7 第6讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第6讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及
三角函数模型的简单应用
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y
＝A
sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量
时
振幅
周期
频率 相位
初相
A
T ＝2πω
f ＝1T ＝ω2π
ωx ＋φ φ
用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φ
ω π2ω－φω π－φ
ω 3π2ω－φω 2π－φ
ω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋
φ)
A
－A
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不变，所得图象对应的函
数解析式为y ＝sin 1
2
x .( )
(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π
3
个单位长度，得到y ＝sin ????2x －π3的图象．( )
(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )
(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T
2
.( )
(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π
2(k ∈Z )．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
(教材习题改编)y ＝2sin ????2x －π
4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π
4
B ．2，12π，－π
4
C ．2，1π，－π
8
D ．2，12π，－π
8
答案：A
函数y ＝cos x |tan x |?
???0≤x ≤π且x ≠π
2的图象为( )
解析：选C.因为|tan x |≥0，
所以当x ∈???
?0，π
2时，cos x ≥0，y ≥0， 当x ∈????
π2，π时，cos x ≤0，y ≤0.由图可知，故选C.
若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达
式为f (x )＝________．
解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12
个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为
f (x )＝2sin ????2????x ＋π12＝2sin ?
???2x ＋π6. 答案：2sin ?
???2x ＋π
6 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．
解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π
3
，
即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.
答案：3
2
五点法作图及图象变换(典例迁移)
(2019·济南高三模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)?
???A >0，ω>0，－π2<φ<π
2的最小正周期是π，且当x ＝π
6
时，f (x )取得最大值2.
(1)求f (x )的解析式；
(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．
【解】 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x ＝π
6时，f (x )取得最大值
2.
所以A ＝2，
同时2×π6＋φ＝2k π＋π
2，k ∈Z ，
φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π
2
，
所以φ＝π
6，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2sin ????2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈????
π6，13π6， 列表如下： 2x ＋π6
π6 π2 π 3π2 2π 13π6 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )
1
2
－2
1
[迁移探究1] (变结论)在本例条件下，函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移________个单位得到y ＝f (x )的图象．
解析：将函数y ＝2cos 2x
的图象向右平移π
4个单位长度，可得函数y ＝2sin 2x 的图象，
再将y
＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝2sin(2x ＋π
6)的图象，综上可得，
函数y ＝2sin ????2x ＋π6的图象可以由函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π
6
个单位长度得到． 答案：π
6
[迁移探究2] (变问法)在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．
解：由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin[2(x －m )＋π6]＝2sin ????2x －????2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π
3
，k ∈Z ，
又因为m >0，所以m 的最小值为π3
.
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)
的图象的两种作法
五点法
设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3
2π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五
点坐标，描点后得出图象
图象变换法
由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
加减多少值．
1．(2018·高考天津卷)将函数y ＝sin ????2x ＋π5的图象向右平移π
10个单位长度，所得图象对应的函数( )
A ．在区间????
3π4，5π4上单调递增 B ．在区间????3π4，π上单调递减 C ．在区间????5π4，3π2上单调递增 D ．在区间???
?3π
2，2π上单调递减 解析：选 A.把函数y ＝sin ????2x ＋π5的图象向右平移π
10
个单位长度得函数g (x )＝
sin ????2????x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π
4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为????3π4，5π4，故选A.
2．(2019·河南周口模拟)将函数y ＝sin ????x ＋π6的图象上所有的点向左平移π
4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )
A ．y ＝sin ????2x ＋5π
12 B ．y ＝sin ????
x 2＋5π12 C ．y ＝sin ????
x 2－π12
D ．y ＝sin ????x 2＋5π24
解析：选 B.将函数y ＝sin ????x ＋π6的图象上所有的点向左平移π
4个单位长度，可得y ＝sin ????x ＋π4＋π6＝sin ????x ＋5π
12的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ????12x ＋5π12的图象，故选B.
由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(师生共研)
(2019·重
庆
六
校
联
考
)
函
数
f (x )
＝
A sin(ωx
＋
φ)????A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则f ???
?－π
3＝________．
【解析】 由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π
3＋φ＝k π(k ∈
Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ????2x ＋π3，所以f ????－π3＝－62
. 【答案】 －
6
2
确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m
2
.
1.6 三角函数模型的简单应用
1.6 三角函数模型的简单应用 课堂训练 一、选择题 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1- D ．6 2． 2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ） ． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．??? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．?? ? ??2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数 )(x f 是奇函数，且当0
三角函数模型的简单应用
课题（章节）1．6 三角函数模型的简单应用（二） 教学目标 能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律； 能根据问题的实际意义，利用模型解决有关实际问题； 通过三角函数模型的简单应用，培养学生应用数学知识解决问题的能力。 教学重点用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题 教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型，对实际意义的数学解释 课的类型新授课时间45分钟 教学时数1课时教具几何画板课件，计算器 板书设计 （提纲）三角函数模型的简单应用（二） 将实际问题抽象为三角函数模型：建模的基本思路： 例题：1．根据数据作散点图 2．根据图像进行函数拟合 3．选择恰当的函数模型 本题小结：4．利用函数模型解决实际问题 教学过程： 新课引入： 问题：对于三角函数模型，我们都学习了哪几个方面的应用？ 引入：利用三角函数模型我们还可以解决哪些问题呢？ 教学情景： 将实际问题抽象为三角函数模型： 例：海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米 0：00 5．0 9：00 2．5 18：00 5．0 3：00 7．5 12：00 5．0 21：00 2．5 6：00 5．0 15：00 7．5 24：00 5．0 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与实间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0．001）； 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 分析：1．观察表格中的数据，你发现了什么规律？（从所给数据中发现周期性变化规律）； 2．要求学生根据数据作出散点图，观察徒刑，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？（引导学生根据散点图的特点选择函数模型）； 3．引导学生与“五点法”联系，求出函数模型的解析式； 4．根据所得的函数模型，求出整点时的水深；（利用计算器） 5．引导学生正确理解题意，利用函数模型解决实际问题，求出第（2）问，并对答案进行合理地解释；（利用计算器进行计算） 6．引导学生正确理解第（3）问，用函数模型刻画安全水深，并对答案做出合理地解释 解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图： 根据图像，可以考虑用函数 sin() y A x h ω? =++刻画水深与时间之间的对应关系。从数据和图象可以得出： 2.5,5,12,0 A h T? ====，由 2 12 T π ω == ，得6 π ω= 。所以，这个港口的水深与时间的关系可用 2.5sin5 6 y x π =+ 近似描述。 由上述关系式，易得港口在整点时水深的近似值： 时刻0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 水深5．000 6．250 7．165 7．500 7．165 6．250 5．000 3．754 时刻8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 水深2．835 2．500 2．835 3．754 5．000 6．250 7．165 7．500 时刻16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深7．165 6．250 5．000 3．754 2．835 2．500 2．835 3．754 （2）货船需要的安全水深为4+1．5=5．5（米），所以 5.5 y≥时就可以进港。
三角函数在实际生活中的应用
三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract
Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要： 三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，
三角函数模型的简单应用教案
三角函数模型的简单应用一、教学目标 1 、基础知识目标： a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法； b 根据解析式作出图象并研究性质； c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程； d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力． 3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质 三、教学难点： a 、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． b 、由图象求解析式时的确定。 四、教学过程及设计意图 教学过程 设计意图 （一）课题引入 情景展示，引入课题（多媒体显示） 同学们看过海宁潮吗？……?今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中
也蕴含着数学知识． 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。 通过上面的例子引发学生的兴趣，贴近生活，可以告诉学生生活离不开数学，身边充满了数学；同时可以让学生知道数学的重要性，不仅仅是课本上的内容，还有生活都可以用到数学，所以学生更应该努力学习，才能更懂得生活。 这样的例子还有很多，比如： 二．由图象探求三角函数模型的解析式 例1 ?如图，某地一天从6?14时的温度变化曲线近似满足函数. (1 )求这一天6?14时的最大温差； (2 )写出这段曲线的函数解析式. 解：( 1 )由图可知：这段时间的最大温差是； (2)从图可以看出：从6?14 是的 半个周期的图象， 又… - ??? 将点代入得： ??,取，??。 问题的反思】
1.6 三角函数模型简单应用练习题(解析版)
1.6 三角函数模型简单应用 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 - D ．6 2．2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．?? ? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．??? ??2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0
《三角函数模型的简单应用》练习
《三角函数模型的简单应用》练习 一、选择题 1.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( ) (x)=x+sinx (x)= (x)=xcosx (x)=x·· 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知， 这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) B.6 3.如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m， AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( ) 4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图 象如图所示，则当t=秒时，电流强度是( ) 安安 安安 5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(-x)sinx的大致图象是( )
二、填空题 6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1，2， 3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上 标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0，60]. 8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现 采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150(天) 时达到最低油价，则ω的最小值为__________. 三、解答题 9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)=10-cos t-sin t，t∈[0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差. 10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化. (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t=1表示2月1日). (2)估计当年3月1日动物种群数量. 《三角函数模型的简单应用》巩固练习 一、选择题 1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针
三角函数的图像及模型的简单应用
参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响． 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 学习过程： 一． 知识梳理： 3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤 注意：细细体会上述两种变换的区别。 二． 问题探究： 1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： )3 sin( )2( sin )1(π - ==x y x y 3. 经过怎样的变化得到（注意定义域）： ),0[),7 3sin(3 1)2( );,0[),8 4sin( 8)1(+∞∈+ =+∞∈-=x x y x x y π π
4.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ值是________． 5.画出函数x y sin =的图像并观察期周期和奇偶性： 三． 拓展升华： 1. 由函数的图像的图像要得到 )sin(sin ?ω+==x A y x y 经过怎样的变化可以得到？ 2. 在直角坐标系中?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 表示什么曲线？（其中a,b,r 是常数，且r 为正数，θ在)2,0[π内变化） 3.函数f(x)＝3sin(2x －π 3)的图象为C ，下列结论中正确的是( ) A ．图象C 关于直线x ＝π6对称 B 由y ＝3sin2x 向右平移π 3个单位长度可得到图象C C ．图象C 关于点(－π6，0)对称 D ．函数f(x)在区间(－π12，5π 12 )内是增函数 4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，|φ|<π 2 )的图象 的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程． 5.已知函数f(x)＝sin 2 ωx ＋3sin ωxsin(ωx ＋ π2 )＋2cos 2 ωx ，x∈R (ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π 6 . (1)求f(x)的对称轴方程； (2)求f(x)的单调递增区间． 四． 规律总结：
三角函数模型简单练习(含答案)
三角函数模型简单应用练习题 1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？ 2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-?? ??? ； (2)(0,2)απ∈； (3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。 3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程2 10x kx k -++=的两个根，求角θ． 4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ； （2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ． 5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大? 6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？ 7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖 时，为确保对接成直角，在铁板上的下 剪线正好是余弦曲线：cos x y a a =的一 个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ? 8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0， 2 π ]上的单调性。
三角函数模型的简单应用试题(含答案)6
一、选择题 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 - D ．6 2．2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4 －a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．?? ? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．?? ? ? ?2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0
A ．y=x x x x cos cos 22-+ B ．y= x x x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosx D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+) 二、填空题 6．在满足 x x 4 πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知( )sin 4f x a x =+（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则 ()2f -=__________． 8．若?>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________． 9．由函数?? ? ??≤ ≤=656 3sin 2ππ x x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________． 10．函数1sin(2)2 y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是 三、解答题 11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式
45三角函数模型的应用
§4.5 三角函数模型的应用 1．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助____________来描述． 2．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行____________而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 3．y ＝||sin x 是以______为周期的波浪形曲线． 4．太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系：________________. 自查自纠： 1．三角函数 2.周期 函数拟合 3．π 4.h 0＝h tan θ 已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin160πt ＋110.其中f (t ) 为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( ) A ．60 B ．70 C ．80 D ．90
解：由题意可得f ＝1T ＝160π 2π ＝80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C. 某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α 的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( ) A ．2sin α－2cos α＋2 B ．sin α－3cos α＋3 C ．3sin α－3cos α＋1 D ．2sin α－cos α＋1 解：四个等腰三角形的面积之和为4×1 2×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为 12 ＋12 －2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.故选A.
三角函数的简单应用
西峡一高教学设计(高一实验教师) 设计教师黄晓青梁福伟10 年 5 月7日课题三角函数的简单应用 教学目标1.知识目标掌握三角函数模型应用的基本步骤。 2.能力目标解决与三角函数有关的简单函数模型。 3.德育目标 体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴 趣。 重点：通过对实际问题的分析，抽象出三角函数模型。 难点：利用三角函数知识解决实际问题。 教学流程：（包括：1、设疑自探；2、解疑合探；3、质疑再探；4、运用拓展。） 引入：在第一章中，我们已经知道了三角函数是研究周期现象最为常见也是最为重要的模型，教材中对水车问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立起三角函数模型的方法和过程，实际上，建立数学模型研究实际问题是数学应用于实际生活的关键，要建立起数学模型，通常要经历数据收集，数据分析以及简化、假设等一系列前期工作，并在此基础上建立起数学模型，一般可遵循如下框图：补充修改 一、设疑再探 本节课老师准备了几道与三角函数有关的实际问题， 请同学们结合激励数学模型的有关知识，自主探究下列问 题(时间10分钟) 自探1：如图；游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需 要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米，如 果你从最低处的登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时 间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解 答下列问题： （1）求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式； （2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 自探2：已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24, 单位：小时)的函数，记作：y=f(t)，下表是某日0时至24 时的浪高数据： t（时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米）1.5 1.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5 经长期观察，y=f(t)的图像可近似地看成函数 y=Acosωt+b(A>0)的图像。 （1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的函数表达式； （2）依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放， 请依据（1）的结论，判断一天内上午8：00至20：00之 间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动。 自探3：已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似 满足函数y=10sin( 4 5 8 π χ π -)+20,∈ χ[4,16]; （1）求该地区这一段时间内温度的最大温差； （2）若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那 么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 补充修改
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案 教学重难点 .利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 教学过程 一、练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题 3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是 (1)求小球摆动的周期和频率;(2)已知g=24500px/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少? (1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值 (精确到0.001). (2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3) 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域?https://www.wendangku.net/doc/5615978877.html, 本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第64页的思考问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。 练习：教材P65面3题 三、小结：1、三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 四、作业《习案》作业十四及十五。
三角函数模型的简单应用
1.6三角函数模型的简单应用 教学目的 【知识与技能】 1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 【过程与方法】 一、 练习讲解： 3、一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈?? ? ? ??+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？ 解：（1）l g f g l T l g π πω π ω21 ,22===∴= ；（2）cm g l T 8.24412 ≈= =π ，即若. 4、略（学生看书） 二、应用举例： 例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋?)＋b (1) 求这一天6~14时的最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式. 本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围. 例2 画出函数y＝|sin x|的图象并观察其周期. 本题利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系. 例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那 么这三个量之间的关系是θ＝90o－|?－δ |.当地夏半年δ取正值，冬半年 δ取负值.
三角函数模型的应用
深圳市第二高级中学高一数学导学案 制卷人：闫瑞习 1.6 三角函数模型的简单应用 一、课前预习：预习课本 1. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π??=- ?3??的图象（ ） A ．向右平移π6 个单位 B ．向右平移 π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 2. )32sin(3)(π -=x x f 的图象为C ,如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号). ①图象C 关于直线π1211= x 对称; ②图象C 关于点)0,3 2(π对称; ③函数125,12()(ππ-在区间x f )内是增函数; ④由x y 2sin 3=的图象向右平移3 π个单位长度可以得到图象C. 二、问题探究： 例1．如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式。
3sin ,[0,). 6g s t t t π?=+∈+∞??? 例 3.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口 在某季节每天的时间与水深的关系表： （1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0.001） （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 三、课后巩固 1.函数1()2sin 2 4f x x π??=+ ???的周期、振幅、初相分别是（ ） A ．,2,44π π B. 4,2,4π π-- C. 4,2,4π π D. 2,2,4π π 2.函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2??-???? ，上的简图为（ ） 3.甲乙两楼相距60m ，从乙楼底望甲楼顶仰角为45度，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30度，则甲、乙两楼的高度分别为_____________ 3一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂着一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开 平衡位置的位移为s 厘米与时间t 秒的函数关系是： （1） 求小球摆动的周期和频率 （2） 已知g=980 cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用 主讲：黄冈中学教师汤彩仙 例1、已知电流在一个周期内的图象如图： （1）根据图中数据求的解析式． （2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 例2、某港口水的深度y（米）是时间，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据： t时0 3 6 9 12 15 18 21 24
y米10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象． （1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式； （2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米， 如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 解： （1）由已知数据，易知函数的周期T=12，振幅A=3，b=10， （视频板书中应为f(t)）． （2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5=11.5米， ，解得: ，在同一天内，取. ∴该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时． 例3、如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮按逆时针方向每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时： （1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米． 解： （1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立直角坐标系，在t秒内摩天轮转过的角为，∴此人相对于地面的高度为（米）．（2）令，则， ，， 故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米． 例4、某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元．该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．（1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式； （2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数．
三角函数模型简单应用一课一练2
1.6 三角函数模型简单应用 2 ?已知：sin -，若(1) ,；⑵ (0,2 ); 2 2 2 (3)是第三象限角；(4) a R .分别求角 a 4.设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形 ABCD 的四个内角，求证: (1) sinA = sinC ; (2) cos ( A + B ) = cos (C + D ); (3) tan (A + B + C )=— tanD . 1 ?你能利用函数y sin x 3 .已知 0,2 2 sin ,cos 分别是方程x kx k 1 0的两个根，求角
5 ?某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲 线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大？ 6 ?把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈?用剪刀斜着..将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你 就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下?它是正弦曲线吗? 7.如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖 晋脖 时，为确保对接成直角，在铁板上的下 X 剪线正好是余弦曲线：y acos-的一 a 个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时， a应是多少cm ?
8?已知函数f (x)= .1 cos2 2x，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及 区间［0，_］上的单调性。 9、( 14分)如图，扇形AOB的半径为.2，扇形的圆心角为，PQRS是扇形的内接矩 4 形，设/ AOP书, (1)试用B表示矩形PQRS的面积y; (2)利用正、余弦的和(差)与倍角公式化简矩形面积表达式y. 10. 某人用绳拉车沿直线方向前进则人对车所做的功为多少焦?100米，若绳与行进方向的夹角为30°人的拉力为20牛,
人教A版必修4《三角函数模型的简单应用》同步练习含答案
人教A 版必修4《三角函数模型的简单应用》同步练习含答 案 测试卷（A 卷） （测试时刻：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点到水面距离（米）与时刻（秒）满足关系式 ，则有 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵水轮的半径为3，水轮圆心距离水面2米，，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要 秒，∴ ，∴ ，故选C. 2．电流强度I(安)随时刻t(秒)变化的函数I ＝Asin ()ωt ＋φ(A>0，ω>0，0<φ<π 2)的图象如图所示， 则t ＝ 1 100 秒时，电流强度I ＝( ) A ．－5安 B ．5安
C ．53安 D ．10安 【答案】A 3．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π 2) 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，依照以上条件能够确定f(x)的解析式是( ) A ．f(x)＝2sin ? ????π4x ＋π4＋5(1≤x≤12，x ∈N * ) B ．f(x)＝7sin ? ????π4x －π4＋5(1≤x≤12，x ∈N * ) C ．f(x)＝7sin ? ????π4x ＋π4＋5(1≤x≤12，x ∈N * ) D ．f(x)＝2sin ? ????π4 x －π4＋5(1≤x≤12，x ∈N * ) 【答案】D 【解析】依照题意，T ＝ 2(7－3)＝8，ω＝2πT ＝π 4，由?????A ＋B ＝7，－A ＋B ＝3， 得?????A ＝2，B ＝5， 当x ＝3时， 2sin ? ????π4×3＋φ＋5＝7，得φ＝－π4.∴f(x)＝2sin ? ????π4 x －π4＋5.故选D. 4．一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点0P ，离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从 0P 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离()h m 与时刻(min)t 之间的函数关系式是（ ）
三角函数模型的简单应用教案
三角函数模型的简单应用 一、教学目标 1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步 学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力． 3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际 问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及 性质 三、教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系 来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． b、由图象求解析式时 的确定。
《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。
三角函数的简单应用
三角函数的简单应用 ———潮汐问题 一、教学目标 1、知识与技能目标：巩固已学过的三角函数的知识，求给定自变量的函数值。已知三角函数值，求角。 2、能力目标：培养学生数学的实际应用能力和意识。 3、情感、态度和价值观：让学生进一步了解数学来源于生活。 二、教学重点：用三角函数刻画潮汐变化规律。 三．教学难点：对实际问题的数学解释。 四．学情分析—————————————————————————————————————————————————————————————————————————五．学法指导：启发，类比，小组讨论 六．教学方法：探究交流，讲练结合 七、教学过程： 1、新课引入：在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。 2、提出问题： 若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况（生答：水深情况等）我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢请同学们看下面这个问题。 问题1：如图所示，下面是某个码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时 间 水 深 水的深度变化有什么特点吗（生答：水的深度开始由米增加到米，后逐渐减少一直减少到，又开始逐渐变深，增加到米后，又开始减少。） 大家发现，水深变化并不市杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，需要画图。电脑呈现作图结果。
通过观察图像，发现跟我们前面所学过哪个函数类型非常的相似（生答：跟三角函数模型 。） 请同学们把其中的A、?、φ、b求出来。(生答： )有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了，下面同学算一下在4时的时候水深是多少（学生计算，最后教师呈现水深关于时间的数值表）时 刻 水 深 时 刻 水 深 问题2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口在港口能呆多久师生一起分析：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么 解我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在[0，24]范围内,其 他一些解该怎么求呢（图像） 发现：在[0，24]范围内，方程的解共有4个。 得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港什么时间出港呢（生答：货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。）
1.9三角函数的简单应用
———潮汐问题 一、教学目标 1、知识与技能目标：巩固已学过的三角函数的知识，求给定自变量的函数值。已知三角函数值，求角。 2、能力目标：培养学生数学的实际应用能力和意识。 3、情感、态度和价值观：让学生进一步了解数学来源于生活。 二、教学重点：用三角函数刻画潮汐变化规律。 三．教学难点：对实际问题的数学解释。 四．学情分析—————————————————————————————————————————————————————————————————————————五．学法指导：启发，类比，小组讨论 六．教学方法：探究交流，讲练结合 七、教学过程： 1、新课引入：在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。 2、提出问题： 若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况（生答：水深情况等） 我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢请同学们看下面这个问题。 问题1：如图所示，下面是某个码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时 间 水 深 水的深度变化有什么特点吗（生答：水的深度开始由米增加到米，后逐渐减少一直减少到，又开始逐渐变深，增加到米后，又开始减少。） 大家发现，水深变化并不市杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，需要画图。电脑呈现作图结果。 通过观察图像，发现跟我们前面所学过哪个函数类型非常的相似（生答：跟三角函数模型 。）
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- 5.7三角函数模型的简单应用
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