球谐函数
L=0,1,2的球谐函数的三维空间图
13074230 章杰钧pi=3.1415926;p=-pi:pi/100:pi;t=0:2*pi/150:pi;
[P,T]=meshgrid(p,t);theta=pi/2-P;phi=T;
R00=sqrt(1/4/pi);
[X00,Y00,Z00]=sph2cart(T,P,R00);
subplot(3,3,1);
mesh(X00,Y00,Z00);
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R10=sqrt(3/4/pi)*abs(cos(theta));
[X10,Y10,Z10]=sph2cart(T,P,R10);
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mesh(X10,Y10,Z10);
axis equal;title('Y10');
R11=-sqrt(3/8/pi)*abs(sin(theta).*cos(phi));
[X11,Y11,Z11]=sph2cart(T,P,R11);
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mesh(X11,Y11,Z11);
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R1_1=sqrt(3/8/pi)*abs(sin(theta).*sin(phi));
[X1_1,Y_1,Z1_1]=sph2cart(T,P,R1_1);
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mesh(X1_1,Y1_1,Z1_1);
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R22=sqrt(15/32/pi)*abs(sin(theta).^2.*cos(2*phi));
[X22,Y22,Z22]=sph2cart(T,P,R22);
subplot(3,3,5);
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axis equal;title('Y22');
R21=-sqrt(15/8/pi)*abs(sin(theta).*cos(theta).*cos(phi));
[X21,Y21,Z21]=sph2cart(T,P,R21);
subplot(3,3,6);
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R20=sqrt(5/16/pi)*abs(3*cos(theta).^2-1);
[X20,Y20,Z20]=sph2cart(T,P,R20);
subplot(3,3,7);
mesh(X20,Y20,Z20);
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R2_1=sqrt(15/8/pi)*abs(sin(theta).*cos(theta).*sin(phi));
[X2_1,Y2_1,Z2_1]=sph2cart(T,P,R2_1);
subplot(3,3,8);
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R2_2=sqrt(15/32/pi)*abs(sin(theta).^2.*sin(2*phi)); [X2_2,Y2_2,Z2_2]=sph2cart(T,P,R2_2);
subplot(3,3,9);
mesh(X2_2,Y2_2,Z2_2);
axis equal;title('Y2_2');
最新球谐分析
球谐分析，带谐，田谐，瓣谐 球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。 球谐函数表示为： 球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数： 其中，theta为余纬，lambda：经度 如重力位可表示为： 带谐系数：coefficient of zonal harmonics 地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。 In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化） 扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics 地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。 田谐：coefficient of tesseral harmonics 地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。 The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points o n the sphere where. Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.
(完整word版)球谐函数的性质
目录 一般背景及注示 正交变换 加法定理 表示定理 加法定理的应用 Rodrigues公式 Funk-Hecke公式 球谐函数的积分表示 连带勒让德函数 勒让德函数的性质 微分方程 球谐函数的拓展 参考文献
基本背景和记号： 令()1,,q x x L 是q 维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有 ()()2 2 2 21q x r x x ==++L 。 表达式 x r ξ= 这里 ()1,,1q ξξξξ==L 和 1) 表示的是q 维单位球面上的笛卡尔系的点，记为q Ω，它的曲面元素为q d ω，其全部曲面为q ω，是由q q q d ωω Ω= ?表示出来的。 由定义我们设2q ω=，接着我们有232;4ωπωπ==。 如果向量1,,q εεL 可以构成一个正交系，我们可以用 <1> 1;11,q q q q q t t t ξεεξ-=?-≤≤= 来表示q Ω上的点,而1q ξ-是由1,,q εεL 张成的空间的单位向量。 这时单位球面上的曲线元素可以写成 () 32 11q q q d t dtd ωω--=- 我们由上面可以得到 () 31 2 2 11 1q q q q t dtd ωω-+-Ω-= -?? 上面积分式子的右边可以转化为 () 31 2 120 112212q q d q μμμ---????ΓΓ ? ?????-= ??Γ ??? ?，当q=2,3,…。 <2> ()211 11222222q q q q q q q πωωω--???? ? ? ????= ==??????ΓΓΓ ? ? ??????? 记
<3> 2 22 12q q x x x ?????? ????=+++ ? ? ? ?????????? L 为拉普拉斯算子，这时我们引入 定义1:令()n H x 为q 维的n 次齐次多项式，同时满足()0q n H x ?= 这时称()1 ()()n n n n S H r H r ξξξ= =为q 维的n 次（规则）球面调和函数。 由此我们马上可以得到： 引理1: ()()()1n n n S S ξξ-=- 令()n H x 和()m H x 是两个次数分别为n 和m 的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到 ()()()()1 0q n q m m q n n m q x H H H H dV H H m n d ξξω ≤Ω= ?-?= -??， 同样地，在q Ω上n H 和m H 的法向导数分别为 ()()()()11 m m n n r r H r mH H r nH r r ξξξξ==?????? ==??????????和 因此由定义（1）我们可以得到 引理2:对于m ≠n 时，有()()0q n m q S S d ξξω Ω=?，任何q 维的齐次多项式可以由下 面式子代替 （4） 110 () (,,)()n j q n j q n j x A x x H x --==∑L 其中11(,,)n j q A x x --L 是在点11,,q x x -L 的()n j -阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式 2 1( )q q q x -??=+?? 得到 （5） 2 2 12 ()(1)() ()j n n j q n q n j q q n j j j H x j j x A x A -----==?= -+?∑∑ 由系数相等我们的得到：12(2)(1)q n j n j A j j A ----?=-++，因此，若已知n A 和1n A -，则所有的多项式j A 都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与n A 和1n A -的系数的数量相等。定义(,)M q n 为关于q 的n 阶齐次多项式的系数的个数，则(,)M q n 有如下形式：
球谐函数展开快速算法及其并行算法研究
球谐函数展开快速算法及其并行算法研究球 谐 函 数 展 开 快 速 算 法 及 其 并 行 算 法 研 究 国 防 学 技
术 大 学 研 究 生 院 分类号 TP3 12 学号 09060065 ,,, 密级 公开 工学硕士学位论文 球谐函数展开快速算法及其并行算法研究 硕士生姓名王翔 学科专业计算机科学与技术 研究方向计算机应用技术 指导教师宋君强研究员 国防科学技术大学研究生院 二〇一一年十一月 Research on Parallel Algorithms of the Fast Algorithm for Spherical Harmonic Expansions Candidate Wang Xiang Supervisor Prof Song Junqiang
A thesis Submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Engineering in Computer Science and Technology Graduate School of National University of Defense Technology ChangshaHunancoma November 2011 国防科学技术大学研究生院工学硕士学 位论文 目录 摘要 i ABSTRACT ii 第一章引言 1 11 数值天气预报与谱模式 1 com 谱模式的发展与现状 1 com 球谐函数与Silberman 方法2 com 变换法4 com 谱模式的优缺点 5 12 球谐函数 6 com 球谐函数的推导 6 com 截断问题 6 com 球谐函数展开算法的发展 7 13 GPU 通用计算与数值天气预报 9 14 本文研究内容 10
球谐函数
L=0,1,2的球谐函数的三维空间图 13074230 章杰钧pi=3.1415926;p=-pi:pi/100:pi;t=0:2*pi/150:pi; [P,T]=meshgrid(p,t);theta=pi/2-P;phi=T; R00=sqrt(1/4/pi); [X00,Y00,Z00]=sph2cart(T,P,R00); subplot(3,3,1); mesh(X00,Y00,Z00); axis equal;title('Y00'); R10=sqrt(3/4/pi)*abs(cos(theta)); [X10,Y10,Z10]=sph2cart(T,P,R10); subplot(3,3,2); mesh(X10,Y10,Z10); axis equal;title('Y10'); R11=-sqrt(3/8/pi)*abs(sin(theta).*cos(phi)); [X11,Y11,Z11]=sph2cart(T,P,R11); subplot(3,3,3); mesh(X11,Y11,Z11); axis equal;title('Y11'); R1_1=sqrt(3/8/pi)*abs(sin(theta).*sin(phi)); [X1_1,Y_1,Z1_1]=sph2cart(T,P,R1_1); subplot(3,3,4); mesh(X1_1,Y1_1,Z1_1); axis equal;title('Y1_1'); R22=sqrt(15/32/pi)*abs(sin(theta).^2.*cos(2*phi)); [X22,Y22,Z22]=sph2cart(T,P,R22); subplot(3,3,5); mesh(X22,Y22,Z22); axis equal;title('Y22'); R21=-sqrt(15/8/pi)*abs(sin(theta).*cos(theta).*cos(phi)); [X21,Y21,Z21]=sph2cart(T,P,R21); subplot(3,3,6); mesh(X21,Y21,Z21); axis equal;title('Y21'); R20=sqrt(5/16/pi)*abs(3*cos(theta).^2-1); [X20,Y20,Z20]=sph2cart(T,P,R20); subplot(3,3,7); mesh(X20,Y20,Z20); axis equal;title('Y20'); R2_1=sqrt(15/8/pi)*abs(sin(theta).*cos(theta).*sin(phi)); [X2_1,Y2_1,Z2_1]=sph2cart(T,P,R2_1); subplot(3,3,8); mesh(X2_1,Y2_1,Z2_1);
基于Butterfly算法的球谐函数展开快速算法研究
目录 摘要 (i) ABSTRACT ......................................................................................................... i i 第一章绪论 (1) 1.1 研究背景 (1) 1.1.1 数值天气预报的发展与现状 (1) 1.1.2 谱模式的发展与现状 (2) 1.1.3 球谐函数概述 (3) 1.1.4 球谐函数展开快速算法的发展 (8) 1.2 本文研究内容和贡献 (9) 1.3 论文结构 (9) 第二章Butterfly算法 (11) 2.1 数值秩和秩性质 (12) 2.1.1 数值秩（Numerical Rank） (12) 2.1.2 秩性质（The Rank Property） (12) 2.2 矩阵插值分解 (14) 2.2.1 矩阵插值分解 (14) 2.2.2 插值分解的算法实现 (15) 2.3 Butterfly算法 (16) 2.3.1 算法思想 (16) 2.3.2 算法描述 (18) 2.3.3 算法实现及关键技术 (26) 2.4 本章小结 (28) 第三章球谐函数展开快速算法研究 (29) 3.1 球谐函数展开概述 (29) 3.2 基于Butterfly算法的球谐函数展开快速算法 (31) 3.2.1 奇偶分解 (34) 3.2.2 预计算 (35) 3.2.3 Butterfly加速 (36) 3.2.4 正逆变换处理 (37) 3.3算法实现及关键技术 (40) 3.4数值实验 (40)
3.4.2实验2 (42) 3.4.3实验3 (43) 3.5 本章小结 (44) 第四章球谐函数展开并行算法设计与实现 (45) 4.1算法并行策略 (45) 4.2 并行算法描述 (46) 4.3算法实现及关键技术 (47) 4.3.1 程序结构 (47) 4.3.2 通信策略 (48) 4.3.3 负载平衡策略 (50) 4.4数值实验 (51) 4.4.1实验1 (52) 4.4.2实验2 (52) 4.4.3实验3 (56) 4.5 本章小结 (58) 第五章结论与展望 (59) 5.1 研究内容和结论 (59) 5.2 问题与展望 (60) 致谢 (61) 作者在学期间取得的学术成果 (66)
位场球谐分析的基本理论
第二章 位场球谐分析的基本理论 球谐分析是卫星重力和磁场数据分析解释主要工具。地球外部的重力场可以表示成球谐级数形式，同时，通过不同阶次的球谐展开，可以对地球重力场进行分析，以达到显示地球重力场特征，进而研究地球重力异常各种成因的目的。本章主要介绍论文所涉及的球谐分析的一些基本理论。 §2.1 位场拉普拉斯方程的解 可以证明，地球外部引力场是调和的，其满足拉普拉斯方程。在不同的坐标系中，拉普拉斯方程有不同的形式，为了便于讨论，本节分别对直角坐标系和球坐标系中拉普拉斯方程的求解进行讨论。 2.1.1 直角坐标系中拉普拉斯方程的解 假设V 表示地球引力位，其为直角坐标系中空间点(x , y , z )的调和函数，则有?2V =0，即 022222 2=??+??+??z V y V x V (2-1) 用分离变量法解方程，令 )()()(),,(z Z y Y x X z y x V = 代入方程（2-1）则有 0' '''''=++Z Z Y Y X X 式中X ", Y ", Z "分别为X , Y , Z 对x , y , z 的二次导数。
解方程，得V (x , y , z )的一般表达式 ])exp[()sin cos ()sin cos () ()()(),,(2 /12200z k k y k D y k C x k B x k A z Z y Y x X z y x V n m n n n n n m m m m m +++==∑∑∞ =∞ = 其中n n m m D C B A ,,,为待定常数，根据边界条件来确定。 2.1.2 球坐标系中拉普拉斯方程的解 在球坐标系中，引力位V 可表示为空间点(r , θ, λ )的函数，即V (r , θ, λ )，其中r 为点的坐标径向距离，θ 为余纬度，λ 为经度，如图2-1所示。引力位V 的拉普拉斯方程可表示成 0sin 1sin sin 112 222222=??+??? ? ?????+??? ??????λθθθθθV r V r r V r r r (2-2) 图2-1 球坐标系 同理，可以用分离变量法解方程(2-2)，即令 )()()(λθL T r R V =