《勾股定理》 教材分析
第十七章 《勾股定理》教材分析
北京四十一中 陶春霞
一、本章教材在学习中地位：
本章主要内容是勾股定理及其逆定理。勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”. 它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系， 使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式.
勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化, 他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足222c b a =+），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想.
二、本章知识结构框图：
三、课时安排：
本章教学时间约需9课时，具体安排如下：(仅供参考)
17．1 勾股定理 4课时 17．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动
小 结 2课时
四、目标要求
课标要求：
1、经历探索勾股定理的过程，进一步发展自身合情推理意识和主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系。
2、理解直角三角形三边之间的数量关系，有意识地发现自己说理和简单推理的能力。
3、可以运用勾股定理解决一些实际问题，并通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会它的文化价值。
中考要求：
1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。（A 级）
2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。（B 级）
3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。（A 级）
学习目标：
1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题.
2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3、通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
五、本章教法建议：
1、让学生体验勾股定理的探索和运用过程
教材安排从传说故事引入对勾股定理的探索，以及先从特殊的等腰直角三角形入手，直到让学生利用勾股定理解决三个问题（1是木板进门的问题，2是梯子滑动问题， 3是探
，意在不仅激发学生学习的兴趣、降低难度鼓励学生认识规律，更是激励学生主动体验勾股定理的探索和运用过程的精神.
2、结合具体例子介绍抽象概念
本章无论勾股定理还是勾股定理逆定理的研究都体现着由抽象到具体的思维过程. 在勾股定理逆定理的一节中，从古代埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形，可以猜想出如果三边长222
,,a b c a b c +=满足，那么这个三角形显然是直角三角形，即教科书的命题2.命题2的条件、结论与上一节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题、逆定理的概念.
3、注重介绍数学文化
在教学中，注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣. 人们对勾股定理的证明进行了大量的研究，这些证明不仅证出了定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展. 除正文介绍的有关内容外，教科书在P30“阅读与思考 勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了数学活动P36鼓励学生收集一些证明方法与同学交流。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生的爱国热情，培养他们的民族自豪感，为将来担负起振兴中华的重任打下基础.
4、渗透勾股定理的应用意识
教材安排了大量的勾股定理在实际中广泛应用的实例，让学生感受运用勾股定理可
以解决很多问题. 并且在以后学习了四边形、圆及一元二次方程后，应用的范围就更大了.
六、关注本章的数学思想
1、方程思想的运用
初中代数很多问题都是可以通过列方程、利用解方程的方法得到解决，因此重视方程思想的运用，对提高解题能力具有重要的意义. 如： 已知:如图，矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一
平面内C '处，BC '与AD 交于点E ，AD=8，AB =4，求DE 的长.
2、分类与整合思想
如：作高分类 已知：△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC 边的长应为多少？
3、突出数形结合思想
1.勾股定理本身和应用就是数形结合的定理
2.它的验证体现了数形结合的思想，数量关系转化到几何图形中去，运用勾股定理可以顺利解决某些具有平方特征的代数问题，反之亦然.
如:如图是用硬纸板做成的四个全
等的直角三角形，两直角边长分别
是a b ，，斜边长为c 和一个边长
为c 的正方形，请你将它们拼成一
个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意
图．
（2）证明勾股定理．
4、转化与化归思想 在运用数形结合思想考虑问题时，既可把数量关系的问题转化为图形的问题来解决，也可以把图形的问题转化为数量关系的问题来处理. 同时，构造直角三角形化非直角三角形问题为直角三角形，体现了化归思想.
c b a c b a
c b a c b a c c
八、具体教学建议：
§18.1、勾股定理
1、勾股定理
（1） 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2） 表示方法：如果直角三角形两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222a b c +=
2、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2
ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三
角形的面积与小正方形面积的和为221422
S ab c ab c =?+=+，大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222
ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 (方法一) (方法二) (方法三)
注：《教师用书》勾股定理拓展里面介绍了我国清末数学家华蘅芳等的精彩的证法。
3、勾股定理的应用
（1） 已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长；
（2） 知道直角三角形某一边长，可得另两边之间的数量关系；
（3） 可运用勾股定理解决一些实际问题
（4） 勾股定理可以证明线段相等。
4、需要注意的问题：
（1）运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算. 例：已知在△ABC 中，,,a b c 分别是A ∠、B ∠，C ∠的对边，且3,4a b ==，且b c <。若c 为整数，则c = 分析：解法易受“勾三、股四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目
c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b
a
b
c c b a E D C B A
y 144
169
x 14481z
576625中的三角形是否为直角三角形.
（2）在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当.
例：已知三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为 .
分析：由于此题中已知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论
5、知识点
知识点（一）：利用勾股定理求线段长的简单应用
1、在ΔABC 中，a ,b ,c 为三边长.
(1)当∠A =90°时，三边关系.
(2)当∠C =90°时，三边关系.(3)当222b c a =+时，=90°.
2、求下列图中直角三角形未知边长x 、y 、z 的值：
x=;
y=; z=;
练习： 1.（1）在Rt ?ABC 中，90C ∠=?，①若7,24,a b c ===则；
②若5,13,a c ===则b ；③若15,25,b c ===则a 。
（2）等腰直角三角形的斜边长为22，则此直角三角形的腰长为.
（3）在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=，斜边AB 上的高线长为.
（4）在Rt ?ABC 中，90ACB ∠=?，且9,4c a c a +=-=，则b =.
（5）如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是.
2、在△ABC 中，∠C =90°，AB =20.
（1）若∠B=45°，求BC 、AC . （2）若∠A =60°，求BC 、AC .
3、已知△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =5，求AB 的长.
知识点（二）勾股定理与直角三角形其他性质的运用
（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°,AB=2,求AC 的长.
若AC=a ，你会求AB 么？不妨试一试.
（2）如图，∠C=90°，∠A=45°,AB=2,求AC 的长.
（3）等边三角形的边长为a ，求等边三角形的高和面积.
总结：1.直角三角形的性质：
角的关系：直角三角形两锐角互余.
边的关系：直角三角形斜边大于直角边.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
2. 双垂图：两种不同方法表示直角三角形的面积，得出三边长与斜边上高的关系式
3.（1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：2:3.
（2）含有45°的直角三角形的三边的比为：2:1:1.
（3）等边三角形的边长为a ，则高为23a ，面积为24
3a . 探究2：任何有理数都可以用数轴上的点把它表示出来. 同样，任何无理数也都可以用数轴上的点把它表示出来. 你能在数轴上画出表示,513的点么？不妨试一试. 思考：你能在在数轴上画出表示,36…等的点么？
探究3：把勾股定理中以各边为边长的正方形改为等腰直角三角形、正三角形或半圆，是否有类似结论？
练习：
1．△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm ，求AC 、AB 的长度.∠A=45°呢？若AC ＝3cm 呢？AB ＝3cm 呢？
2．等边三角形的边长为6，则它的面积为
3．已知等腰直角三角形斜边的长为2cm ，求这个三角形的周长.
4．在数轴上作出表示17的点.
5．如图，已知直角三角形ABC 的三边分别为6、8、10，
分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分
6．（1）写出三种用“构造斜边长为7的直角三角形的方法”作长为7的线段的方案.
（2）能否通过“构造直角边长为7的直角三角形的方法”来作长为7的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由.
（3）在（1）中，作长为7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7的线段，对于正整数k ，能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为k 的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。(∵
2211()()22
n n n +--=)（教师教学用书P83页） 知识点（三）勾股定理在几何中的应用
例1：已知：如图，△ABC 中AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上
一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长.(过A 作AE ⊥BC 于E)
[总结]勾股定理是解决直角三角形中线段问题有效的方法， 有时为了需要，作垂线构建直角三角形模型是行之有效的办法
. 例2.已知：如图，矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点
C 落在同一平面内C '处，BC '与A
D 交于点
E ，AD=8，
AB =4，求DE 的长.（提醒学生注意：⊿BED 可证出为等腰三角形） 例3.已知：如图，△ABC 中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC 的面积.
例2 例3例4
例 4.如图，一块四边形的土地，其中120ABC ∠=?，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB =，CD =.（补形）
练习：
1.在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求?ABC 的面积.
2.已知：?ABC 中AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长.
3．如图，一块四边形的草地ABCD ,其中∠A =60°,∠B =∠D =90°,AB =20m,CD =10m,求这块草地的面积.
4.若一个直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边长为（ ）
A.13
B.119
C.13或119
D.无法确定
5.在△ABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12则, △ABC 的周长为（ ）
A.42
B.32
C.42或32
D.37或33
6.如图，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=?，90,4CBD AD ∠=?=，AB=3，BC=12，求以DC 为边的正方形面积.
7.如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC ，DC ⊥BC ，沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 上，记为'A .若AD=4，BC=6，求'
A B 的长.
（第3题） （第6题） （第7题）
8．已知△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AB －AC=2-2，求BC 的长.
知识点（四）利用勾股定理解决实际问题
探究1：如图，一个门框的尺寸如图所示：
（1） 有一块长3米，宽0.8米的薄木板能从门框内通过么？
（2） 若薄木板长3米，宽1，5米呢？
（3） 若薄木板长3米，宽2.2米呢？
探究2：如图，一个3m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，
这时AO 的距离为2.5米.如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么
梯子底端B 也外移0.5m 么？请谈谈你的看法.
有可能梯子下滑的距离等于底端外移的距离么？为什么？
练习：
1.如图，有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，洞的直径至少多长？
2、如图，池塘边有两点A 、B ，点C 在与BA 方向成直角的AC 方向上。测得CB=-60m ，AC=20m. 你能求出A 、B 两点间的距离么？
A F
B D E
C A'C
B
A D
105?30?8
C
B A
3、如图一梯子AB 为2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯米子下端B 与墙角C 处的距离为1.5米.梯子下滑后停在DE 位置上，测得BD=0.5米，问梯子顶端也恰好下落了0.5米吗？说说你的理由.
(第1题) (第2题) (第3题)
4、有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦
苇.它高出水面l 尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点. 它的顶端恰好
到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?
（教材29页第10题，出自我国数学著作《九章算术》）
5、平面上有A 、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C 处有食物，
已知点C 在A 的东南方向，在B 的西南方向. 甲、乙两只蚂蚁同时从A 、
B 两地出发爬向
C 处，速度都是30/min cm . 结果甲蚂蚁用了2min ，
乙蚂蚁2分40秒到达C 处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远？
6、如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3)．（类似，教材39页第12题）
7、如图，A 、B 为两个村庄，AB 、BC 、CD 为公路，BD 为田地，
AD 为河宽，且CD 与AD 互相垂直. 现要从点E 处开设通往村庄A 、村庄B 的一条电缆，现在共有两种铺设方案：
方案一：E D A B →→→；
方案二：E C B A →→→. 经测量得AB=43千米，BC=10
千米，∠BDC =45°，15ABD ∠=?.
已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为每千米4万元.
求（1）河宽AD （结果保留根号）；（2）公路CD 的长；（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明理由.
知识点（五）斜三角形可转化为直角三角形研究 探究：如图，在△ABC 中，∠B=30°,∠BAC=105°,AB=8.求BC 的长. C B A D C A B E B D
C
E
B A A
A B C
练习：
1． 已知△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AB －AC=2-2，
求BC 的长.
2． 某三角形的两个角分别为105°和45°，且45°角所对的边长为2，则该三角形的周长是．
3、在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，
AB=c ，若∠C=90°，如图①，根
据勾股定理，则22a b + =2c ，若
△ABC 不是直角三角形，如图②
和图③，请你类比勾股定理，试猜
想22a b +与2c 的关系，并证明你
的结论。
知识点（六）探索勾股定理的证明
有一些问题是以动手操作的形式来考察勾股定理的证明方法，故注意积累用拼图发现和验证勾股定理的证明思想.一类是利用一些全等的直角三角形纸片拼成正方形或直角梯形，（如弦图和总统证法），另一类是将一种图案通过割补法转化为另一种几何图案，通过面积的计算方式不同从而建立三边之间的关系，获得勾股
定理的证明.下面的例子就是用割补法验证勾股定理. 如图，沿虚线剪下三个直角三角形A 、B 、C ，再将它们分别补在'A 、'B 、'C 位置，从而有222a b c +=；在图2
中沿虚线剪开后，将右边部分翻转180°后拼成如图3，从而
有222112222
a b ab ab c ++?
=?+，即222a b c +=。 练习 1、用硬纸片做成的两个全等直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边为c 和以c 为直角边的等腰直角三角形. 请开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. ①画出拼成的这个图形的示意图；
②用这个图形证明勾股定理.
2、作一个Rt △ABC ，以斜边AB 为边向内作正方形ABDE ，
过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ，BC 延长线交DE 于
I. 在AC 上截取CG=CB ，作HG ⊥AC 交AB 于H ，这样就
将正方形ABDE 分成①、②、③、④、⑤五个部分，将它们
剪开就得到一付五巧板. 你能利用两副五巧板进行拼图，验
证勾股定理吗？自己拼一拼.
§2勾股定理的逆定理（一种以长度的计算确定角度的方法
-------‘数’←→‘形’）
a b c C'B'A'C B A
如果三角形的三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 所对的角是直角.
（1）勾股定理的逆定理是判别一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状.
当222a b c +=时，以,,a b c 为边的三角形是直角三角形（∠C=90°）；
当222a b c +<时，以,,a b c 为边的三角形是钝角三角形（90°<∠C < 180°）； 当222a b c +>时，以,,a b c 为边的三角形是是锐角三角形（0°<∠C < 90°）.
（2）定理中,,a b c 及222a b c +=只是一种表现形式. 若三边长,,a b c 满足222a c b +=，那么这个三角形是直角三角形，其中b 所对的角是直角.
（3）逆定理成立了，才能说明存在直角三角形，从而才能出现斜边直角边的概念
在用文字叙述时，不能说成“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。”
（4）课本中证明逆命题的思路有同一法的味道，对部分学生来说较为新鲜，非常有启发意义。
知识点(一)勾股定理逆定理的应用.
探索
1、 书上古埃及人画直角的方法。据说我国古代大禹治水测量
工地时，也用类似的方法确定直角。你知道其中的道理吗？
2、请画一个三角形，使它的三边长分别为
（1）cm cm cm 5.6,6,5.2； （2）cm cm cm 5.8,5.7,4
（3）猜想：如果三角形的三边长c b a ,,满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.
到目前为止你有多少种方法证明一个三角形是直角三角形？
①有一个角是直角的三角形是直角三角形。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。
练习：1、根据下列条件，判断△ABC 是否是直角三角形
（1）45,53,28a b c === （2）21,21,6a b c =
== （3）2222,,2(,a m n b m n c mn m n m n =-=+=>、为正整数）
（4）::10:24:26a b c = （5）221,2,1(1)n n n n -+>
2、若一个三角形的三边长分别是2,4m m m ++和，当m =时，它是直角三角形.
3、一个三角形三边之比为5：12：13，且周长为60厘米，则它的面积为.
4、已知：,,a b c 为△ABC 的三边且满足222338102426a b c a b c +++=++， 试判断△ABC 的形状.
5、已知241,2,2,1k b k a c k ac k >=+==-，判断以,,a b c 为边的三角形的形状.
6.已知：如图，四边形ABCD 中，∠B=90°AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD 的面积.
知识点（二）：互逆命题、互逆定理 探索 命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为b a ,，斜边长为c ，那么222c b a =+. 命题2：如果三角形的三边长c b a ,,满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.
命题1、命题2的题设和结论分别是什么？它们之间有什么关系？
互逆命题的定义：
互逆的两个命题的真假情况如何？
练习：是否所有互逆的两个命题都是同真或同假？请举例说明.
教材33页练习2，教材34页复习巩固2
知识点（三）：勾股数
背景知识：222a b c +=本身就是一个关于,,a b c 的不定方程，显然它有无数多组解，满足该方程的正整数解,,a b c 通常叫做勾股数组. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，公式为：221()2a m n =-，b mn =，22)1(2
c m n =+，其中,m n 为互质的奇数()m n >，则,,a b c 为勾股数. 国外最先给出勾股数通解公式为：2a mn =，22b m n =-，22c m n =+，其中,m n ()m n >是互质且一奇一偶的任意正整数，则,,a b c 为勾股数，这是由希腊的丢番图给出的. 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数）柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1
>n
75B C A 的整数）（教材39页第11题）
通过总结归纳，记住一些常用的勾股数. 如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组.
例题选用：
书32页例1
练习：
1. 如果m 表示大于1的整数，m a 2=，1,122+=-=m c m b ，那么c b a ,,是勾股数吗？你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
2、（1）如图1，在△ABC 中，AB=8，AC=15，BC=17，求ABC S ?.
（2）如图2，在△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求ABC S ?.
第2题（1）第2题（2）第4题 第7题 3、已知：a,b,c 是ΔABC 的三边，且a+b=4,ab=1,c=14,试判断ΔABC 的形状.
4.如图，已知ABC ?中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
5、在四边形ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且∠ABC=90°，连结AC ，试判断ACD ?的形状。
6、△ABC 中,CD 是AB 边上的中线，AC =8，BC =6，CD =5，判断△ABC 的形状。
7. 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 中点，F 为EC 中点。求证：∠BAF=2∠EAD
知识点（四）：勾股定理与勾股定理逆定理的综合应用
一、选择题：
1.列命题中，不正确的是（ ）
(A) 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形;
(B) 三边之比为1:3:2的三角形是直角三角形;
(C) 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形;
(D) 三边之比为2:2:2的三角形是直角三角形.
2.ΔABC 三边a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2
+338=10a+24b+26c, 则ΔABC 是（ ） 158A D
C
B A
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
3.c b a ,,为直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：
①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形
③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④
h
b a 1,1,1能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、解答题：
1.在△ABC 的三边 c b a ,,，且442222b a c b c a -=-，
判断△ABC 的形状。
2. 如图△ABC 中，∠C=90°，M 是CB 的中点，MD⊥AB 于D ，
请说明三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形。 3． 如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AF=3FD ，求证：BE ⊥EF
4、 已知AD 是△ABC 的高，且2AD BD DC =?，试问△ABC 的形状，并说明理由.
第3题 第4题
第5题 5、 如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求ABC ?的面积. 6、如图，在四边形ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，
且∠ABC=90°，连结AC ，试判断△ACD 的形状。
7、一艘在海上朝正北方向行驶的轮船，航行240海里时方位仪坏了，
凭经验，船长指挥向左转90°，继续航行70海里，则距出发点有
250海里，试判断轮船转弯后，是否沿正西方向航行？
（关于结合“方位角”的应用，教材33页例2）
A B C D E
F
勾股定理说课稿
探索勾股定理说课稿 尊敬的各位评委、老师，下午好（台下）！我是数学组第12号考生，今天我说课的题目是《探索勾股定理》（台上，然后板书题目，把粉笔放回原处）。下面我将从教材分析、教法学法、教学过程和板书设计四个方面来进行我的说课。 首先是教材分析： 1、教材的地位和作用：本节是北师大版数学八年级上册第1章第1节的内容。是在前面学生学习了直角三角形的基础上来进行研究的，同时，也为后续学习勾股定理的应用奠定重要基础，因此本节课在教材中起着承上启下的作用。 2、学情分析：中学生已掌握了一定的数学知识，具有一定的自学能力，但其知识面、生活阅历等方面还有所欠缺，因此还需要在教师的引导下进行系统的学习。 3、教学目标：根据新课程标准的要求，结合学生已有的认知结构和心理特征，我把本节课的三维目标定为： ①知识与技能目标：掌握勾股定理，能利用勾股定理解决相关几何问题。 ②过程与方法目标：通过师生共同讨论研究，让学生经历勾股定理的探究过程。 ③情感态度价值观方面：培养学生积极参与，自主合作的主体意识，充分调动学生学习积极性，促进师生间的情感交流。 基于以上目标，我把本节课的重点定为勾股定理，难点定为勾股定理的探究过程。 二、教法学法：叶圣陶先生曾经说过：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机引导。”因此，本节课我将采取启发式教学、自主探究法、小组讨论法等教学方法，并采用多媒体辅助教学，激发学生学习兴趣，使之积极地参与到课堂中来，经历数学知识的形成和应用过程。 课前准备：1、多媒体课件及实物投影仪；2、前后四个人为一组，把学生分成若干个小组。 三、教学过程：为了完成教学目标，突破教学重、难点，下面，我将从六个方面来说一下教学过程。 1、创设情境，提问导入。我首先创设这样一个问题情境，某楼房三楼失火，消防员赶来救火，了解到楼高8米，消防队员取来9米长的梯子，如果梯子的底部离墙基的距离是6米，请问消防队员能否进入三楼灭火？相信大家学习完本节内容后，这个问题就迎刃而解了。本环节以生活中的实例，激发了学生的兴趣，从而引入了新课，同时让学生体会到生活中处处有数学。 然后用多媒体向学生展示学习目标，留10—15秒钟的时间，让学生熟悉学习目标，紧接着进入探究环节。 2、合作探究，形成概念。 我引导学生在纸上画一个直角三角形，分别测量出它们的三边长，看各
勾股定理知识点总结
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是，类似地可作 。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
勾股定理(第一课时)教学设计
勾股定理（第一课时）教学设计 一、教案背景 （一）教材分析 这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一 节《勾股定理》第一课时：直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 （二）学情分析 1．通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 2.考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。 3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。 （三）教学设想 1．课型：新授课 2．设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。 3．教学思路：探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。 二、教学目标 （一）知识目标 1．理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。 2．理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算 3．通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。 （二）能力目标 1. 掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关计算，即已知两边，运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。 3. 经历探索勾股定理内容的过程，学会简单的合情推理与数学说理。
人教版勾股定理说课稿
勾股定理说课稿 各位评委老师,上午好: 今天我说课得题目就是《勾股定理》,所选教材为人教版八年级数学下册。我将遵循幸福课堂四步教学法,从说教材,说学情,说教法说学法,以及说流程几方面进行。 一、教材得地位与作用 勾股定理就是几何中重要定理之一,在数学得发展中起着重要得作用。一方面就是对直角三角形中三边数量关系得深入与拓展,另一方面又为九年级学习三角函数奠定了基础。 鉴于这种理解,我认为本节课不仅有着广泛得实际应用,而且有着承前启后得作用。 二、说学情 八年级学生思维活跃,参与意识强,对事物充满好奇心。经过七年级得学习,以储备相应得知识基础,初步具备基本得数形知识,归纳信息得能力;但由于生活经验少,在综合分析事物时,考虑问题可能不会很全面,需要教师引导。 根据新课标得要求与教材内容以及学生得基础认知水平,我确定以下三个维度得教学目标: 1、【知识与能力目标】 通过观察分析,大胆猜想,并探索勾股定理,培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理得能力。 2、【过程与方法目标】 让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”得数学思想,并体会数形结合与从特殊到一般得思想方法。 3、【情感态度与价值观】激发学生热爱祖国悠久文化得思想感情,培养学生得民族自豪感与钻研精神。 结合新课标对本课得要求,我将本节课得重点确定为:勾股定理得证明与运用 难点确定为:用面积法等方法证明勾股定理 三、教法与学法分析 为了讲清教材得重难点,使学生能够达到本课设定得教学目标,我再从教法与学法上说说。 根据教学有法,教无定法得原则与郭思乐教授得生本教育理念,我决定采用“定向----自学 ----交流---提升”得模式,以倡导学生自学,增加尝试探究,强化检测提升,
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理知识点与常见题型总结
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勾股定理复习 一.知识归纳 1．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145
勾股定理的应用说课稿
勾股定理的应用 说课流程 一、教材分析二、目标分析三、教法学法分析 四、教学过程分析五、评价分析 一.教材分析 1.教材的地位和作用：勾股定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点。本节课是在人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》八年级下册“勾股定理”一章新授课全部结束的基础上设计的一节探究课。对“勾股定理”一章来说，从《数学课程标准》的要求到教材内容的设置，起点都比较低—主要表现在两方面：一方面表现在知识点少，即仅有勾股定理及勾股定理逆定理两个知识点；另一方面能力要求单一，即运用勾股定理解决简单的实际问题。因此为了提高学生质疑、发现、解决问题的能力，根据学生的实际情况，利用教材资源和学生的智慧设计本节课的内容。在本节课中，通过丰富的情境，使学生更深刻地体会勾股定理在现实生活中的应用。为后面的学习打下良好的基础。 2.教学重点: 运用勾股定理解决数学和实际问题 3.教学难点: 把实际问题转为数学问题，利用勾股定理解决 二. 教学目标： 知识目标：
能进一步运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题 能力目标： 1.通过对实际问题的分析与解决，通过学生动手操作，培养学生的探究能力、质疑能力，提高用数学知识来解决实际问题的能力. 2.帮助学生感受到数学与现实生活的联系， 情感目标： 1.体验数学学习的乐趣，形成积极参与数学活动的意识，再一次感受勾股定理的应用价值，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2.培养学生交流与合作的协作精神 三.教法学法分析: 1、学情分析 本节课的教学对象是八年级学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证勾股定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了勾股定理的本质特征，并在此过程中，获得了初步的数学活动经验和体验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力。初步具备了有条理地思考与表达的能力。 2、教法与学法分析 （1）教法分析： 采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”的方法进行 探索——讨论法
勾股定理知识点总结及练习
第 课时 第十八章 勾股定理 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=?，则 2 2 c a b = +，22 b c a = -，22 a c b = -） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =? +=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2 S a b a b = +?+梯形，2 112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形，化简得证 3：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2 2 21,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b
1.1 第1课时 认识勾股定理(教学设计——精品教案)
1.1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 教学目标 【知识与能力】 1.经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结合的思想. 2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题. 【过程与方法】 1.经历“测量—猜想—归纳—验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程. 2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力. 3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法. 【情感态度价值观】 通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验. 教学重难点 【教学重点】 勾股定理的探索及应用. 【教学难点】 勾股定理的探索过程. 课前准备 【教师准备】分发给学生打印的方格纸. 【学生准备】有刻度的直尺. 教学过程 第一环节：创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本 届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾 建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们 就来一同探索勾股定理．（板书课题） 第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现： 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫. 效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二 内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图： （2）填表： （3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．） 图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一： 如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， 131322 1 4=+???=C S ． 方法二： 如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减
勾股定理
尊敬的各位评委、老师，您们好。今天我说课的内容是人教版《数学》八年级下册第十八章第一节《勾股定理》第一课时，我将从教材、教法与学法、教学过程、教学评价以及设计说明五个方面来阐述对本节课的理解与设计。 一、教材分析： （一）教材的地位与作用 从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。 从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁； 勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。 根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中【情感态度】方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。 （二）重点与难点 为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。限于八年级学生的思维水平，我将面积法发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突
出重点，合作交流突破难点。 二、教法与学法分析 教学方法叶圣陶说过“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。 学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。 三、教学过程 我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。 首先，情境导入 给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。（请看视频）让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了什么三角形？反映在三边上,又蕴含着什么数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。 第二步追溯历史解密真相 勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。 从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。学生很容
勾股定理说课稿人教版
勾股定理说课稿人教版 这节课是九年制义务教育初级中学教材北师大版七年级第二章第一节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，下面小编带来的是勾股定理说课稿人教版，希望对你有帮助！ 一、教材分析 （一）教材地位与作用 勾股定理它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）教学目标知识与能力：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单实际问题。过程与方法：经历探索及验证勾股定理的过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，感受数形结合和从特殊到一般的思想。情感态度与价值观：激发爱国热情，体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满探索和创造，体验数学的美感,从而了解数学,喜欢数学。 （三）教学重点：经历探索及验证勾股定理的过程，并能用它来解决一些简单的实际问题。 教学难点：用面积法（拼图法）发现勾股定理。 突出重点、突破难点的办法：发挥学生的主体作用,通过学生动手实验，让学生在实验中探索、在探索中领悟、在领悟中理解。 二、教法与学法分析： 学情分析:七年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力．他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法（包括割补、拼接）,但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够。另外，学生普遍学习积极性较高，课堂活动参与较主动，但合作交流的能力还有待加强． 教法分析:结合七年级学生和本节教材的特点,在教学中采用“问题情境----建立模型----解释应用---拓展巩固”的模式, 选择引导探索法。把教学过程转化为学生亲身观察，大胆猜想，自主探究，合作交流，归纳总结的过程。 学法分析:在教师的组织引导下，学生采用自主探究合作交流的研讨式学习方式,使学生真正成为学习的主人。
《勾股定理中考十三大考点》 经典
《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。 公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点： ①已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 )( 8，15，17 ) (9，12，15 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
S 3 S 2 S 1 2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 ． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高． 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍 5、在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； 6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、1n 2+ 7、在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A. 222a b c += B. 222a c b += C. 222c b a += D.以上都有可能
17.1.1勾股定理教学设计
17.1勾股定理 第一课时 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 这节课是人教2011课标版八年级下车册第十七章第一节《勾股定理》第一课时。在本节课以前，学生学习了（三角形、正方形、梯形）一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质、二次根式以及整式运算中的完全平方公式。学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一，这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为以后学习《解直角三角形》奠定基础，在有关的物理计算中也离不开《勾股定理》，它在生活中的用途很大。 （二）、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．且他们勤于思考、乐于探究。(根据以上教材地位和学生情况，再结合《课程标准》的要求，我制定如下教学目标) （三）、教学目标分析 【教学目标】 1、知识与技能目标 体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。 2、过程与方法目标
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。发展学生的合情推理、归纳和概括能力。 3、情感态度与价值观目标 通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。 （四）、教学重点及难点（根据《课程标准》的要求，以及为学生在今后解决有关几何问题。拟定本节课的教学重点和难点） 【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用 【教学难点】通过面积计算探索勾股定理。 【难点成因】在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够，因此形成了难点。 【教具】教师准备：课件直角三角形 学生准备：四个全等的直角三角形 二、教学方法及教学手段的选择 针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课我选择的方法是：引导探索、讨论发现法（其意图是由浅到深，由特殊到一般的提出问题，与学生合作交流，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。） 三、学法指导
勾股定理(基础)
勾股定理（基础） 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； ● 能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； ● 通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 学习策略： ● 体验勾股定理的探索过程，掌握方程思想； ● 牢记直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. 二、学习与应用 1. 正数的平方根有 ，它们互为 ，其中正的那个叫它的____；负数 ，0的平方根是 . 2. 324的算术平方根是 ， 256的平方根是 . 3.196= ,144 = . 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长 分别为a b ，，斜边长为c ，那么 . 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的 线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目 的. （3）理解勾股定理的一些变式： “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
2______ a=，2______ b=，()2 2____ c a b =+- 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 要点三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 与勾股定理有关的面积计算； 4. 勾股定理在实际生活中的应用． 类型一、勾股定理的直接应用 例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c； （2）若c＝26，b＝24，求a． 典型例题——自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．
[初中数学]勾股定理说课稿 人教版
《勾股定理》说课稿 一、教材分析： （一）教材所处的地位和作用 本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级上册第一章第一节“勾股定理”的第一课时．在本节课以前，学生已经学习了有关三角形的一些知识，也经历过利用图形面积来探求数式运算规律的过程。在探求勾股定理的过程中，蕴涵了丰富的数学思想．把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范；把探求边的关系转化为探求面积的关系，将边不在格线上的图形转化为可计算的格点图形，是转化思想的体现；先探求特殊的直角三角形的三边关系，再探求一般直角三角形的三边关系，这是特殊——一般的思想．本节课，通过提供学生活动的方案，让学生在活动中思考，在思考中创新。 （二）教学目标： 1、在探究勾股定理的过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力． 2、在探究勾股定理的过程中培养学生独立思考、合作交流的学习习惯；通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值． 3、能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题． ( 三 )教学重点与难点： 教学重点:勾股定理的探索过程． 教学难点:将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积． 二、教法与学法分析： 教法分析：本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。 学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。 三、教学过程设计 (一) 从数学问题引入：
直角三角形与勾股定理中考考点分析
直角三角形与勾股定理 1.如图1是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ） A2m B.3m C.6m D.9m 图1 图2 图3 2.已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？( ) A ． 100 B ． 180 C ． 220 D ． 260 3.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图2，则三角板的最大边的长为( ) A. 3cm B. 6cm C. 32cm D. 62cm 4.如图3，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是( ) （A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）7 5.如图4，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ） A ．21 B ．2 C ．3 D ．4 图3 ' 图4 图5 图6 图7 6.下列命题中，其逆． 命题成立的是______________．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形． 7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是 ． 8.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图7所示.正方形DEFH 的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC ＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝ 米时,有DC 2＝AE 2＋BC 2 . 9.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式： 。 10.如图8，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD = 5cm ，则EF = _______cm ． 图8 图9 图10 11.在直角三角形ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB ＝ ． 12.如图9，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ． 13.如图10,将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部分的面积是________cm 2. 14.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．． ．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． 15.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a 表示第三条边长； (2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a 的取值范围； (3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由. A C E B A C E F
勾股定理(1)教学设计
《勾股定理（一）》教学设计 教学目标 （1）、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生合情推理意识，体会数学与现实生活的紧密联系。 （2）、能说出勾股定理的内容并会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 （3）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的探究过程，并体会由特殊到一般、数形结合以及转化的思想方法。 （4）、在探究活动中，培养学生独立思考、合作交流的学习习惯，通过解决实际问题，增强自信心，激发学习数学的兴趣在教师的介绍下，体会勾股定理的文化价值。 教学重点：勾股定理的发现、探索过程。 教学难点：将边不在格线上的图形转化边在格线上的图形，以便于计算图形的面积。 课前准备：方格纸、课件 教学过程： 一、创设情景 导入新课： 活动内容：情境一：情境1：出示章前图，通过“怎样与外星人联系”的话题激发学生的探究欲望，明确本章的学习内容。 情境二：如图，强大的台风使的一根旗杆在离地面9米处断 裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？ 想一想：你需要求哪些线段长度，这些长度确定吗？ 活动目的：教师引导学生把实际问题转化成数学问题， 也就是“已知直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。再结合“想一想”中的问题，让学生认识到在直角三角形中，任意两边确定了，另外一条边也就随之确定了，三条边之间确实存在一个特定的数量关系，从而引出对直角三角形三边关系的探索。 注意事项：学生能够获取信息，但对于直角三角形中已知任意两边，第三边也就随之确定了理解比较困难，教师可让学生尝试画图并充分的交流自己的想法。 二、尝试猜想 探索验证： 活动内容：活动1：尝试猜想 在纸上任意画若干个直角三角形，测量它们各边的长度，看看三边长的平方有什么关系？ 活动目的：让学生画直角三角形，通过测量得出结论，猜想出了直角三角形三边长平方的关系 9 12
勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF
勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 ; 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗”
占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 形。” ' “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算 出来了吗 思路分析： 1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确 的解答