初三圆经典真题及答案详解.docx
圆经典重难点真题
一．选择题（共10 小题）
1 ．（ 2015?安顺）如右图，⊙O 的直径 AB垂直于
弦 CD，垂足为 E，∠ A=°， OC=4， CD的长为（）
A．2 B．4 C． 4D．8
2 ．（ 2015?酒泉）△ ABC为⊙O的内接三角形，若
∠AOC=160°，则∠ ABC 的度数是（）
A．80°B．160°C．100°D．80°或
100°
3．（ 2015?兰州）如右图，已知经过原点的⊙P
与 x、 y 轴分别交于 A、 B两点，点 C是劣弧 OB上一点，
则∠ ACB=（）
A．80°B．90°C．100°D．无法确定
4 ．（ 2015?包头）如右图，在△ ABC 中， AB=5， AC=3， BC=4，将△ ABC绕点 A 逆时针旋转30°后得到△ ADE，点 B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）
A．πB．π C．π D．π
5 ．（ 2015?黄冈中学自主招生）如右图，直径为10 的⊙A经过点 C（0，5）和点 O（ 0， 0）， B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠ OBC的正弦值为（）
A．B．C．D．
6 ．（ 2015?黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点 D，若
AD=4， DB=5，则BC的长是（）
A． 3B． 8C．D． 2
7 ．（2015?齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径
为 3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则
AB的取值范围是（）
弦
A．8≤AB≤10 B． 8＜AB≤10 C．4≤AB≤5D． 4＜AB≤5
8 ．（ 2015?衢州）如右图，已知△ ABC，
AB=BC，以 AB为直径的圆交 AC于点 D，过点 D
的⊙O的切线交 BC于点 E．若 CD=5，CE=4，则
⊙O的半径是（）
A．3 B．4 C．D．
9 ．（ 2014?舟山）如图，⊙O 的直径 CD垂直弦 AB于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB的长为（）
A．2 B．4 C． 6D．8
10 ．（2015?海南）如右图，将⊙O 沿弦 AB折叠，圆弧
恰好经过圆心O，点 P 是优弧上一点，则∠ APB的度
数为（）
A．45°B．30°C．75°D．60°
二．填空题（共 5 小题）
11 ．（ 2015?黔西南州）如右图， AB是⊙O的直径，
CD为⊙O的一条弦， CD⊥AB 于点 E，已知 CD=4， AE=1，则⊙O 的半径为．
12．（ 2015?宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若
∠C=130°，则∠ BOD=°．
13．（ 2015?南昌）如图，点 A， B， C在⊙O上， CO的延长线交 AB于点D，
∠A=50°，∠ B=30°，则∠ ADC 的度数为．
14．（ 2015?青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且∠ A=55°，
∠E=30°，则∠ F=．
15 ．（ 2015?甘南州）如图， AB为⊙O的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于
点 D，交⊙O 于点 C，且 CD=1，则弦 AB的长是．
三．解答题（共 5 小题）
16 ．（ 2015?永州）如图，已知△ ABC 内接于⊙ O，且 AB=AC，直
径AD交 BC于点 E， F 是 OE上的一点，使 CF∥BD．
（1）求证： BE=CE；
（2）试判断四边形 BFCD的形状，并说明理由；
（3）若 BC=8， AD=10，求 CD的长．
17．（2015?安徽）在⊙O 中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点 P 在 BC上，点 Q在⊙O上，且 OP⊥PQ．
（1）如图 1，当 PQ∥AB 时，求 PQ的长度；
（2）如图 2，当点 P 在 BC上移动时，求 PQ长的最大值．
18 ．（2015?滨州）如图，⊙O 的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O 于点 D．
（1）求的长．
（2）求弦 BD的长．
19 ．（2015?丹东）如图， AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，
延长 AE交 BD的延长线于点M，过点 D作⊙O的切线交 AB的延长线于点 C．（ 1）若 OA=CD=2 ，求阴影部分的面积；
（2）求证： DE=DM．
20．（ 2014?湖州）已知在以点 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C， D（如图）．
（1）求证： AC=BD；
（2）若大圆的半径 R=10，小圆的半径 r=8 ，且圆 O到直线 AB的距离为 6，求 AC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．（ 2015?安顺）如图，⊙O 的直径 AB垂直于弦 CD，垂足为 E，∠ A=°，OC=4， CD的长为（）
A．2 B．4 C． 4D．8
【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理得∠ BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦 CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△ OCE为等腰直角三角形，所以CE= OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．
【解答】解：∵∠ A=°，
∴∠ BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径 AB垂直于弦 CD，
∴CE=DE，△ OCE为等腰直角三角形，
∴CE= OC=2，
∴CD=2CE=4 ．
故选： C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角
形的性质和垂径定理．
2．（ 2015?酒泉）△ ABC为⊙O的内接三角形，若∠ AOC=160°，则∠ ABC
的度数是（）
A．80°B．160°C．100°D．80°或100°
【考点】圆周角定理．
ABC的度【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠
数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC 的度数．
【解答】解：如图，∵∠ AOC=160°，
∴∠ ABC= ∠AOC= ×160°=80°，
∵∠ ABC+∠AB′C=180°，
∴∠ AB′C=180°﹣∠ ABC=180°﹣ 80°=100°．
∴∠ ABC的度数是： 80°或 100°．
故选 D．
【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不
大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．
3．（ 2015?兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、 B 两点，点 C是劣弧 OB上一点，则∠ ACB=（）
A．80°B．90°C．100°D．无法确定
【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．
【分析】由∠ AOB与∠ ACB是优弧 AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ ACB=∠AOB=90°．
【解答】解：∵∠ AOB与∠ ACB是优弧 AB所对的圆周角，
∴∠ AOB=∠ACB，
∵∠ AOB=90°，
∴∠ ACB=90°．
故选 B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图
形，得到∠ AOB与∠ ACB是优弧 AB所对的圆周角．
4．（ 2015?包头）如图，在△ ABC 中， AB=5， AC=3，BC=4，将△ ABC绕点 A 逆时针旋转30°后得到△ ADE，点 B 经过的路径为，则图中阴影部分的
面积为（）
A．πB．π C．π D．π
【考点】扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；旋转的性质．
【分析】根据 AB=5， AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△ AED 的面积 =△ABC的面积，得到阴影部分的面积 =
扇形 ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵ AB=5， AC=3， BC=4，
∴△ ABC为直角三角形，
由题意得，△ AED的面积 =△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积=△AED 的面积 +扇形 ADB的面积﹣△ ABC的面积，
∴阴影部分的面积=扇形 ADB的面积 ==，
故选： A．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定
理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形 ADB的面积是解题的关键．
5．（ 2015?黄冈中学自主招生）如图，直径为10 的⊙A经过点C（0，5）和点（O 0，0）， B是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC的正弦值为（）A．B．C． D ．
【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义．
【分析】首先连接 AC， OA，由直径为 10 的⊙A经过点 C（ 0，5）和点 O（0，0），可得△ OAC是等边三角形，继而可求得∠ OAC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠ OBC的度数，则可求得答案．
【解答】解：连接 AC， OA，
∵点 C（0， 5）和点 O（0，0），
∴OC=5，
∵直径为 10，
∴AC=OA=5，
∴AC=OA=OC，
∴△ OAC是等边三角形，
∴∠ OAC=60°，
∴∠ OBC= ∠OAC=30°，
∴∠ OBC的正弦值为： sin30 °= ．
故选 A．
【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
6．（ 2015?黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直
径AB于
点
D，若
AD=4， DB=5，则BC的长是（）
A．3 B．8 C．D．2
【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；射影定理．
【专题】计算题．
【分析】若连接 CD、 AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得 AC=CD；过 C作 AB的垂线，设垂足为E，则 DE= AD，由此可求出
【解答】解：连接 CA、 CD；
根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠ CBD，
又∵所对的圆周角是∠ CBA，
∵∠ CBD=∠CBA，
∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；
∴△ CAD是等腰三角形；
过 C作 CE⊥AB 于
E．∵AD=4，则 AE=DE=2；
∴BE=BD+DE=7；
在 Rt△ACB中， CE⊥AB，根据射影定理，得：
2
BC=BE?AB=7×9=63；
故 BC=3 ．
故选 A．
【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根
据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．
7．（ 2015?齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为 3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B． 8＜AB≤10 C．4≤AB≤5D． 4＜AB≤5
【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．
【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切
点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径 10，则 8≤AB≤10．
【解答】解：当 AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2=8．
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10．
故选： A．
【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以
首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．
8．（ 2015?衢州）如图，已知△ ABC， AB=BC，以 AB为直径的圆交AC于点D，过点 D的⊙O的切线交 BC于点 E．若 CD=5， CE=4，则⊙O 的半径是
（）
A．3 B．4 C．D．
【考点】切线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】首先连接 OD、 BD，判断出 OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得 DE⊥OD，所以 DE⊥BC；然后根据 DE⊥BC， CD=5， CE=4，求出 DE的长度
是多少；最后判断出 BD、 AC的关系，根据勾股定理，求出 BC的值是多少，
再根据 AB=BC，求出 AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．
【解答】解：如图 1，连接OD、BD，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ ADB=90°，
∴BD⊥AC，
又∵ AB=BC，
∴AD=CD，
又∵ AO=OB，
∴OD是△ ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD=5， CE=4，
∴DE=，
∵S△BCD=BD?CD÷2=BC?DE÷2，
∴5BD=3BC，
∴，
222
∵BD+CD=BC，
∴，
解得 BC=，
∵AB=BC，
∴AB=，
∴⊙O的半径是；
．
故选： D．
【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的
直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
9．（2014?舟山）如图，⊙O 的直径 CD垂直弦 AB于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB的长为（）
A．2 B．4 C． 6D．8
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】根据 CE=2， DE=8，得出半径为 5，在直角三角形 OBE中，由勾股定理得 BE，根据垂径定理得出 AB的长．【解答】解：∵ CE=2， DE=8，∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△ OBE中，得 BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选： D．
【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．10．（2015?海南）如图，将⊙O 沿弦 AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点 P 是优弧上一点，则∠ APB 的度数为（）
A．45°B．30°C．75°D．60°
【考点】圆周角定理；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】计算题；压轴题．
【分析】作半径 OC⊥AB于 D，连结 OA、 OB，如图，根据折叠的性质
得OD=CD，则 OD= OA，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到
∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，
然后根据圆周角定理计算∠APB 的度数．
【解答】解：作半径OC⊥AB 于 D，连结 OA、 OB，如图，
∵将⊙O沿弦 AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，
∴OD= OC= OA，
∴∠ OAD=30°，
而 OA=OB，∴∠
CBA=30°，
∴∠ AOB=120°，
∴∠ APB= ∠AOB=60°．
故选 D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含 30 度的直角三角
形三边的关系和折叠的性质．
二．填空题（共 5 小题）
11．（ 2015?黔西南州）如图，AB是⊙O的直径， CD为⊙O的一条弦，
CD⊥AB 于点 E，已知 CD=4， AE=1，则⊙O 的半径为．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接 OC，由垂径定理得出CE= CD=2，设 OC=OA=x，则 OE=x﹣1，
222
由勾股定理得出CE+OE=OC，得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接 OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径， CD⊥AB，
∴CE= CD=2，∠ OEC=90°，
设 OC=OA=x，则 OE=x﹣ 1，
根据勾股定理得：
222 CE+OE=OC，
即 22+（x﹣ 1）2=x2，
解得： x= ；
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，
并能进行推理计算是解决问题的关键．
12．（ 2015?宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ C=130°，则∠ BOD= 100°．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠ A=180°﹣∠ C=50°，然后
根据圆周角定理求∠ BOD．
【解答】解：∵∠ A+∠C=180°，
∴∠ A=180°﹣ 130°=50°，
∴∠ BOD=2∠A=100°．
故答案为 100．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）
所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接
四边形的性质．
13．（ 2015?南昌）如图，点 A， B， C 在⊙O上， CO的延长线交AB于点 D，∠A=50°，∠ B=30°，则∠ ADC 的度数为110°．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理求得∠ BOC=100°，进而根据三角形的外角的
性质求得∠ BDC=70°，然后根据邻补角求得∠ ADC 的度数．【解答】
解：∵∠ A=50°，
∴∠ BOC=2∠A=100°，
∵∠ B=30°，∠ BOC=∠B+?BDC，
∴∠ BDC=∠BOC﹣∠ B=100°﹣ 30°=70°，
∴∠ ADC=180°﹣∠ BDC=110°，
故答案为 110°．
【点评】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心
角和圆周角的关系是解题的关键．
14．（ 2015?青岛）如图，圆内接四边形 ABCD两组对边的延长线分别相交
于点 E， F，且∠ A=55°，
∠E=30°，则∠ F= 40°．
【考点】圆内接四边形的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】先根据三角形外角性质计算出∠ EBF=∠A+∠E=85°，再根据圆
内接四边形的性质计算出∠ BCD=180°﹣∠ A=125°，然后再根据三角形
外角性质求∠ F．
【解答】解：∵∠ A=55°，∠ E=30°，
∴∠ EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠ A+∠BCD=180°，
∴∠ BCD=180°﹣ 55°=125°，
∵∠ BCD=∠F+∠CBF，
∴∠ F=125°﹣ 85°=40°．
故答案为 40°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆
内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性
质．
15．（2015?甘南州）如图， AB为⊙O的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点D，交⊙O 于点 C，且 CD=1，则弦 AB的长是6．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】连接 AO，得到直角三角形，再求出 OD的长，就可以利用勾股定
理求解．
【解答】解：连接 AO，
∵半径是 5，CD=1，
∴OD=5﹣ 1=4，
根据勾股定理，
AD===3，
∴AB=3×2=6，
因此弦 AB的长是 6．
【点评】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．
三．解答题（共 5 小题）
16．（2015?永州）如图，已知△ ABC内接于⊙ O，且 AB=AC，直径 AD交 BC 于点 E， F 是 OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证： BE=CE；
（2）试判断四边形 BFCD的形状，并说明理由；
（3）若 BC=8， AD=10，求 CD的长．
【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定．
【分析】（ 1）证明△ ABD≌△ ACD，得到∠ BAD=∠CAD，根据等腰三
角形的性质即可证明；
（ 2）菱形，证明△ BFE≌△ CDE，得到 BF=DC，可知四边形 BFCD是平行四边形，易证 BD=CD，可证明结论；
2
（ 3）设 DE=x，则根据 CE=DE?AE列方程求出D E，再用勾股定理求出CD．【解答】（ 1）证明：∵ AD 是直径，
∴∠ ABD=∠ACD=90°，
在 Rt△ABD和 Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠ BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴B E=CE；
（2）四边形 BFCD是菱形．
证明：∵ AD 是直径， AB=AC，
∴AD⊥BC，BE=CE，
∵CF∥BD，
∴∠ FCE=∠DBE，
在△ BED和△ CEF
中
，
∴△ BED≌△ CEF，
∴CF=BD，
∴四边形 BFCD是平行四边形，
∵∠ BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴四边形 BFCD是菱形；
（3）解：∵ AD 是直径， AD⊥BC， BE=CE，
2
∴CE=DE?AE，
设 DE=x，
∵BC=8， AD=10，
2
∴4=x（ 10﹣x），
解得： x=2 或 x=8（舍去）
在 Rt△CED中，
CD===2．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形
全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定
与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
17．（ 2015?安徽）在⊙O 中，直径 AB=6， BC是弦，∠ ABC=30°，点P 在BC上，点 Q在⊙O上，且 OP⊥PQ．
（1）如图 1，当 PQ∥AB 时，求 PQ的长度；
（2）如图 2，当点 P 在 BC上移动时，求 PQ长的最大
值．【考点】圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】（1）连结 OQ，如图 1，由 PQ∥AB，OP⊥PQ得到 OP⊥AB，在
Rt△OBP 中，利用正切定义可计算出 OP=3tan30°=，然后在 Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出 PQ= ；
（ 2）连结 OQ，如图 2，在 Rt△OPQ中，根据勾股定理得到则当 OP的长最小时， PQ的长最大，根据垂线段最短得到
PQ=
OP⊥BC，则
，
OP= OB=，所以PQ长的最大
值
=．【解答】解：（1）连结OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在 Rt△OBP中，∵ tan ∠B=，
∴OP=3tan30°=，
在 Rt△OPQ中，∵
OP=
， OQ=3，
∴PQ==；
初三圆经典练习题
圆的概念和性质例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm 例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3 ,2 【考点速练】 1.下列命题中，正确的是（） A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C．任何一个四边形都有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（） ①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 11.如图，已知在ABC ?中，? = ∠90 A，A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长． 12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝ 13、△ABC中，AB=AC=10，BC=12 14、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P 条数为＿＿。 1、在半径为2的圆中，弦长等于的弦的弦心距为 ____ B P A O
初三数学圆经典例题
一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E
初三圆的典型例题
圆典型例题精选 【例题1】如图所示，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆O 上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长． 【例题2】如图，线段AB 经过圆心O ，交圆O 于点A,C ，点D 在圆O 上，连接AD ，BD ， ∠A=∠B=30度．BD 是圆O 的切线吗？请说明理由． 【例题3】已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）请说明：∠ACO=∠BCD ． （2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 【例题4】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ， BC ∥AD ，AC 与BD 相交于点E ，在不添加 任何辅助线的情况下： (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中 一对全等三角形进行证明． (2) 若BD 平分∠ADC ，请找出图中与△ABE 相似的所有三角形 （全等三角形除外）． 【例题5】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． （1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ （2）若点O 沿线段CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？ E B D C A O 第 1 题图 图9 E D B A O C
【例题6】推理运算：如图，AB 为圆○直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．OCD ∠的平分线CE 交圆○于E ，连结OE ． （1）请说明：E 为弧ADB 的中点； （2）如果圆○的半径为1，3CD =，①求O 到弦AC 的距离；②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为 12 ． 【例题7】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC ?交于点E ，请说明：△DEC 为等腰三角形． 【例题8】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ．试说明：PC 是⊙O 的切线． 【例题9】已知：如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°，弧AD 的长为2 2 π， 求弦AD 、AC 的长． 【例题10】如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的圆○交AC 于点 E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）请说明：DE 与圆○相切； （2）若圆O 的半径为3，3DE =，求AE ． A B O C P M 图4 A B C D ·O 45° A B D E O C H B D C E A O
新初中数学圆的经典测试题含答案
新初中数学圆的经典测试题含答案 一、选择题 1．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆． 下列说法中错误的是( ) A ．勒洛三角形是轴对称图形 B ．图1中，点A 到?BC 上任意一点的距离都相等 C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误. 【详解】 鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确； 点A 到?BC 上任意一点的距离都是DE ，故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误； 鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ?=? ,圆的周长=22 DE DE ππ?=? ,故说法正确. 故选C. 【点睛】 主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解． 2．如图，在ABC ?中，90ABC ∠=?，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为
(完整)初三数学有关圆的经典例题
初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；
（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ?
九年级上册圆经典题型汇编
九年级上册圆经典题汇总 1、（2013泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是 的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 2、（2013?黔西南州）如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）
3、（2013?毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（） A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30° 4. （2013台湾、17）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE 与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（） A．5 B．6 C． D． 5、（2013?苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧
的弧长为．（结果保留π） 6、（2013?天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C 的大小为（度）． 7、(2013年广东省9分、24)如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接 圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5, BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证：∠BCA=∠BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 8. （2013?湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB． （1）求BC的长； （2）求证：PB是⊙O的切线．
初三圆经典例题新
有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。 132O AB AC BAC 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE === =323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132cos cos ∠OAE AE OA ==22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于 E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE A F FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =1 2 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2∵，DE R DF BC ==21 2
∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>??AB ∴，∴，∴，∴22 22AF AB AF AB AF CD AF CD >>>?>? ∴AB CD ?>?2 ∴选A 。 解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE 则DE CD CE ?=?=?12 在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ，∴AB>CE ∴，∴AB CE AB CD ?>??>? 2∴选A 。 例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD == =1 4 1 求CD 的长。 解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵AB BC AD == =1 4 1
初三圆的经典例题
有关圆的经典例题 １. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意A Ｂ与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、ＡC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当ＡB 、ＡＣ在圆心O 的异侧时，如下图所示, 过Ｏ作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == =323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA ===13 2 cos cos ∠OAE AE OA ==2 2 ∴∠ＯAD=30°,∠OA Ｅ=45°,故∠ＢA Ｃ＝７5°, 当A Ｂ、A Ｃ在圆心Ｏ同侧时,如下图所示， 同理可知∠OAD=3０°，∠ＯAE=４5°， ∴∠BA Ｃ=１５° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2． 如图:△ＡBC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于Ｄ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证:△ＡBC 是直角三角形；
()22 求的值AD BC 分析:()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB,OD ⊥AB ，可证DF 是△A ＢＣ的中位线; （2）延长DO 交⊙O 于Ｅ，连接A Ｅ,由于∠DA Ｅ=90°，D Ｅ⊥AB ，∴△ＡDF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（１）证明,作直径DE 交AB 于F,交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2)解:连结ＡＥ ∵DE 是⊙Ｏ的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△E ＤA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2== 例3. 如图,在⊙O 中,AB ＝2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>??
(完整word)初三圆的典型例题.docx
圆典型例题精选 【例题 1 】如图所示， AB 是圆 O 的一条弦， OD AB ，垂足为 C ，交圆 O 于点 D ，点 E 在 圆 O 上．（1）若 AOD 52o ，求 DEB 的度数； E （ 2 ）若 OC 3 ， OA 5 ，求 AB 的长． O AC B D 【例题 2 】如图，线段 第 1 题图 AB 经过圆心 O ，交圆 O 于点 A,C ，点 D 在圆 O 上，连接 AD ， BD ， ∠ A= ∠ B=30 度． BD 是圆 O 的切线吗？请说明理由． 【例题 3 】已知 AB 为 ⊙ O 的直径， CD 是弦，且 AB ⊥ CD 于点 E ．连接 AC 、 OC 、 BC ． A （ 1 ）请说明： ∠ ACO= ∠ BCD ． （ 2 ）若 EB=8cm ， CD=24cm ，求 ⊙ O 的直径． O E C D B 【例题 4 】如图，梯形 ABCD 内接于 ⊙ O ， BC ∥ AD ， AC 与 BD 相交于点图E 9 ，在不添加任何辅助线的情况下： (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中 一对全等三角形进行证明． (2) 若 BD 平分 ∠ ADC ，请找出图中与 △ ABE 相似的所有三角形 （全等三角形除外） ． 【例题 5 】如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90°， AC=5 ，BC=12 ， ⊙ O 的半径为 3． （ 1 ）若圆心 O 与 C 重合时， ⊙O 与 AB 有怎样的位置关系？ （ 2 ）若点 O 沿线段 CA 移动，当 OC 等于多少时， ⊙ O 与 AB 相切？
初三数学圆经典例题
．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆：
例 2 ．已知，如图， CD 是直径， EOD 84 ，AE 交⊙ O 于 B ，且 AB=OC ，求∠ A 的度数。 例 3 ⊙O 平面内一点 P 和⊙O 上一点的距离最小为 ________ cm 。 例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB ∥CD ，AB=6cm ， CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多 少？ 例 5 如图 , ⊙ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE=6cm ， EB=2cm, CEA 30 ， 求 CD 的长． 例 6. 已知：⊙ O 的半径 0A=1，弦 AB 、 AC 的长分别为 2, 3 ，求 BAC 的度数． 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 , 钝角三角形的外心在 考点 5 点和圆的位置关系 设圆的半径为 r ，点到圆心的距离为 d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ① 点在圆外 d > r ；②点在圆上 d=r ；③点在圆内 d 有关圆的经典例题 1.在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2.如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， （1）求证：△ABC 是直角三角形； 分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线； （2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E 又∵AD=DC ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA 例3.如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（） 分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ??2 解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ， ∵AF FB AF FB ?=?=，∴ 在△AFB 中，有AF+FB>AB ∴选A 。 解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE 在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ，∴AB>CE ∴选A 。 例4.如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141 求CD 的长。 分析：连结BD ，由AB=BC ，可得DB 平分∠ADC ，延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△EDA ，又可判定AD 是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD ≌△EBD ，得DE=AD ，利用△EBC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。 解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵⊙O 的半径为2，∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD ∴△ABD ≌△EBD ，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠EBC=∠EDA ，∠ECB=∠EAD 例5.如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ? 于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。 初三数学有关圆的经典例题 1. 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况 讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示， 过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E， ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D， （1）求证：△ABC是直角三角形； 分析： 则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线； （2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF 解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E 又∵AD=DC ∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90° 而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA 例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（） 分析： 解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E， ∵ 在△AFB中，有AF+FB>AB ∴选A。 解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE 在△CDE中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD，∴AB>CE ∴选A。 例 4. 求CD的长。 分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长 AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD 有关圆的经典例题 1. 在半径为 1的⊙ O 中，弦 AB 、AC 的长分别为 3和 2，求∠ BAC 的度数。 2. 如图：△ ABC 的顶点 A 、B 在⊙ O 上，⊙ O 的半径为 R ，⊙O 与AC 交于 D ， 如果点 D 既是 AB 的中点，又是 AC 边的中点， （ 1）求证：△ ABC 是直角三角形； （2）求 AD 的值 BC 4. 如图，四边形 ABCD 内接于半径为 2的⊙ O ，已知 AB BC 1 长。 5. 如图， AB 、 AC 分别是⊙ O 的直径和弦， D 为劣 3. 如图，在⊙ O 中， AB=2CD ，那么（ ） A. AB 2CD B. AB 2CD D. AB 与2CD 的大小关系不确定 C. AB 2CD AD 1， 求 CD 的 弧 于H，交⊙O 于点E，交AC 于点F，P为ED 的延长线上一点。 1)当△ PCF 满足什么条件时，PC与⊙O 相切，为什么？ (2)当点D在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD2DE· DF ，为什么？ 1 6. 如图，四边形ABCD 是矩形(AB 1BC)，以BC为直径作半圆O，过点 2 D 作半圆的切线交AB 于E，切点为F，若AE：BE=2 ：1，求tan∠ AD E 的值。 分析：要求tan∠ADE ，在Rt△AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。 ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE：AD 。 解：∵四边形ABCD 为矩形，∴ BC⊥AB，BC⊥ DC ∴AB 、DC切⊙ O于点 B 和点C， ∵DE 切⊙O于F，∴ DF=DC ，EF=EB，即DE=DC+EB ， 又∵AE：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ， 在Rt△ AED 中，AE=2x ，DE=4x， ∴ AD 2 3x AE 2x 3 则tan ∠ ADE AD 2 3x 3 点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7. 已知⊙ O1 与⊙ O2相交于A、B 两点，且点O2在⊙ O1上， (1)如下图，AD 是⊙ O2的直径，连结DB 并延长交⊙ O1于C，求证CO2⊥ AD ； 1 / 3 圆典型例题精选 【例题1】如图所示，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆O 上．（1）若52AOD ∠=o ，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长． 【例题2】如图，线段AB 经过圆心O ，交圆O 于点A,C ，点D 在圆O 上，连接AD ，BD ， ∠A=∠B=30度．BD 是圆O 的切线吗？请说明理由． 【例题3】已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）请说明：∠ACO=∠BCD ． （2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 【例题4】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ， BC ∥AD ，AC 与BD E 任何辅助线的情况下： (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中 一对全等三角形进行证明． (2) 若BD 平分∠ADC ，请找出图中与△ABE 相似的所有三角形 （全等三角形除外）． 【例题5】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． （1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ （2）若点O 沿线段CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？ E B D C A O 第 1 题图 图9 E D B O C 2 / 3 【例题6】推理运算：如图，AB 为圆○直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．OCD ∠的平分线CE 交圆○于E ，连结OE ． （1）请说明：E 为弧ADB 的中点； （2）如果圆○的半径为1，3CD =，①求O 到弦AC 的距离；②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为 12 ． 【例题7】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC?交于点E ，请说明：△DEC 为等腰三角形． 【例题8】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ．试说明：PC 是⊙O 的切线． 【例题9】已知：如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°，弧AD 的长为2 2 π， 求弦AD 、AC 的长． 【例题10】如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=o ，以AB 为直径的圆○交AC 于点 E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）请说明：DE 与圆○相切； （2）若圆O 的半径为3，3DE =，求AE ． A B O C P M 图4 A B C D ·O 45° A B D E O C H C E A O 九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦 AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．2 6m B ．2 6m π C ．2 12m D ．2 12m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．5 12 C ．2 D ． 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4 圆的概念和性质 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】 1.下列命题中，正确的是（ ） A ．三点确定一个圆 B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C ．任何一个四边形都有一个外接圆 D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（ ） ①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到 直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C D O E B C 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>?? （1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？ ()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ? = 6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O > 1 2 D 作半圆的切线交AB 于 E ，切点为 F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。 分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。 解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ， ∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ， 在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ， ∴AD x =23 则∠tan ADE AE AD x x = == 2233 3 点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O 2在⊙O 1上， （1）如下图，AD 是⊙O 2的直径，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，求证CO 2⊥AD ； 圆经典重难点真题 一．选择题（共10小题） 1．（2015?安顺）如右图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂 足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（） A．2 B．4 C．4D．8 2．（2015?酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°， 则∠ABC的度数是（） A．80°B．160°C．100°D．80°或100° 3．（2015?兰州）如右图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于 A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 4．（2015?包头）如右图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将 △ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的 路径为，则图中阴影部分的面积为（） A．πB．πC．πD．π 5．（2015?黄冈中学自主招生）如右图，直径为10的⊙A经过点C （0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC 的正弦值为（） A．B．C．D． 6．（2015?黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径 AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（） A．3 B．8 C． D．2 7．（2015?齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5， 小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 8．（2015?衢州）如右图，已知△ABC，AB=BC，以AB 为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于 点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（） A．3 B．4 C．D． 9．（2014?舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E， 且CE=2，DE=8，则AB的长为（） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（2015?海南）如右图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆 心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（） A．45°B．30°C．75°D．60° 二．填空题（共5小题） 11．（2015?黔西南州）如右图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O 的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径 为． 12．（2015?宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 若∠C=130°，则∠BOD=°． 13．（2015?南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为．初三圆经典例题
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