七、单调性问题
例：讨论函数x
x x f 2231)(-?
?
?
??=的单调性．
练1．函数
x
x y 2221-?
?
? ??=的单调增区间为___________．练2．函数
x x y -=2
2的单调递增区间为
．
练3．函数
1
)1(22
2)(+--=x a x
x f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
[)∞+,6 B ．()∞+,6 C ．(]6,∞- D ．()6,∞-
练4．函数x
y -?
?
?
??=121的单调增区间为（ ）
A ．
()∞+∞-, B ．()∞+,0 C ．()∞+,1 D ．()1,0
练5．函数
1
21
)(+=
x x f 在()∞+∞-,上（ ）
A ．单调递减无最小值
B ．单调递减有最小值
C ．单调递增无最大值
D ．单调递增有最大值
练6．求函数2
22
2++-=x x
y 的定义域，值域和单调区间． 练7．求函数
2
3231+-?
?
? ??=x x y 的单调区间．
八、函数的奇偶性问题
例：当1a >时，证明函数1
1
x x a y a +=- 是奇函数．
练1．如果函数()f x 在区间]24,2[a a --上是偶函数，则=a _________．
练2．若函数1
()41
x
f x a =+
-是奇函数，则=a _________．
练3．若函数2
()
()x u f x e --=的最大值为m ，且)(x f 是偶函数，则=+u m ________．
练4．设a 是实数，2
()()21
x f x a x R =-
∈+，（1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；（2）试确定a 的值，
使()f x 为奇函数及此时()f x 的值域．
练5．已知x x f x
)2
1
121(
)(+-=．（1）求函数的定义域；（2）判断函数)(x f 的奇偶性；（3）求证：0)(>x f ．
【对数与对数函数】
一、对数
1．对数的概念：一般地，如果x
a
N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：log a x N
=
（其中：a 是 ，N 是 ，log a
N 是 ）
两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数lg N ；常用对数：10lg
log N N =
（2）自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数的对数ln N ．
自然对数：ln log e N
N
=（其中 2.71828
e =）；
对数式与指数式的互化： log x a a N
N x =???→=转化
2．对数的性质：
（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：log 1a =_______； （3）底数的对数是1：log a a =_______；
（4）对数恒等式：log a N
a =_______； （5）log n a a =_______．
3．对数的运算法则：
()log a MN =
()M N R +
∈，； log
a
M N =
()M N R +
∈，；
()log n a N =
()N R +
∈；
log
a
=
()N R +
∈
4．对数换底公式：
log b N =______________；
5．由换底公式推出一些常用的结论：
（1）log log a b b a =·，log a
b =
； （2）log
n
m a
b =
；
（3）log n
n a b =
； （4）log
n
m a a =
．
二、对数函数
1．对数函数的概念：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞
2．对数函数
log a y x =在底数1a >及01a <<的图象特征及函数性质：
总结：指数函数log a y x =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：
1a >
01a <<
图象
性质
（1）定义域： ． （2）值 域： ．
（3）过点 ，即
1x =时，=y ．
（4）在R 上是 函数，
当
1x >时， ；
当01x <
<时， ．
（4）在R 上是 函数，
当
1x >时， ；
当01x <
<时， ．
注：对数函数
a 与1log a
（且）的图像关于轴对称．
例：如图中曲线分别表示
log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，
,,,a b c d 的关系是（ ）
A ．01a b d c <<<<<
B ．01b a c d <<<<<
C ．01d
c a b <<<<< D ．01c
d a b <<<<<
三、反函数 1．定义：设式子()y f x =表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得到式子()x y ?=，
如果对于y 在C 中的任何一个值，
通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=就表示x 是y 的函数（y 是自变量）
，这样的函数，叫做()y f x =的反函数 ，记作1()x f y -=，即()1
()x y f y ?-==，一般习惯上对调
1()x f y -=中的字母,x y ，把它改写成1()y f x -=．
（1）反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；
即函数
()y f x =要有反函数由它必须为单调函数．
（2）原函数()y f x =的定义域、值域分别是反函数1()y f x -=的 、 ．
（3）
()y f x =与1()y f x -=的图象关于 对称．
（4）若(),P a b 在原函数()y f x =
的图像上，则'P 在其反函数1()y f x -=的图像上．
即：
1
()()f a b f
-=?=
2．求反函数的一般步骤
（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由()y f x =的解析式求出()x y ?=；
（3）将
,x y 对换，得反函数的一般表达式1()y f x -=，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）
分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成． 4．掌握下列一些结论
（1）单调函数?一一对应?有反函数
（2）周期函数不存在反函数．
（3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数 （4）证明()y f x =的图象关于直线y x =对称，只需证()y f x =的反函数和()y f x =相同．
【练习巩固】 一、对数运算 1．已知14log 7a =，14log 5b =，求35log 28(用,a b 表示)．
2．6log =
3．计算：（1
； （2）222lg 5lg 8lg 5120(lg 2)3g +++；
（3）2
1lg 5lg 8000(lg lg lg 0.066?+++； （4）483912
(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-
二、大小比较
1．比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；
2．比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较，对数函数在同一坐标系中的图像与底数的关系有如下规律：即无论在x 轴上面还是下面，底数按顺时针由小变大．
3．比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较． 1．三个数0.7
6
，6
0.7，0.7
log 6的大小顺序是（ ）
2．比较下列三数的大小：（1）0.3log 0.7，0.4log 0.3；（2）0.6log 0.8， 3.4log 0.7，()
12
1
3
-；（3）0.3log 0.1，0.2log 0.1．
三、对数函数的定义域、值域． 1．函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 ．
2．函数
()f x 的定义域是[]1,2-，则函数2(log )f x 的定义域是 ．
3．函数
23()log ()f x x ax a =+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 ．
4．求下列函数的定义域、值域：
(1)y =； (2)
22log (25)y x x =++； (3)213
log (45)y x x =-++； (4)y =
四、对数函数的性质 1．12
()log f x x =，当2
,x a a ??∈??时，函数的最大值比最小值大3，则实数a = ．
2．函数()
2lg
11y x =-+的图像关于（ ）A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y x =对称
3．函数()114
4
2
2log log
5y x
x =-+在24x ≤≤时的值域为 ．
4．设()f x 为奇函数，且当0x >时，12
()log f x x =．(1)求当0x <时，()f x 的解析式；(2)解不等式()2f x ≤．
5．根据函数单调性的定义，证明函数2
()log 1x f x x
=-在
()0,1上是增函数．
6．函数
22log (2)1y x =++恒过定点_________________．
五、反函数
1．求下列函数的反函数：（1）351()212x y x x -=≠-+；
（2）2
23y x x =-+，(,0]x ∈-∞；（3）21(0)1
y x x =≤+； （4
）,(10)
,(01)
x y x -≤≤=-<≤??．
2．求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1
）1y =；（2）2
32(0)y x x =--≤．
3．已知函数10110x
x
y =
+，求其的反函数，以及反函数的定义域和值域．
4．已知函数311
()(,)3
x f x x a x x a +=
≠-≠+，（1）求它的反函数；（2）求使1
()()f x f x -=的实数a 的值．
5．设点()1,2M 既在函数2()(0)f x ax b x =+≥的图像上，又在它的反函数图像上，
（1）求1
()f x -；（2）证明：1
()f
x -在其定义域内是减函数．
【幂函数】
1．幂函数的定义： ． 2．幂函数的图象
3．幂函数的性质
（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于
y 轴对称)；
是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
（3）单调性：如果0α
>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．
如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．
（4）奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q
p
α
=
（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若
p 为奇数q 为奇数时，则q
p y x =是奇函数；
若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x
=是偶函数；
若
p 为偶数q 为奇数时，则q p
y x
=是非奇非偶函数．
（5）图象特征：幂函数
,(0,)y x x α=∈+∞，
当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方； 当1α
<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．
【练习巩固】 一、幂函数定义： 1．在函数
220
31,3,,y y x y x x y x x
=
==-=中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．
3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =-
二、幂函数的图像性质：
1．幂函数的图象都经过点（ ） A ．()1,1 B ．()0,1 C ．()0,0 D ．()1,0
2．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不能确定
3．幂函数
52
y x
-=的定义域为（ ） A ．
()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．R D ．()(),00,-∞+∞
4．下列函数中既是偶函数又是(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．43
y x
= B ．3
2
y x
= C ．2
y x
-= D ．14
y x
-
=
5．函数
2y x -=在区间1[,2]2上的最大值是（ ） A ．1
4
B ．1-
C ．4
D ．4-
6．函数4
3
y x
=的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列命题中正确的是（ ）
A ．当0α
=时函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过()0,0和()1,1点
C ．若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数
D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限
8．若112
2
1.1,0.9
a
b -==，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．1a b <<
B ．1a b <<
C ．1b a <<
D ．1b a <<
9．若幂函数1()m f x x -=在()0,+∞上是减函数，则（ ） A ．1m > B ．1m < C ．1m = D ．不能确定
10．若点
(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是（ ） A ．00a b >??>? B ．00a b >??
a b ?
11．使23x x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．1x <且0x ≠ B ．01x << C ．1x > D ．1x <
12．当
()1,x ∈+∞时，函数a y x =的图象恒在直线y x =的下方，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a <
B ．01a <<
C ．0a >
D ．0a <
13．若四个幂函数
a y x =，
b y x =，
c y x =，
d y x =在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）
A ．d c b a >>>
B ．a b c d >>>
C ．d c a b >>>
D ．a b d c >>>
14．函数
()1
,2n
y x
n N n =∈>的图象只可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．13题
15．函数
3
y x
=和
13
y x
=图象满足（ ）
A ．关于原点对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y x =对称
16．函数
||,y x x x R =∈，满足（ ）
A ．是奇函数又是减函数
B ．是偶函数又是增函数
C ．是奇函数又是增函数
D ．是偶函数又是减函数 17．函数
2224y x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．
(],6-∞- B ．[)6,-+∞ C ．(],1-∞- D ．[)1,-+∞
18．如图1—9所示，幂函数
y x α=在第一象限的图象，比较12340,,,,,1αααα的大小（ ）
A ．1
34201αααα<<<<<
B ．123401αααα<<<<<
C ．243101αααα<<<<<
D ．3
24101αααα<<<<<
19．对于幂函数
45
()f x x
=，若120x x <
<，则
12()2x x f +，
12()()
2
f x f x + 大小关系是（ ） A ．
1212()()()22x x f x f x f ++> B ．1212()()
()22x x f x f x f ++<
C ．
1212()()
(
)22
x x f x f x f ++= D ．无法确定 20．函数
32
y x
-=的定义域为__________________．
21．幂函数()f x 的图象过点()43,27
，则()f x 的解析式是____________，1
()f
x -的解析式是______________．
22．2
49
a
a y x --=是偶函数，且在
()0,+∞是减函数，则整数a 的值是 ．
23．若112
2
(1)(32)
a a -
-
+<-，则a 的取值范围是________________．
24．设
()1()2m f x m x +=-，如果()f x 是正比例函数，则m =__________，如果()f x 是反比例函数，则m =_________，
如果()f x 是幂函数，则m =_____________．
25．若幂函数2
221
(1)m
m y m m x --=--在
()0,+∞上是增函数，m =___________．
1α
3α 4α
2α
名师推荐 精心整理 学习必备 26．函数2
()3
x f x x +=
+的对称中心是______________，在区间上是_______函数（填“增”或“减”）．
27．比较下列各组中两个值大小．（1）611
0.6与6
11
0.7
；（2）5
3
(0.88)
-与53
(0.89)
-
28．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．
（1）
32
y x
=；（2）
1
3
y x
=；（3）
2
3
y x
=；（4）
2
y x
-=；（5）
3
y x
-=；（6）
1
2
y x
-
=．
（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）
29．已知函数22
1
()(2)m m f x m m x
+-=+，求m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；
（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数．
30．已知幂函数13
22
2()p p f x x
-
++=（
p Z
∈）在
()0,+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应
的函数()f x ．
31．已知幂函数223
()()m m f x x
m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确()f x 的解析式．
32．求证：函数3y x =在R 上为奇函数且为增函数．
33．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）．（1）2222
21
x x y x x ++=++；（2）5
3(2)1y x -=--．
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【综合练习一】 1．已知集合{}4M
x N x N =∈-∈，则集合M 中元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
2．如图所示，I 是全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A ．()M P S
B ．()M P S
C ．()
()I M
P C S D ．()
()I M P C S
3．函数
2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围（ ）
A ．2b ≥-
B ．2b ≤-
C ．2b >-
D ． 2b <-
4．如果偶函数在[,]a b 具有最大值，那么该函数在[,]b a -
-有（ ）
A ．最大值
B ．最小值
C ．没有最大值
D ． 没有最小值 5．函数
()f x 在区间[2,3]-是增函数，则(5)y f x =+的递增区间是（ ）
A ．[3,8]
B ． [7,2]--
C ．[0,5]
D ．[2,3]-
6．函数
(21)y k x b =++在实数集上是增函数，则（ ）
A ．12k >-
B ．1
2
k <- C ．0b > D ．0b > 7．定义在R 上的偶函数
()f x ，满足(1)()f x f x +=-，且在区间[2,0]-上为递增，则（ ）
A
．(3)(2)f f f << B
．(2)(3)f f f << C
．
(3)(2)f f f << D
．(2)(3)f f f <<
8．三个数6
0.70.70.7
6log 6，，的大小关系为（ ）
A ．6
0.70.70.7
log 66<< B ．60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<<
9
．函数
y = ）
A ．
()3,+∞ B ．[)3,+∞ C ．()4,+∞ D ．[)4,+∞
10．与方程
221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ）
A
．ln(1y =+ B
．ln(1y =- C
．
ln(1y =-+
D
．ln(1y =--
11．已知
(3)4,1()log ,
1a a x a x f x x x --
A ．
()1,+∞ B ．(),3-∞ C ．3,35
?????
?
D ．
()1,3
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12．设函数
()log ()(0,1)a f x x b a a =+≠>的图象过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +=（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 13．函数
121
8
x y -=的定义域是_________________；值域是____________________．
14．已知全集{
}
6
|
5M a N a Z a
=∈∈-且，则M =___________________．
15．函数()f x 在R
上为奇函数，且()1(0)f x x =>，则当0x <，()f x = ．
16．函数
()lg(32)2f x x =-+恒过定点 ．
17．若log 2,log 3a a m n =
=，则32
m n a
-= ．
18．已知函数
3log ,0()2,
0x
x x f x x >?=?≤?，则 1()9f f ??????的值为 ． 19．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是_____________．
20．函数
2()23f x x mx =-+，当[)2,x ∈-+∞时是增函数，当(],2x ∈-∞-时是减函数，则(1)f =_________．
21．（1
）求函数21()log x f x -=（2）求函数[)241(),0,53
x x
y x -=∈的值域． 22．已知
[]()9234,1,2x x f x x =-?+∈-，
（1）设[]3,1,2x t x =∈-，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的最大值与最小值；
23．已知函数
()f x 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减，
求满足22(23)(45)f x x f x x ++>---的x 的集合．
【综合练习二】 1．设集合{}04x x P
≤≤=，{}02y y Q ≤≤=，由以下列对应f
中不能．．
构成A 到B 的映射的是（ ） A ．
12y x =
B ．13y x =
C ．23y x =
D ．1
8
y x = 2．下列四个函数:（1）
1y x =+；
（2）1y x =-；（3）2
1y x =-；（4）1
y x
=，其中定义域与值域相同的是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4） 3．已知函数
7()2c
f x ax bx x
=++
-，若(2006)10f =，则(2006)f -的值为（ ） A ．10 B ．— 10 C ．— 14 D ．无法确定 4．设函数1(0)
()1(0)x f x x ->=
?
，则()()()()2a b a b f a b a b ++-?-≠的值为（ ） A ．a B ．b C ．a 、b 中较小的数 D ．a 、b 中较大的数 5．已知矩形的周长为1，它的面积S 与矩形的长
x 之间的函数关系中，定义域为（ ）
A ．
{
}
104
x x <<
B ．
{
}
102
x x <<
C ．
{
}
1142
x
x << D ．
{
}
1
14
x
x <<
6．已知函数y=x 2-2x+3在[0，a](a>0)上最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．07．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤2 B ．a ≤-2或a ≥2 C ．a ≥-2 D ．-2≤a ≤2
8．已知奇函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞?+∞，且对任意正实数1212,()x x x x ≠，恒有1212
()()0f x f x x x ->-，则一定有（ ）
A ．(3)(5)f f >-
B ．(3)(5)f f -<-
C ．(5)(3)f f ->
D ．(3)(5)f f ->- 9．已知函数1()1x f x x
+=
-的定义域为A ，函数y=f(f(x))的定义域为B ，则（ ）
A ．A
B B ?= B ． A B A ?=
C ．A B ?=Φ
D ．A B A ?= 10．已知函数y=f(x)在R 上为奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则f(x)在0x ≤时的解析式是（ ） A ． f(x)=x 2-2x B ． f(x)=x 2+2x C ． f(x)= -x 2+2x D ． f(x)= -x 2-2x
11．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是0x x =，它在[a ，b]上的值域是 [f(b)，f(a)]，则 （ ）A ． 0x b ≥ B ．0x a ≤ C ．0[,]x a b ∈ D ．0[,]x a b ?
12．如果奇函数y=f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7，-3]上（ ）
A ．增函数且有最小值-5
B ． 增函数且有最大值-5
C ．减函数且有最小值-5
D ．减函数且有最大值-5 13．已知函数22
()1x
f x x
=
+，则11
(1)(2)(3)()()23
f f f f f ++++= ．
14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ．
15．定义域为2
[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 16．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 17．作出函数2
23y x x =-++的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0，4]上的值域．
18．定义在R 上的函数f (x )满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (
12
2
x x +)≤
12
［f (x 1)+f (x 2)］，则称函数f (x )是R 上的凹函数．已知函
数f (x )＝ax 2+x (a ∈R 且a ≠0)，求证：当a ＞0时，函数f (x )是凹函数；
19．定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f (x )+f (y )=f (1x y xy
++)．
(1)求证：函数f (x )是奇函数；
(2)如果当x ∈(－1，0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1，1)上是单调递减函数；
20．记函数f (x )的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使f (x 0)=x 0成立，则称以(x 0，y 0)为坐标的点是函数f (x )的图象上的“稳定点”． (1)若函数f (x )=
31x x a
-+的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；
(2)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )存在有限个“稳定点”，求证：f (x )必有奇数个“稳定点”．
