高中辅导
一类函数的零点和不动点问题
信息与计算科学 2003级李胜飞
指导教师：丁体明教授
摘要：研究了一类连续函数的零点问题，利用闭区间上连续函数的的介质定理，证明了这类连续函数的几个新的零点的存在性和唯一性定理，并进一步用多种方法证明了一类连续函数的几个不动点的存在性和唯一性定理。
关键词：函数的零点，不动点，Cauchy 基本序列。
Zero and Fixed Point of a Class Function Problems
li Sheng-fei Information and Computing Science, Grade 2003
Directed by Ding Timing (Professor)
Abstract：Has studied a kind of continuous function zero question, On use closed interval continuous function intermediate value theorem, Has proven this kind of continuous function new zero existence and the uniqueness theorem, And further used some methods to prove kind of continuous function fixed point existence and the uniqueness theorem.
Key word：Zero of function，Fixed point，Cauchy fundamental sequence.
1.研究背景与预备知识
自然界中的许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续变化的，这些现象在数学上的反映，就是函数连续的概念。函数的连续性就是函数概念和极限概念相结合的产物。它是高等数学中基本概念之一。连续函数是一类最重要的函数，这类函数在一般函数的研究中起到奠基的作用，在实际应用中也最为常见。函数零点的研究是函数研究的一个重要方面，许多代数方程的求根问题，就是归结为函数的零点问题。本文一方面研究了一类连续函数的零点问题，利用闭区间上连续函数的零点定理，证明了这类连续函数的两个新的零点的存在性和唯一性定理。另一方面，作为零点问题的特例，同时还用泛函分析的知识，从不同角度研究了函数的不动点问题，证明了这类连续函数的几个新的不动点的存在性和唯一性定理。
众所周知，现代数学的基础，数学界公认为包括拓扑学、泛函分析和抽象代数三大部分,它们是高等代数学中几何、分析和代数三大分支的新发展.本文研究的连续函数的零点和不动点的存在性和唯一性就是包含于其中的一个简单定理。
不动点理论产生于拓扑变换理论中,且在分析学中有重要应用的一门抽象数学理论.它是20世纪一个格外引人注目的数学分支,当时人们开始把微分方程的解看作是巴拿赫空间到自身映射的不动点,得出了基本的理论结果.在这一时期, 不动点定理作为数学科学中的主流课题,许多重要的数学成果都是借助于它而获得.在1957年,Altman M A发表了著名的Altman定理，参考文献[1],建立了关于全连续算子的不动点定理,以后的许多学者相继将这一定理做了进一步的推广,将一些条件进一步的放宽也都得到了相应的不动点定理.从而不动点理论得到了进一步发展,开始走向理论的多元化,运用在各个方面.
不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域,它的历史悠久,却又是近现代一个发展较快的理论定理.其一直是研究泛函微分系统和经济领域中的均衡问题的一个重要工具,对泛函系统的解的存在性和唯一性以及均衡的存在性的研究具有重要的理论价值.而在非线性分析中不动点理论也一直是其中的一个重要方法,在解决这类问题时,常常将微分方程转化为等价的积分方程,然后用不动点理论来解决,这样可以既简单又方便的加快解题的效率,为我们的研究者节约大量的时间和精力.另一个不动点理论运用的方面,那就是泛函微分系统的周期解,这个问题解决的方法还有重合度理论,傅立叶级数等等,其中不动点理论是解决这类中立型泛函微分方程的解的存在性或唯一性的重要定理.
在数学领域内,不动点定理在泛函微分系统中广泛深入的应用,成为其研究相关问题的一个重要工具.近现代利用不动点理论建立起来的有关三个不动点理论是数学家Leggett-Williams引如的Leggett-Williams的不动点理论,参考文献[2]和R.I.Avery分别建立的不动点理论，参考文献[5]，中以2001年R.I.Avery和A.C.Peterson利用新的R.I.Avery不动点理论,研究了离散的二阶非线性差分方程的边值问题以及2004年Zhangbing Bai , Yifu Wang和Weigao Ge,运用新的R.I.Avery不动点定理研究了二阶非线性常微分方程的边值问题最具有代表性.
在经济学领域中, 不动点定理对经济领域中的均衡问题的研究也做出了巨大的贡献.在20世纪50年代,著名的经济学家阿罗和德布鲁利用复杂的数学工具角谷不动点定理证明了均衡的存在性问题.在这以前,1911年布劳威尔不定点定理首次提出，20世纪三四十
年代瓦尔德和冯*诺伊曼和角谷(Kakutani)也对它做出了详细的证明. 不动点定理在不同市场均衡存在性的证明中有广泛的应用,关于市场均衡存在性的证明方法可以有不动点定理、序方法、线性方程组解、博弈组合以及算子算法等，但是其中不动点定理是证明市场均衡存在的一个最为重要的方法.并且，不动点定理除了上述之外，还有其他众多的阐述 .而不动点定理既可运用到一般均衡的证明当中来，还可用来证明不完全市场均衡存在性的证明，并且可运用到不同具体市场均衡存在性的证明当中来.这仅仅是不动点理论在经济学领域中运用的不完全方面,在其他的诸多方面不动点理论还在积极发挥他的广泛的研究工具的作用,在这里无法一一列举.
以下就是一些与不动点理论运用相关的历史事件,标志着不动点理论曾经带来的辉煌与贡献.
1983年
Debreu于1983年获得了诺贝尔经济奖,Debreu是利用集值分析的方法以集值映射的不动点定理为工具证明Walras经济理论均衡理论。
1957年
Hans首先将Banach压缩映象原理随机化,以后各类不动点定理的随机化类比相继出现,但这些结果中,压缩条件一般为线性的或满足单调、右连续等条件.
1951年
Nash在1951年利用Brower不动点定理证明了混合策略平衡点必定存在,这种平衡点有称为Nash平衡点.
1950年
比如纳希于1950年在Kokutoni不动点定理的基础上,证明了”人非零和非合作对策模型平衡点的存在性”(几乎在同一时期,阿罗和德布鲁完成了<<完备经济系统平衡点的存在定理>>)
1941年
1941年角谷静天给出了集值映射的不动点定理,1959年德布鲁才能证明一般经济均衡的存在定理
1922年
1922年,巴拿赫证明了重要的不动点定理:完备的度量空间中的压缩映象必然有唯一的不动点.
2.主要概念及相关引理
数学应用与实际,要设计到解各类方程,比如代数方程、函数方程、微分方程、积分方程和泛函方程,种类繁多,一般能把他们写成()
=的形式,这里x是某个相应空间X中
f x x
的点,对于一个自变量情形, x称为自变量,()
f x称为变换和映
f x称为函数;一般情形, ()
射,f就是从空间X到空间X自身的一个映射,把空间X的每一个点x映射为空间X中点
f x x
=的解恰是在这个映射中被保留原地不动的点,称为映射中的不动点.这f x.方程()
()
样解方程的问题就转化为求映射的不动点问题[12]。
1.9距离空间:设x是一个非空集,x被称为距离空间,是指x上定义了一个二元实值函数满足下列三个条件:(非负性)(,)0
p x y>=,而且充要条件是x y
=;(对称性)(,)(,)
<=+对于任意的x中的,,
p x z p x y p y z
=;(三角不等式)(,)(,)(,)
p x y p y x
x y z都成立. 这里p叫做x上的一个距离,以p为距离的距离空间记作(,)
x p
x}都收敛,则x
2.0完备距离空间: 如果距离空间x中的每个基本点列(Cauchy)点列{
n
称为是完备的距离空间
2.1压缩映象原理[13] [14]:也叫Banach不动点定理,它的完整的表达是这样的,完备距离空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。
2.2布劳威尔不动点定理[9] [12]:设X是欧氏空间中的紧凸集,那么X到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。
2.3莱夫谢茨不动点定理[9][16]:设莱夫谢茨不动点定理:设X是紧多面体,()
→是映
f x x
射,那么f的不动点代数个数等于f的莱夫谢茨数L(?)，它是一个容易计算的同伦不变量，可以利用同调群以简单的公式写出。当()0
L f≠时，与f同伦的每个映射都至少有一个不动点。
定义1[1] （函数的零点）函数()0y f x ==的解。即图像与横轴的交点的横坐标 定义2函数()f x 的不动点[9]：对于函数()f x ,若存在x 属于R ,使()x f x =成立,则称此点是函数的不动点。
定义3柯西收敛准则[2]：数列{}n a 收敛的充要条件是:对任给的0λ>,存在正整数N ,使得当,n m N >时有，n m a a ε-<
引理1闭区间上函数的零点定理[1]：设函数()y f x =在闭区间[],a b 上连续,若有()()0,0f a f b ><或()()0,0f a f b <>,则必存在点()0,x a b ∈,使得0()0f x =。
3.主要结果
定理1：(),()f x g x 定义在区间I 上，满足：
（i ）I 是连续函数()g x 的单调增区间，
（ii ）对?1x 2x ∈I ，存在实数01λ≤<，使得 2121()()f x f x g x g x λ-<-（）（）， （iii ）存在()0,,U x I δ?()00,,a U x a x δ∈<，和()00,,b U x b x δ∈>，使
00(1)()(2)()()0g a g x f x λλ-+--=, 00(1)()()()0g b g x f x λλ-+-=,
则函数()()f x g x -在区间I 上有唯一零点
证明：（存在性）令()()()F x f x g x =-，对0x I ?∈，因为 00()()f x f x g x g x λ-<-（）（）， ()g x 在区间I 上连续，当0x x →时，0()()g x g x →，所以 0()f x f x →（）
。()f x 在0x 处连续，注意0x 的任意性，可知()f x 在I 上连续。从而()()()F x f x g x =-在区间I 上连续。由（iii ） 取()00,x U x I δ∈?，若00()()0f x g x -=，则结论成立。若00()()f x g x ≠，由（i ），对x I ?∈， 当0x x < 时，有0()()g x g x <
100()()(1)()(2)()()G x F x g x g x f x λλ=+-+--
00()()(2)(()())f x f x g x g x λ=-+-- 00()()(2)(()())g x g x g x g x λλ>--+--
02(1)(()())0g x g x λ=-->
由条件（iii ）存在()00,,a U x a x δ∈<，使得 00(1)()(2)()()0g a g x f x λλ-+--=, 所以，100()()(1)()(2)()()()0G a F a g a g x f x F a λλ=+-+--=>。
当0x x >时，有0()()g x g x >
200()()(1)()()()G x F x g x g x f x λλ=+-+-
00()()(()())f x f x g x g x λ=---
()()00()()()()0g x g x g x g x λλ<---=
由条件（iii ），存在()00,,b U x b x δ∈>，使得 00(1)()()()0g b g x f x λλ-+-=, 所以，()200()()(1)()()()0G b F b g b g x f x F b λλ=+-+-=<。
于是()F x 在闭区间[],a b 上连续 ，且端点值异号，由闭区间上连续函数的零点定理[1]，至少存在一个12(,)x x I ξ∈?，使()0F ξ=。
（唯一性）假设还有R ζ∈，ζξ≠，使()0F ζ=，则 ()()g g ζξ≠，且
()()()()()()g g f f g g ζξζξλζξ-=-<-，矛盾。所以，ξ是()()()F x f x g x =-在区间I 上的唯一零点。
当I 是无穷区间R 时，用同样方法容易得到下面
定理2 (),()f x g x 定义在R 上，满足：
（i ）()g x 是连续的增函数，
（ii ）对?1x 2x ∈R ，存在实数01λ≤<，使得 2121()()f x f x g x g x λ-<-（）（）， （iii ）对0x R ?∈，存在0a x <，使得 00(1)()(2)()()0g a g x f x λλ-+--=,
(iv) 对0x R ?∈，存在0b x >，使得 00(1)()()()0g b g x f x λλ-+-=,
则函数()()f x g x -在R 上有唯一零点
特别地，在定理2中取 ()g x x =，还可得到下面的不动点定理。
定理 3 ()f x 定义在R 上，满足：（1）对?1x 2x ∈R ，存在实数01λ≤<，使得
2121f x f x x x λ-<-（）（），
（2）(),f x x x R ≥?∈，则函数()f x 在R 上有唯一不动点 证明：显然，()g x x =是R 上连续的增函数，对0x R ?∈，因为 00f x f x x x λ-<-（）（），当0x x →时，0()f x f x →（）
。所以()f x 在0x 处连续，注意0x 的任意性，可知()f x 在R 上连续。从而()()F x f x x =-在R 上连续。由（2）取0x R ∈，若 00()0f x x -=，则结论成立。否则，00()f x x >，
当0x x < 时，取 00100()1f x x a x x λ
-=-
<-，有 100(1)(2)()0a x f x λλ-+--= 当0x x > 时，取 00100()1f x x b x x λ-=+>-，有 ()1001()0b x f x λλ-+-=， 于是，()f x x - 满足定理2的全部条件，所以，存在唯一的R ξ∈，使()0f ξξ-=，即 函数()f x 在R 上有唯一不动点。
不动点定理3是作为定理2的特殊情况，更一般的，若定义R 上两点距离为:(),,,x y x y x y R ρ=-?∈,则(),R ρ是一个完备的距离空间。利用泛函分析知识容易知道，下面的不动点定理。
定理4 ()f x 是定义在R 上的实值函数，满足：对任意12,x x R ∈，存在实数01λ<<，使得 2121f x f x x x λ-<-（）（），则函数()f x 在R 上有唯一不动点。
证明1 （存在性） 对n x R ?∈，显然()n f x R ∈，作序列 11(())2
n n n x x f x +=+ 1,2,3,n = 于是3221211()(()())2
x x x x f x f x -=-+- {}212112
x x x x λ≤-+- 2112
x x λ+=- 同理，2
4332211122x x x x x x λλ++??-<-<- ???
由数学归纳法，易得 112112n n n x x x x λ-++??-<- ??? 3,4,5,n =
因为，对任意正整数,,m n m n >，令112n p λ-+??= ???，01p <<
121321m n n n n n n n m m x x x x x x x x x x ++++---≤-+-+-+-
()21211m n p p p x x --≤++++?-
2111m n
p x x p
--=?-- 所以{}n x 是R 上的Cauchy 基本序列， lim n n x →∞
存在。设n →∞，n x ξ→。而R 是完备的距离空间，故R ξ∈。由条件易知()f x 在R 上连续，在 {}11()2
n n n x x f x +=
+ 两端取极限，有 1(())2f ξξξ=+ 即()0f ξξ-= ，()0F ξ=。
（唯一性）假设还有R λ∈，λξ≠ ，使 ()0F ξ=， 则()()f f λξλξ-=-λλξ<- 矛
盾。所以，ξ是F
x f x x =-（）（）在R 上的唯一零点。 定理5 ()f x 定义在闭区间[],a b 上，满足：（1）对?1x 2x ∈[],a b ，存在正实数01λ<<，使得 2121f x f x x x λ-<-（）（），
（2）[](),f x a b ∈，则函数()f x 在[],a b 上有唯一不动点。 证明：由条件（2）知，对[],n x a b ?∈，()[],n f x a b ∈。由条件（1）知，()f x 是[],a b 上的连续函数. 注意[](),,a b ρ也是距离空间，且[],a b 是R 的闭集，所以[](),,a b ρ是完备距离空间，任取[]0,x a b ∈，则{}n x 满足 11()()n n n n x x f x f x +--=-1n n x x λ-<-12()()n n f x f x λ--=-
212n n x x λ--<-
<………
10n x x λ<-
因为，对任意正整数,,m n m n >，令n p λ=，01p <<
121321m n n n n n n n m m x x x x x x x x x x ++++---≤-+-+-+-
()121010111m n m n p p p p x x x x p -+--≤++++?-=?--
所以{}n x 是[],a b 上的Cauchy 基本序列， 由[],a b 的完备性知，lim n n x →∞
存在.设n →∞，n x ξ→，[],a b ξ∈。在1()n n x f x -=两端取极限，即得 ()f ξξ=,即()0F ξ=。 （唯一性）假设还有R δ∈，δξ≠ 使()0F δ=则()()f f δξδξ-=-λδξ<- 矛盾， 所以ξ是()()F x f x x =-，在[],a b 上的唯一零点。
结论:
函数的零点和不动点理论的研究一直是20世纪最伟大的数学研究理论之一,零点定理和不动点定理一直是非线性分析和求解函数方程的根中的重要工具.本论文先总结了函数零点和不动点存在的条件,并在此基础上通过对闭区间函数的零点定理的引用,推出了另外两个零点定理的证明和三个不动点定理的.本论文是在结合函数和极限的基础上,提出的利用构造已知,提出假设,从而由闭区间连续函数的零点定理证明零点的存在和唯一性.再以被证明的定理做为条件,在特定的情况下,构造了出特殊情况,经过进一步数学归纳法的证明,我们得到了不动点存在以及唯一的性质.论文采取一步一步深入,循序渐进的方法,逐步推导的过程证明,以达到让我更充分的认识了解象零点和不动点这样的数学理论.
参考文献：
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[17]郭大钧 .一个新的不动点定理.数学学报.1981
[18]郭大钧 .非线性泛函分析.山东科学技术出版社.1985
致谢:
首先衷心感谢我的导师丁体明教授，本文从始到终都是在导师的悉心指导和亲切关怀下完成的。在本文的写作过程中，我幸运的成为了丁教授的学生，导师用他那渊博的知识和深刻的数学思想指导和引领我，他富有创造性的见解以及具体的建议使我获得引导和启迪，从而为我确定了整个论文的研究方向。直到论文的定稿，我的导师丁教授一直为此倾注大量的时间和精力，导师的心血被深深的凝聚在此。在这个过程中导师不断用严谨的科学态度或刻苦钻研的精神、精益求精的工作作风影响我，使我深受感动和鼓励。他那严谨的治学态度、丰富的阅历、以及诲人不倦的精神将使我终生难忘，永感肺腑。
在此谨向细心培养我的丁体明教授表示崇高的敬意和最诚挚的感谢。
在四年的大学学习和生活中，我受到了学院诸多领导和老师的关心、帮助与支持，无法一一列举，在此对他们表示诚挚的谢意。
在此还要特别感谢我的父母和姐姐，他们在一边承担了巨大生活的艰苦和压力还不停的鼓励我，让我可以顺利的完成学业，没有他们的支持与无私奉献也就没有我的今天，非常感谢。