北师版数学高二北师大版必修5练习一元二次不等式的解法
2.1 一元二次不等式的解法
课时目标 1.会解简单的一元二次不等式.2.了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式． (1)若a >0，解集为________________； (2)若a <0，解集为________________． 2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式： (1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．
判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c
(a >0)的图像
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根
ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集
一、选择题
1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )
A.???
?
??x |－23≤x ≤12 B.???
?
??x |x ≤－23或x ≥12 C.???
?
??x |x ≥12 D.???
?
??x |x ≤－32 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >2}
B ．{x |x ≤－1或x ≥2}
C ．{x |－1 D ．{x |－1≤x ≤2} 3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) 5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2) 6．设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3) 二、填空题 7．2x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 8．不等式－1 三、解答题 11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为???? ?? x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0 的解集． 12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. 能力提升 13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( ) A.????0，1a 1 B.??? ?0，2a 1 C.????0，1a 3 D.??? ?0，2a 3 14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式． 2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根． 3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结． 2 一元二次不等式 2．1 一元二次不等式的解法 答案 知识梳理 1．(1)??????x|x>b a (2)???? ??x|x 2a } {x |x 1 ? ? 作业设计 1．B [∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－2 3 .] 2．D [由题意知，－b a ＝1，c a ＝－2，∴ b ＝－a ， c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴ －1≤x ≤2.] 3．B [∵? ???? x 2－4>0， x 2＋6x ≥0，∴x ≤－6或x >2.] 4．B [∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，∴x 2＋x －2<0.∴－2 当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2 6．A [f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3 8．{x |－3≤x <－2或0 解析 ∵????? x 2＋2x －3≤0， x 2＋2x >0， ∴－3≤x <－2或0 9．k ≤2或k ≥4 解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2. 10．{x |x < 1－52或x >1＋5 2 } 解析 ∵x 2－x ＋1＝????x －122＋3 4>0， ∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为 解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知， x 1＝1－52，x 2＝1＋52. ∴x 2－x －1>0 的解集是?????? ???? x |x <1－52或x > 1＋52. ∴原不等式的解集为 ?????? ???? x |x <1－52或x > 1＋52. 11．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为 ???? ??x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1 3 ，2， ∴? ?? －13＋2＝－b a －13×2＝c a ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a . 所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为????－23a x 2－??? ?－5 3a x ＋a <0， 即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0， 所以所求不等式的解集为?????? x |－12 12．解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. ∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a a 2}． 当0a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x a 2}； 当0 不等式的解集为{x |x a }； 当a ＝0或1时， 不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 13．B [由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1，即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0 a i ， 即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3. ∵2a 3>2a 2>2a 1 >0 ∴0 .] 14．解 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. 当a ＝0时，x ≤－1； 当a >0时，x ≥2 a 或x ≤－1； 当－2 a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1； 当a <－2时，－1≤x ≤2 a . 综上所述， 当a >0时，解集为? ??? ?? x |x ≥2a 或x ≤－1； 当a ＝0时，解集为{} x |x ≤－1； 当－2 x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{} x |x ＝－1； 当a <－2时，解集为??? ? ??x |－1≤x ≤2a .