Java第6章习题课程同步练习答案
V 、课程同步练习
第6章 多元函数微分学 导学 6.1 多元函数微分的基本概念
6.1.1 点集与多元函数的概念
一、填空题 1．已知()2
2,y x xy y x f +=
，则()ty
tx f ,=22y x xy
+ 解：()ty tx f ,()()()()2
2
222222
2y x xy
y t x t xy t ty tx ty tx +=+=+=
2. 设3(1)z y f x =+-，且已知y =1时，z =x,则()f x =3(1)1x +-,1z y x =+-.
解：由y =1时，z =x ，得3(1)= 1.f x x --
令33331=t.(1),()(1) 1.()(1)1x x t f t t f x x -=+=+-=+-得因此即，1z y x =+-.
3.设()z
x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-
二、选择题
1．函数2222
ln(1)2z x y x y =+-+--的定义域为（B ）．
（A ） 22
1x y +>
（B ） 22
12x y <+≤
（B ） 2
2
2x y +≤ （D ） 22
2
≥+y x
2．函数
的定义域是（ ）。
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
解:由函数的表达式知函数的定义域为
即
，故应选（C ）。
3．设
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
解：由题设,故应选
（A ）。
三、求解下列各题 1. 下列各函数表达式:
(1) 已知f (x ,y )=x 2+y 2,求(,)f x y x y -； (2) 已知22(,),f x y x y x y -=+求f (x ,y ).
解：（1）2222(,)()()f x y xy x y xy x xy y -=-+=-+ （2）(
)2
2
2
2
(,)()2f x y xy x y x y xy
-=+=-+
所以22(,)2f x y x y =-
2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) 221sin
1
z x y =+-；
(2) 2211z x y =-+-;
(3) (,)1ln()f x y x x y =--； (4) 222
arcsin(3)
(,)x y f x y x y --=-
解：（1）由2210x y +-≠可得221x y +≠
故所求定义域为D ={(x ,y )| 221x y +≠}表示xOy 平面上不包含圆周的区域。 （2）由
221010x y ?-≥?-≥?
可得
11
11x y y -≤≤??
≥≤-?
或 故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1111x y y -≤≤≥≤-且或}，表示两条带形闭域。
（3）由
10
0x x y -≥??->?
可得
1
x y x ≥??
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1x y x ≥<且}，表示xOy 平面上直线y=x 以下且横坐标1x ≥的部分。
（4）由
222
131
0x y x y ?-≤--≤?-≥?
可得
222
24
x y y x ?≤+≤?≤?
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 22224x y y x ≤+≤≤且}。
6.1.2 二元函数的极限及连续性
一、填空题 1．二元函数的极限
()()()x xy y x sin lim
2,0,→=___2__
解：()()()()()()()()2lim 1sin lim sin lim
2,0,2,0,2,0,=?=?=→→→y y xy
xy x xy y x y x y x
2．二元函数的极限2
21
1lim
y
x xy
y x ++→→= 1 解：2
21
01lim
y
x xy y x ++→→11001=++= 3．2
2
()
lim ()x y x y x y e
-+→+∞
→+∞
+=___0__
解： 原式22()2()2lim lim ()x y x y x y x x y y x y xy x y x y
e e e e ++→+∞→+∞→+∞→+∞
+-+==-?， 2lim
0,lim 0x y x x y y x y
e e →+∞→+∞→+∞→+∞
==
22()22
lim lim lim lim 0u x y x y u u u x u u u y x y u u e e e e =++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞
+====， ∴ 22()lim()0x y x y x y e -+→∞
→∞
+=
二、选择题
1．下列极限存在的是（ ）
（A ）y x x y x +→→00lim ；（B ）y x y x +→→1lim 00；（C ）y x x y x +→→200lim ；（D ）y x x y x +→→1
sin lim 0
0.
解：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。选（D ）
2．已知 22
22
,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y
x y ?-≠?=+??=?
，则f(x,y)在(0,0)处（ ） （A ）极限存在；（B ）连续；（C ）不连续；（D ）无法判断 解： 22222
222222(,)(0,0)0 1lim lim 1x y x y kx
x y x kx k x y x k x k →→=---==+++ 该极限随着k 的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续. 选（C ）
3． 362
00
lim x y x y
x y →→+为（ ）
（A ）极限不存在；（B ）0；（C ）无穷大；（D ）无法判断 解：当点P (x ,y )沿曲线3
y kx =趋于点(0,0)时，有
3
36
62262(,)(0,0)0 lim lim (1)1x y x y kx
x y kx k x y k x k →→===+++。 显然，此时的极限值随k 的变化而变化。 因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。选（A ）
三、求解下列各题 1. 计算下列极限：
(1) 33(,)(0,0)sin()
lim x y x y x y
→++； （2）2
2
00
lim
x y xy x y
→→+；
（3）2222
2
23
00
sin lim
()
x y x y x y x y →→+-++；（4）22
222
2
1cos()lim
()x y x y x y x y e
→→-++
解：（1）333322
33
(,)(0,0)(,)(0,0)sin()sin()lim
lim ()0x y x y x y x y x xy y x y x y →→++=-+=++ （2）2
2
lim
x y xy x y
→→+
解：方法一： （应用二重极限定义，εδ-语言）
222
22
2
2
2
12
2xy x y x y x y
x y
+≤
=
+++
∴ 0=2εδε?>取，
当22
0x y δ<+<时 恒有
2
2
0xy x y
ε-<+
2
2
lim
0x y xy x y
→→∴=+
方法二： （夹逼定理）
2
2
2
2
0||||xy x y y x y
x y
≤
=
?≤++ ，又 00
lim ||0x y y →→=
2
2
00
lim
0x y xy x y
→→∴=+
方法三： （极坐标代换）
令 cos ,
sin x r y r θθ==，则当 (,)(0,0)x y →时，0(02)r θπ→≤≤
∴ 22
0000
cos sin lim
lim
lim cos sin 0x r r y xy r r r r
x y θθ
θθ→→→→===+
（3）2222
2
23
sin lim
()
x y x y x y x y →→+-++
知识点：二重极限。
思路：先作变量替换，然后对未定型
应用洛必达法则及等价无穷小量替换。 解： 令22x y u +=，则 (,)(0,0)x y →时，0u +
→，
∴
原式23220001sin 1cos 12lim lim lim 336
u u u u
u u u u u u +++→→→--====洛必达
。 （4）22
222
2
1cos()lim
()x y x y x y x y e
→→-++
解： 22
22
22222222222200000
000
1cos()1cos()1cos()lim
lim lim lim ()()()x y x
y
x x x x y y y y x y x y x y e x y x y x y e →→→→→→→→-+-+-+==+++ 2
2
2
0011cos 2lim lim 0x
y u
u u u u u u
++
+=→→-===
2.证明下列极限不存在 （1）100
lim(1)
x y
x y xy +→→+
； （2）00
11
lim
x y xy x y
→→+-+；
知识点：二重极限。
思路：若(,)x y 沿不同曲线趋于00(,)x y 时，极限值不同，则二重极限不存在。
（1）100
lim(1)
x y
x y xy +→→+
证：方法一：
1110000
lim(1)
lim(1)
lim[(1)]
xy xy x y
xy x y
xy x y
x x x y y y xy xy xy ?+++→→→→→→+=+=+
现考虑 00
lim
()x y xy
x y →→+，
若(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)，则 上式000
lim 02x y x
→===，从而 1
000lim(1)1x y x y xy e +→→+==
若(,)x y 沿曲线1x y x =-趋于(0,0)，则00
lim ()x y xy x y →→+011lim
11
x x y x x
x
x x x x →=--==+-，
从而 10
lim(1)
x y
x y xy e +→→+
=
故原式极限不存在。
方法二：
若取11
,n
n x y n n
=
=，则 211
202
2200
11lim(1)
lim(1)lim (1)1n n
n x y
x n n y xy e n n +→→∞
→∞→??+=+
=+==????
若取11,1
n
n x y n n =-=+，则
(1)
1
00
1lim(1)
lim 1(1)n n x y
x n y xy e n n -++→→∞→??+=-=??+??
故原式极限不存在。 （2）0
11
lim
x y xy x y
→→+-+
解：000
11lim
lim ()(11)x x y y xy xy
x y x y xy →→→→+-=++++ 若(,
)x y 沿x 轴趋于(0,0)，则 上式00
lim
02x y x →===
若(,)x y 沿曲线1x y x =-趋于(0,0)，则上式0111lim
22()1
x x y x x
x
x x x x →=--==+-
故原式极限不存在。
注：若(,)x y 沿曲线y x =-趋于(0,0)，则2000()(11)0
lim
lim 0x x y y x
x y xy xy x →→→=-+++==-
从而 0
00
11lim
lim ()(11)x x y y xy xy
x y x y xy →→→→+-==∞++++。 3.研究下列函数的连续性
（1）
22
2(,)2y x f x y y x
+=-;（2）22(,)ln()f x y xy x y =+ 解：（1）
22
2(,)2y x
f x y y x
+=-; 当
220y x -=时函数无定义，故函数的间断点集为2{(,)|2}x y y x =
（2）
22(,)ln()f x y xy x y =+
解： 函数间断点为 (0,0)， 由2
2
2
22210|ln()||
()ln()|2
xy x y x y x y ≤+≤++ 又 222222
000002
1
ln u lim()ln()lim ln lim lim 011u x y
x u u u y u x y x y u u u u
=+→→→→→++====-洛必达
故由夹逼定理 22
00
lim ln()0x y xy x y →→+=，故(0,0)为可去间断点。
6.1.3 偏导数 一、填空题
1. 设z =e －
x +f (x －2y )，且已知y =0时，z =x 2,则z x
?=? .
解：令2220(),(2),x x x y y f x x e z e x y e -==-=+--得因此，
所以22(2).x x y z e x y e x
-?=+--?
2. 设3
22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y f x y x y x y ?≠?
=+??=?
，则(0,0)x f = 1 , (0,0)y f = 0 .
解：0
0(0,0)(0,0)(0,0)lim
lim 1,x x x f x f x
f x
x ?→?→+?-?===?? 0
0(0,0)(0,0)0(0,0)lim
lim 0.x x x f y f f y
y ?→?→+?-===?? 3. 设ln()z x y =+,则z z x y x y
??+=?? .
解：
1111
22,y z z
x x
y
x y x y
??==
??++
，
所以1()
1
2
.2x y z z x y x y x y
+??+==??+ 二、选择题 1.设
在点
处偏导数存在，则
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
解：根据偏导数的定义，有
故应选（C ）。
2.偏导数f x (x 0,y 0)，f y (x 0,y 0)存在是函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)连续的( )
(A)充分条件 (B)必要条件
(C)充要条件 (D)即非充分也非必要条件
解：解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC 三项不一定正确. 选（D ）.
3.设
其中f 为可微函数，则
(A)
(B)
(C)
(D)
故应选（D ）。
三、求解下列各题 1. 求下列函数偏导数：
(1) ln (00,1)y
z x x y x y x =+>>≠，;(2) z y
u x =； (3) 22cos()z u x y e -=-+
解：(1) 1111,ln .y y y y z z yx yx x x x xy x y y
--??=+=+=+??
(2)
12,ln ().z z
y y u z u z x x x x y y y -??==-?? 1ln ()z
y u x x z y
?=? (3)
22sin()2,z u
x y e x x
-?=--+? 2222sin()(2)2sin().z z z x y e y y x y e y --?=--+-=-+?
22sin()()z z u
x y e e z
--?=--+-? 22sin()z z e x y e --=-+ 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求f x (1,2)，f y (1,2);
(2) 22
(,)arctan x y f x y x y
+=-;求(1,0)x f
(3) 2
22222arctan()
(,)ln sin(1)x
x y f x y x y x e ++=++-; 求(1,2)x f ；
(4) (,,)ln()f x y z x yz =-, 求(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)x y z f f f . 解：(1) (,)2,(,)2.x y f x y x y f x y x y =-=-+ (1,2)220,(1,2)14 3.x y f f ∴=-==-+= (2) 2
1(,0)arctan ,(,0)1x f x x f x x ==+故 因此11(1,0).112
x f ==+
(3) 2
222arctan(4)
1(,2)ln(4)sin(1)2x
x f x x x e ++=++-
因此
2222
2arctan(4)
222arctan(4)222
12(,2)cos(1)224
12224sin(1).
1(4)x x x x x x f x x x e
x x
x x x e x x ++++=
+-++++-+++ 所以arctan(15)
1
(1,2)25
x f e +=
+.
(4) 1(,,),(,,),(,,).x y z y z
f x y z f x y z f x y z x yz x yz x yz
--=
==--- 故11
(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)0.22
x y z f f f ==-=
3.设
证明
证明：
于是 左
注意，本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数：
两边取对数
代入左端即可得结论。
6.1.4 高阶偏导数 一、填空题
1. 设()()y x u yf xg x y =+,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则22
2u u x y x y x
??+=??? . 解：
21'()()'(),y y u x x yf g xg x x y y y
x ???=-++ ????
22
2
432
2111''()'()'()'()''(
),
y y y y
u x x x y f y f g g x g x x y y y y y x x x y ???=++++ ????
222
2322322''()'()'()''()'(),y y y y u x x x x x x f f g g g x x y y y x
x x y y y ???=----- ???? 所以22
2u u x y x y x
??+=???0.
2. 设1()()z f x y yg x y x =++,,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则2
z x y
?=?? .
解：21()'()'(),y
z f xy f xy yg x y x x x
?=-+++?
2'11
()'()''()'()''()y z f xy f xy f xy x g x y yg x y x y x x x
?=-++++++?? ''()
'()''(y f x y g x y y g x y =++++. 3.设x y xy u +=，则y
x u
???2=211x -
解：2x y y x u -=?? 2211x
y x u -=??? 二、选择题
1.函数()y x f z ,=的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x
y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混
合偏导数在区域D 内相等的（ ）条件。 （A ）必要；（B ）充分；（C ）充要；（D ）无法判断 解：选（B ） 2.已知
0>??x
f
，则（ ） （A ）()y x f ,关于x 为单调递增； （B ）()0,>y x f ；
（C ）022>??x
f
； （D ）()()
1,2+=y x y x f .
解：
0>??x
f
，把f 看成是x 的函数，所以f 关于x 为增函数。选（A ）
三、求解下列各题
1． 求下列函数的二阶偏导数2
2z x ??,22z y ??,
2z y x
???： (1) 322433z x x y x y x y =+--+； (2) ln()z x x y =+.
解：(1) 2
222
12631,246.z z x xy y x y x x
??=+--=+?? 22
2361,6.z z x xy x y y
??=-+=-?? (2) 2222211
ln(),.()()x y x x y z z x y x x x y x y x x y x y +-+??=++=+=?++?++ 222
,.()z x z x y x y y x y ??==-?+?+ 2．设222r x y z =++，证明：
(1) 2
2
2
1r r r x y z ?????????++= ? ?
????????
??; (2) 22
22222r r r r
x y z ???++
=???; (3)
2222222(ln )(ln )(ln )1
r r r x y z r
???++=???. 证明：r x ??222x x y z =++,x r
=
利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：r y ??,y
r =r z ??.z r
=
(1)
()
()
2
2
2
2222
221x y z r r r r x
y z r r
++?????++
=== ??????
(2) 2
2222223
r x r x r r r x x r x r r r ?--
?-?===? 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：22
2222
2323
,r y r r r z y r z r -??-==??
222
222222233322.r x y r r r r r x y z r r
--???∴++===???
(3) 2222222
(ln )1ln ln(),2r x x r x y z x x y z r ?=++==?++
22
22
244
2(ln )2r r x r r r x x x r r ?-?-?==? 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：
222222
2424(ln )2(ln )2,.r r y r r z y r z r ?-?-==?? 222222222242(ln )(ln )(ln )32()1
r r r r x y z x y z r r
???-++∴++==???.
6.1.5 全增量及全微分 一、填空题
1．设arctan
x y
z x y
+=-,,则d z = . 解：令,,arctan u u x y v x y z v
=+=-=则
2
22111(arctan )1()1()
u u
dz d du dv u u v v v v v ==-++ 而,du dx dy dv dx dy =+=-
故2
()()11
[]11x y dx dy dz dx dy x y x y x y xy +-=
+---+??
+ ?-?? 2
2.xdy ydx
x y -=+ 2．已知()()xy y x f z sin ,==，则()1,πdz =dy dx π-- 解：
()()()()()()()dy
dx dy
xy x dx xy y dy z dx z dz y x ππππππ--=+=
+=11111,,,,,cos cos
3．已知()22,y x y x f z +==，则()y x f ,在()11，处当2.0,1.0=?=?y x 时，
dz =0.6
解：()()602021021111...,,=?+?=?+?=y z x z dz y x 二、选择题
1．函数()y x f z ,=在点()00,y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ） （A ）必要而非充分条件；（B ）充分而非必要条件； （C ）充分必要条件 ； （D ）既非充分又非必要条件.
解：偏导数连续则存在全微分，所以偏导数只是全微分的必要条件。选（A ） 2．肯定不能成为某二元函数()y x f ,全微分的是（ ）
（A ）xdy ydx +；（B ）xdy ydx -；（C ）ydy xdx + ；（D ）ydy xdx -. 解：()xy d xdy ydx =+； ()
2221y x d ydx xdx +=+； ()
222
1
y x d ydx xdx -=-.选（B ） 3．使得f df ?=的函数f 是（ ）
（A ）c by ax ++；（B ）xy sin ；（C ）y
x
e e + ；（D ）22y x +.
解：()y b x a bdy adx c by ax d ?+?=+=++
()()()y b x a c by ax c y y b x x a f ?+?=++-+?++?+=? df f =?,选（A ）
三、求解下列各题
1.求下列函数的全微分
(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x
解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f z
x y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+
(2,3)
0.10.2
30.12(0.2)0.1dx dy dz
==-=?+?-=-
（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z
解：22222211z z x y
dz dx dy dx dy x y x y x y
??=
+=+??++++ dy dx dy dx dz
3
2
3141144112)
2,1(+=+++++=
（3）,u xy yz zx du =++求
解：u u u
du dx dy dz x y z
???=
++??? dz y x dy z x dx z y )()()(+++++=
2．计算下列各式的近似值
（分析运用公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）
（1）03
.2)
1.10(
解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取
2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?
01.0ln 1.010)
2,10()
2,10(1
2?+?+=-x
x yx
y y
9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+
解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x
原式(10.03,10.02)f =+-
2
3
34(1,1)3
413ln(111)|(0.03)1
x x y -≈+-+
?+- 3
4(1,1)3
414|(0.02)1
y x y -+
?-+-
= 0+
005.002.04
1
03.031=?-? 3. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm ，内半径为4 cm ，容器的壁与底
的厚度均为0.1 cm ，求容器外壳体积的近似值.
解：解 设圆柱的直径和高分别用x ，y 表示，则其体积为
221(,)()24
x V f x y πy πx y ===.
于是，将所需的混凝土量看作当x +Δx =8+2×0.1，y +Δy =20+0.1与x =8，y =20时的两
个圆柱体的体积之差ΔV (不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式
ΔV ≈d V =f x (x ,y )Δx +f y (x ,y )Δy .
又211(,),(,)24x y f x y πx y f x y πx ==，代入x =8，y =20，Δx =0.2，
Δy =0.1，得到
211
d 8200.280.117.655.264.24
V V πππ?≈=???+??=≈(m 3).
因此，大约需要55.264m 3的混凝土.
6.1.6 方向导数与梯度 一、填空题
1.函数22ln()u
x y z =++在点0(0,1,2)M 处沿向量{2,1,1}=--l 的方向导数为
。
解：向量
l
→
的方向余弦为 211cos ,cos ,cos 666
αβγ=
=-=-
又
222222122,,u u y u z
x x y z y x y z z x y z ???===
?++?++?++
∴
000124|,|,|555
M M M u u u x y z ???===??? 故
01221414|()()55566656
M u l ?-=?+?-+?-=?
2.函数ln()z
x y =+在抛物线24y x =上的点(1,2)处，
沿着此抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数为 。
解：将24y x =两边同时对x 求导得：24dy y
dx =，则 2
dy dx y
= 故点(1,2)在抛物线2
4y x =上切线斜率为(1,2)|1dy k dx ==，从而方向l →
的倾角为4
πθ=。
又
()()1,2(1,2)1,2(1,2)1111
,33
z z x x y y x y ??====?+?+
故
(1,2)
12122[cos sin ]32323z z z l x y θθ???=+=?+?=???
3.设
222(,,)35248f x y z x y z xy y z =+++--，则(0,0,0),(3,2,1)f f grad grad 分别
为 和 。
解： 22,624,108x y z f x y f y x f z '''=+=+-=-
(0,0,0)0,(0,0,0)4,
(0,0,0)8x y z f f f '''∴==-=-
(3,2,1)10,(3,2,1)14,
(3,2,1)2x y z f f f '''===
故 (0,0,0)48,
(3,2,1)10142f j k f i j k →→
→
→
→
=--=++grad grad
二、选择题
1.求函数u
xy yz xz =++在点(1,2,3)P 处沿P 点的向径方向的方向导数。
()
A 14
10
()
B 14
22 ()
C 14
20
()D
14
16
解：向径{1,2,3}OP →
=，其方向余弦为 123cos ,cos ,cos 141414
αβγ=
==
,,u u u
y z x z y x x y z ???=+=+=+??? (1,2,3)
(1,2,3)
(1,2,3)
5,
4,
3u u
u x
y
x
???∴
===???
1232254314141414
u l ?=?+?+?=?，故选（Ｂ）
2.求函数2222u
x y z =+-在点1(2,0,1)M 、2(0,2,1)M 的梯度之间的夹角为（ ）
()A 6π
()B 2π ()C 3π
()D π
解 11
1
,,{2,2,4}|{4,0,4}
M M M u u u gradu x y z x y z ??
???==-=-?
?????? 22
{2,2,4}|{0,4,4}M M gradu x y z ==-=-
因为1212161
||||322
n n cos n n θ?===
，所以两梯度间的夹角为3π.故选（Ｃ）.
3.函数
(,)arctan
x
f x y y
=在点(0,1)处的梯度等于（ ） ()A i
()B -i ()C
j
()D -j
解：由 222222
2
11
1
,(0,1) 1.1
1x x y y y
f f x x y x y y y =====+++
2
2222
,
(0,1)0.1y y x
x y f f x x y y
--===++
所以(0,1)10.gradf i j i =?+?=故选()A . 三、求解下列各题
1.求函数ln()u x y z =+
+在(1,0,1)A 点处沿A 点指向(3,2,2)B -点方向的方向导数．
解 (2,2,1)
AB =- ，其方向余弦221
cos ,cos ,cos 333
αβγ==-=. 111,,y z y z
u u u
x y z x y z x y z x y z
++???===
???++++++
12A
u x
?=
?， 1
2
A
u y
?=
?，
1
2
A
u z ?=
? 所以
cos cos cos A A A
A u u u u
l x y z αβγ????=++????16=。
2.问函数2u
xy z =在点(1,1,2)P -沿什么方向的方向导数最大？并求出此方向导数的最
大值。
解 由梯度的几何意义知，函数u 在点P 沿梯度方向的方向导数最大，且其最大值即为函数在该点处的梯度向量的模。
由2u xy z =可知
22,2,u u u y z xyz xy x y z
???===??? 所以 ,,{2,4,1}P P u u u gradu x y z ??
???==-??????
? 2222(4)121P gradu =
+-+=。
3.确定常数λ，使在右半平面0x
>上的向量42242(,){2(),()}A x y xy x y x x y λλ=+-+
为某二元函数(,)u x y 的梯度，其中(,)u x y 具有连续的二阶偏导数。
解： 由 42242{
,}{2(),()}u u
u xy x y x x y x y
λλ??==+-+??grad 故
422422(),()u u xy x y x x y x y
λλ??=+=-+?? 又(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，故22u u x y y x
??=
???? 即 4
224214254212()4()2()4()x x
y xy x y x x y x x y λλλλλλ--+++=-+-+
整理得 4
24()(1)0x x
y λλ++=，由0x >，得 1λ=-。
4.设函数
1ln
u r
=，其中
22
2()()()r x a y b z c =-+-+-，试讨论在空间哪些点处等式
||1u =g ra d 成立。
解：222ln ,()()()u r r x a y b z c =-=
-+-+-
故
222212()2()()()u x a x a
x r r
x a y b z c ?--=-?=-?-+-+-， 同理可得
2u y b y r
?-=-?，2u
z c z r ?-=-?
所以222{
,,}{,,}u u u x a y b z c u x y z r r r
???---==---???grad 2224
2()()()1
||x a y b z c u r r
-+-+-==grad 若||1u =grad ，则1r
=，即在空间球面222()()()1x a y b z c -+-+-=上||1u =grad 。
6.2 多元函数微分法
6.2.1 复合函数的微分法 6.2.2 全微分形式的不变性 一、填空题
１.设z =xy +sin t ,而x =e t
,y =cos t ,则导数
d .d z t
＝ 解： d d d d y
dz z x z z dt
x t
y t
t
???=?+?+???
(s i n )c o
s t
y e x t t =?+?-+ c o s s i n c o s
t t t
e e t t =?-+ 2.设
22v u z +=，而y x u +=，y x v -=。则
x z ??= ，y
z
??= 解：
()()x y x y x v u x
v
v z x u u z x z 4221212=-++=?+?=?????+?????=?? ()()()()y y x y x v u y
v v z y u u z y z 41221212=--++=-?+?=?????+?????=?? 3.设
uv z =，而y x u +=，y x v -=。则
x z ??= ，y
z ??= 解：
()()x y x y x u v x
v
v z x u u z x z 211=-++=?+?=?????+?????=?? ()()()y y x y x u v x
v v z x u u z x z 211=--+=-?+?=?????+?????=?? 二、选择题
１．设
（A ）
（B ）
（C ） （D ）