《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结[1]

高中数学必修2知识点总结

第一章 空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图

1 三视图：

正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=

4 圆台的表面积2

2R Rl r rl S ππππ+++=

5 球的表面积2

4R S π= （二）空间几何体的体积

1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3

1

3台体的体积h S S S S V ?++=)3

1

下下上上（ 4球体的体积 334R V π=

第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （1）四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβα

β∈∈?=∈且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系

1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把

a '与

b '所 成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角

范围090θ<≤?）

定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）

2.位置关系：????

???

?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;

共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位

置

关

系

有

三

种

：

//l l A l ααα???

=??

??

??

直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点 （4）空间中平面与平面之间的位置关系

平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ??=?

两个平面平行（）没有公共点

两个平面相交（）有一条公共直线

2

22r rl S ππ+=

直线、平面平行的判定及其性质

1.内容归纳总结

（1）四个定理

直线、平面平垂直的判定及其性质

1.内容归纳总结

（一）基本概念

1.直线与平面垂直：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α

垂直，记作lα

⊥。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面的公共点P叫做垂足。

2. 直线与平面所成的角：

角的取值范围：?

?≤

≤90

0θ。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的

棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围：?

?≤

≤180

0θ两个平面垂直：直二面角。

（二）四个定理

定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法

直线与

平面

垂直的

判定

一条直线与一个平面

内的两条相交直线垂

直，则该直线与此平面

垂直。

,,

,

m n m n P

a m a n

a

α

α

∈=

⊥⊥

?⊥

、

且

在已知平面内“找出”两条相交

直线与已知直线垂直就可以判定

直线与平面垂直。即将“线面垂直”

转化为“线线垂直”

平面与

平面

垂直的

判定

一个平面过另一平面

的垂线，则这两个平面

垂直。

,

a a

βαβα

?⊥?⊥

（满足条件与α垂直的

平面β有无数个）

判定的关键：在一个已知平面内

“找出”两条相交直线与另一平

面平行。即将“面面平行问题”

转化为“线面平行问题”

直线与

平面

垂直的

性质

同垂直与一个平面的

两条直线平行。

,//

a b a b

αα

⊥⊥?

平面与

平面

垂直的

性质

两个平面垂直，则一个

平面内垂直与交线的

直线与另一个平面垂

直。

,,,

l a

a l a

αβαββ

α

⊥=?

⊥?⊥

解决问题时，常添加的辅助线

是在一个平面内作两平面交线

的垂线

定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法

直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面

内的一条直线平行，则该直

线与此平面平行

,,//

//

a b a b

a

αα

α

??

?

且

在已知平面内“找出”一条直线与已知

直线平行就可以判定直线与平面平行。

即将“空间问题”转化为“平面问题”

平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直

线与另一个平面平行，则这

两个平面平行

,,

,//,//

//

a b

a b P a b

ββ

αα

βα

??

=

?

判定的关键：在一个已知平面内“找出”

两条相交直线与另一平面平行。即将

“面面平行问题”转化为“线面平行问

题”

直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，

则过这条直线的任一平面

与此平面的交线与该直线

平行

//,,

//

a a b

a b

αβαβ

?=

?

平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和

第三个平面相交，那么它们

的交线平行

//,,

//

a

b a b

αβαγ

βγ

=

=?

第三章直线方程知识点及公式

1.直线的倾斜角与斜率：

在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.即tan k α=

※2.斜率公式：经过两点),(),,(2

22111y x P y x P 的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

王新敞

※3. 直线的点斜式方程：)(11x x k y y -=-

直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的

方程，这时的直线方程为1x x =.

※4．直线的斜截式方程：b kx y +=.只有当0≠k 时，斜截式方程才是一次函数的表达式. ※※5.直线方程的一般式：x 0A By C ++=（2

2

0A B +≠）

6. 直线方程的两点式：1

21

121x x x x y y y y --=

--.（21x x ≠，21y y ≠） 7．直线方程的截距式：

1=+b

y

a x . a ,

b 表示截距，它们可以是正，也可以是负. 8．斜率存在时两直线的平行：21//l l ?1k =2k 且21b b ≠. 9．斜率存在时两直线的垂直：?⊥21l l 121-=k k ．

10．特殊情况下的两直线平行与垂直:

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；

(2)一条直线的斜率不存在时，即倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

11.直线1l 与2l 的夹角定义及公式: 1l 到2l 的角是1θ, 2l 到1l 的角是π-1θ,两角中的锐角或直角叫两条直线的夹角.显然当直线1l ⊥2l 时,直线1l 与2l 的夹角是

2

π

.

夹角的取值范围：0°＜α≤90°.

计算方法：如果.2

,1,012121π

α=-==+则即k k k k 王新敞

12. 两点间距离公式：22122121()()PP x x y y =

-+-

13．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：

2

2

00B

A C

By Ax d +++=

14. 两平行直线间距离公式：2

2

12-B

A C C d +=

第四章圆与方程

1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.

特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.

2、点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：

(1)点在圆上

d=r ；

(2)点在圆外

d ＞r ；

(3)点在圆内

d ＜r ．

2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? 3 、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

当042

2

>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心???

??--2,2

E D C ，半径2

422F

E D r -+=

.

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点???

??--

2,2

E D . 当0422<-+

F E D 时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且

0422 AF E D -+.

4 、直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

（1）若2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，0相离r d ；

（2）0=???=相切r d ； （3）0>???<相交r d 。 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组???=++++=++0

2

2

F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的

个数来判断：

（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交； （2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切； （3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C 到直线l 的距离为d,则直线与圆的 位置关系满足以下关系：

相切?d=r ?Δ＝0（2）相交?d0； （3）相离?d>r ?Δ<0。 2、5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21。

（1）条公切线外离421??+>r r d ； （2）条公切线外切321??+=r r d ； （3）条公切线相交22121??+<<-r r d r r ；（4）条公切线内切121??-=r r d ； （5）无公切线内含??-<<210r r d ；

外离 外切 相交 内切 内含