平面向量复习课教案

平面向量复习课

一．考试要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 二．知识梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算

几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。 坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)

(2) 平面向量的数量积 ： a ?b=a b cos θ

设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a ?b=x 1x 2+y 1y 2

（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ

若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=0

3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥

· =0

设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程

（一）基础知识训练

1.下列命题正确的是 （ ）

)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线 2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=AB a ， =FA b ，则=BC （ ）

)

(A )(2

1b a - )

(B )(2

1b a + )(C b

a - )

(D b

a +2

1

3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）

)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ

4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。 （二）．典例分析

例1：（1）设a 与b

为非零向量，下列命题：

①若a 与b 平行，则a 与b

向量的方向相同或相反；

②若,, AB a C D b ==

a 与

b 共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；

③若a 与b 共线，则a b a b +=+ ；④若a 与b 反向，则a a b b

=-

其中正确命题的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

（2）下列结论正确的是 （ ）

（A ）a b a b = （B ）a b a b -<- （C ）若()()0a b c c a b -=

（D ）若a 与b 都是非零向量，则a b ⊥ 的充要条件为a b a b +=-

错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A 或B 或C 。

分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。

第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（a 与b

共

线）的充要条件中所存在的常数λ可看作为向量b

作伸缩变换成为另一个向量

a 所作的伸缩量；若a ，

b 为非零向量，则共线的a 与b 满足a 与b

同向时

b a a b = ，a 与b 反向时b

a a b

=-

。

第（2）小题中，正确答案为（D ）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D 同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。

例2 设a 、b 是两个不共线向量。AB=2a +k b BC=a +b CD=a -2b A 、B 、D 共线则k=_____(k ∈R) 解：BD=BC+CD=a +b +a -2b =2a -b 2a +k b =λ(2a -b )=2λa -λb ∴ 2=2λ且 k=-λ ∴ k=-1

例3 梯形ABCD ，且|AB|=2|DC|,M 、N 分别为DC 、AB 中点。 AB=a AD=b 用a ，b 来标DC 、BC 、MN 。 解：DC=

2

1AB=

2

1a

BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a + 2

1a =b - 2

1

a

MN=DN-DM=

2

1a-b -4

1a = 4

1

a-b

例4 |a |=10 b =(3,-4)且a ∥b 求a

解：设a =(x,y)则 x 2+y 2

=100 （1） 由a ∥b 得 -4x-3y=0 （2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8

∴ a =(6,-8)或(-6,8) 四． 归纳小结

1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形

中发现向量间的关系。

2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意

零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。

五．作业：

1、下列命题正确的是（ ）

A ．若0||=a ，则0=a

B ．若||||b a =，则b a =或b a -=

C ．若b a ||，则||||b a =

D ．若0=a ，则0=-a

2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点)1,2(-A 、)3,1(-B 、)4,3(C ，则顶点D 的坐标为（ ）

A ．)2,1(

B ．)2,2(

C ．)1,2(

D ．)2,2(-- 3、设)0(||>=m m a ，与a 反向的单位向量是0b ，则a 用0b 表示为

A ．0b m a =

B ．0b m a -=

C ．0

1b m a =

D ．0

1b m

a -

=

4、D 、E 、F 分别为ABC ?的边BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =，b CA =，下列命题中正确命题的个数是（ ） ①b a AD --

=2

1；②b a BE 2

1+

=；③b

a CF 2121+

-

=；

④0=++CF BE AD 。

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

5、化简：AD DE AC CE --+=__________。

6、已知向量)2,1(,3==b a

，且b a ⊥，则a 的坐标_____________。

7、若()0,2,12

2=?-==a b a b a ，则b a 与的夹角为______________。

8、已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a

其中

求 （1）b

a b a

+?;的值； （2）a 与b

的夹角。

9、如果向量a 与b ，c 的夹角都是?60，而c b ⊥，且1||||||===c b a ，求

)()2(c b c a +?-的值。

10、如图，设O 为ABC ?内一点，PQ ∥BC ，且

t

BC

PQ =，=OA a ，

=OB b

，=OC c ，试用a ，b ，c 表示OQ OP ,．

答案

基础知识训练：D ，C ，D ，2

达标练习： D ，B ，B ，D ， 5，0； 6，（

5

56，—

5

53），（—

5

56，

5

53）

7，450， 8，(1)a ?b=10, b a +=52 (2) θ=arccos 221

10

9,-1 10,OP =(1-t)a +t b , OQ =(1-t)a +t b

(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案

平面向量 第一课时 平面向量的概念 【重要知识】 知识点一：向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量。 注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 知识点二：向量的表示法 ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 知识点三：有向线段 （1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （2）向量与有向线段的区别： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 知识点四：两个特殊的向量 （1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0r . 0r 的方向是任意的. 注意0r 与0的含义与书写区别. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 知识点五：平行向量、共线向量 （1） 定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。 （2） 规定：规定0r 与任一向量平行. （3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义; ②向量,,a b c r r r 平行，记作a r ∥b r ∥c r ③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； ④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点六：相等向量

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。

人教新课标版数学高一- 必修4第二章《平面向量》章末复习课

章末复习课 课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用． 知识结构 一、选择题 1．若向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，则(a ·b )(a ＋b )等于( ) A ．20 B ．(－10,30) C ．54 D ．(－8,24) 2．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A. AO →＝OD → B. AO →＝2OD → C. AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 4．在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC → 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3

5．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －???? a·a a·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC → )等于( ) A.49 B.43 C ．－43 D ．－49 二、填空题 7．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是____________． 8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是______． 9．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 三、解答题 11．已知A (1，－2)、B (2,1)、C (3,2)和D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →. 12．设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R . (1)若a 与b 起点相同，t 为何值时a ，t b ，1 3(a ＋b )三向量的终点在一直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？

高三第二轮复习平面向量复习专题

数学思维与训练 高中（三） ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1． 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向 量与 的夹角为 （ C ） A ． B ． C ． D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有| －t |≥| －|，则 （ ） 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

数学必修4_第二章_平面向量知识点

数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行， 零向量a ＝0?｜a ｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a ?=。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：||a a e a = (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a --=a ； ③ ()0a a +-=； ④若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。

b a b - C （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为b a =。相等向量经过平移后 总可以重合。 2.2 平面向量的线性运算 1.向量加法 （1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。 规定：a a a =+=+00； （2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量 是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 ② 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向 最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注： 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++ ++=，但这时必须“首尾相连”。 （3）向量加法的运算律： ①交换律：a b b a +=+ ②结合律：()()a b c a a c ++=++ 2.法向量的减 （1） 定义：若a x b +=则向量x 叫做a 与b 的差，记为b a -。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 （2） 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 三角形法则：当,a b 有共同起点时，a b -表示为从减向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量。 ② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所

高三数学复习：第35课时—平面向量的数量积

第五章 平面向量——第35课时：平面向量的数量积 一．课题：平面向量的数量积 二．教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的 充要条件和向量数量积的简单运用． 三．教学重点：平面向量数量积及其应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．平面向量数量积的概念； 2．平面向量数量积的性质：22||a a =、cos ,|||| a b a b a b ?<>=； 3．向量垂直的充要条件：0a b a b ⊥??=． （二）主要方法： 1．注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2．垂直的充要条件的应用； 3．当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性； 4．距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决． （三）基础训练： 1.下列命题中是正确的有 ①设向量a 与b 不共线，若()()0a b a b +?-=，则||||a b =； ②||||||a b a b ?=?； ③a b a c ?=?，则b c =； ④若()a b c ⊥-，则a b a c ?=? 2．已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =?=? （ ） ()A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 ()B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 ()C 甲是乙的充要条件 ()D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为 （ ） ()A 323 ()B 23 3 ()C 2 ()D 25- 4．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=，且5a b ?=，则向量b =___ __ ____. 5．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为 。 6．设向量,a b 满足||||1,|32|3a b a b ==-=，则|3|a b += 。 7．已知向量,a b 的方向相同，且||3,||7a b ==，则|2|a b -=___ ____。 8．已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ?-)2(= 。 （四）例题分析： 例1．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，

高中数学必修4平面向量知识点总结

高中数学必修4知识点总结 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一 直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终

高三一轮复习平面向量知识点及复数整理

第五期第三周集体备课发言材料 发言人：牟京华 时间：2018年9月27日 平面向量知识点整理 1、概念 （1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． （2）单位向量：长度等于1个单位的向量． （3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有零向量) ④三点A 、B 、C 共线 、 （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是-a （6）向量表示：几何表示法；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. （7）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 2 22222||,||a x y a a x y = +==+。） （8）零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ ； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． b a C B A

高中数学人教A版必修4讲义：复习课(三) 平面向量含答案

复习课(三) 平面向量 平面向量的概念及线性运算 1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题． 2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用． [典例] (北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________；y ＝________. [解析] ∵AM ＝2MC ，∴AM ＝2 3AC . ∵BN ＝NC ，∴AN ＝1 2(AB ＋AC )， ∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－2 3AC ＝12AB －1 6 AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16. [答案] 12 －1 6 [类题通法] 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． [题组训练] 1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9 解析：选D AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ， ∴－8(y ＋6)－24＝0. ∴y ＝－9.

2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， |BC |2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 解析：选C 由|BC |2＝16，得|BC |＝4. ∵|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|BC |＝4， |AB ＋AC |＝2|AM |， ∴|AM |＝2. 3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP ＝3OA －OB 2 ，则( ) A ．点P 在线段A B 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上 C ．点P 在线段AB 的延长线上 D ．点P 不在直线AB 上 解析：选B 由于2OP ＝3OA －OB ， ∴2OP －2OA ＝OA －OB ，即2AP ＝BA ， ∴AP ＝1 2 BA ，则点P 在线段AB 的反向延长线上． 平面向量的数量积 1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题． 2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法． [典例] (1)(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53 D.32 (2)(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM ＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( ) A ．20 B ．15

高三数学一轮复习优质教案5：5.1 平面向量的概念及线性运算教学设计

5.1 平面向量的概念及线性运算 『课前 考点引领』 考情分析 考点新知 ① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件. 『知识清单』 1. 向量的有关概念 (1) 向量：既有 又有 的量叫做向量，向量AB → 的大小叫做向量的 (或模)，记作|AB →|. (2) 零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3) 单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量． (4) 平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量．平行向量又称为 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 规定：0与任一向量 ． (5) 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量． (6) 相反向量：与向量a 长度 且方向 的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量． 2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法 ① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则． ③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法

① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则． 3. 向量的数乘运算及其几何意义 (1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝ ； ② 当 时，λa 与a 的方向相同；当 时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝ ；② (λ＋μ)a ＝ ；③ λ(a ＋b )＝ ． 4. 向量共线定理 向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是 一个实数λ，使得 ． 『课中 技巧点拨』 『题型精选』 题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题： ① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ； ③ 若AB →＝DC → ，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC → ； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误的命题有________．(填序号) 备选变式（教师专享） 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________． 题型2 向量的线性表示 例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，OA →＝a ，OB → ＝b ，

高中数学平面向量知识点总结[1]

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜ a ｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

高三数学 教案 平面向量复习课资料

平面向量复习课 中山市实验高中高三数学备课组 2019。3。8 一．考试要求： 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法。 3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 二．知识梳理 1．向量的概念： 向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。 2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算 几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。 坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2) (2) 平面向量的数量积 ： a ?b=a b cos θ 设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a ?b=x 1x 2+y 1y 2 （3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=0 3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥ · =0 设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程 （一）基础知识训练 1.下列命题正确的是 （ ） )(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线 2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ） )(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +2 1 3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ） )(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

------------------------------------ 旳器0吋 -------------------------------------------- 平面向量 【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】 1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a 。 3. 单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|1| 1。 4. 零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5. 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量。 6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。 7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。 8. 三角形法则： AB B C Ac ；AB B C CD D E A E；AB A C C B (指向被减数) 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 题型1.基本概念判断正误 (1) 共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2) 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 (3) 与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD是平行四边形的条件是 2.向量的模：向量的大小(或长度) 9.平行四边形法则 10.共线定理: Ta b a / /b。当 12.向量的模: (x, y)，则|a| 2 — □ ■ —— a 13. 数量积与夹角公式： ■ ■ 14. 平行与垂直：a//b | COS x°2 ；cos X2% ； a X1X2 yy 0 (5)若A B CD，则A B、c、D四点构成平行四边形。 (6)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。(7)若ma mb，贝U a Jla 或 4 — a 时, 反 向。 Jrb Jra |a| |b|

高中数学 第二章 平面向量章末复习课 新人教A版必修4

【金版学案】2016-2017学年高中数学第二章平面向量章末复习课 新人教A版必修4 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1．有关向量的注意点 (1)零向量的方向是任意的． (2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量． (3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量． 2．向量的运算律中的注意点 (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)． (2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c). 专题一有关向量共线问题

有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a ∥b ?a ＝λ b (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝0. [例1] 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，若k a ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值． 解：法一：向量k a ＋2b 与2a －4b 平行，则存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )． 因为k a ＋2b ＝4(1，2)＋2(－3，2)＝ (k －6，2k ＋4)． 2a －4b ＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)， 所以(k －6，2k ＋4)＝λ(14，－4)． 所以?????k －6＝14λ，2k ＋4＝－4λ，解得?????λ＝－12，k ＝－1. 即实数k 的值为－1. 法二：因为k a ＋2b ＝k (1，2)＋2(－3，2)＝ (k －6，2k ＋4)， 2a －4b ＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)， ka ＋2b 与2a －4b 平行， 所以(k －6)(－4)－(2k ＋4)×14＝0. 解得k ＝－1. 归纳升华 1．向量与非零向量a 共线?存在唯一实数 λ使b ＝λa . 2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)共线?x 1y 2－x 2y 1＝0. [变式训练] 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解：(1)因为a ＝mb ＋nc ， 所以(3，2)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )． 所以?????－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得?????m ＝59，n ＝89. (2)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)． 所以2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0，即k ＝－1613 . 专题二 有关向量的夹角、垂直问题

——高三数学复习课《平面向量的数量积》案.doc

循本索源变中出彩 高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析 江苏省苏州第十中学吴铐 在髙数学复习课中，如何真止做到精讲精练，提高复习效率，是髙二数学老师所面对的一个重婆课题.从典型的基础问 题入手，通过一题多解、触类旁通，或一题多变、举一反三，进行有效的变式教学既是我国数学教学的优良传统，也是新课稈 背景下引发学生自主、合作、探究的重要途径.下面以本人的一节高三数学复习课《平面向量的数量积》为例.通过对高考试 题的循本索源，引导学生进行自主探究、变中生成的教学实况，希望对髙厂数学复习有所启发. 一、课堂教学简录与赏析 1. 一题多变，唤醒知识 问题1已知|a|=2,|&|=4,向量a 与〃的夹角60° ,求a (b-a)的值. 教师：这是08年北京卷的一个改编题，请同学们快速给出答案. 学牛齐答：a ^-a)=a b-a 2=0. 教师：很好！我们通过这个问题的解答，复习了向量数量积的公式：a-b=\a\-\b\cos3 .请同学们继续解决下面的问题. 变题1已知|a|=2,W|=4,且向量a 与b-a 垂直，求向量a 与0夹角. 学牛:A ：将公式变形，cos 〃 = -^—= —=丄，由()W&W 龙，向量“与方夹角为60° . I?M*I l?M*l 2 教师：同学A 的解法实际上给出了求两个向量夹角的具体方法.那么下面的问题你能解吗？ 变题2已知|°|= 2,|〃|=4,向量。与〃的夹角60° ,求向量a 与2a~b 的夹角. 学生B ：用同学A 的方法，先求l\\\2a-b\=4和a 与2a_b 的o (2a-〃)= 4, 学生C ：我根据题意画了一张图，发现向量2a, 〃和2a~b 好构成一个正 来了. 同时我根据这个图还可以求出向量"与加+D 的夹角为30°? 教师：C 同学做得非常棒！数学结合的方法开阔了我们的思路，借助于平面 快速 解题，也说明我们掌握了向量的本质.B 同学的解法恰好完成了 08年江苏 “|=1,|曙3, 向量a 与方夹角120° ,则\5a~b\= ______________________ ”. 教师：请同学们继续探究下面的问题. 变题3已知\a\=2,\b\=4，向量a 与b 的夹角60°，若向量ka + b.a-2b 夹 的取 值范围. 学生D ：我认为只要(肋+ 〃)?(-7 . 学生E ： D 同学的答案没有考虑到这两个向量是否同向共线，要加上点工-丄? 2 教师：学生E 的补充很重要，事实上从向量数量积公式屮我们可以知道，向量a, 〃的夹角为锐角或钝角，都要考虑a, b 不共线. 教师：前面我们围绕平面向量数量积的公式，从不同的角度创造了使用公式的条件.下面的问题同学们能解决吗？ 变题4 在直角Z\ABC 中，ZA=90° , D 为斜边BC 的中点，AB=2, AC=4,求 乔?五. 学生讨论，方法丄要有：将向量分解成AD = -(AB + AC)或建立玄角 2 学生F ：我想到了一个好方法，如图，过D 作AB 的垂线DE,则 \AB\^AD\ cosZDAB) =| I ? I 1= 2x 1 = 2 . 教师：同学F 的想法太妙了，对平面向量数量积的公式的本质理解了, 投影 法，它可以把两个向量投影到一个向量上，用长度来计算，当然还需 角是锐角 还是钝角，以确定符号. 赏析：从问题1这个最基本的问题出发，通过变式创造了利用平面向量数量积公式的各个不同的视点，帮助学生在解决问 题中系统地理解和掌握了公式的本质.变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东 西更全面.使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间 的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内 容.用问题串构筑数学基础知识复习的方法是高三数学复习教学的非常有效的策略. 2. 解后反思，变中出彩 再用公式求出其夹角为60° . 三角形，很快就求出 几何知识的确可以 卷的问题“已知 角为钝角，求实数k 坐标系来求解. ADAB = 事实上这种方法称为 要观察两个向量的夹 R

高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型

高中必修4平面向量知识点归纳及常见题型 一.向量的基本概念与基本运算 向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向 线段的起点与终点的大写字母表示,如:AB 几何表示法 AB ,a ;坐标表 示法),(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模(长度)，记作｜AB |即 向量的大小,记作｜a 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行 零向量a ＝0 ?｜a 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何 向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与０的区别) ③单位向量：模为１个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行 向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,记作a ∥b (即自由向量),平行向量总可 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可

以重合，记为b a =大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a ＋b =AB BC +＝AC （1）a a a =+=+00;(２）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR +++ ++=,但这时必须“首尾相连”. 向量的减法 ① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 记作a -,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有： (i))(a --=a ; (ｉi ） a +(a -)＝(a -)+a =0 ; (ｉii)若a 、b 是互为相反向量,则a =b -,b =a -，a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差,