(完整)高等量子力学习题汇总,推荐文档

（对于两个态矢和，必有：

|α?|β?（此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量（对任意复常数，我们有：

λ（（这里用态来强调对任何ket 矢量都适用，于是（|?（6）因：

,,A B A B ∧∧∧∧????

??????=?的模的平方等于

。

7、证明：幺正算符的本征态互相正交.

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8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0。这里H 为哈密顿算符，变

换

Q 不显含时间，且存在逆变换Q -1。

9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案:

态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图

景无关。海森堡图景,态矢依赖时间t 而基矢不含t,而对于海森堡图景而言，

|t S

??（（|x ?不含t ，于是时间依赖性完全转移到中去了。

|H ??

|x,t H

?10

、求证

11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量

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定义粒子数算符由此可知和分别是的本征值为（n+1）和（?

|a n ∧?|a n ∧?N ∧

相干态为最小不确定态，同时是

的本征态，记为

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在表象中解此方程，展开：由得

又有，所以由归一化条件得：

15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径

且

所以

自旋角动量 →仍为角动量

?

[,]x

y

z

S S S i S = ；[,]0L S = J L S =+ 证：[,][,]

[,][,]

x y x x y y x y x y

z z z

J J L S L S L L S S i L i S i J =++=+=+= 一般地若两角动量满足 则也是角动量

12[,]0J J = 12J J J =+

进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符设 即n m n nm J J i J δ?=

[,]nx my nz nm

J J i J δ= 则对于1

1

?;,,k k n n n n J J J J x y z

μμ

μ===?==∑∑

1

111

11

1

[,][,][,]

k

k

k

k

x y nx my nx my n m n m k k

k

n nm nz z

n m n J J J J J J i J i J i J δ============∑∑∑∑∑∑∑ 建议收藏下载本文，以便随时学习！

喀兴林高等量子力学习题6、7、8

练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）

) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P

高中语文实用类文本阅读试题及答案

实用类文本阅读真题训练 （一）、分层级赋分选择题突破要领 明确各分项的设误形式 ▲有分值项各项特点 1 分值项：（有小错误）①信息有偏差②信息有遗漏③以次充主 2分值项：（无错）（①信息表述比较概括②信息量比较少③难度较小） 3 分值项：（无错）（①信息表述比较精确②信息量比较多③难度较大） ▲ 0 分项常见的陷阱 主要在人物（主要是传主）、事件上设陷阱。 ★人物：张冠李戴（对象） 行为有偏差（行为） 曲解观点或建议（语言） ★事件：张冠李戴（对象） 篡改时间或时态（时间） 以偏概全（范围） 绝对化（程度） 曲解原因、篡改结果、因果倒置（因果） 总结：实用类文本人物传记选择题解题指导 步骤：读原文——找原句——比原意不管是0分项、1分项，还是2分项，或3分项，我们都要根据选项内容找到文本对应句子，细心比较，来确定选项内容原文意思是否相符。策略：用排除法，先排除0分题选项，再排除 1分题选项，最后验证正确选项是否正确。排除0分选项时，要特别留意人物（言行、观点等）、事物（时间、因果等） 二、真题训练 1、达尔文的拖延 斯蒂芬·杰·古尔德 ①没有什么事比一些名人长期而难以解释停滞行为更能引发人们猜测的了。罗西尼因《威廉·退儿》而达到他歌剧创作的辉煌巅峰，可是此后的30年他几乎什么也没写。多罗西·赛耶斯在名望达到顶点时却背弃了彼得·温姆西勋爵，转向笃信上帝。查尔斯·达尔文在1838年就得出了全新的进化理论，却直到21年后才发表他的观点。 ②通过历时5五年乘坐格尔号与自然的接触，达尔文对物种固定不变的信念发生了动摇。1837年7月，他航海回来后不久，便开始记第一本关于“递变”的笔记。这时的达尔文已经确信进化的发生，他正在寻找一种理论来解释进化的机制。经过最初的猜想和少数不成功的假说，他逐渐建立了他的中心观念。达尔文在自传中写道：“1838年10月，我为了消遣，偶尔翻阅马尔萨斯的《人口论》，当时我根据长期对动植物习性的观察，应经可以正确认识生存斗争。我马上联想到，在这种情况下，有利的变异会趋向于保存下来，而不利的变异将被淘汰，这一结果将导致新物种的形成。” ③达尔文早就认识到动物驯养者所做的人工选择的重要性。但是直到马尔萨斯的斗争与拥挤的观点凝练他的思想之后，他才确定自然选择是进化的动因。达尔文知道得出的是什么理论，我们不能将他的拖延归因于他没有认识到自己所取得的成就的重要性。到1844年，他写出了他的理论的基本纲要。他还向妻子作了认真的交代，假如他生前不能完成他的主要著作，希望她发表这些手稿。 ④他为什么等了21年才发表自己的理论？我们可能会把过去正常的时期错误地看作漫长的

高等量子力学复习题

上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。

量子力学考试题

量子力学考试题

量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0

' 11 H =0，'22 H =0，'12H ＝'21 H ＝ν η21 E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12 '21 E E H -＝-ωη21+0-ωνηη2241＝-ωη21-ων241η E 2＝E 2 （0） +' 22H + )0(1)0(22'12 E E H -＝ωη21 +ων241η 4、E 1＝2 22 2ma ηπ，)(1x ψ＝?????0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00 x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 20 2a dx a x x a a =?π x p ＝-i η?=a dx dx d 011ψψ-i ?=a a x d a 020)sin 21(2πη x xp ＝-i η??-=a a a x d a x x a i dx dx d x 00 11)(sin sin 2ππψψη ＝ ?-a a x xd a i 02) (sin 1πη ＝0sin [12a a x x a i πη--?a dx a x 0 2]sin π ＝0+?=a i dx ih 0 2 122ηψ 四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分 （i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。 ),(21→ →r r ψ有：)(1→ r a ψ→ )(2r a ψ，)(1→ r b ψ→ )(2r b ψ，)(1→ r c ψ→ )(2r c ψ， )] ()()()([21 2121→ →→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。 （ii ）s ＝21 ，单粒子态共6种： ? ?????0 1a ψ， ? ?????1 0a ψ， ? ?????0 1b ψ， ? ?????1 0b ψ， ? ?????0 1c ψ， ? ?????1 0c ψ。

高考语文实用类文本阅读专题训练(附答案)

高中语文专题训练 实用类文本阅读 【一】读下面文章，完成1--3题。 材料一 丁酉新春，旨在“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”的“中国诗词大会”风靡全国，“圈粉”无数。在“一笑二闹三跳四唱”的娱乐节目时代，“中国诗词大会”以优雅的方式脱颖而出。 人们关注“中国诗词大会”，是因为内心对于精神雨露的渴求，而传统文化正是精神雨露的源头活水。诗词大都比较凝练，朗朗上口。阅读诗词，人们享受着语言美感带来的欢愉，同时也能感知诗词作者所要表达的思想，这大大拓展了人们的生活视野。阅读诗词，体悟诗词作者的心境，跟他们进行心灵对话，有助于提升人们对生活的感知能力，学习像诗词作者一样去感受和思考生活。 人们关注“中国诗词大会”，还因为如今人们的生活节奏较快，每天八小时上班，满负荷运转，单调乏味的生活让人感觉压抑，而读诗可以暂时疏解内心的阴郁。“中国诗词大会”以引人入胜的形式吸引人们亲近诗词，从诗词之美中获取生活的诗意。 生活需要诗意，但诗意并不自然而然地存在。一个人只有徜徉于诗词、发现诗意，才能在与诗词相会的过程中提升文化素养，让心灵空间更饱满。生活不只是柴米油盐，还有诗和远方。 （摘编自“中国新闻出版广电网”，记者李兆清）材料二 近日，中青在线记者专访了诗词大会的主创团队。央视科教频道总监阚兆江说：“诗词是情感的抒发，节目集中展现了中华诗词文化的魅力，引发了广大观众的文化认同和情感共鸣，也坚定了国人的文化自信。‘百人团’成员最小的7岁，武亦妹16岁，陈更20多岁，看到他们那么年轻，就觉得中华文化后继有人。” 腹有诗书气自华，这是无数次被用来形容诗词大会选手的一句话。“中国诗词大会”总导演颜芳回忆，第二季总冠军、上海复旦附中的学生武亦妹，无论是在地方选拔还是在现场比赛中，都特别淡定。“她得冠军的那一刻，我们想把摄像机推上去给个表情特写，结果发现没必要，她脸上特别平静。” 也许，传统诗词已经离我们的日常生活有些遥远，而诗词大会正在拉近这个距离。 阚兆江透露，其实诗词大会的题库内容85%以上来自中小学课本，所以对观众而言有一种“熟悉的陌生感”。 “我们不是文人雅士的沙龙，得让人看得懂，从大家熟悉的诗词名篇切入，可以拉近和观众的距离。”阚兆江说，“每一道题不仅是题目，还是话题的开启，让诗词和古今生活有一种联系。我们不是要做一场考试，而是想通过诗词陶冶人们的情操，滋养人们的心灵。”所以，诗词大会的题目都颇“接地气”。比如，把“减肥”与“楚王好细腰，宫中多饿死”联系，把“化妆”与“却嫌脂粉污颜色，淡扫蛾眉朝至尊”联系，“求田问舍，怕应羞见，刘郎才气”对应的则是“购房”——都是当下年轻人关心的话题。 诗词对这些年轻人来说，已经成为生活的一部分。颜芳说：“其实诗词的功能至今没有失去，写诗就跟发朋友圈一样，都是情感的表达，很有趣，也很时尚。” 诗词大会落幕，而青年一代的诗意生活方兴未艾。 （摘编自《中国青年报》，记者蒋肖斌）材料三 诗词综艺火爆，最近令朋友圈和各种群话风突变，忽如一夜春风来，答题对诗、玩“飞

高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.

实用类文本阅读例题

五.（福建）实用类文本阅读（15分） 阅读下面的文字，完成13～15题。 朱启钤：“被抹掉的奠基人” 林天宏 ①2006年6月13日下午，一场大雨过后，正阳门箭楼被带着水雾的脚手架包裹的严严实实。北京旧城中轴线上的这座标志性建筑，正经历着新中国成立后规模最大的一次修缮。 ②由正阳门箭楼北望，长安街车水马龙，它与城楼左右两侧的南北长街、南北池街，一同构成了北京旧城东西，南北走向的交通要道。 ③我问同行的一个记者：“你知道改造北京旧城，使其具有现代城市雏形的第一人是谁？”“梁思成？“她答道。 ④这个答案是错误的，却并不让人意外。随着北京旧城改造不断进入媒体视野，梁思成等一批建筑学家已被大众熟知。但少有人知晓的是，从1915年起，北京已开始有计划地进行市政工程建设，正阳门箭楼、东西长安街、南北长街与南北池街，都是在时任内务部总长朱启钤的主持之下改造与打通的。 ⑤同样少有人知晓的是，1925年，25岁的美国宾夕法尼亚大学留学生梁思成，收到父亲梁启超从国内寄来北宋匠人李诚撰写的《营造法式》一书，兴趣大增，有次走上中国古代建筑研究之路。1930年，梁思成加入中国营造学社，在那里撰写了《中国建筑史》，成为建筑学一代宗师。而《营造法式》一书的发现者与中国营造学社的创始人，正是朱启钤。 ⑥“朱启钤是中国建筑研究工作的开拓者与奠基人，没有他，就不可能在上个世纪30年代出现像梁思成这样的建筑学领军人物，我们读到《中国建筑史》的年份，还不知道推迟多少年。”中国文物研究所某研究人员曾这样评价。但是，“由于历史原因，他被研究者们有意无意地抹掉了”。 ⑦朱启钤于1930年创办的中国营造学社，将他的筹划与组织才能发挥得“淋漓尽致”。他为学社请来当时最为优秀的学术精英：东北大学建筑系主任梁思成，中央大学建筑系教授刘敦桢，著名建筑师杨廷宝、赵深，史学家陈垣，地质学家李四光，考古学家李济……他还以其社会人脉，动员许多财界和政界人士加入学社，直接从经费上支持营造学社的研究工作。曾有建筑史家这样评价朱启钤：“人力、物力、财力，这些都是研究工作所必不可少的条件，能把这方方面面的人事统筹起来，是需要非凡之才能的。朱启钤以一己之力，做了今天需要整个研究所行政部门做的事。” ⑧有数据显示，截至1937年，营造学社野外实地测绘重要古建筑达206组，因此探索出一整套研究中国古建筑的科学方法，为撰写中国建筑史构建了扎实的科学体系。 ⑨假若没有朱启钤，中国的古建筑研究，又会是怎样的图景？如今，斯人已逝，营造学社停办也已整整60周年。 ⑩6月13日的那场大雨，将故宫端门外西朝房冲洗得干干净净。游人如织，屋宇间却依旧透着落寞，此处正是营造学社旧址。而位于城区赵堂子胡同3号的朱启钤故居，住着数十户人家，杂乱之中，依稀可辨当年气魄。 （摘自2006年5月21日《中国青年报》，有删改） [注] 朱启钤（1872-1962），曾任全国政协委员、中央文史馆馆员。 13. 下列关于文章内容的概括与分析，不正确的两项是（5分） A. 文章叙述了朱启玲在古建筑研究方面几件鲜为人知的事，从正面肯定了他的历史地位。 B.文章提到了朱启玲1915年就开始主持北京市政工程建设工作，意在说明他才是改造北京旧城的“第一人”。 C.文章些朱启玲为营造学社请来当时最优秀的学术界精英，体现了他的“筹划与组织”才能。 D.朱启玲完全以一己之力，直接从人力、物力、财力等方面支持了营造社会的筹划和创办。

高等量子力学习题.

高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、

第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε

吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料

高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符

()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h

2018全国高考ⅠⅡⅢ卷语文试题汇编——实用类文本阅读

2018全国高考ⅠⅡⅢ卷语文试题汇编（三） 实用类文本阅读 （三）实用类文本阅读（本题共3小题，12分）（全国1卷） 阅读下面的文字，完成7～9题。 材料一： 日前，中国科学院在京召开新闻发布会对外宣布，“墨子号”量子科学实验卫星提前并圆满实现全部既定科学目标，为我国在未来继续引领世界量子通信研究奠定了坚实的基础。 通信安全是国家信息安全和人类经济社会生活的基本需求。千百年来，人们对于通信安全的追求从未停止。然而，基于计算复杂性的传统加密技术，在原理上存着着被破译的可能性，随着数学和计算能力的不断提升，经典密码被破译的可能性与日俱增。中国科学技术大学潘建伟教授说：“通过量子通信可以解决这个问题，把量子物理与信息技术相结合，用一种革命性的方式对信息进行编码、存储、传输和操纵，从而在确保信息安全、提高运算速度、提升测量精度等方面突破经典信息技术的瓶颈。” 量子通信主要研究内容包括量子密钥分发和量子隐形传态。量于密钥分发通过量子 态的传输，使遥远两地的用户可以共享无条件安全的密钥，利用该密钥对信息进行一次一密的严格加密。这是目前人类唯一已知的不可窃听、不可破译的无条件安全的通信方式，量子通信的另一重要内客量子隐形传态，是利用量子纠缠特性，将物质的未知量子态精确传递到遥远地点，而不用传递物质本身，通过隐形传输实现信息传递。（摘 编自吴月辉《“墨子号”，抢占量子科技创新制高点），《人民日报》2017年8月10日）材料二： 潘建伟的导师安东·蔡林格说，潘建伟的团队在量子互联网的发展方面冲到了领先地位。量子互联网是由卫星和地面设备构成的能够在全球范围分享量子信息的网络。这将使不可破解的全球加密通信成为可能，同时也使我们可以开展一些新的控制远距离量子联系的实验。

高等量子力学考试知识点

1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v

7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符

喀兴林高等量子力学习题EX2.算符教学提纲

喀兴林高等量子力学习题E X2.算符

EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得 ] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= #

练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且1 11)(--= A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ； （4）???+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--= A a aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3) } )(1{})())({(}))({(})({)()(111111 1 11111 ------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A (4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ???++++=--3211)1(χχχχ 故(? ??+++=???+++=-=-=----------------111211********* 11 )1() 1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ #

量子力学习题汇集

第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场

???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。

【备战高考】实用类文本阅读——人物访谈试题(含答案)

高考实用类文本阅读——人物访谈试题(含答案) 一、阅读下面的访谈，完成1～3题。 中国天然气之父 ——《温州都市报》记者采访戴金星院士 戴金星，著名天然气地质与地球化学家，中国科学院院士，被中国石油界誉为“中国天然气之父”。 记者您长期从事天然气地质和天然气地球化学的研究，您最大的成果是什么？ 戴金星以往认为石油和天然气只是由低等的但繁殖率很强的生物因腐泥型有机质生成的，一直没有认识到高等植物遗体煤层和煤系中腐殖型有机质也能生成工业性油和气，故不在煤系中去勘探油气。 我在研究中发现，腐泥型有机物既能生油，也能生气，然而腐殖型有机物在煤化过程中以生气为主，成油为辅，故煤矿的腐殖型有机质是生气层，生煤的地方是找气和发现气田的有利地区。 我们是1979年提出在我们煤系中寻找天然气的，现在回想起来，其实也是很简单的，但在此之前没有想到而已。 记者真理往往就是这样，看似简单，而寻找结果不知要付出多少代价心血。同样您也是经过辛勤的劳动才获得的。您当时是怎么会想到研究这个课题的？ 戴金星1961年我从南京大学地质系大地构造专业毕业后，来到江汉油田工作。在那里我发现，无论在世界上，还是在中国，都几乎没有系统地全身心投入研究探索天然气的人。于是我决定选择天然气地质和地球化学专业作为自己的专业目标和方向。1978年，我提出了“煤成气理论”概念。1981年，我主笔“煤成气概况”的报告，为1983年国家把“煤成气开发”列为“六五”重点科技攻关项目打下了基础，推动了中国天然气勘探开发走向黄金时期。 记者您真是中国名副其实的“天然气之父”。根据您建立的“煤成气”理论，在实践中取得了什么效果？ 戴金星上世纪80年代初，我以“煤成气”理论为依据，先后预测了5个1000亿立方米以上的大气田，最终推动了“西气东输”工程的实施。目前中国天然气70%的储量是根据“煤成气”理论探明和发现的。为此，我感到很欣慰。 你说我是天然气之父，我是不赞同的，我只不过是把一生的痴情寄托在“气”上罢了，为神州争“气”，为“气”壮山河。 记者您对中国天然气勘探开发作出了重大贡献，这是您对“气”情有独钟。您是否从小就喜欢呢？您的成长道路是如何走过来的？ 戴金星记得小学一次上地理课时，林景晖老师要求我们用石膏制作一个全国主要煤、铁、铜等矿产分布图。我认真地做了一个，现在想想那时做的石膏模型是很粗糙的，但却

高等量子力学作业题

1).H 为厄米算符,iH S e =.证明：（1）S 是幺正算符;（2）det exp(i tr )S H =. 2).求()||0za x x e ψ+=<>的表达式. 3).求相干态|0za z a e +*->的时间反演态. 4).求解一维系统2 0()2p H V x m δ=+的隧道效应. 5).哈密顿量22211()222i i i i j i ij p H m x V x x m ω=++∑∑,写出其二次量子化形式. 1.设一维受扰动的谐振子的哈密顿量为2221122 H p m x gx m ω=++，其中,x p 分别为坐标、动量算符,其他的量为常数.(1)在海森堡绘景中写出坐标、动量算符所满足的运动方程;(2)求出上述坐标、动量算符随时间的变化. 2.(1)请写出谐振子相干态;(2)计算任意两个相干态之间的内积;(3)证明全体谐振子相干态是过完备的,即: 21|| d 1z z z π><=?,其中|z >为相干态, 2d z dxdy =,而,x y 分 别为z 的实部和虚部. 3.通过量子化条件[,]x p i = 计算出坐标算符x 和动量算符p 的本征值,以及坐标表象中的动量的本征态. 4.(a)请写出氢原子的定态狄拉克方程,以及狄拉克方程中(1,2,3)i i α=和β矩阵所满足的关系.(b)证明系统的角动量守恒. 5.设有N 个全同费米子组成的系统,其哈密顿量为222,11()222i i i i j i i j i p H m x V x x m ω≠=++∑∑. (a)在谐振子基矢下计算出哈密顿量的二次量子化形式;(b)在坐标表象中写出哈密顿量的二次量子化形式. 6. 证明动能算符在空间转动变换下是不变的. 7.(a) 设系统的哈密顿量为H ，请写出含时推迟全格林算符'()G t t +-和超前全格林算符'()G t t --以及相应的定态全格林算符()G E +和()G E -.