第八章习题解答

第八章习题解答
1、已知方程在附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式：
①；②；③
试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。
解：①令，则，，故迭代收敛；
②令，则，，故迭代收敛；
③令，则，，故迭代发散。
以上三中以第二种迭代格式较好。
2、设方程有根，且。试证明由迭代格式
产生的迭代序列对任意的初值，当时，均收敛于方程的根。
证明：设，则，故，进而可知，
当时，，即，从而由压缩映像定理可知结论成立。
3、试分别用法和割线法求以下方程的根

取初值，比较计算结果。
解：法：；
割线法：；
比较可知法比割线法收敛速度稍快。
4、用嵌套算法求下列方程的根
①，取初值；
②,求方程的正根，取初值。
解：①依代数方程求根的嵌套算法

其中分别由


来计算，，
，，
，，
最终可得。
②设，由知在区间上存在正根，取迭代初值为可得
5、非线性方程组

有靠近的解，使用简单迭代法求前两次迭代解。
解：取简单迭代格式为
取迭代初值为，可得，。
6、设

试计算矩阵，求出使奇异的值。
解：
由可得

或
由(1)得，从而
由(2)得，从而
综合可得或
7、非线性方程组

可化为如下迭代函数求不动点问题

试用大范围收敛定理证明在闭域上迭代函数有唯一不动点。
证明：迭代函数的矩阵为
当时，
从而可得，由收敛定理可知结论成立。
8、用方法求解线性方程组，其中是一个阶非奇异阵，将产生什么情况？
解：此时，
迭代格式
转化为
对任意迭代一步得，即为精确解。
9、利用方法求下列非线性方程组的解，迭代计算直到

取初值。
解：

由迭代格式
将初值代入可得线性代数方程组

解之得，进而可得

进而可得





10、试用似牛顿法再求解上题中的非线性方程组，比较迭代次数。
解：

由拟牛顿法（8－45）式得
，
取，，解出
于是得到
，


解方程组，可得
于是
类似可得




从而可知该迭代不收敛。
11、分别用拟牛顿法和最速下降法求解以下非线性方程组，初值，计算到。

解：

拟牛顿法：由（8－45）式得，由解出
，于是，同理可得

最速下降法：由（8－45）式得，，，进而可得
12、再用同伦法求解上题中的方程组。
解：取，
计算得，
构造同伦

将对每一个利用法求解同伦方程并取误差为可得，，
，，
最终解得
13、设非线性方程，若取值，构造同伦函数
，试求同伦方程的解曲线
，并在上将分成等分作出的图形。
解：依题意，由可得
，其图形如下

14、试证明把最速下降法用

于求二次函数的极小化问题时，若记为的梯度向量，是的矩阵（是一个对称正定阵），则其计算格式为

用此格式计算极小化问题，取。
解：可将二次函数写作，其中，且对称正定，，则，，由最速下降格式可知第步的搜索方向为，最佳搜索步长
应满足，可令，
则由可得进而由的正定性可得，即为所述计算格式。
取利用上述计算格式可得
，。