概率统计 复习题
概率统计习题
1．设 A 、B 为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8.则P(B )A .
2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= .
3. 设随机变量2(,)X μσN ，X
Y e =，则Y 的分布密度函数为 .
4. 设随机变量2(,)X μσN ，且二次方程240y y X ++=无实根的概率等于0.5， 则μ= .
5. 设()16,()25D X D Y ==，0.3X Y ρ=，则()D X Y += .
6. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 .
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.
8. 设125,,X X X 是来自总体(0,1)X N
的简单随机样本，统计量12()/~()C X X t n +，则常
数C = ,自由度n = .
1.（10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？
2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为
/5
(1/5)0()0
x e x f x -?>=?
?其它
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥.
3.（10分）设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求： (1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . .
4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望.
三. （10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--?>?=???
其它
其中,0μθ>是未知参数，12,,,n x x x 是一组样本值，求： （1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.
四. （8分）假设?θ是θ的无偏估计，且有?()0D θ
>试证2
?θ2?()θ=不是2
θ的无偏估计.
五. （8分）设112,,,n X X X 是来自总体211~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y 是来自总体222~(,)Y N μσ的
一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为2212,S S ，且设221212,,,μμσσ均为未知. 欲检验假设22
012:H σσ=，22
112
:H σσ<，显著性水平α事先给定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.
1．设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P .
2. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 .
3. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，则该射手的命中率为 .
4. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 .
5. 设随机变量22~()n χχ，则2()E χ ，2()D χ .
6. 设()3D X =，31Y X =+，则,||X Y ρ= .
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为
（答案用标准正态分布函数表示）.
8. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++-则当C = 时,CY ～2(2)χ.
1．将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为 。
2． 已知
41)(,21)|(,31)(=
==B P A B P A P ，则=)|(B A P _________________。
3.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若
4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为_________ 。 4.设随机变量X 的数学期望EX=4,方差DX=20,则EX 2＝ 。
5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
，y x x y x f 其他,
10,0,6),(≤≤≤??
?= 则=≤+}1{Y X P _________ 。
1.（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
2.（10分）一篮球运动员的投篮命准率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.
3.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
4.（10分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为
2211(,)0
x y f x y π
?+≤?
=???其它
(1) 求随机变量X ,Y 的边缘密度及,X Y 的相关系数,X Y ρ； (2) 判定,X Y 是否相关是否独立.
5.（10分） 假定一条生产流水线一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日中无故障这条生产线可产生利润20万元，一周内如果发生一次故障仍可产生利润6万元，发生两次或两次以上故障就要亏损两万元，求一周内这条流水线产生利润的数学期望.
三. （10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为.
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--?>?=???
其它
其中,0μθ>是未知参数， 12,,,n x x x 是一组样本值，求： （1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.
四. （8分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为0λ>的泊松(Poisson)分布，证明X Y +仍服从泊松分布，参数为2λ.
五. （8分）设112,,,n X X X 是来自总体211~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y 是来自总体222~(,)Y N μσ的
一组样本，两组样本独立. 其样本方差分别为2212,S S ，且设221212,,,μμσσ均为未知. 欲检验假设22
012:H σσ=，22
112
:H σσ>，显著性水平α事先给定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.
六、盒子中有4个红球，2个白球。
（1） 从中任取3个，至少一个白球的概率。
（2） 有放回地取3次，每次取一球，以X 表示取出的白球数，求X 的概率分布以及期望EX 和方差DX 。（10
分）
1．设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(A|B)=0.8，则下列结论正确的是( )。
A. 事件A 与B 相互独立
B. 事件A 与B 互斥
2. 一批产品共50个,其中45个是合格品，5个是次品，从这些产品中任取3个,其中有次品的概率有( )。
A
350
35C C B 3
50
35
350C C C - C 350
345C C D 3
50
345
350C C C -
3．若随机变量X 的概率密度为2
4
4221)(-+-=
x X e
x f π
, 则E(X)=( )。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （0，1）和N （1，1），则以下结论成立的是( )。
A. 1{0}2P X Y +≤= ；
B. 1{1}2P X Y +≤=
C. 1{0}2P X Y -≤=
D. 1
{1}2
P X Y -≤=
5. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立 B. X 和Y 不独立 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)
1．设A,B,C 是三个随机事件，事件：“A,B,C 中至少有两个发生”，可以用A,B,C 表示为 . 2. 已知事件A,B 相互独立且互不相容，{}min P(A),P(B)= .
3. 设随机变量ξ服从泊松分布，且(1)(2),p p ξξ===则(4)p ξ= .
4. 设二维随机变量(,)ξη的联合分布函数为(,)F x y ，概率(,)p a b d ξη≤<<可以用(,)F x y 表示为 .
5. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 .
6. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两。则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.
1.（8分）设有甲乙两袋，甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球.今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.问从乙袋中取到白球的概率是多少？
2.（8分）二维随机变量),(ηξ的联合分布律为
22
(,)(1)2,3,,
1,2,1,01
j P i j p p j i j p ξη-===-==-<<
（1）.求边际分布律i P 和P j ；（2）.求条件分布律ξ|ηP (|)i j
3.（8分）设(,)ξη的联合密度函数为
1
,
01,02(,)20,x y f x y ?≤≤≤≤?=???
求（1）ξ与η中至少有一个小于1/2的概率；（2）ξη+大于1的概率.
4.（8分）设随机变量),X N μσ 2
（,),Y N μσ 2
（,且设X 与Y 相互独立，
试求1Z X Y αβ=+与2Z X Y αβ=-的相关系数（其中α、β是不为零的常数）.
5.（8分）某商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为
,0()0,
x e x f x x λλ-?≥=?
设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的密度函数.
三. （15分）设总体X 的分布密度为
1
,
0(,)0,
x f x θθθ
?≤≤?=???其它 其中0θ>是未知参数， 12(,,,)n X X X =X 是来自总体X 的样本，求：
（1）θ的矩法估计量1
?θ
； （2）验证 1θ、2?[(1)/]n n M θ=+都是θ的无偏估计量(其中1max{,}n M X X = )； （3）比较 1θ、2
?θ两个无偏估计量的有效性.
四. （7分）假设总体的分布密度为
2
222exp(),
0(;)00x x x f x x θθθ
?->?=??≤?
其中0θ>是未知参数，试求参数θ的极大似然估计量.
五. （8分）设总体20~(,)X N μσ分布， 12(,,,)n X X X =X 为一组样本。欲检验假设00:H μμ=，10:H μμ≠，显著性水平α事先给定，(,)μ∈-∞+∞未知，200σ>已知. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.
六、某公司在第一和第二个厂生产电视机显象管，每周产量共3000个，其中第一厂生产1800个有1%为次品，第二厂生产1200个有2%为次品。现从每周生产的产品中任选一个，求下列事件的概率：（1）选出的产品为次品；（2）已知选出的产品为次品，它是第一厂生产的概率。（10分） 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）
1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则()()
P AB P AB += 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2
Y X =的概率密度函数为
4．设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2
4E X ??+=??
5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得{}
22P X -≥≤ .
6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当a = 时,
()()22
123422Y a X X a X X =++-~()22χ.
三、甲袋中3个球的编号分别为1，2，3，乙袋中3个球的编号分别为4，5，6， 今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为偶数号球的 概率为多少？
()2221,0
,0
x y y f x y π
?+<>?
=???其它
试证：随机变量X 与Y 不独立，而且X 与Y 不相关。
（10分）
五．设二维随机变量Y 与X 的联合分布密度???<<<<=其它,
01
0,,6),(2x x y x y x f
分别求关于X 与关于Y 的边缘密度函数。
六．设连续型随即变量X 的概率密度??
?
??<≤-<≤-+=其它,01
0,10
1,1)(x x x x x f ，
求E(X ),D(X )
七．设甲乙两人加工同一种零件，其零件的直径分别为随机变量为X,Y,且),(~),,(~2
22211σμσμN Y N X ，今从它们的产品中分别抽取若干进行检测，测得数据如下：397.4,50.21,7,216.2,93.20,82222111======s y n s x n
试比较两人加工精度（方差）在显著性水平05.0=α 下有无显著差异。 （查表：12.5)7,6(,70.5)6,7(025.0025.0==F F ）
八． 设随机变量X 与Y 独立，且X 服从（0，1）上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，求： （1）2Z X Y =+的概率密度；
（2）max(,)M X Y =的概率密度。（10分）
六. 设X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，又设X 和Y 相互独立，试求Z=X+Y 的密度函数。（10分）
七．袋中有2只白球，3只黑球，现在进行无放回模球，定义：
???=，第一次摸出黑球第一次摸出白球0,1X ??
?=，第二次摸出黑球
第二次摸出白球
0,1Y 试求：（1）（X,Y ）的联合概率分布;(2) X 与Y 的边际分布。
（3）问X 与Y 是否独立？（10分）
八．设一个系统由两个相互独立的灯泡连接而成，两个灯泡的寿命分别为X 和Y ，且都服从参数为1的指数分布，求：（1）当这两个灯泡并联时，系统的寿命的概率密度；（2）当这两个灯泡串联时，系统的寿命的概率密度。 九．设随机变量服从拉普拉斯分布，其密度函数为∞<<-∞=
-x e x f x
,2
1)( 试求：（1）求E （X ）和D （X ）；（2）求X 与x 的协方差，并问X 与x 是否不相关？（3）问X 与x 是否独立？
1．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿
A ．
B A ? B ． A B ? Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P
2．设随机变量的概率密度21()0
1x x f x x -?T >=?≤?，则T=（ ）。
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2
3．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是＿＿＿＿＿ A ． 0()1F x ≤≤ B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x ==
Ｄ．
4．设1
X ，2
X 独立，i
1{0}2P X
==
，i 1
{1},(i 1,2)2
P X ===，下列结论正确的是＿＿＿＿＿
Ａ．1X
=2X B ．1{P X =2}1X = C ．1
{P X =21}2
X = D ．以上都不对 5设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2
σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿ Ａ．4114i i X X ==∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．4
22
1
1
()i
i K X
X σ==-∑
Ｄ．42
1
1()3i i S X X ==-∑
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分
1 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”
2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是
3．设随机变量X 与Y 相互独立，()()~1,2,~0,1,X N Y N 则随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数 4．已知()
2
~2,0.4,X N -则()2
3E X +=
5.设()~,4X N μ，容量9n =，均值 4.2X =，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为 (查表0.025 1.96Z =)
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）
1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？
2．设连续型随机变量X 的密度为 ???≤>=-.0,
00,)(5x x Me x f x
(1)确定常数M (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).
3、设二维随机变量(X,Y) 的协方差矩阵为
9444-?? ?-??
而且()()1,2E X E Y ==，试求()()22
23,367D X Y E X Y XY -+--
（10分）
4. 设1,,n X X 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为
()()1010x x f x θ
θ?+<>=?
?
其它
其中0θ>未知，求θ的矩估计和最大似然估计。 （10分）
5．设样本121,,,,=n n X X X X 来自总体），（2
~σμN X ，∑==n i I X 1
n 1X ∑=-=n i i X X S 122
)(1-n 1 ，试证：)1(~1
S 1-+-=
+n t n n
X
X t n 。 （10分） 6．设12n X ,X ,X ?,为总体X 的一个样本，X 的密度函数()1,01
0,
x x f x ββ-?<<=??其他，
0β>.求参数β的矩估计量和极大似然估计量。
四、证明题（本大题共2小题，共10分） 1. 设三个事件,,A B C 满足AB C ?,试证明:()()()1P A P B P C +≤+
2. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立
一 填空题（每题3分，共15分）
1．从含有6个红球，4个白球和5个蓝球的盒子里随机地摸取一个球，则取到的是红球的事件的概率等于 。
2．若()()520,0
,0x y Ae
x y x y ?-+?>>?=?
??
其它
为随机变量(),ξη的联合概率密度，则常数A=________________。
3. 设(),X R a b ，则()2D X =
4. 当()
2
,X N μσ 时，Y kX c =+
，其中,0k c k ≠为常数，且。
5.
设),,,(21n Y Y Y 是来自总体Y 的样本,Y 的分布密度为
?
?
??<<=-)1,0(01
0),(1x x x x f θθθ则参数θ的矩法估计为θ=.______,,
二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，
总计18分）
1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( )
(A) ()
|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) ()
|P A B ; (D) ()P AB
2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( )
(A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( )
(A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续 4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤=
,5
{1}{1}9
P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13
5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差()32D X Y -= ( )
(A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6
6. 设12,,,n X X X 是正态总体X ~()
2
,N μσ的样本,其中σ已知,μ未知,则下列不是统计量的是( )
(A) 1max k k n
X ≤≤; (B) 1min k k n
X ≤≤; (C) X μ-; (D)
1
n
k
k X σ
=∑
1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4,
(1) 求恰有2位同学不及格的概率；
(2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.
2．已知连续型随机变量X 的分布函数为2
20,
0(),0
x x F x A Be x -≤??
=??+>?, 求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x
;(3) )
2P X <<
3．设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:
,0()0,
0x X e x f x x -?>=?≤?,1,01
()0,Y y f y <
求随机变量Z X Y =+的概率密度
4．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：,02,(,)0,
A x y x
f x y ?<<<=?
?其他
（1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；
（3）X 和Y 是否独立?
5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数：3,
0,01
(,)0,
y x y y f x y <<<
?其他
求（1）数学期望()E X 与()E Y ；（2）X 与Y 的协方差(),Cov X Y
6 . 设总体X 概率密度为()1,01
()0,
x x f x θθ?+<<=??其他，1θ>-未知，12,,n X X X 为来自总体的一个样本. 求
参数θ的矩估计量和极大似然估计量.
四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）
1. 设,,A B C 任意三个事件,试证明:()()()()P AB P BC P B P AC +-≤ 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）
1. 设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B = ,则()|P A B = 2．设10把钥匙中有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是
3．设X ~(10,3),N Y ~(1,2)N , 且X 与Y 相互独立, 则(32)D X Y -= 4．设随机变量[0,6]X 在区间上服从均匀分布,则关于未知量x 的方程2
210x Xx ++=有实根的概率为_________
5. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得
{}212P X <<≥ .
二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，
总计20分）
1．设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >,，则有
(A) ()|0P B A =; (B) ()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =; (D) ()()P AB P A =
2. 设X ~2
(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+
(A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小 3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥=
,2
{0}{0}5
P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥=
4．设,X Y 相互独立，X 服从()0,2上的均匀分布，Y 的概率密度函数为,0
()0,0
y Y e y f y y -?≥=?
＿＿＿＿
(A) 1
1e --; (B) 2
1e --; (C) 2
12e --; (D) 1
10.5e --
5. 设总体X ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计量的是
(A) X ; (B) 123X X X +-; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D) 1
n
i
i X
=∑
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）
1．某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80％，10％，10％，
现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率. 2．已知随机变量X 的密度为,01
()0,
ax b x f x +<
?其它,且{1/2}5/8P x >=,
求: (1) 常数,a b 的值; (2) 随机变量X 的分布函数()F x
3．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：21
,01,02;
(,)3
0,
x xy x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他 （1）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（2）求条件密度()()|||,|X Y Y X f x y f y x ；
（3）求概率{}P X Y >.
4 . 设随机变量,X Y 独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，设2U X Y =+,2V X Y =-, 求随机变量U 与V
的相关系数UV ρ
5 . 设总体X ~(100,)b p 为二项分布，01p <<未知，12,,n X X X 为来自总体的一个样本. 求参数p 的矩估计
量和极大似然估计量。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立
2. 设总体为X , 期望()E X μ=,方差()2
D X σ=,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, 样本均值
11n i i X X n ==∑,样本方差()22
1
11n i
i S X X n ==--∑,证明:2S 是参数2σ的无偏估计量 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）
1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为（ ）。
(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6
2．设随机变量的概率密度?
??≤>=-101)(2x x Bx x f ，则B=（ ）。
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3．对于任意随机变量Y X ,，若)()()(Y E X E XY E =，则（ ）。 (A) )()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+ (C) Y X ,一定独立 （D ）Y X ,不独立 4．设)(~),(~
2222122
1n n χχχχ，22
21,χχ独立，则~2
221χχ+（ ）。 (A) )(~22221n χχχ+ （B ）~2221χχ+)1(2
-n χ
22222
(A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543
二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．设A 、B 为互不相容的随机事件,5.0)(,2.0)(==B P A P 则=?)(B A P （ ）。 2．设有9件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ ）。 3．设随机变量X 的概率密度???≤≤=其它
,
01
0,
1)(x x f 则{}=>3.0X P （ ）。
4．设D(X)=9, D(Y)=16,
5.0=xy ρ，则D(x+y)=（ ）
。 5．设),(~2σμN X ，则~n
X σμ
-（ ）
。 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）
1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？
2．设连续型随机变量X 的密度为 ???≤>=-.0,
00
,)(5x x Me x f x
(1)确定常数M (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).
3．设二维随机变量Y 与X 的联合分布密度???<<<<=其它,
01
0,,6),(2x x y x y x f
分别求关于X 与关于Y 的边缘密度函数。
4．设连续型随即变量X 的概率密度??
?
??<≤-<≤-+=其它,01
0,10
1,1)(x x x x x f ，
求E(X ),D(X )
5．设甲乙两人加工同一种零件，其零件的直径分别为随机变量为X,Y,且),(~),,(~2
222
11σμσμN Y N X ，今从它
们的产品中分别抽取若干进行检测，测得数据如下：397.4,50.21,7,216.2,93.20,82
222
111======s y n s x n
试比较两人加工精度（方差）在显著性水平05.0=α 下有无显著差异。 （查表：12.5)7,6(,70.5)6,7(025.0025.0==F F ）
6．在上题的基础上，求21μμ-的置信度为90％的置信区间。)7709.1)13((05.0=t 四．证明题（本大题共2小题，总计10分）
1．设t
?是参数t 的无偏估计，且0)?(>t D ，证明: 2?t 不是2t 的无偏估计量。 2．设 ,,,,21n ξξξ是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，试证对它成立大数定理的充要条件为
)()(221n o D n =+++ξξξ 。
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，
总计15分）
1．设随机变量的概率密度???≤>=-10
1
.)(2x x x x f θ，则θ=（ ）。
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为（ ）。
(A) 3/6 (B)2/3 (C)1/6 (D) 1/3
(A)
)(~22221n χχχ+ （B ）~2
2
21χχ+)1(2-n χ (C) ~2221χχ+t(n) （D ）~2
221χχ+)(212n n +χ
4．对于任意随机变量z ,y ，若)z ()y ()yz (E E E =，则（ ）。 (A) )z ()y ()yz (D D D = （B ）)z ()y ()z y (D D D +=+ (C) z ,y 一定独立 （D ）z ,y 不独立
5．设)4,1(~N X ，且6179.0)3.0(=Φ，6915.0)5.0(=Φ，则P{0 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．设有5件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ ）。 2．设A 、B 为互不相容的随机事件,5.0)(,3.0)(==B P A P 则=?)(B A P （ ）。 3．设D(X)=4, D(Y)=9, 5.0=xy ρ，则D(x+y)=（ ） 。 4．设随机变量X 的概率密度???≤≤=其它 , 01 0, 1)(x x f 则{}=>2.0X P （ ）。 5．设),(~2σμN X ，则 ~n X σμ -（ ） 。 三、计算题（本大题共6小题，每小题12分，总计60分） 1．设连续型随机变量X 的密度为 ? ??≤>=-.0,00 ,B )(5x x e x f x (1)确定常数B (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x). 2．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40％，35％，25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ 3．设连续型随机变量X 的概率密度?? ? ??≤≤-<≤-+=其它,01 0,101,1)(x x x x x f ， 求E(x),D(x) 4．设二维随机变量（X, Y ）的分布密度???<<<<=其它, 01 0,,6),(2x x y x y x f 求关于X 和关于Y 的边缘密度函数。 5．有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值503.75x =克，样本方差 6.2022S =。求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。（0.05α=，查表()0.02515 2.1315t =） 6.某厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布() 2 ,N μσ,μ=40cm/s, 2/cm s σ=。现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n =只，测得燃烧率的样本均值为41.25/x cm s =。 设在新方法下总体均方差仍为2cm/s ，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平0.05α=。（查表0.05 1.645Z =） 四．证明题（本大题共1小题，总计10分） 设}{k X 为相互独立且同分布的随机变量序列，并且k X 的概率分布为P{k X =2i-2lni }=2-i (i=1,2,…), 试证}{k X 服从大数定理。 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 概率论与数理统计复习题（1） 一． 填空. 1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。 2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。 3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= 长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。 二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 四． X 的概率密度为? ??<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。（1）求常数k 和c ；(2) 求X 的分布函数F(x)； 五． （X,Y ）的概率密度 ???<<<<+=otherwise ,02 0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求 （1）常数k ；（2） X 与Y 是否独立；（3）XY ρ； 六．.设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试 将其余概率值填入表中空白处. 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 概率统计试题分析 1 一、填空题 1、已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，求( )P A B = 0.2 。 2、设X 和Y 相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布，记事件 }{}{a Y B a X A >=≤=,，且7 ()9 P A B = ，则常数 a = 5733 a =或。 3、某机构有一个9人组成的顾问小组，如每个顾问提出正确意见的概率是7.0，现在该机构对某事可行与否征求各位顾问的意见， 并按多数人意见做出决策，做出正确决策的概率= （写出计算表达式）9 9950.70.3k k k k C -=??∑ 4、设(0,1)X U :，则2ln Y X =-的概率密度为 21, 0()2 00 y Y e y f y y -?>?=??≤? 5、如果存在常数)0(,≠a b a , 使()1P Y aX b =+=，且 +∞< 22 1 1(1)~(4)n i i n X χ=-∑ 8、设∧ θ是θ的无偏估计，()0D θ∧ >，则比较大小2 ()E θ∧ > 2 θ 二、（10分）对有100名学生的班级考勤情况进行评估，从课堂上随机点了10位同学的名字，如果班上学生的缺勤人数从0到2是等可能的，并且已知该班考核为全勤，计算该班实际上确实全勤的概率。 解 设i A 表示实际缺勤人数0,1,2i =，所以1 ()3 i P A = 设B 表示点名为全勤（优秀）1010010100 ()i i C P B A C -=，0,1,2i = 0002 ()() 110 ()0.369298 ()() i i i P A P B A P A B P A P B A == = =∑ 三、（12分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为： ()201,02 ,3 xy x x y f x y ?+ <<< 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 概率统计重修复习题型 填空题： 1. 已知P (A )=0.4，P (B )=0.6，P (AB ) =0.2，则P (A ∪B )= 。 2. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.7，则=)(A B P 。 3. 已知P (A )=0.5，P (B )=0.4，P (A ∪B )=0.7，则=-)(B A P 。 4. 已知P (B )=0.1，则P (B ) = 。 5. 从5双鞋子中选取4只，这4只鞋中恰有两支配成一双的概率为 。 6. 一袋中有20个乒乓球，其中8个是黄球，12个是白球. 今有2人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回。则第二个人取得黄球的概率是 。 7. 有6支笔，其中2支蓝笔，4支红笔. 今有3人依次随机地从中各取一支笔， 取后不放回。则第三个人取得红笔的概率是 。 8. 已知随机变量X 的密度为，其他?? ?<<=, 01 0,)(x x a x f 则a = 。 9. 设X 是连续型随机变量，则P {X = 5} = 。 10. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f += π,+∞<<∞-x ,则Y = 2X 的概 率密度为 。 11. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则X Y +的概率密度函数()X Y f z += 。 12. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的分布函数为F (x ), Y 的分布函数为 G (x )，则 Z = max{ X ,Y }的分布函数为 。 13. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的概率密度函数为f (x ), Y 的概率密度 函数为g (y )，则X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y = 。 14. 设随机变量X 服从指数分布，且=)(X D 0.2，则=)(X E 。 15. 设随机变量X 服从泊松分布，且=)(X D 0.3，则=)(X E 。 16. 设~U(1,5),X -则=)(X E ，()D X = 。 17. 设~b(5,0.1),X ~π(2),Y 且,X Y 相互独立，则()E XY = 。 18. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则=-)32(Y X D 。 19. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则相关系数为 。 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 一.填空题（每空题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 , =)B -A (p 0.1 ，)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、 第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、 乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。 （2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4， Y X 与的协方差为: - 0.2 ， 2Y X Z +=的分布律为: 6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ， (~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。 7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则： =-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。 8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。则：~X N （8 ， 8/13 ）， ~16252 S )25(2χ， ~5 2/8s X - )25(t 。 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . ○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○ ………… 学校: ___ ___ _ _ __ _姓名：___ _ __ ___ _ _班级：__ __ _ _ ___ _ _考号：_ _____ __ ___ ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … …○ … … … … 订… … … … ○ … ………线…………○………… 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a 和b 所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度. 第一次 1．6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个不同单位，每单位1人.则分配方法有___________种. 2．平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_______条不同的直线. 3．若随机试验E是：在六张卡片上分别标有数字0，1，2，3，4，5，从中任意依次取出两张,取后不放回，组成一个二位数，则E的样本空间中基本事件个数是______________ 4．由0，1，2，3，4，5六个数字可以构成多少个不能被5整除的六位数. 5．一项工作需5名工人共同完成，其中至少必须有2名熟练工人.现有9名工人，其中有4名熟练工人，从中选派5人去完成该项任务，有多少种选法. A表示“第i个零件是正品”()4,3,2,1=i.试用i A表示事件A: 6．设有四个零件.事件 i “至少有一个次品”,B:“至多一个次品” 1．下列诸结论中, 错误的是( ) )(A 若0)(=A P 则A 为不可能事件 )()()()(B A P B P A P B ≥+ )()()()(A P B P A B P C -≥- )()()()(BA P B P A B P D -=- 2．设事件B A ,互斥 ,q B P p A P ==)(,)(, 则)(B A P 等于 ( ) q A )( q B -1)( p C )( p D -1)( 3．已知 ===)(,18.0)(,72.0)(A P B A P AB P 则 ___________ 4．将3个球随机地放入4个盒子中，记事件A 表示：“三个球恰在同一盒中” .则)(A P 等于 _________________ 5．8件产品中有5件是一级品，3件是二级品，现从中任取2件，求下列情况下取得的2件产品中只有一件是一级品的概率：( 1 ) 2件产品是无放回的逐次抽取；( 2 ) 2件产品是有放回的逐次抽取. 6．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人2 0分钟，过时就可离去.试求这两人能会面的概率.概率论与数理统计习题集及答案
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