排列组合综合应用3,4(其他问题)

宜春中学数学学科2-3册笫一章排列组合的综合应用3、4导学案 编号：59-60

编写：丁红平 审核：高二数学理科备课组

学习目标：

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 ；

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。.

学习重点：排列组合在其他一些方面的应用 学习难点：排列组合在其他一些方面的应用 学习过程：

一、

（约3分钟）

引例1：交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

()()()()n A B n A n B n A B ?=+-?.

1.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不

同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

()()()()n I n A n B n A B --+?4332

6554252A A A A =--+=种.

2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形下各有多少

种选派方法?

(1)队长至少有1人参加；(2)既要有队长，又要有女运动员．

解：(1)设A ＝{选派5人有男队长参加的}，B ＝{选派5人有女队长参加的},则原题即求n(A ∪B), 而

n(A ∪B)=n(A)+n(B)-n(A ∩B). n(A)=49C =n(B), n(A ∩B)=38C , 故n(A ∩B)=19623

849=-C C .

另解：设A ＝{选派5人有1个队长参加的}，B ＝{选派5人有2个队长参加的}，则原题即求n(A ∪B),

n(A)=4812C C , n(B)=3822C C , n(A ∩B)=n(

)=0. 因此n(A ∪B)=n(A)+n(B)=4812C C +3

822C C ＝196．

说明：A ∩B 即选派5人既要有1个队长参加又要有2个队长参加这件事，这是不可能事件．

(2)设A ＝{选派5人有队长参加的}，B ＝{选派5人有女运动员参加的}，则原题即求n(A ∩B)， 又)()()(B A n I n B A n ?-=?)()(B A n I n ?-=

)()()()(B A n B n A n I n ?+--=19155

56

585

10=+--=C C C C

即有191种选派方法． 说明：

即选派5人，既无队长又无女运动员参加．

从以上例题我们可以看出，用集合与对应思想分析处理排列组合问题，实质上就是将同一问题中满足

不同限制条件的元素的排列或组合的全体与不同的集合之间建立相应的对应关系，而将各限制条件之

间的关系转化为集合与集合之间的运算关系，通过计算集合的元素个数来计算排列或组合的个数，这有助于将带有多个附加条件的排列或组合问题分解为只有1个或简单几个附加条件的排列或组合问题来处理，这可大大简化复杂的分类过程，从而降低了问题的难度． 例2、（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）

A 、70种

B 、64种

C 、58种

D 、52种

解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成4

8C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶

点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C -=个.

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A 、150种

B 、147种

C 、144种

D 、141种 解析：10个点中任取4个点共有4

10C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为4

6C ，四个面共有4

64C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱

上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44

106436141C C ---=种.

（3）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面

体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有4

81258C -=个，所以8个顶点可连成的异面

直线有3×58=174对

.

（约10分钟）

例1、小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法； 2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）； 3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：

（a ）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 1

66C =种

（b ）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有

2615C =种走法。 4）有3次（不可能）

5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空

中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种

125515C C +=走法； 6）有5次（不可能） 故总共有：1+6+15+15=37种。

例2.如果从数1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出321,,a a a ，使同时满足312≥-a a 与323≥-a a ，

那么所有符合上述要求的不同取法共有多少种? 解：设S={1，2，……，14}，T={1，2，……，10}；

P={(a

1,a

2

,a

3

)|a

1

,a

2

,a

3

∈S, a

2

-a

1

≥3, a

3

-a

2

≥3}

Q={(b

1,b

2

,b

3

)|b

1

,b

2

,b

3

∈T, b

1

2

3

},

f: (a

1, a

2

,a

3

)→(b

1

,b

2

,b

3

)，其中b

1

=a

1

,b

2

=a

2

-2, b

3

=a

3

-4.

易证f是P和Q之间的一个一一对应，所以题目所求的取法种数恰好等于从T中任意取出三个不同数的取法种数，共＝120种．

例3.甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成—种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程共有多少种?

解：设甲队队员为a l，a2,…a7，乙队队员为b1，b2,……，b7，下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列，最后是胜队中获胜队员和可能未参赛的队员．如a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7. 所表示为14个位置中取7个位置

安排甲队队员，其余位置安排乙队队员，故比赛过程的总数为

＝3432.

例4.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有4

10

C

个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有4

10

C个.

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走

法有4

7

C种.

例5.平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得43条不同的直线。

（1）这11个点中有无三点或三个以上的点共线？若有共线，情形怎样？

（2）这11个点构成多少个三角形？

解：（1）设若有x条三点共线，y条四点共线，z条五点共线，……，于是有：

C

11

2－x(C

3

2－1)－y(C

4

2－1)－z(C

5

2－1)－…＝43

即23-2x-5y-9z-…=0

这方程的解只可能是：x=6,y=z=...=0或x=1,y=2,z= 0

由此可知，这11个点中有6条三点共线或一条三点共和二条四点共线的情形。

（2）由上可知这11个点构成三角形个数的情形有C113－6C33＝159或156

23

4

3

3

3

11

=

-

-C

C

C

（约5分钟）

各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。

（约8分钟）

由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法、知识技巧。（即学习成果）

（约5分钟）

由教师归纳总结点评

约8分钟）

1.某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路

径有多少种？3

7

C

2.四面体的一个顶点是A，从其它顶点和各棱中点中取3个点，使他们和点A在同一个平面上，则共有多少种不同的取法？3

33

5

+

C

3.空间十个点A1，A2，A3，···········A10，其中A1，A2

小结：在排列或组合问题中“含”与“不含”的问题，经常先

把所有元素进行排列或组合，然后再去掉含有不能含的元

素的取法数，这种方法叫排除法。4

5

4

10

C

C-

4.平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个．

简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取两条，有种取法；第二

A B

1

·

2

·

A

3

A

4

A

5

A

6

A

8

A

1

步再在5条平行线中任取两条，有种取法．这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成

的矩形共有

·

＝60个．

5.在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?

解：依题意，共线的三点组可分为三类：两端点皆为顶点的共线三点组共有282

78=?(个)；两端点皆

为面的中心的共线三点组共有3216=?(个)；两端点皆为各棱中点的共线三点组共有

182

3

12=?(个)． 所以总共有28+3+18＝49个．

6.25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？ 解：将这个问题退化成9人排成3×3方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3

方队中选3人的方法有______111213C C C _____种。再从5×5方队选出3×3方队便可解决问题从5×5方队中选取3行3列有__3535C C ___选法.所以从5×5方队选不在同一行也不在同一列的3人有

_____6001

112133535=C C C C C ____选法。

7. 已知直线

1=+b

y

a x （a

b ，是非零常数）与圆10022=+y x 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有________ 条

【解析】： 圆上的整点有：(6,8) ,(8,6),(10,0),(010)±±±±±± 共 12 个。

212C =66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有1

12

C =12 ，其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60 答案:60

8.欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( ) （A ）34种 （B ）55种 （C ）89种 （D ）144种 答案： （C ） 9.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数有（ B ）个。 A.2

824

14

A

A A B.

282414A C C C.282414A C C D.44

2814A C C

七、课后练习

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）

A 、140种

B 、80种

C 、70种

D 、35种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取

法共有333

94570C C C --=种,选.C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故

不同的取法有2112545470C C C C +=台,选C .

2.9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

解析：先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22

A 中排法，故共有222542120C C A =种.

3.某种产品有4只次品和6只正品(每只产品均可区分)．每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种?

解：先考虑第五次测试的产品有4种情况，在前四次测试中包含其余的3只次品和1只正品，它们排列的方法数是6

。依据乘法原理得所求的不同情形有4×6

＝576种．

有些排列组合问题元素多，取出的情况也有多种，对于这类问题常用的处理方法是：可按结果要

求，分成不相容的几类情况分别计算，最后计算总和．

4.6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法?

解：将问题转化成把10个相同的球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放1个球，有多少种不同的放法? 即把排成一行的10个0分成6份的方法数，这样用5块闸板插在9个间隔中，共有＝126种．

即原问题中有126种不同带法．

5.在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛)，最后产生一名冠军，问要举行几场?分析：要产生一名冠军，需淘汰掉冠军以外的所有其它选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名选手，必须进行一场比赛；反之，每比赛一场恰淘汰一名选手，两者之间一一对应，故立即可得比赛场次99次。

6.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有4

4A 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式5

242768?=种不同站法. 说明：从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有

1m

n A m

种不同排法 7. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种

A ．16种

B ．36种

C ．42种

D ．60种

【解析】：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴

2223343243362460C C A C A +=+= 故选D ； 8.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？

答案：444

31284

33

3A A C C C

9. 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担

这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A 、1260种

B 、2025种

C 、2520种

D 、5040种 【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第

三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有

211

10872520C C C =种，选C . 10.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？ 解析：从5个球中取出2个与盒子对号有2

5C 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2

5220C =种.

11. 某班有23男37女共60名学生，拟派出2个辩论队，每队3人，各1男2女，共有多少种不同的

搭配方法。2

412437223A A C C

12.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100则不同的取法有 （ ） A ．50种 B.100种 C ．1275种 D ．2500种

分折：此题数字较多，情况也不一样，需要分拆摸索其规律．为了方便，两个加数中以较小的数为被加数，因为1+100＝101＞100，1为被加数的有1种；同理，2为被加数的2种；…；49为被加数有49种；50为被加数的有50种，但51为被加数只有49种；52为被加数只有48种；…；99为被加数的只有1种．故不同的取法共有：(1+2+…+50)+(49+48+…+1)＝2500种，选D 。

13.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一

个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( ) A ．36种 B ．45种 C ．54种

D ．96种

解析：选A .先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．

14．(2013·高考北京卷)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至

少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．

13．解析：先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中有2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A 4

4种，因此共有不同的分法4A 4

4＝4×24＝96(种)．

求解排列组合应用题的“八字诀”

学习改变命运 求解排列组合应用题的“八字诀” 分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。 特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。 反——利用“正难则反”的原则解题。当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。 等——利用概率相等解题。充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。 化——注意用转化思想指导解题。许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。 捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。 插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。 推——运用递推关系解决排列组合应用问题。递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。 若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。下面通过几个例题的解答和评注，说明“八字诀”的具体应用。 例2．（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种 A ． 5544A A B ．554435A A A C ．554413A A A D ．5 54422A A A 解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数 4 4A . 第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数 55A . 第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数22A ，再把水彩画插在国画和油画之间1 1A . ∴满足条件的陈列方式有： 2 24544A A A ??种故选D 。 评注：由于本题的主要附加条件是“连在一起”，故容易相到使用“捆”的技巧。 例3．（2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 解评：由于正面考虑比较复杂，而问题的反面即为三个面两两相邻，一个顶点对应于一种取法，故用“正难则反”的方法解之，即1282083 6 =-=-C 种故选B 。 例4．五个成年人和两个小孩（一男一女）排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲（五个成年人之一）排在一起，问：有多少种不同的排法？ 解：第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为： 82 214=?A C 。 第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数：244 4=A

排列组合综合问题

排列组合综合问题 教学目标 通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 教学重点与难点 重点：排列、组合综合题的解法． 难点：正确的分类、分步． 教学用具 投影仪． 教学过程设计 （一）引入 师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法． 先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧! 生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要注意做到“不重”与“不漏”． 师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等． 解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”． （教师边讲，边板书） 互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法 （二）举例 师：我下面我们来分析和解决一些例题． （打出片子——例1） 例1 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数． （1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人． （教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解．这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．各小题之

四年级下册数学讲义-奥数专题讲练：第六讲 排列组合的综合应用(例题解析版)全国通用

第六讲排列组合的综合应用 排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.） 当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握. 例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解：符合要求的选法可分三类： 不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种. 注运用两个基本原理时要注意： ①抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. ③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.

解排列组合应用题的21种策略

解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.E D C B A ,,,,五人并排站成一排，如果B A ,必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把B A ,视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列,4 4A =24种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种数是36002655=A A 种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.E D C B A ,,,,五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（B A ,可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即602 155=A 种，选B 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的 7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有25201718210=C C C 种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ A ） A 、44484 12C C C 种 B 、344484 12C C C 种 C 、33484 12A C C 种 D 、33 4448412A C C C 种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有363324=A C 种

排列组合中的最短路径问题

两个计数原理的应用 一、选择题 1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】B （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 【解析】 试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G ?=，故处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318 选B. 【考点】计数原理、组合 【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的． 2．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（ B ）条

A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【解析】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B. 考点：分步计数乘法原理. 二、解答题 3．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往H. (1)列出此人从小区A到H的所有最短路径(自A至H依次用所经过的小区的字母表示)； (2)求他经过市中心O的概率． 【答案】(1)见解析（2）2 3 【解析】 解：(1)此人从小区A前往H的所有最短路径为：

排列组合的21种例题

高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、4441284 3 3 C C C A 种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

排列组合典型应用题例题分析

组合应用题例题分析 ⒈100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法； （2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？ ⒉从8男4女中选出5名学生代表，按下列条件各有多少种选法: ⑴至少有一名女同学； ⑵至少有两名女同学，但女甲和女乙有且只有一人当选； ⑶至多有两名女同学； ⑷女生甲、乙不都当选； ⑸必须有女同学当选，但不得超过女同学的半数。 ⒊甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可 以排出多少种不同的值周表？ 4. 六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的方法？ （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分为三份，一份四本，另两份各一本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。

A B 5. 10个人分乘4辆相同的汽车，两辆汽车各坐3人，另两辆汽车各坐2人，有多少种分配方案？ 6．（1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ （2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 7．（1） 将6名运动员分到四所学校，每校至少一名，有多少种不同的分法？ （2）从四所学校选6名运动员，每校至少一人，有多少种不同的方案？ 8．一楼梯分10级，某人上楼一步可上一级，也可，规定8步走完，共有多少种不同的走法？ 变题1: 一楼梯分10级，某人上楼一步可上一级，也可上两级，一共有多少种走法？ 变题2: 若有n 个台阶又如何？ 9．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？ 10．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如 果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？ 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有)(21 7171228C C C A +种方法； ②若不取6，则有2 717A C 种方法， 根据分类计数原理，一共有)(217171228C C C A ++2 717A C ＝602种方法。 11．如图是由12个小正方形组成的43?矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同 路径之中，最短路径有 条。 12．平面内有10个点，其中有4个红点，6个白点，除了3个白点共线外，其余无三点共线，求过同色的点所作的直线条数？

解决排列组合难题二十一种方法

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C ，然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A ，由分步计数原理得113434288C C A = C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

难点29排列组合的应用问题

难点29 排列、组合的应用问题 排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力. ●难点磁场 (★★★★★)有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ ●案例探究 ［例1］在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( ) 12 12111121 21 2121 211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n m n m n m m n n m m n n m m n n m +++++++++ 命题意图：考查组合的概念及加法原理，属★★★★★级题目. 知识依托：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合. 错解分析：A 中含有构不成三角形的组合，如：C 11+m C 2n 中， 包括O 、B i 、B j ;C 1 1+n C 2m 中，包含O 、A p 、A q ，其中A p 、A q ,B i 、B j 分别表示OA 、OB 边上不同于O 的点；B 漏掉△A i OB j ； D 有重复的三角形.如C 1 m C 21+n 中有△A i OB j ,C 21+m C 1n 中也有△A i OB j . 技巧与方法：分类讨论思想及间接法. 解法一：第一类办法：从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取 两点，可构造一个三角形，有C 1 m C 2n 个；第二类办法：从OA 边上(不包括O )中任取两点与 OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2 m C 1n 个；第三类办法：从 OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形， 有C 1 m C 1n 个.由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形. 解法二：从m +n +1中任取三点共有C 3 1++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有 C 31+m 个，三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个.所以，个数为N =C 3 1++n m －C 31+m －C 31+n 个. 答案：C ［例2］四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________. 命题意图：本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：排列、组合、乘法原理的概念. 错解分析：根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A 3 4种.忽略此种办法是：将同在一所学校的两名学生按 进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的.

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

高考数学专题之排列组合综合练习

高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法

排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A 。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种

解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B． 七．相同元素分配--档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他

排列组合问题的解答技巧和记忆方法

排列组合问题的解题策略 关键词：排列组合,解题策略 ①分堆问题； ②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个. 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．30 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答） 解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．用三种颜色着色有=24种方法, 用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72. 六、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） A．种B．种

排列组合应用题的解法

排列组合应用题的解法 湖北省京山县第五高级中学高二（3） 李敏 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一、运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。 例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 分析1：用分类记数的原理：没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。所以一共有种可能的结果。 分析2：用分步记数的原理：第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。所以一共有种可能的结果。 二、特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例2：6人站成一排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在中间四个位置的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：=480（种） 三、相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 分析：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：=4320（种）。 四、相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例4：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？

完整版例析立体几何中的排列组合问题

例析立体几何中的排列组合问题 过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法， 下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。1 点 1．1 共面的点 11997年全国高考（文））（例 A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（ A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点， 每个面上的个顶点，个点共面。点条棱有 34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333 点与这条棱对棱的中点共面。条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在 A共面的四点组合共有个。所以与点 B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有 把每条棱上的算在内。1．2 不共面的点 21997年全国高考（理））（例 104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141 种．种．种．种． 410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中

4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。形，它的个顶点共面，有 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。 D答案：。点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则 反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。2 直线 例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理）） 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（） A．18对B．24对C．30对D．36对 分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。 解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。 例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。 侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线； 例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5 条与其异面的直线； 例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数 两遍。共有。 法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构 故共有异面直线。成四面体的个数为：D 答案：点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是 利用影射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。3 平面

排列组合综合应用

第九讲 排列组合综合应用 【内容概述】 乘法原理是指做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m 1种不同的方法， 做第二步有m 2种不同的方法…做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×……×m n 种不同方法（即每一步都不能单独完成这件事情，需要所有步骤合在一 起才能完成这件事情） 加法原理是指做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中，有m 1种不同的 方法，在第二类办法中，有m 2种不同的方法……在第n 类办法中，有m n 种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m 1+m 2+m n 种不同方法。（即每一类办法都能独立完成，每一类与 另一类不重复，所有这些类型合起来构成这个事情） 【典型题解】 例1 某人到食堂去买饭，食堂里有4种荤菜，3种素菜，2种汤，他要各买一样，共有多少种不同的买法？ 【答案解析】根据题目条件可知，买饭可以分3个步骤。直接利用乘法原理计算。 不同的买法的种数：24234=??（种） 练习一“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写，把这三个字母用三种不同的颜色来写，现有五种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？ 【答案解析】根据题目条件可知，写完IMO 可以分三个步骤，第一步写“I ”有5种写法，第二步写“M ”有4种写法，第三步写“O ”有3种写法。直接利用乘法原理计算。 不同的写法的种数60345=??（种） 例2 一个篮球队，五名队员A 、B 、C 、D 、E ，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余 四人可以分配到五个位置的任何一个上，问：共有多少种不同的站位方法？ 【答案解析】把球场的上的五个位置分别称为1、2、3、4、5号位；令1号位为中锋，由于C 不能做中锋，那么还有4种不同的选择方法，2号位还有剩下的4个人可供选择，3号位还有剩下的3个人可供选择，4号位还有剩下的2个人可供选择，5号位只剩个人可供选择，根据乘法原理，它们的积就是全部的选择方法． 不同的站位方法：9612344=????（种） 练习二 广州电话号码有8个数码，其中第一个数字不为0，而且数字不重复，这样的电话号码共有多少个？ 【答案解析】首先考虑第1个位置，有9种选择。其它位置根据乘法原理，依次有9、8、7、6、5、4、3种选择。 电话号码个数：163296034567899=???????（个）