一轮复习配套讲义：第2篇 第7讲 函数的图象
第7讲 函数的图象 [最新考纲]
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.
知 识 梳 理
1．函数的图象及作法
2．图象变换 (1)平移变换
(2)对称变换
①y ＝f (x )――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；
③y ＝f (x )――→关于原点对称
y ＝－f (－x )；
④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)． (3)翻折变换
①y ＝f (x )―――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.
②y ＝f (x )――――――――→保留y 轴右边图象，并作其
关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．
(4)伸缩变换
①y ＝f (x )――→纵坐标伸长(a ＞1)或缩短(0＜a ＜1)为原来
的a 倍，横坐标不变y ＝
af (x )(a ＞0)
②y ＝f (x )―
―→横坐标伸长(0＜a ＜1)或缩短(a ＞1)为原来
的1a 倍，纵坐标不变
y ＝f (ax )(a ＞0) 辨 析 感 悟
1．图象变换问题
(1)为了得到函数y ＝lg x ＋3
10的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．(√)
(2)若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(×) (3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×) (4)函数y ＝2|x －1|的图象关于直线x ＝1对称．(√)
(5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．(×) 2．图象应用问题
(6)(2013·汉中模拟改编)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内有且仅有两个根． (7)(2013·洛阳调研改编)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则点P ? ?
???a ，c b 所在的象限为第二象限． (√)
[感悟·提升]
三个防范一是函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量，如(5)；
二是注意含绝对值符号的函数的对称性，如y＝f(|x|)与y＝|f(x)|的图象是不同的，如(3)；
三是混淆条件“f(x＋1)＝f(x－1)”与“f(x＋1)＝f(1－x)”的区别，前者告诉周期为2，后者告诉图象关于直线x＝1对称，如(2).
学生用书第28页
考点一函数图象的辨识
【例1】(2013·山东卷)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为()．
解析函数y＝x cos x＋sin x在x＝π时为负，排除A；易知函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B；再比较C，D，不难发现当x取接近于0的正数时y>0，排除C.
答案 D
规律方法函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
【训练1】(1)(2014·潍坊模拟)函数y＝x sin x在[－π，π]上的图象是()．
(2)函数y＝x＋cos x的大致图象是()．
解析(1)容易判断函数y＝x sin x为偶函数，可排除D.当0＜x＜π
2时，y＝x sin x ＞0，当x＝π时，y＝0，可排除B，C，故选A.
(2)∵y′＝1－sin x≥0，∴函数y＝x＋cos x为增函数，排除C.又当x＝0时，y
＝1，排除A，当x＝π
2时，y＝
π
2，排除D，故选B.
答案(1)A(2)B
考点二函数图象的变换
【例2】函数f (x )＝????
?
3x (x ≤1)，log 1
3
x (x ＞1)，则y ＝f (1－x )的图象是( )．
解析 画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象． 答案 C
规律方法 作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状．
【训练2】 (2013·江南十校联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )．
解析 当x ＞0时，y ＝log 2(x ＋1)，先画出y ＝log 2x 的图象，再将图象向左平移1个单位，最后作出关于y 轴对称的图象，得与之相符的图象为B. 答案 B
考点三 函数图象的应用
【例3】 (1)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个
(2)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 审题路线 (1)画出x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2的图象?根据周期为2画出x ∈(1，＋∞)时的函数图象?画出函数y ＝|lg x |的图象――→注意x ＝10时的情形
观察图象，得出交点个数．
解析 (1)根据f (x )的性质及f (x )在[－1,1]上的解析式可作图如下
可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；x >10时，|lg x |>1.
因此结合图象及数据特点知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象交点共有10个． (2)y ＝???
x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，
作出图象，如图所示．
此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －1
4，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －1
4＜1＜a ， ∴1＜a ＜5
4.
答案 (1)A (2)? ??
??1，54 规律方法 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．
(2)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.
学生用书
第29页
【训练3(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．
解 f (x )＝
???
(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，
－(x －2)2
＋1，x ∈(1，3)， 作出函数图象如图．
(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点
(如图)．由图知0＜m ＜1， ∴M ＝{m |0＜m ＜1}．
1．掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技
巧，来帮助我们简化作图过程．
2．识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x 、y 轴的交点，最高、最低点等)． 3．识图的方法
(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决； (3)排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证．
4．研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；
5．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解
决．
思想方法2——利用数形结合思想求参数的范围
【典例】已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈? ?
???0，12时恒成立，求实数a 的取值范
围．
解 由x 2－log a x ＜0， 得x 2＜log a x .
设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .
由题意知，当x ∈? ?
?
??0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，
如图，可知????
?
0＜a ＜1，f ? ????12≤g ? ????
12，
即????
?
0＜a ＜1，? ????122≤log a 12，
解得1
16≤a ＜1.
∴实数a 的取值范围是????
??
116，1.
[反思感悟] (1)“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形．
(2)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 【自主体验】
(2014·黄冈调研)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________ . 解析 如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1， ∴a ≥－1.
答案 [－1，＋∞)
对应学生用书P239
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·青岛一模)函数y ＝21－x 的大致图象为( )．
解析 y ＝21－x ＝? ????12x －1，因为0＜12＜1，所以y ＝? ????
12x －1为减函数，取x ＝0时，则
y ＝2，故选A. 答案 A
2．(2013·福建卷)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )．
解析 函数f (x )＝ln(x 2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数且f (0)＝ln 1＝0，综上选A. 答案 A
3．(2014·日照一模)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )．
解析 易知f (x )为偶函数，故只考虑x ＞0时f (x )＝lg(x －1)的图象，将函数y ＝lg x 图象向x 轴正方向平移一个单位得到f (x )＝lg(x －1)的图象，再根据偶函数性质得到f (x )的图象． 答案 B
4．(2013·东营模拟)已知函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，
则函数y ＝f (x )的解析式可以为( )． A ．f (x )＝e x ln x B ．f (x )＝e －x ln(|x |) C ．f (x )＝e x ln(|x |) D ．f (x )＝e |x |ln(|x |)
解析 如题图，函数的定义域是{x |x ≠0}，排除选项A ，当x →－∞时，f (x )→0，排除选项B ，D ，因此选C. 答案 C
5．已知函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)，f (2 011)·g (－2 012)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )．