固体物理(严守胜编著)-课后答案--第1章名师制作优质教学资料
1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明
（1）电子气体的压强()()V p 032ξ?=，其中0ξ为电子气体的基态能量。
（2）体弹性模量()V p V K ??-=为
V 9100ξ
解：（1）
()
3
2
352
225
223101101-
==V N m h V m k h F πππξ
（1.1.1）
()
()
()
()()
V V N
m h V N m
h V N m h V V p 035
35222353
522
23235222323101323231013101ξππππππξ?==???
? ??--=???
? ????=??-=---
（1.1.2） （2）
()()
()
()
V
V N m h V N m
h V V N m h V
V
V p V K 91031019103531013231013203
8
35222
383
522
2
353522
2ξππππππ==???
? ??--=???
?
????-=??-=---
（1.1.3）
1.2 He 3
原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3
的密度为0.081g ?cm -3。
计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3
原子的质量为g m 24105-?≈。
解：把 He 3
原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.
3
2832224
1062.11062.1105081
.01m cm m Z n m ?=?=??==
--ρ
（1.2.1） (
)
19173
1
2
108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π
（1.2.2）
()
eV
J m k F F 42327
2
9
3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????=
= ε （1.2.3）
K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε
（1.2.4）
1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为1
108.2--?=K mol TmJ C e
，在自由电子
气体模型下估算钾的费米温度F T 及费米面上的态密度()F g ε。
解：()F B A F B A V A e T T k N n T T
nk N n C N C 2222ππ=???? ??==
（1.3.1）
K T
T C T k N T e B A
F 33
232
232
1073.191008.210381.1210022.62?=?????==--ππ
（1.3.2）
()3
1463
233281071.71073.1910381.1104.1232323----?=????===m J m T k n n g F B F F εε
（1.3.3）
1.4铜的密度为395.8cm g m =ρ。室温下的电阻率为
cm ?Ω?=-6
1055.1ρ。计算 （1）导电电子浓度；
（2）驰豫时间；
（3）费米能量F ε，费米速度F v ； （4）费米面上电子的平均自由程F l 。 （5）等离子体的振荡频率ωp. 解： （1）322231048.8546.6395
.8110022.6-?=???==cm A Z N n m A
ρ
（1.4.1）
（2）
()()()
s ne m ne m 14
262196223122107.210
1055.110602.1101048.810110.9-----?=??????===ρστ（1.4.2）
（3）(
)(
)
110183
1222
3
1
2
1036.11036.11048.833--?=?=??==m cm n k F ππ
（1.4.3）
()
eV
J m k F F 05.71013.11011.921036.110055.121831
2
10
3422=?=?????=
=--- ε
（1.4.4）
()
s m m k v F F 6
31
10341057.11011.91036.110055.1?=????==--
（1.4.5）
（4）
m v l F 8
1461025.4107.21057.1--?=???==τ （1.4.6） （5）等离子体的振荡频率
Hz
m ne e
p 1602
1064.1?==εω.
1.5考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移。证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这一小振动问题的特征频率。
解：（仅供参考）
(
)
2
1
02
201cos 2θk k k k k ?+?+=
（1.5.1）
E k ? 0
k
1k
偶极矩强度为：
()
()
()()()
()(
)
θ
θθθθπθ
θθπθ
θθπθ
θθπθθ?θπ
π
π
π
π
π
d cos sin cos 2cos 2d cos sin d cos sin d cos sin d 4cos 2d d d sin 20
02022
020
20
2
02
1
2
2120
4
04
120
320
20
21
010???????
?
?+??+?++-=-+-=--=-=-=k k k k k k k k
ne k k
k k ne k k ne k k ne k k k ne P k k k k
（1.5.2）
取近似，忽略k ?的2阶以上无穷小量
k
nek k
nek k nek k k k ne P ?-=?=?=??-=??3020
3
3
020
3
020
02
03
43
cos 4d cos sin cos 4d cos sin cos 22πθ
πθ
θθθπθθθθππ
π
π
（1.5.3） 电极化强度为
k ne V k nek V P
?-=?-==3034p π
（1.5.4）
位移电子受到的电场为
00
εεk
ne p
E ?=
-=
（1.5.5）
在此电场下，电子受力指向平衡位置，大小正比于位移。所以，电子在平衡位置作微小振动。
特征频率为
m
ne p 02
εω=
（1.5.6）
1.6在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al 是透明的？ 解：金属的等离子体的振荡频率为 当
p
ωωωτ>>>,1时，金属是透明的。
2ne m στ=
（1.6.1）
16
21
210101.51
≈?==>>σστωm ne
（1.6.2）
()
16
31
122
19
2802104.210
11.910854.810602.1101.18?=??????==>---m ne p εωω
（1.6.3）
nm m c 5.781085.72104.21032816
8
=?=??<=-ππωλ
（1.6.4）
波长小于78.5nm 时，金属Al 是透明的。
1.7对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，即横向磁阻为零。
解：
()
0d d =+?+-=τp B v E e t p
时
（1.7.1）
J
B J m e E +?=τσ0
（1.7.2） 分量式
()()()??
?
??
?
???+-=+-=+-=z x y y x z y z x x z y
x y z z y x J B J B J m e E J B J B J m e E J B J B J m e E τστστσ000
（1.7.3） []J E ρ=
（1.7.4）