当前位置：文档库 › 1静力学基本知识常见问题与典型练习

1静力学基本知识常见问题与典型练习

1 静力学基本知识

常见问题：

1.静力学研究的内容是什么？

答：静力学是研究物体在力系作用下处于平衡的规律。

2. 什么叫平衡力系？

答：在一般情况下，一个物体总是同时受到若干个力的作用。我们把作用于一物体上的两个或两个以上的力，称为力系。能使物体保持平衡的力系，称为平衡力系。

3.解释下列名词：平衡、力系的平衡条件、力系的简化或力系的合成、等效力系。

答：平衡：在一般工程问题中，物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动，称为平衡。例如，房屋、水坝、桥梁相对于地球是保持静止的；在直线轨道上作匀速运动的火车，沿直线匀速起吊的建筑构件，它们相对于地球作匀速直线运动，这些物体本身保持着平衡。其共同特点，就是运动状态没有变化。

力系的平衡条件：讨论物体在力系作用下处于平衡时，力系所应该满足的条件，称为力系的平衡条件，这是静力学讨论的主要问题。

力系的简化或力系的合成：在讨论力系的平衡条件中，往往需要把作用在物体上的复杂的力系，用一个与原力系作用效果相同的简单的力系来代替，使得讨论平衡条件时比较方便，这种对力系作效果相同的代换，就称为力系的简化，或称为力系的合成。

等效力系：对物体作用效果相同的力系，称为等效力系。

4. 力的定义是什么？在建筑力学中，力的作用方式一般有两种情况？

答：力的定义：

力是物体之间的相互机械作用。这种作用的效果会使物体的运动状态发生变化(外效应)，或者使物体发生变形(内效应)。

既然力是物体与物体之间的相互作用，因此，力不可能脱离物体而单独存在，有受力体时必定有施力体。

在建筑力学中，力的作用方式一般有两种情况，一种是两物体相互接触时，它们之间相互产生的拉力或压力；一种是物体与地球之间相互产生的吸引力，对物体来说，这吸引力就是重力。

5. 力的三要素是什么？

实践证明，力对物体的作用效果，取决于三个要素：(1)力的大小；(2)力的方向；(3)力的作用点。这三个要素通常称为力的三要素。

力的大小表明物体间相互作用的强烈程度。为了量度力的大小，我们必须规定力的单位，在国际单位制中，力的单位为N或kN。1 kN=1000 N 力的方向通常包含方位和指向两个涵义。如重力的方向是“铅垂向下”。

力的作用点指力对物体作用的位置。力的作用位置实际上有一定的范围，不过当作用范围与物体相比很小时，可近似地看作是一个点。作用于一点的力，称为集中力。

6.作用力和反作用力之间有什么关系？

答：若甲物体对乙物体有一个作用力，则同时乙物体对甲物体必有一个反作用力，这两个力大小相等、方向相反、并且沿着同一直线而相互作用。

作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的力，任何作用在同一个物体上的两个力都不是作用力与反作用力。

7. 力的表示法如何？

答：力是一个有大小和方向的量，所以力是矢量。

通常可以用一段带箭头的线段来表示力的三要素。线段的长度(按选定的比

例)表示力的大小；线段与某定直线的夹角表示力的方位，箭头表示力的指向；带箭头线段的起点或终点表示力的作用点。

用字母符号表示力矢量时，常用黑体字如F或F P等表示一个力。

8. 简述静力学基本原理。

答：静力学基本原理：

（1）二力平衡条件

作用在同一刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的必要与充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上(简称二力等值、反向、共线)。

在两力作用下处于平衡的刚体称为二力体，如果刚体是一个杆件，则称为二力杆件。

应该注意，只有当力作用在刚体上时二力平衡条件才能成立。对于变形体，二力平衡条件只是必要条件，并不是充分条件。例如满足上述条件的两个力作用在一根绳子上，当这两个力是张力(即使绳子受拉)时，绳子才能平衡(图1-2b)。如受等值、反向、共线的压力就不能平衡。

图1-2

（2）加减平衡力系定理

在作用于刚体的任意力系中，加上或减去任何一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。

（3）作用力与反作用力定理

若甲物体对乙物体有一个作用力，则同时乙物体对甲物体必有一个反作用力，这两个力大小相等、方向相反、并且沿着同一直线而相互作用。

在力的概念中已提到，力是物体间相互的机械作用，因而作用力与反作用力必然是同时出现，同时消失。这里必须强调指出。作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的力，任何作用在同一个物体上的两个力都不是作用力与

反作用力。

9.说明合力与分力的概念。

答：作用于物体上的一个力系，如果可以用一个力F来代替而不改变原力系对物体的作用效果，则该力F称为原力系的合力，而原力系中的各力称为合力F的分力。

10.力的合成和分解的基本方法是什么？

答：力的合成和分解的基本方法是平行四边形法则。

作用于物体上同一点的两个力可以合成为作用于该点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力的作用线所构成的平行四边形的对角线来表示，这就是力的合成的平行四边形法则。

利用力的平行四边形法则也可以把作用在物体上的一个力分解为两个相交的分力，分力和合力作用于同一点。在实际分解时，通常把一个力沿着两个直角坐标方向进行分解，这样很容易由三角函数进行计算。

11.简述静力学基本原理的两个推论。

答：静力学基本原理的两个推论：

（1）力的可传性原理：作用于刚体上的力，其作用点可以沿着作用线移动到该刚体上任意一点，而不改变力对刚体的作用效果。

必须强调的是，力的可传性原理只适用于刚体而不适用于变形体。当研究物体的内力、变形时，将力的作用点沿着作用线移动，必然使该力对物体的内效应发生改变。

在考虑刚体的平衡问题时，力的三要素可改为“大小、方向、作用线”。

（2）三力平衡汇交原理：若刚体在三个互不平行的力作用下处于平衡，则此三个力的作用线必在同一平面内且汇交于一点。

由此可知，刚体受不平行的三力作用而平衡时，如果已知其中两个力的方向，

则第三个力的方向就可以按三力平衡汇交原理确定。

12.荷载的分类有几种分法？

答：作用在物体上的力或力系统称为外力，物体所受的外力包括主动力和约束反力两种，其中主动力又称为荷载(即为直接作用)。如物体的自重、人群作用力、风压力、雪压力等。此外，其他可以使物体产生内力和变形的任何作用，如温度变形、材料收缩、地震的冲击等，从广义上讲也称为荷载(即间接作用)。

荷载的分类：

（1）荷载按作用的性质可分为：

1）永久荷载(又称为恒荷载)：长期作用不变的荷载。如构件本身自重、设备自重等。永久荷载的大小可根据其形状尺寸、材料的容重计算确定。一般常用的各种材料的容重可由《建筑结构荷载规范》查得。

2）可变荷载(又称为活荷载)：荷载的大小和作用位置经常随时间变化。如楼面上人群、物品的重量、雪荷载、风荷载、吊车荷载等。在《建筑结构荷载规范》(以下简称《荷载规范》)中对各种活荷载的标准值(称为标准荷载)都作了规定，计算时可直接查用。

（2）荷载按分布形式可分为：

1）集中荷载：荷载的分布面积远小于物体受荷的面积时，为简化计算，可近似地看成集中作用在一点上，这种荷载称为集中荷载。集中荷载在日常生活和实践中经常遇到，例如人站在地板上，人的重量就是集中荷载。集中荷载的单位是N (牛顿)或kN (千牛顿)，通常用字母F表示(图1-8所示)。

2）均布荷载：荷载连续作用，且大小各处相等，这种荷载称为均布荷载。单位面积上承受的均布荷载称为均布面荷载，通常用字母p表示(图1-9)，单位为N／m2(牛顿／平方米)或kN／m2(千牛顿／平方米)。单位长度上承受的均布荷载称为均布线荷载，通常用字母q表示(图1-10)，单位为N／m (牛顿／米)或kN／m (千牛顿／米)。

3）非均布荷载：荷载连续作用，大小各处不相等，而是按一定规律变化的，这种荷载称为非均布荷载。例如挡土墙所受土压力作用的大小与土的深度成正比，愈往下，挡土墙所受的土压力也愈大，呈三角形分布，故为非均布荷载(图1-11所示)。

图1-8 图1-9

图1-10 图1-11

13.什么是自由体与非自由体？

答：在空间能自由作任意方向运动的物体称为自由体，如空气中的气球和飞行的飞机就是自由体。在某一方向的运动受到限制的物体称为非自由体。

14. 什么叫约束？什么叫约束反力？

答：使非自由体在某一方向不能自由运动的限制装置称为约束。

由约束引起的沿约束方向阻止物体运动的力称为约束反力。由于约束反力的作用是阻止物体运动，因此约束反力的方向总是与被约束物体的运动方向或运动趋势的方向相反。

15.约束反力的产生条件如何？

答：约束反力的产生条件，是由物体的运动趋势和约束性能来决定的。使物

体运动或有运动趋势的力称为主动力。物体在主动力作用下如果没有相对于某个约束的运动趋势，则该约束反力就不会产生。

约束反力是在主动力影响下产生的，主动力的大小是已知或可测定的，而约束反力的大小通常是未知的。在静力学问题中，主动力和约束反力组成平衡力系，可利用平衡条件求约束反力。

16. 建筑结构中常见的约束有哪些？

答：建筑结构中常见的几种约束类型及其约束反力：

（1）柔体约束

工程中常见的绳索、皮带、链条等柔性物体构成的约束称为柔体约束。这种约束只能限制物体沿着柔体伸长的方向运动，而不能限制其他方向的运动。因此，柔体约束反力的方向沿着它的中心线且背离研究对象，即为拉力。

（2）光滑接触面约束

如果两个物体接触面之间的摩擦力很小，可忽略不计，两个物体之间构成光滑面约束。这种约束只能限制物体沿着接触点朝着垂直于接触面方向的运动，而不能限制其他方向的运动。因此，光滑接触面约束反力的方向垂直于接触面或接触点的公切线。并通过接触点指向物体。

（3）柱铰链和固定铰支座

这种约束只能限制物体在垂直于销钉轴线平面内沿任意方向的相对移动，而不能限制物体绕销钉的转动。故柱铰链的约束反力作用在圆孔与销钉接触线上某一点。垂直于销钉轴线，并通过销钉中心，方向不定。通常用两个相互垂直且通过铰心的分力F Cx、F Cy来代替。

在工程实际中，常将一支座用螺栓与基础或静止的结构物固定起来，再将构件用销钉与该支座相连接，构成固定铰支座，用来限制构件某些方向的位移。如图1-18a所示。这种约束的性质与柱铰链完全相同。

支座约束的反力称为支座反力，简称支反力。以后我们将会经常用到支座反力这个概念。

图1-17

图1-18

（4）可动铰支座

将铰链支座安装在带有滚轴的固定支座上，支座在滚子上可以任意的左右作相对运动，如图1-19a所示，这种约束称为可动铰支座。被约束物体不但能自由转动，而且可以沿着平行于支座底面的方向任意移动，因此可动铰支座只能阻止物体沿着垂直于支座底面的方向运动。故可动铰支座的约束反力F y的方向必垂直于支承面，作用线通过铰链中心。

可动铰支座的计算简图如图1-19b、c所示。

图1-19

由于可动铰支座不限制杆件沿轴线方向的伸长或缩短。因此桥梁或屋架等

工程结构一端用固定铰支座，另一端用可动铰支座，以适应温度变化引起的伸缩。

（5）链杆

两端用铰链与物体联接而不计自重的直杆称为链杆，如图1-20a所示。链杆能阻止物体沿链杆轴线方向的运动，但不能阻止其他方向的运动，所以链杆的约束反力F N的方向是沿着链杆的轴线，而指向则由受力情况而定。链杆的计算简图1-20b所示。

链杆通常又称为二力杆。凡是两端具有光滑铰链，杆中间不受外力作用，又不计自身重量的刚性杆，就是二力杆。

图1-20

（6）固定端支座

工程中常将构件牢固地嵌在墙或基础内，使构件不仅不能在任何方向上移动，而且也不能自由转动，这种约束称为固定端支座。固定端支座的计算简图如图1-21c所示。

图1-21

固定端支座的约束反力有三个：作用于嵌入处截面形心上的水平约束反力F x，垂直约束反力F y以及约束反力偶M(图1-21c)。

17.试举出实际工程中固定端支座的例子。

答：例如梁端被牢固地嵌在墙中时(图1-21a)，其支承可视为固定端支座。又如钢筋混凝土柱，插入基础部分较深，且四周又用混凝土与基础浇筑在一起，因此柱的下部被嵌固得很牢，不能产生转动和任何方向的移动，即可视为固定

端支座(图1-21b)。

18.什么是物体的受力分析？何谓脱离体？何谓受力图？

答：物体的受力分析，即分析物体受到哪些力作用，哪些是已知的，哪些是未知的。

为了分析研究对象的受力情况，往往把该研究对象从与它有联系的周围物体上脱离出来。被脱离出来的研究对象称为脱离体。在脱离体上画出周围物体对它的全部作用力(包括主动力和约束反力)，这样的图形称为物体的受力图。

19. 画物体的受力图有哪几步？

答：画单个物体的受力图，首先需明确研究对象，弄清研究对象受到哪些约束作用，然后解除研究对象上的全部约束，而单独画出该研究对象的简图，在简图上画上已知的主动力及根据约束类型在解除约束处画上相应的约束反力。必须注意，约束反力的方向一定要和被解除的约束的类型相对应，不可根据主动力的方向来简单推断。

20. 画受力图时应注意的问题有哪些？

答：通过以上数例，可将画受力图时应注意的问题归纳如下：

（1）不要漏画力

必须搞清楚所研究的对象(受力物体)与周围哪些物体(施力物体)相接触。在接触点处均可能有约束反力。

（2）不要多画力

力是物体间的相互作用。对受力图上的每一个力，都应能明确指出它是由哪一个施力物体施加的。如某一个力指不出施力物体，该力则为多画的力。因此，在画受力图时，一定要分清施力物体与受力物体，切不可将脱离体施加给其他物体的力画在该脱离体的受力图上。

（3）不要画错约束反力的方向

约束反力的方向必须严格按照约束的性质确定，不能凭主观感觉猜测。

（4）注意作用与反作用关系

在两物体相互联结处，注意两物体之间作用力与反作用力的等值、反向、共线关系。

（5）注意区分内力和外力

所谓内力，是指系统内部各物体之间的相互作用力。所谓外力，是指系统以外的其他物体对系统的作用力。内力和外力的区分不是绝对的，而是相对的。当所取的脱离体不同时，原来是内力的力可能转化为外力。反之亦然。

注意：系统的内力总是成对出现的，且各对内力均保持等值、反向、共线的关系。在研究物体系统的外效应时，每对内力的外效应刚好相互抵消，因此画受力图时只画外力而不画内力。

（6）约束反力的一致性

同一个约束反力，在各受力图中的表示、假设指向都必须一致。

21.物体系统是什么？其受力图该如何考虑？

答：在工程中常常将若干构件通过某种连接方式组成机构或结构，用以传递运动或承受荷载。这些机构或结构统称为物体系统。

画物体系统的受力图的方法，基本上与画单个物体受力图的方法相同，只是研究对象可能是整个物体系统或系统的某一部分或某一物体。画整体的受力图时，只须把整体作为单个物体一样对待；画系统的某一部分或某一物体的受力图时，要注意被拆开的相互联系处，有相应的约束反力，且约束反力是相互间的作用，必须遵循作用与反作用定理。

22.什么叫力矩？什么叫力偶？

答：（1）我们用力的大小与力臂的乘积F·d再加上正号或负号来表示力F 使物体绕O点转动的效应(图1-29)，称为力F对O点的矩，简称力矩，用符号Mo(F)或Mo表示。

（2）力偶

在力学中，把这种大小相等、方向相反、作用线互相平行但不重合的一对力所组成的力系，称为力偶，写成(F 、F /)。力偶两力作用线之间的垂直距离d 称为力偶臂。

23．如何规定力矩的正负？

答：一般规定：使物体产生逆时针方向转动的力矩为正；反之为负。所以力对点的矩是代数量，即

F F M O ?±=)( （1-1）力矩在下列两种情况下等于零：

(1) 力等于零；

(2) 力臂等于零，即力的作用线通过矩心。

24．力矩和力偶的单位是什么？

答：力矩的单位是力与长度的单位的乘积。常用N ·m 或kN ·m 。

力偶矩的单位与力矩的单位相同。在国际单位制中通常用N ·m (牛顿米)或kN ·m (千牛顿米)。

25．试表述合力矩定理，并写出公式。

答：合力对平面上任一点的矩等于各分力对同一点的矩的代数和，这就是合力矩定理。即

∑==+++=n i i O n O O O O F M F M F M F M F M 121)

()()()()(

（1-2）

26.力偶与力有何不同？什么是力偶矩？力偶对物体的转动效果取决于力偶

的哪三个要素？

答：（1）力偶对物体的作用效果，只能使物体产生转动，而不能使物体产生移动。而力则不然，它既可使物体移动，又可使物体绕某一定点转动，因此，力偶不能和力等效，力偶没有合力，不能用一个力来代替。所以力偶象力一样，是力学中的一个基本元素。

（2）力偶矩

力偶矩是用来度量力偶对物体转动效果的大小。它等于力偶中的任一个力与力偶臂的乘积。以符号m(F、F/)表示，或简写为m，即

（1-3）

使物体逆时针方向转动的力偶矩为正，使物体顺时针方向转动的力偶矩为负。

力偶矩的单位与力矩的单位相同。在国际单位制中通常用N·m (牛顿米)或kN·m (千牛顿米)。

（3）力偶对物体的转动效果取决于力偶的三个要素，即力偶矩的大小，力偶的转向以及力偶的作用平面。

必须注意的是：力矩和力偶都能使物体转动，但力矩使物体转动的效果与矩心的位置有关，矩心距离不同，力矩的大小也就不同，而力偶就无所谓矩心，它对其作用平面内任一点的矩都一样，即等于本身的力偶矩。

27．力偶有哪些基本性质？

答：力偶的基本性质有：

(1) 力偶中的两力在任意坐标轴上的投影的代数和为零。

(2) 力偶不能与力等效，只能与另一个力偶等效。同一平面内的两个力偶等效的条件是力偶矩的大小相等且转动方向相同。因此，只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以任意改变力的大小和力偶臂的长短，而不影响力偶对物体的转动效果。

(3) 力偶不能与力平衡，而只能与力偶平衡。

(4) 力偶可以在它的作用平面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的作用。因此，力偶对物体的作用完全决定于力偶矩，而与它在其作用平面内的位置无关。

28.什么是平面力偶系？其合成的结果如何？

答：作用在物体上同一平面内两个或两个以上的力偶，称为平面力偶系。因为力偶没有合力，即对物体的作用效果不能用一个力来代替，所以，平面力偶系合成的结果就是合力偶。设m 1、m 2、……m n 为平面力偶系中各力偶的力偶矩，M 为合力偶的力偶矩，其合力偶矩等于平面力偶系中各力偶矩的代数和。即 ∑=+++=m m m m M n 21 （1-4）

式(1-4)如计算结果为正值，则表示合力偶是逆时针方向转动，计算结果为负值，则表示合力偶为顺时针方向转动。

29．平面力偶系的平衡条件是什么？

答：平面力偶系平衡的必要和充分条件是力偶系中各力偶矩的代数和为零。即

∑==0

m M

（1-5）

由上述方程，可以求解一个未知量。

30．力在坐标轴上的投影及其相互关系如何？答；设力F 作用于物体的A 点。取直角坐标系xOy ，使力F 在xy 坐标面内。从力F 的两端点A 和B 分别作坐标轴x 的垂线，从两根垂线在x 轴上所截得的线段ab 并加上正号或负号，称为力F 在x 轴上的投影，用F x 表示。并且规定：当从力的始端的投影a 到终端的投影b 的方向与投影轴正向一致时，力的投影

取正值；反之则取负值。同样，线段a /b /加上正号或负号就是力F 在y 轴上的投影，用F y 表示。

通常采用力F 与坐标轴x 所夹的锐角来计算投影，其正号或负号可根据上述规定直观判断得出。由图1-36a 、b 可见，投影F x 和F y 可用下列式子计算

????±=?±=ααsin cos F F F F y

x (1-6)

式中α为力F 与x 轴所夹的锐角。

反之，如果力F 在坐标轴x 和y 上的投影F x 和F y 已知，则由图1-36中的几何关系可确定力F 的大小和方向：

???

????=+=x y y x F F F F F αtan )()(2

（1-7）应当注意：力的投影F x 、F y 与力的分力F x 、F y 是不同的，力的投影只有大小和正负，它是标量，而力的分力是矢量，有大小，有方向，其作用效果还与作用点或作用线有关。引入力在轴上的投影的概念后，就可将力的矢量计算，转化为标量计算。

31. 简述合力投影定理。

答：合力投影定理：

合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

∑∑=+++==+++=yi yn y y y xi

xn x x x F F F F F F F F F F 2121

32．力系按各力作用线的分布情况是如何进行分类的？

答：力系按各力作用线的分布情况进行分类：

凡各力作用线都在同一平面内的力系称为平面力系；凡各力作用线不在同一平面内的力系称为空间力系。

这两种力系又可各自分为三类：各力作用线汇交于一点的力系称为汇交力系；各力作用线相互平行的力系称为平行力系；各力作用线既不全平行又不全汇交于一点的力系称为任意力系。

平面汇交力系是力系中最简单、最基本的力系，它不仅在工程上有其直接的应用，而且是研究其他复杂力系的基础。

33．平面汇交力系合成的结果如何？

答：平面汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系中各力的矢量和，合力的作用点通过各力的汇交点。

根据合力投影定理，可求出合力F R 在x 和y 轴上的投影F Rx 和F Ry ，再根据式(1—7)可得合力F R 的大小和方向为 ???

????=+=+=∑∑Rx Ry yi xi Ry Rx R F F F F F F F αtan )()(2

222 （1-8）

式中α为合力F R 与x 轴所夹锐角。合力F R 的具体方向可由ΣF xi 和ΣF yi 的正负号来确定。

34．力的投影和力的分解有什么区别？

答：利用力的平行四边形法则可以把作用在物体上的一个力分解为两个相交的分力，分力和合力作用于同一点。在实际分解时，通常把一个力沿着两个直角坐标方向进行分解，分解为两个互相垂直的分力，则为力的投影。这样很容易由三角函数进行计算。

35．平面汇交力系的平衡条件如何？

答：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零，即F R =0。由式(1—8)可知，要使F R =O ，必须也只须

?????==∑∑0

0yi xi F F （1-9）

上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程。当物体处于平衡状态时，可以利用上述平衡方程求解两个未知量。

36．力的平移定理说明了什么？

答：力的平移定理说明：作用在刚体上的力，可以平行移动到刚体上的任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。

图1-40

37．平面一般力系的合成结果如何？

答：平面一般力系向作用平面内任一点简化的结果得到一个作用于该点的平面汇交力系和一个附加的平面力偶系。此平面汇交力系合成一个合力F /R ，称为原力系的主矢量(简称主矢)，平面力偶系合成一个合力偶矩M O ，称为原力系的主矩。

由平面汇交力系求得主矢量F /R 的大小为

2//y x R F F F +=

(1-10) 其中 ∑=+++=xi xn x x x F F F F F 21/

∑=+++=yi yn y y y F F F F F 21/

主矢的方向 ∑∑=

yi F F αtan (1-11)

结合F /x 和F /y 的正负号，可确定F /R 所在的位置指向。

主矩应等于所有力偶矩的代数和，即

∑=+++=)(21F M m m m M O n O (1-12)

由此可得平面一般力系向作用平面内任一点简化的结果为：作用于简化中心的一个主矢量F /R ，其值和方向与简化中心的位置无关；一个作用在平面上的主矩M O ，其值与简化中心的位置有关。

38．平面一般力系的平衡方程有哪几种形式？

答：平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩都等于零。平面一般力系的平衡方程有以下三种形式：

（1）平衡方程一般形式

???????===∑∑∑0)(00F M F F O yi xi

（1-13）

平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在x 坐标轴上的投影的代数和等于零，力系中所有各力在y 坐标轴上投影的代数和等于零，力系中各力对任意一点的力矩的代数和等于零。式(1-13)称为平面一般力系的平衡方程。它是三个独立的方程，利用它可以求解出三个未知量。

（2) 二矩式(即三个平衡方程中，有两个力矩方程和一个投影方程)

???????====∑∑∑∑0

)(0)()0(0F M F M F F B A yi xi

（1-14）

式中取矩中心A 、B 两点的连线不能与x 轴(或y 轴)垂直。

（3) 三矩式(即三个平衡方程都是力矩方程)

???????===∑∑∑0

)(0)(0)(F M F M F M C B A

（1-15）

式中三取矩中心A 、B 、C 三点不能共线。

39．利用平衡方程求未知约束反力的步骤是什么？

答：应用平面一般力系的平衡方程求解未知力的步骤如下：

（1）定研究对象：根据题意分析已知荷载和未知的约束反力，选取合适的研究对象。

（2）作出受力图：在研究对象上画出它受到的所有荷载和约束反力。约束反力根据约束的类型来画。当约束反力的方向未定时，一般可用两个互相垂直的分力表示；当约束反力的指向未定时，可以先假设其指向。如果计算结果为正，则表示假设的指向与实际方向一致；如果计算结果为负，则表示实际的指向与假设相反。

（3）列平衡方程并求解。选取合适的平衡方程形式、投影轴方向和矩心位置。选取哪种形式的平衡方程，完全取决于计算的方便与否。通常力求在一个平衡方程中只包含一个未知量，以免求解联立方程。在应用投影方程时，投影轴的方向可以根据解题需要来设定，通常应考虑到力和投影轴的角度，利用研究对象的对称轴，尽可能选取与未知力的作用线垂直的方向，以使运算简化。运用力矩方程时，矩心往往选择在多个未知力的交点，另外，在计算力矩时，

要善于运用合力矩定理，以便使计算简单。

40．平面平行力系的力作用线有什么特征？

答：平面平行力系的力作用线的特征是：力作用线互相平行。

41．平面平行力系的平衡条件如何？

答：平面平行力系平衡的必要和充分条件是；力系中所有各力在与力平行的轴上投影的代数和为零，力系中所有各力对任一矩心取矩的代数和为零。

平面平行力系的平衡方程只有两个（力系与y 轴平行）：

?????==∑∑0)(0F M F O yi

（1-16）

平面平行力系的平衡方程也有二矩式，即

?????==∑∑0

)(0)(F M F M B A （1-17）

式中A 、B 两点的连线不能平行于力系的作用线。

42．一个平衡的物体系统共可列出多少个平衡方程？求解物体系统的平衡问题有哪两种途径？

答：一般而言，设系统由n 个物体组成，如每个物体都是受平面一般力系作用，则共可列出3n 个独立的平衡方程。则系统中所研究的平衡问题未知量个数也为3n 个，即未知数和独立的平衡方程一一对应。

求解物体系统的平衡问题有下列两种途径：

第一种以整个系统为研究对象，解得全部未知量中的几个，再以系统中某部分物体作为研究对象，求出其余未知量；

第二种是先取某部分物体作为研究对象，再取其他部分物体或整体作为研究

分式知识点总结和练习题讲义

分式知识点总结和题型归纳（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为0（0B ≠）分式无意义：分母为0（0B =）【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 44+-x x （2）232+x x （3）1 2 2-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ）【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2）4 2||2--x x （3）6 53222----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00B A ）分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ）（1）当x 为何值时，分式x -84 为正；（2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；（2）当x 为何值时，分式32 +-x x 为非负数.

题型五：考查分式的值为1，-1的条件分式值为1：分子分母值相等（A=B ）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为（二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题【例1】已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值【例2】已知：21=-x x ，求2 21 x x +的值. 【例3】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 【例4】已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。２、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法：（１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴（２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例1】已知函数y=x 2-２x-3，（１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0

知识点二：二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。（3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。【例１】抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。【例2】如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝）（2)a 的取值范围是 ? 【例３】下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3

人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有：．题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件

【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正；（２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义：（1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值．提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+．

初二函数知识点及经典例题.

第十八章函数一次函数（一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。（二）一次函数 1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

分式知识点及例题

分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子， B 为分母。知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00 B A 或? ??<<00B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然

后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、分式的加减法则：

1静力学基本知识与结构计算简图

教案专业：道路桥梁工程技术课程：工程力学教师：刘进朝学期：2010-2011-1 教案首页授课日期： 2010年 9 月 22 日授课班级：10211-10216

教学内容：课题1 静力学基本知识与结构计算简图一、静力学基本概念

1.力的概念 ※定义：力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变和变形状态发生改变。 ※力的三要素：大小，方向，作用点集中力：例汽车通过轮胎作用在桥面上的力。 2.力系的概念定义——指作用在物体上的一群力。根据力系中各力作用线的分布情况可将力系分为平面力系和空间力系两大类。若两个力系分别作用于同一物体上时，其效应完全相同，则称这两个力系为等效力系。用一个简单的等效力系（或一个力）代替一个复杂力系的过程称为力系的简化。力系的简化是工程静力学的基本问题之一。 3.刚体的概念：指在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 4.平衡的概念平衡——指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。二、静力学基本公理公理1：二力平衡公理。作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，作用线共线，作用于同一个物体上（如图所示）。（a）（b）注意：①对刚体来说，上面的条件是充要的②对变形体来说，上面的条件只是必要条件例如，如图所示之绳索二力构件（二力杆）：在两个力的作用下保持平衡的构件。例如，如图所示结构的直杆AB、曲杆AC就是二力杆。

（a）（b）（c）公理2：加减平衡力系公理。在作用于刚体的任意力系上，加上或减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。加减平衡力系公理也只适用于刚体，而不能用于变形体。推论1：力的可传性。作用于刚体的力可沿其作用线移动而不致改变其对刚体的运动效应（既不改变移动效应，也不改变转动效应），如图所示。因此，对刚体来说，力作用的三要素为：大小，方向，作用线注意：（1）不能将力沿其作用线从作用刚体移到另一刚体。（2）力的可传性原理只适用于刚体，不适用于变形体。例如，如图（a）所示之直杆（a）拉伸（b）压缩在考虑物体变形时，力失不得离开其作用点，是固定矢量。公理3：力的平行四边形法则。作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示，如图（a）所示。 F R=F1+F2 力的平行四边形法则可以简化为三角形法则，如图（b）所示，

静力学的基础知识第一章答案

思考题 1、力、力系、刚体、平衡的定义是什么？力是物体间相互的机械作用。力系是指作用于物体上的一群力，它们组成一个力的系统。刚体就是在任何外力作用下，大小和形状始终保持不变的物体。平衡是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。 2、静力学研究的对象是什么？静力学的研究对象是刚体。 3、静力学公理的主要内容是什么？它们的推论有哪些？ ⑴二力平衡公理：作用在刚体上的两个力，大小相等，方向相反，且作用在同一直线上，是刚体保持平衡的必要和充分条件。 ⑵加减平衡力系公理：在已知力系上加上或者减去任意一个平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。推论一力的可传性原理：作用在刚体上某点的力，可以沿其作用线移向刚体内任一点，不会改变它对刚体的作用效应。 ⑶力的平行四边形法则：作用于刚体上同一点的两个力1 F 和2F 的合力R 也作用于同一点，其大小和方向由这两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示。

推论二三力平衡汇交定理：当刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交于一点。 ⑷作用力与反作用力公理：两个物体之间的相互作用力一定大小相等、方向相反，沿同一作用线。 4、作用力与反作用力是一对平衡力吗？不是。作用力与反作用力是作用在两个物体上的，而一对平衡力则是作用在同一物体上的。 5、如图1－19所示，三铰拱架上的作用力F可否依据力的可传性原理把它移到D点？为什么？图1-19 思考题5 不可以。作用在刚体上某点的力可以沿作用线移动到同一刚体上，不能移到其它物体上。 6、二力平衡条件、加减平衡力系原理能否用于变形体？为什么？不能。因为会改变物体的形状，不再是原有的平衡状态。 7、二力构件所受的力总是沿着杆件的截面方向，这种说法对吗？不对。力是沿着受力点的连线上。 8、工程上，常用的约束类型有哪些？它们各自的特点是什

中考攻略：初中数学函数知识点大全+典型例题

初中数学函数知识点大全+典型例题知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称

点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质

分式知识点总结和题型归纳

分式知识点总结和题型归纳（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为0（0B ≠）分式无意义：分母为0（0B =）【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ）【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ）分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ）（1）当x 为何值时，分式x -84为正；（2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；

静力学基本知识

建筑力学常见问题解答 1 静力学基本知识 1.静力学研究的内容是什么？答：静力学是研究物体在力系作用下处于平衡的规律。 2. 什么叫平衡力系？答：在一般情况下，一个物体总是同时受到若干个力的作用。我们把作用于一物体上的两个或两个以上的力，称为力系。能使物体保持平衡的力系，称为平衡力系。 3.解释下列名词：平衡、力系的平衡条件、力系的简化或力系的合成、等效力系。答：平衡：在一般工程问题中，物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动，称为平衡。例如，房屋、水坝、桥梁相对于地球是保持静止的；在直线轨道上作匀速运动的火车，沿直线匀速起吊的建筑构件，它们相对于地球作匀速直线运动，这些物体本身保持着平衡。其共同特点，就是运动状态没有变化。力系的平衡条件：讨论物体在力系作用下处于平衡时，力系所应该满足的条件，称为力系的平衡条件，这是静力学讨论的主要问题。力系的简化或力系的合成：在讨论力系的平衡条件中，往往需要把作用在物体上的复杂的力系，用一个与原力系作用效果相同的简单的力系来代替，使得讨论平衡条件时比较方便，这种对力系作效果相同的代换，就称为力系的简化，或称为力系的合成。等效力系：对物体作用效果相同的力系，称为等效力系。 4. 力的定义是什么？在建筑力学中，力的作用方式一般有两种情况？答：力的定义：力是物体之间的相互机械作用。这种作用的效果会使物体的运动状态发生变化(外效应)，或者使物体发生变形(内效应)。既然力是物体与物体之间的相互作用，因此，力不可能脱离物体而单独存在，有受力体时必定有施力体。在建筑力学中，力的作用方式一般有两种情况，一种是两物体相互接触时，它们之间相互产生的拉力或压力；一种是物体与地球之间相互产生的吸引力，对物体来说，这吸引力就是重力。 5. 力的三要素是什么？实践证明，力对物体的作用效果，取决于三个要素：(1)力的大小；(2)力的方向；(3)力的作用点。这三个要素通常称为力的三要素。力的大小表明物体间相互作用的强烈程度。为了量度力的大小，我们必须规定力的单位，在国际单位制中，力的单位为N或kN。1 kN=1000 N 力的方向通常包含方位和指向两个涵义。如重力的方向是“铅垂向下”。力的作用点指力对物体作用的位置。力的作用位置实际上有一定的范围，不过当作用范围与物体相比很小时，可近似地看作是一个点。作用于一点的力，称为集中力。

函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)

第二讲：函数的单调性一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数

分式方程学习知识点及典型例题.doc

第二讲分式方程【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 题型一：用常规方法解分式方程解下列分式方程（ 1） 1 3 （ 2） 2 1 x 1 x x 3 x （ 3）x 1 4 1 （ 4） 5 x x 5 x 1 x2 1 x 3 4 x 题型二：特殊方法解分式方程解下列方程（1）x4x 4 4 ；（2）x 7 x 9 x 10 x 6 x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5 （3） 1 1 1 1 x 2 x 5 x 3 x 4 1

题型三：求待定字母的值（ 1）若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 （ 2）若分式方程 2 x a 1 的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 （ 3）若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。 x 2 2 x （ 4）若关于 x 的方程 x k 2 x 不会产生增根，求 k 的值。 x 1 x 2 1 x 1 （ 5）若关于 x 分式方程 1 k x 2 3 有增根，求 k 的值。 x 2 x 2 4 题型四：解含有字母系数的方程解关于 x 的方程 (1 ) x a c (c d 0) （2） 1 1 2 (b 2a) ； b x d a x b 2

1a1 b （ 3）(a b) . 题型五：列分式方程解应用题一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做 4 天可以完成，甲队单独做 15 天可以完成，乙队单独做 12 天可以完成，丙队单独做几天可以完成？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？二、行程中的应用性问题 2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度． 3

二次函数知识点总结及典型例题

二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法：二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0