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线性代数综合练习题(修改)

线性代数综合练习题

第一章行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)

k n -2

! (D)k n n --2)1(

001100000100

100( ).

(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

4．在函数10

23211112)(x x x x

x f ----=中3x 项的系数是( ).

(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

5．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为

x ,1,5,2-, 则=x ( ).

(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2

6. 若5

111113263478

----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).

(A)1- (B)2- (C)3- (D)0

7. 若2

011110403--=

D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).

(A)1- (B)2- (C)3- (D)0

8. k 等于何值时，齐次线性方程组???

??=++=++=++0

00321

321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( )

(A)1- (B)2- (C)3- (D)0

二、填空题

1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.

2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是

3. 行列式

100111010100

111.

4．如果M a a a a a a a a a D ==3332

31232221

131211 ，则=---=32

3331

2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D

5．齐次线性方程组???

??=+-=+=++0

0202321

1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.

6．若齐次线性方程组???

?=+--=+=++0

230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.

三、计算题

127816

1944

1111

----; 2．y

y x x y

x y y x y x +++； 3. n

a b b b a a b b a a a b 321222

1111111； .

四、证明题

1．设1=abcd ，证明：

111111111112

222=++++

d c c c c b b b b a a a a . 2．

))()()()()()((1111

4442

d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d

d c b a +++------=.

第二章矩阵

一、单项选择题

1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

(a)2

2A A = (b)))((22B A B A B A +-=-

(c)AB A A B A -=-2)( (d)T T T B A AB =)(

2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。

(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( )。

(a)

A k (b) A k (c)

k n (d) A k n

4.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。

(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)(

*+=n A

A (d) 1

*-=n A

7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式

=--*12)2(A A ( )。

(a) 827-

(b) 278- (c) 827 (d) 27

8. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。

(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 2

B A = 9. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。

(a) B A B A +=+ (b) BA AB = (c) BA AB = (d) 2

B A = 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A

(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--= 11.设A 为n 阶方阵，且0||≠A ，则（）。（a ）A 经列初等变换可变为单位阵I （b ）由BA AX =，可得B X =

（c ）当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时，有B A =-1

（d ）以上（a ）、（b ）、（c ）都不对

二、填空题

1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______

2.设2???

? ??=100020101A ，则行列式)9()3(21I A I A -+-的值为__ _____

三、计算题

1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).

1) 223221103212102X ???? ? ?-= ? ? ? ?--???? ； 2) 2AX A X I =+-,其中101020101A ?? ?= ? ???；

2.已知110021101A -??

?= ?

?-??

,求21

(2)(4)A I A I -+-. 3．设301130113A -?? ?= ? ?

--??

，110110B ?? ?

= ? ???，且满足2AX X B -=，求X 。

4. 设n 阶方阵,A B 满足2A B AB +=，已知120120003B ??

?=- ?

???

，求矩阵A . 四、证明题

1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.

2. 设n 阶矩阵B A ,满足AB B A =+，证明：))(())((E B E A E A E B --=--；

3. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

4. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

一、单项选择题

1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分

必要条件是（）

(A) r n = (B) r n < (C) r n ≥ (D) r n >

2．设A 是m n ?矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（）

(A) ()r A m < (B) ()r A n <

（a ）A 中r 阶子式不全为零（b ）A 中阶数小于r 的子式全为零

（c ）A 经行初等变换可化为???

? ??00

I （d ）A 为满秩矩阵 4.设A 为n m ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，AC B =，则( )。 (a) 秩(A )> 秩(B ) (b) 秩(A )= 秩(B )

(c) 秩(A )< 秩(B ) (d) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 5.A ，B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则秩(A )和秩(B )( )。 (a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n ，一个等于n

6.n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )。

(a) n r A r <=)( (b) A 的列秩为n (c) A 的每一个行向量都是非零向量 (d) 伴随矩阵存在 7. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是( )。 (a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例

(d) 对任何n 维非零向量X ，均有0≠AX

8．设A 是m n ?矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（）

(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解

(C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解 9．设,A B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则（） (A) n B r A r ≤+)()( (B) 0)(,)(==B r n A r (C) n B r A r <+)()( (D) n B r A r >+)()( 10．设A 为m n ?矩阵，则下列结论正确的是（）

(A) 若0AX =仅有零解，则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解，则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解，则0AX =仅有零解 (D) 若AX b =有无穷多解，则0AX =有非零解

11．线性方程组1231231

23123047101

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=? （）

(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解

二、填空题

1.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为____ ___

2.非零矩阵??

??n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2

2221

212111的秩为___ _____ 3. 若线性方程组m n A X b ?=的系数矩阵的秩为m ，则其增广矩阵的秩为 . 4. 设

1231211232,3,120x A a b x x a x ??????

? ? ?=+== ? ? ?

? ? ?-??????

，若齐次线性方程组0AX =只有零解，则

a = .

5. 设1231211232,3,120x A a b x x a x ?????? ? ? ?

=+== ? ? ? ? ? ?-??????

，若线性方程组AX b =无解，则a = .

6. 线性方程组12312123

20200kx x x x kx x x x ++=??

+=??-+=?仅有零解的充分必要条件是 .

7. 设12,,

s X X X 和1122s s c X c X c X +++均为非齐次线性方程组AX b =的解（12,,

s c c c 为常数），则12s c c c ++

+= .

8. 设54?矩阵A 的秩为3，123,,ααα是非齐次线性方程组AX b =的三个不同的解

向量，若12312

2(2,0,0,0),3(2,4,6,8)T T

ααααα++=+=，则AX b =的通解

为 .

9. 设矩阵0

100001000010

000A ??

= ?

，则3A 的秩为。

三、计算题

1.11123512536A λ-?? ?

=- ? ???

，求A 的秩。

2. 已知123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，问

12233,,αααααα+++是否是该方程组的一个基础解系？为什么？

3. 问,a b 为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。

1）12312321231x ax x a ax x x x x ax a ++=??++=??++=? 2）123212312

3424

x x bx x bx x b x x x ++=??

-++=??-+=-?

6．当λ为何值时，方程组

1231231

232124551

x x x x x x x x x λλ+-=??

-+=??+-=-? 无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解. 四、证明题

1. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

2. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.