汽车保险问题数学建模

2011年商丘师范学院数学建模模拟练习

承诺书

我们仔细阅读了商丘师范学院数学建模模拟练习的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

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2011年商丘师范学院建模模拟练习

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2011年商丘师范学院数学建模模拟练习

题目汽车保险问题研究

摘要

本文主要研究在复杂多变的市场因素下，如何建立数学模型来判断在实施安全带法规后，保险公司是否可降低保险费，及在今后五年如何确定保险费。由于保险费的影响因子多，因此我们参阅了中国保监会新修订的机动车辆保险条款，分析主要和次要影响因子，合理假设，找到突破口。

一、汽车保险公司作为一个企业，追求的是尽可能多的利润绝不可能仅仅依靠增加保险费来实现，从实际情况来看，保险费收得越高，投保人数就相应减少。为此我们建立一个利润随保险费变化的方程，通过求解使利润最大，这时求得的保险费即为基本保险费，在公司赢利最大的条件下，求得第一年公司保险费为649.6元，与第0年775元相比保险费降低了。

二、建立了安全带法实行后的利润随保险费变化的方程，通过求解使保险公司利润不为负，计算出了当医疗费下降20%和40%时连续5年基本保险费(见下表):

主要结果：

了保险费，对保险公司的规划、管理和定位具有积极的指导意义

关键字：统计学原理汽车保险基本保险费利润保险方程

一、问题重述

已知某汽车保险公司的保险规则，即：该公司只提供一年期的综合保险单，若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予额外补助；客户被分成0，1，2，3 类，新客户属于0 类；级别越高，从保险费中得到的回扣越多；当客户续保时，若上一年中没有要求赔偿，则提高一个类别；若上一年中要求过赔偿，则降低两个类别或0 类；客户不论是由于自动终止保险还是则某种原因（例如事故死亡），保险公司将退还保险金的适当部分。现在政府为了减少交通事故，实施了安全带法规这一举措。实行安全法规以后，，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机减少40％，一般来讲医疗费也会减少20％至40％。(假设当前年度该保险公司的统计如下表1和表2) 问题一：实施安全带法规以后保险公司所制定的保险费是应该增加还是应该减少？

问题二：给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应定位多少？

二、问题分析

保险费是投保人为取得保险保障而交付给保险人的费用。汽车保险费由纯保费和附加保费两部分构成。纯保费用于承担保险责任（合同中约定的死亡、伤残等给付），附加保费用于保险公司的各项开支，这部份费用可假定是不变的。因而问题的关键就在于纯保费的变化。纯保费在数量上等于保险期间赔款的期望值。因而通过对下一年的赔款期望值的估算来确定下一年的纯保费的金额。本题所要解决的主要问题也就是下一年的事故赔偿费总额（由偿还退回费用部分和索赔支出费用部分构成）的估算和总投保人数的估算。最后通过各类保险费的折扣率、该类的投保人数以及事故赔偿费总额就可以计算出下一年基本保险费。

三、模型假设

1．假设每一类别中总投保人数等于续保人数与新投保人数之和；所有投保人都投全年汽车保险,即无另外约定投保；所有保险都是全额保险，不存在不足额保险。

2．假设汽车保险公司下一年的保险费预算只与基本险有关，而与附加险无关3．假设汽车保险公司死亡保险赔偿只指死亡司机赔偿，死亡司机人数与索赔人数比例不变。

4．假设所有投保车辆都是按新车保险价值即购置价投保；所有车辆投保保险费都按一人一车投保，不考虑一人多车即车队投保下汽车保险公司的优惠。

5.假设每年来投保的汽车车型比即投保价值不同的车的比例不变。

6．假设注销人数等于自动终止保险人数与死亡人数之和。自动终止保险人数与总投保人数比例不变。

7.假设题目中所给数据都是可信的。

8．假设每年的新投保人数按等比例增长，颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机和没有颁布法规时相比都减少40％。

9. 平均偿还退回的保险金额不变，

10. 平均医疗费均不变

11. 每年的平均死亡赔偿费不变。

12. 每年的平均修理费不变。

13. 每年公司日常支出不变。

14. 施行了法规以后，每个类别的死亡司机比没有施行法规时都减少40％。

15. 注销人平均所得到的偿还退回金金额不变。

16. 新投保人数的增长率与汽车保有量的增长率间存在简单的关系。

17. 投保人数的变化不依赖于保险费的变化。

18. 每辆汽车必须投保。

四、变量声明

I 公司总利润

P 公司赔偿费

S 公司退回偿还费

C 公司开支用费(常量)

五、模型的建立与求解

5.1.1模型的建立

汽车保险公司作为一个企业,追求的是尽可能多的利润。但是这不能仅仅依靠增加保险费来实现,从际情况来看,保险费收得越高,投保人数就相应减少。此外,客源还受到多种因素的影响,如社会风险意识、社会汽车拥有量、国民经济发展状况、公司的广告宣传等因素。这样,问题就必须通过一定的数据来分析,找到客户和公司利润之间的函数关系,为公司的后续发展做理论依据。汽车保险公司的支出主要是索赔费、让利和正常支出。虽然车祸对于个人来说是随机的,但是对于整个社会来说,它肯定会趋于一个稳定值,此值可由统计方法计算出来，

经过上述分析可以得出如下的关系:

I = S - P - B - C

式中, I为公司总利润; S 表示公司总收入;P为公司赔偿费; B 为公司退还偿还费; C 为公司开支用费。制定基本保险费使保险公司获得的利润达到最大值

5.1.1.a总收入的计算

【1】新投保人数=汽车销售量的增加量

下面是从中国国家统计局获得的一份数据

设t 表示当前年, t - 1 表示上一年, n’( t )表示当前年新的投保人数, i 表示投保人的级数( i= 0 , 1 , 2 , 3) , ni ( t )表示当前年第i 级的续保人数, Ni ( t)表示当前年第i 级的总投保人数, x表示保险费用, si表示第i 级顾客的补贴比例,α表示交通事故率, 表示注销率。由统计规律有

n ’( t) = n ’( t - 1) 1

k x

e

- (1)

i n ( t) = i n ( t - 1) 2

k x

e

-………………………………………………………………（2） 【2】根据对问题的基本假设,每年各类总投保人数，有下面的几个关系式成立。

（Ⅰ）0类下一年总投保人数=下一年的新投保人数+0类索赔人数—0类死亡人数―0类自动退保人中索赔过的人数+1类索赔人数—1类死亡人数―1类自动退保人中索赔过的人数+2类索赔人数—2类死亡人数―2类自动退保人中索赔过的人数，即：

2221110000(t)自索死索自索死索自索死索m m m m m m m m m n N --+--+--+= ……

(3)

1

222,

0011()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)k x

k x k x k x N t n t e

n t e n t e n t e αβαβαβ----=-+--+--+--…

(4)

（Ⅱ）1类下一年总投保人数=0类总投保人数—0类注销人数—0类索赔人数+0类死亡人数+0类自动退保人中索赔过的人数+3类索赔人数—3类死亡人数―3类自动退保人中索赔过的人数，即：

030000331()N t m m m m m m m m =--+++--死死总注索自索索自索………………

(5)

22103()(1)(1)(1)(1)k x k x N t n t e n t e ααβ--=--+-- (6)

（Ⅲ）2类下一年总投保人数=1类当年投保总人数—1类降为0类的人数（即索赔人数）—1类注销人数+1类死亡人数+1类自动退保人中索赔过的人数，即：

211111()N t m m m m m =--++死总注索自索……………………………………………

(7)

221()(1)(1)k x N t n t e α-=--………………………………………………………………

(8)

（Ⅳ）3类下一年总投保人数=3类当年总投保人数—3类降为1类的人数（索赔人数）—3类注销人数+3类死亡人数+3类自动退保人中索赔过的人数+2类总投保人数—2类索赔人数—2类注销人数+2类死亡人数+2类自动退保人中索赔过的人数，即：

22222333333自索死注索总自索死注索总总m m m m m m m m m m s ++--+++--=……

(9)

232()(1)(1)k x N t n t e α-=--………………………………………………………………

……（10） 公司总收入为

3

,

0()()i S n t x n t x =+∑

式中: k 1 是每年新增保险人数系数, 与公司的广告宣传力度、人们对保险的接受程度有关,具有一定的模糊性和统计规律性, 它可以根据历年数据,利用数学实验的方法,由下式确定

n ’( t) = n ’( t - 1) 1

k x

e

-

k 2 是老顾客续保系数,与公司对老顾客的待遇、老顾客自己的情况、以及保险费用等有关,这个相关系数比较难以确定,只能通过模型调整,依次试验,确定最好的数值 其中，中文下标“总”表示总投保人数或总索赔费用，“注”表示注销人数，“索”表示索赔人数，“死”表示死亡人数或死亡赔偿费，“自索”自动退保人中索赔过的人数。

5.1.1.b 赔偿费的计算

赔偿费包括三个部分:医药赔偿费、死亡赔偿费和汽车修理费。交通事故对于个人来是个随机问题,由统计知识易知,在大量的人数基础上,交通事故的发生率将趋于一个稳定的值。

<1>死亡赔偿费的计算

i i D R N αλ=∑

式中: D 为总的死亡赔偿费; i N 为第i 级的总投保人数;λ为死亡率; i D 为第i 级投保者的死亡赔偿费,可以维持原值。 <2> 汽车修理费的计算

i i F R N α=∑

式中: F 为总的修理费;α为交通事故率;i R 为第i 级投保者的修理费用,可以维持原值。

<3> 医疗赔偿费的计算 平均医疗费：

每年i 类平均医疗费=i 类真正受伤人数*第0年i 类平均医疗费/受伤司机人数

[()]i i M N M αλ=-∑

式中: M 为总的医疗赔偿费; i M 为第i 级投保者的医疗赔偿费用,可以维持原值。在新法规实行后, 由于交通事故数量不会减少,可以将死亡人数转化为受伤人数,医疗在原来的均值基础上按比例下降。 5.1.1.c 退还偿还费的计算

i i i B L N β=∑

式中: i L 为第i 级投保者注销时的偿还金额;βi 为第i 级投保者的注销比例 5.1.1.d 公司运营成本的计算

假如在以后的时间里,投保人数基本不变化,那么公司的运营成本基本维持不变。但是随着保人数的增加,成本也随着增加,由于没有统计资料可供咨询,为此增加一个纠正系γ虽然粗糙了点,但是这样能保持事实。

C = 149γ万元(0. 7 ≤γ ≤1. 2)

γ的估计可通过经验与拟合而得到, 本模型采用1 。其实,公司现在每年将近60 多个亿的保险费,以后规模的扩大和缩小都会很有限。 5.2.2 各项参数列表

人数列表、费用列表、概率和比例列表分别见表1～表3

表1 人数列表

表2 费用列表(单位:元)

Gi=70000000/（18264+28240+13857+324114）=182(元)

表3 概率和比例列表

取γ=1

通过上面的分析, 问题的求解可归结为如下模型: max I = S - P - B - C

式中各个数据的计算如下

3

,

0()()i S n t x n t x =+∑

P=i i R N αλ∑+i i R N α∑+[()]i i N M αλ-∑

i i i B L N β=∑

C = 149γ

根据假设，法规颁布了的情况下和没有颁布法规的情况下有下列这些因素不变：

新投保人数，各类别总的投保人数，平均修理费，平均医疗费，平均死亡赔偿费。所以 有：

X i N α=αi N ；X i N =i N ；XF=F;XM=M;XD=D;

法规颁布了的情况下变动的因素有：死亡人数，索赔人数，注销人数。它们的变动如下列三个式子所示:

由假设8：颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少40％。可得：

X αi N =α*60%i N

X α为调整法规后的新死亡率α为调整法规前的死亡率

由假设3：死亡人数与索赔人数比例不变，可得：

X 索=J 死/i K 死=(α*60%i N )/i K 死=J 死*60% 因为注销人数等于自动退出人数和死亡人数之和，在死亡人数变动的情况下，注销人数 可表示为：

X m 注=Z 退+α*60%i N

首先将参数k 2 设为一个定值,将保险费用控制在相应范围之内,进行循环迭代计算,以公司每年追求的最大利润作为目标,

在公司赢利最大的条件下，公司保险费为649.6元，即保险费降低了。 六、问题二的求解：

I = S - P - B - C

式中各个数据的计算如下

3

,

0()()i S n t x n t x =+∑

P=i i R N αλ∑+i i R N α∑+[()]i i N M αλ-∑

i i i B L N β=∑

C = 149γ

I=3

,

0()()i n t x n t x +∑-(

i

i

R N

αλ∑+

i

i

R N

α∑+

[()]i

i

N M

αλ-∑)-

i i

i

L N

β∑-149(取γ

=1) (11)

根据假设，法规颁布了的情况下和没有颁布法规的情况下有下列这些因素不变： 新投保人数，各类别总的投保人数，平均修理费，平均死亡赔偿费。

法规颁布了的情况下变动的因素有：死亡人数，索赔人数，注销人数。它们的变动如下列三个式子所示:

由假设8：颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少40％。可得：

X αi N =α*60%i N

X α为调整法规后的新死亡率α为调整法规前的死亡率

由假设3：死亡人数与索赔人数比例不变，可得：

X 索=J 死/i K 死=(α*60%i N )/i K 死=J 死*60% 因为注销人数等于自动退出人数和死亡人数之和，在死亡人数变动的情况下，注销人数

可表示为：

X m

注=Z

退

+α*60%

i

N

最重要的是平均医疗费已经改变；

问题二分为两种情况：

A、医疗费用下降20%

第一年总医疗费用=第0年总医疗费用*80%

第n年（n=2,3,4,5）总医疗费用=第(n－1)年医疗费用*第n年投保人数/第（n－1）年投

总投保人数（Zt）：

Zt=Ztn0+ Ztn1+ Ztn2+ Ztn3

第n年支出费用=第0年支出费用/第0年总投保人数*第n年总投保人数

第n年偿还费用=Can/Ca0*182

C αn表示第n年偿还的费用，C

α

0表示第0年偿还的费用.

B、医疗费用下降40%

第一年总医疗费用=第0年总医疗费用*60%

第n年（n=2,3,4,5）总医疗费用=第(n－1)年医疗费用*第n年投保人数/第（n－1）年投保人数

由(11)式计算（即使其利润不小于0）可得其基本保险费：

医疗费下降40% 年份 1 2 3 4 5 基本保险费

563.39 585.36 609.49

634.32

659.87

由计算可得：

两种情况下各年份基本保险费的变化图像

注：根据中国目前国情，通货膨胀严重，物价飞涨。为此我们专门查找资料，估计未来几年的保险费用，都应该在每年原有基础上增加20元，这样才能达到收益的目的。

七、模型优缺点分析：

本文所作的模型是分析了很多实际情况，有些情况由于数据的不确定性只能依据常识把其理想化，而且题目中给出的只有本年的数据，具有极大的偶然性，导致一些误差不可避免。

具体的误差主要来自我们做出简化模型的假设。

比如：平均维修费和平均医疗费是不可能经过几年后都没有丝毫变化的；因事故受伤而获益的人也有可能退保；每年新投保人数并不只是跟汽车的增长量有关系；几年以来公司不可能在发展上没有丝毫变化。 八、模型的评价：

本文所作的模型是在对实际情况作了一些假设进行的，肯定存在误差。但是我们尽

医疗费用下降40%

年

度 总投保人数 支出 偿还费用 总赔偿费用 总费用 总医疗费用 基本保险费 1 13421814 149860509.6 70404266.25 4489752114 4710016890 1346105653 543.3873045 2 13608602 151946080.1 71384064.48 4595106532 4818436676 1364839062 545.359384 3 13903120 155234505.3 72928962.24 4769964193 4998127660 1394376982 549.4913469 4 14327079 159968195.4 75152843.49 5010052882 5245173921 1436896836 554.3206429 5 14905430

166425739.9

78186589.21

5326489408

5571101737

1494901024

559.8699317

最大限度保留主要信息，忽略一些无法解决的干扰信息更有利于问题的解决。另外我们为了更好切合实际，我们引入“真正受伤人数”的概念。因为在实际中，车祸的发生不一定伴随着司机的受伤。本来类似汽车修理费，医疗费是会存在一定数学联系，但是因为提供数据太少，我们大多只能用比例关系或者求平均值来进行计算。

九、参考文献：

隗海林，李仲兴，《汽车保险与理赔》，人民交通出版社，2006-7-1

谢启南，韩兆洲，《统计学原理(第六版)》，暨南大学出版社，2006-9-1

+i类死亡人数

【6】平均赔偿费

i类平均死亡赔偿费=（i类平均赔偿费*i类索赔人数－i类平均医疗费*i类受伤死机人数－i类平均修理费*i类索赔人数）/i类死亡司机人数

*i类受伤司机人数+i类平均死亡赔偿费*i类死亡司机人数）/i类索赔人数

【7】基本保险费用

每年基本保险费用=（总赔偿费+总支出费用+偿还费用）/[0.75*(1类投保人数－1类索赔人数)+0.6*(2类投保人数－2类索赔人数)+0.5*(3类投保人数－3类索赔人数)+0类投保人数+1类索赔人数+2类索赔人数+3类索赔人数]

【8】保险公司的每年的各种费用

支出费用=第0年总支出/第0年总投保人数*该年总投保人数总赔偿费用=总医疗费用+总修理费用+总死亡赔偿费用

偿还退回费用=182*该年注销人数