----→????? ??---=000043105401000043103221431043103221753121323221A

与原方程组同解的方程组为:???-=+-=4

324314354x x x x x x ,其中x 3，ｘ4为自

由未知量。

令???? ??43x x 分别取???? ??01 ，???? ??10 得基础解系：?

????

? ??-=??????? ??-=1045,013421v v 方程组的通解为：.10

450134212

211??????

??-+??????? ??-=+c c v c v c (c 1，ｃ2为任意常数）

2６．已知矩阵,求正交矩阵P 和对角矩阵Λ，使P -1

ＡP =Λ．

解:矩阵A 的特征多项式为：

()31

111

2-=---------=

-λλλλλλA E

得矩阵A 的所有特征值为：3,0321===λλλ 对于 021==λλ,求方程组O x A E =-)0(的基础解系。

??? ??→????? ??---------000000111111111111 ，得基础解系

为:???

? ??-=????? ??-=101,01121αα ，

将此线性无关的特征向量正交化，得:

对于33=λ解方程组O x A E =-)3(

????? ??--→????? ??------000110101211121112 ，方程组的基础解系为????

? ??=1113α ,将其单位化,得?????

???

? ??

=3131313

γ ，

令()

????

??=Λ??

???

? ?

?---==300000000,316

316121316121,,321γγγP 则Ｐ是正交矩阵,且P 1-ＡP=Λ 四、证明题（本大题共６分)

２7.设向量组线性无关，证明:向量组

也线性无关．

证:令

)()()(21321321211=++++++++++s s k k k k ααααααααα 整理得：

()0)(232121

=+++++++++s s s s k k k k k k k

ααα

因为s ααα ,,21线性无关，所以

????????

?==+=+++=++++--0000132121s s s s s s k k k k k k k k k k 解得： ?????

??====-0

000121s s k k k k 故s ααααααααα++++++ 21321211,,线性无关。

线性代数（经管类)综合试题三

（课程代码 4184）

一、单项选择题(本大题共１０小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

１.当( D )成立时，

阶行列式的值为零.

Ａ.行列式主对角线上的元素全为零

B.行列式中有个元素等于零

C.行列式至少有一个阶子式为零

D.行列式所有阶子式全为零

2.已知均为ｎ阶矩阵，Ｅ为单位矩阵，且满足AＢC＝E，则下列结论必然成立的是( Ｂ).

Ａ.AＣB=Ｅ B.ＢCＡ=EＣ.CBA＝EＤ. BAC＝E

3．设A,B均为ｎ阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(Ｄ）.

Ａ. (AB)－１＝A-1B－1Ｂ.（A＋B)-1=A－１＋B-1

C.(AB)T=AＴＢＴ

４.下列矩阵不是初等矩阵的是( B)．

A. B． C. D.

5.设是4维向量组，则

( D ).

A.线性无关

B.至少有两个向量成比例