复变函数练习题习题
复变函数练习题习题 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
习题
1．计算下列积分，其中积分闭路取正向.
（1）3|1|1
1z dz z -=-? 解：
2
3|1|1
|1|12
1
1/(1)
111
212
3
z z z dz z z dz z z i z z i
ππ-=-==++=--=++=??
（4）44||1
(2)z dz z z =-? 解：
4
444||1
||140
71/(2)
(2)21 3!(2)120
3(02)
5 16
z z z dz z dz z z z i z i i
πππ===-=-'''??
=??-??
-=?-=
??
（6）41||2
sin ()n z zdz
z i +=-? 解：
[](4)
41||2
sin 2sin ()(4)!2 sin (4)!2 sin (4)!2 sh1
(4)!
n n z i z z i
zdz i z z i n i
z n i
i
n n ππππ
+====-==-=?
（8）
43||2
(1)(2)(16)z dz
z z z =
-++?
解：被积函数41
(1)(2)(16)z z z -++有6个奇点，只有1z =在圆||3/2z =的内部，于是函数41
(2)(16)z z ++在闭圆域
||3/2z ≤上解析，则由Cauchy 积分公式得
4
433
||||2
2
4
1
1/(2)(16)
(1)(2)(16)1
1
2(2)(16)2 51
z z z dz
z z dz z z z z i z z i
ππ=
=
=++=
-++-=++=
??
4.用Cauchy 积分公式计算函数
()/z
f z e z =沿正向圆周||1z =的积分
值，然后利用圆周||1z =的参数方程()i z e θ
πθπ=-≤≤证明下面积
分
cos 0
cos(sin ).e d π
θθθπ=?
（1）解：函数()/z
f z e z =的奇点0z =在积分路径||1z =的内
部，而函数
z
e
在闭区域
||1z ≤上解析，于是由Cauchy 积分公式得
||122.
z z
z z e dz i e
i z ππ====?
（2）证明：圆周
||1z =的参数方程为()i z e θ
πθπ=-≤≤，在
它上有(),i z ie θ
θ'=于是
||1cos sin cos cos cos cos cos 2 [cos(sin )sin(sin )] [sin(sin )cos(sin )] sin(sin )cos(sin )i z
e i i z i e e ie i dz d z e
e id e
i id e
ie
d e
d i e
d θ
θ
π
θππ
θθ
π
πθ
π
πθ
θ
ππ
π
θ
θ
π
π
πθθ
θθθθθθ
θθθθ
=-+-----====+=-+=-+???????
比较等式两边的虚部得
cos cos(sin )2e
d π
θπθθπ-
=?
又
cos 0
cos cos 0
cos()
cos 0
cos
cos 0
cos
cos
cos(sin ) cos(sin )cos(sin )cos(sin())()cos(sin ) cos(sin )cos(sin ) cos(sin )cos(sin )e d e d e
d e
d e d e d e d e d e d π
θππ
θ
θ
πωθ
π
ωθπ
π
ωθ
ππωθ
θθ
θθθθ
ωωθθ
ωωθθ
ωωθ--=--=+=
--+=-+=+????????0
cos 0
2cos(sin )e d π
π
θθ
θθ
=??
所以
cos 0
cos(sin ).e
d π
θ
θθπ=?
7.由下面所给调和函数求解析函数
().f z u iv =+
（2）
(cos sin ),(0)0;x
u e x y y y f =-= 解：对u 求偏导数有
(cos sin cos ),
(sin sin cos ),x
x x
y u e x y y y y u e y x y y y '=-+'=-++
解法1：由Cauchy-Riemann 条件得
(sin sin cos ),
(cos sin cos ),x
x x
y v e y x y y y v e x y y y y '=++'=-+
对第一式两边对x 积分得
(sin sin cos ) (1)sin (sin cos )()
(sin cos )()
x
x x
x v e y x y y y dx
x e y e y y y g y e x y y y g y =++=-+++=++? 两边对y 求导，并且与上面所得
y v '比较有
(cos cos sin )()
(cos sin cos )
x
y x v e x y y y y g y e x y y y y ''=+-+=-+ 于是得()0,g y '=即(),g y c =其中c 为任意实常数.
从而
(sin cos )x v e x y y y c =++，
即
()(cos sin )[(sin cos )] x x
z
f z e x y y y i e x y y y c ze ci
=-+++=+由于(0)0,f =代入上式得0,c =所以
().z
f z ze =
解法2：由Cauchy-Riemann 方程和解析函数的求导公式可得
() (cos sin cos )
[(sin sin cos )] (1)
x x x y
x
x z
f z u iv u iu e x y y y y i e y x y y y e z '''''=+=-=-+--++=+
于是
()(1),z
z z
f z e z dz ic ze ic =++=+?
其中c 为任意实常数.
由于
(0)0,f =代入上式得0,c =所以
().z
f z ze =
（4）
22
/(),(2)0.v y x y f =+=
解：对v 求偏导数有
2
2
2222222,,()()
x y xy x y v v x y x y --''==++ 解法1：由Cauchy-Riemann 条件得
22
22222222222,,()()()
x y x y xy xy u u x y x y x y --''==-=+++ 对第二式两边对y 积分得
222
22
2() ()
xy
u dy x y x
g x x y =+-=++? 两边对x 求导，并且与上面所得
x u '比较有
2
2
222
22
2
22
()() ()x x y u g x x y x y x y -''=++-=+ 于是得()0,g x '=即(),g x c =其中c 为任意实常数.
从而
22x u c x y
-=++， 即
22221
()x y f z c i c x y x y z
-=++=-+++， 由于
(2)0,f =代入上式得1/2,c =所以
11().
2f z z =-
解法2：由Cauchy-Riemann 方程和解析函数的求导公式可得
222222
22
2
()2 +()()
1
x x y x f z u iv v iv x y xy
i x y x y z
'''''=+=+--=++= 于是
21
11
()1,z
f z dz c c z z
=+=-++?
其中c 为任意实常数.
由于
(2)0,f =代入上式得1/2,c =-所以
11().
2f z z =-
10.设
()f z 和()g z 在简单闭路C 上及其内部解析，试证： （1）若()f z 在C 上及其内部处处不为零，则有
()
0;
()
C
f z dz f z '=?
（2）若在C 上有
()(),f z g z =则在C 的内部有()().f z g z =
证明：（1）因为
()f z 在简单闭路C 上及其内部解析并且处处不为零，则
()
()f z f z '在简单闭路C 上及其内部处处解析，于是由Cauchy 积分定理得
()
0;
()
C
f z dz f z '=?
（2）若对于C 上的任意一点
ζ
有
()(),f g ζζ=由于()f z 和
()g z 在简单闭路C 上及其内部解析，则对于C 的内部的任意一点z ，由Cauchy 积分公式得
1()1()
()(),22C C f g f z d d g z i z i z
ζζζζπζπζ===--?? 所以在C 的内部有
()().f z g z =