届高考数学考点讲解：考点定积分的概念与微积分基本定理(新课标解析版)

考点11 定积分的概念与微积分基本定理【高考再现】

热点一定积分的基本计算

1. (2012年高考江西卷理科11)计算定积分

12

1

(sin)

x x dx

-

+=

?___________

【方法总结】1.计算简单定积分的步骤：

(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；

(3)分别用求导公式求出F(x)，使得F′(x)＝f(x)；

(4)利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值；

(5)计算所求定积分的值．

2.求定积分的常用技巧：

(1)求被积函数，要先化简，再求积分．

(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．

热点二微积分基本定理的应用

3.(2012年高考山东卷理科15)设a ＞0.若曲线=y x 与直线x ＝a ，y=0所围成封闭图形的面积为a ，则a=______。 【答案】

94

【解析】a a x dx x S a a

====

?

23

2

30

323

2，解得4

9=a . 4.(2012年高考上海卷理科13)已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、

)5,2

1

(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .

【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤

(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出

平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．

【考点剖析】

二．命题方向

定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等。一般以客观题形式出现.

三．规律总结

一种思想

定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．

一个公式

由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

【基础练习】

1.（教材习题改编） ??0

1(e x ＋2x)d x 等于( )

A ．1

B ．e －1

C ．e

D ．e ＋1 【答案】C

【解析】 因为F (x )＝e x ＋x 2，且F ′(x )＝e x ＋2x ，则

??0

1(e x

＋2x)d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e ＋1)－(e 0＋0)＝e ，故选C

.

3. 【经典习题】 2

20

(

4)x x dx --=?_______________．

【答案】C 【解析】：

2

20

(4)x dx -?

等于圆224x y +=在第一象限的面积π，则

2

2

2

2

2220

1(4)(4)22x x dx x dx xdx x ππ??

--=--=-=-?????

??

.

4. 已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若?

?1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.

【名校模拟】

一．基础扎实

1. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试文)曲线y=1

1

x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 A ．1 B ．－

1

2

C ．

1

4

D ．

18

【答案】 C

【解析】''2(1)(1)(1)(1)'(1)x x x x y x -+--+=+2(1)(1)(1)x x x +--=+2

2

(1)

x =+，所以2k =，所

以切线方程为21y x =-，所以111

1224

S ?=

??=，故选C 2. (2012届郑州市第二次质量预测理) 如图曲线和直线

所围成的图

形（阴影部分)的面积为 A. B. C.

D.

3．(2012洛阳示范高中联考高三理).由曲线3

2,x y x y ==围成的封闭图形的面积为 A.

121 B.41 C. 3

1

D.

12

7

【答案】A

【解析】解：由微积分基本定理，可知由曲线3

2

,x y x y ==围成的封闭图形的面积为

1

23

34100

111(x x )dx x x |3412

-=-=? 4．(武汉2012高中毕业生五月模拟考试理)

答案：A 解析：由题意得，

2200

(22)(2)|233t

t x dx x x t t t -=-=-=?=?

或1t =-（舍去），故

选A 。

5. (山西省2012年高考考前适应性训练理)=+?-2

1 3d )(x x x ．

6(湖北武汉2012适应性训练理)曲线22y x =与x 轴及直线1x =所围图形的面积

为 ． 【答案】

23

【解析】依题意得知，曲线2

2y x =与x 轴及直线1x =所围图形的面积为

1

23100

222|33

x dx x =

=?. 二．能力拔高

7.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)3220

94x dx -?

可看作成

（ ）

A ．半径为3的圆的面积的二分之一

B ．半径为

3

2的圆的面积的二分之一

C ．半径为3的圆的面积的四分之一

D ．半径为3

2

的圆的面积的四分之一

又半径为

32的圆的面积为2194

S r ππ==，故选B 。 8.(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)

下列命题：

:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；

:q 已知向量(1)λ，a

，2(1),λb

，(11)-，c

，则(+)//a b c 的充要条件是

1λ=-；

:r 若1

1

1a

dx =x

?

（1a >），则e =a ． 其中所有的真命题是

A ．r

B ．,p q

C ．,q r

D ．,p r

9. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试理)曲线y=1

1

x x -+与其在点（0，一1）处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为 A ．1－ln2 B ．2－2n2 C ． ln2 D ．2ln2－1

10. (2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理)1

220

8

(

16)x x dx π

-+=?

【答案】4

11.(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题理)已知二项式6

)(x

a x +

展开式的常数项为,3cos 560

tdt ?

π

则=a 。

12．(华中师大一附中2012届高考适应性考试理)曲线3cos (0)2

y x x π

=≤≤与坐标轴所围成的面积是________. 答案：3

解析：由题意得，3322

22

00

2

2

cos (cos )sin |sin |3S xdx x dx x x π

ππ

πππ=

+-=-=?

?.

三．提升自我

13.(2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理)函数()x f 满足()00=f ，其导函数

()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为

A ．

31 B ．34 C ．2 D ．3

8

【答案】B

【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴

为

1,x =-开口方向向上，设函数

2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2）

，则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ?-+=?+=∴==2

()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为

232032-2

2

114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--?+-=?（- 14.(2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理) 设M ，M 分别是f(x)在区间[a ，b ]上的最大值和最小值，则

由

上述估值定理，估计定积分的取值范围是_____

15.（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）函数

1

)

(2

3+

+

-

=x

x

x

x

f在点)2,1(处

的切线与函数

2

)

(x

x

g=围成的图形的面积等于.

【原创预测】

1.已知函数，直线和（其中t为常数).若直线轴

与函数的图象所围成的封闭图形的面积为S，则S的最大值为

(A)2 (B)(C)(D)3

2.已知e 是自然对数的底数，???≤+>=.

0,130,)(x x x e x f x ，

计算定积分?-42

)(x d x f ，得

=?

-42

)(x d x f ．