复习讲义导数及其应用

高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用

【知识图解】

【方法点拨】

导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。

1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。

2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。

3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。

4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。

5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。

6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。

第1课 导数的概念及运算

【考点导读】

1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；

2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;

3.熟记基本导数公式；

4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;

5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】

1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0

lim

→h h

x f h x f )

()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而

与h 无关 。

2．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。 3．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=

x x x y ,则当2'=y 时,=x 3

2π

±。

4．已知a x x a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。

5．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。

解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a

函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数

b a +?=+?∴12132，得b=2

又由c +?+=12122

，得1-=c

【范例导析】

例1．下列函数的导数：

①2(1)(231)y x x x =++- ②y =③()(cos sin )x f x e x x =?+

分析：利用导数的四则运算求导数。

解：①法一：13232223-++-+=x x x x x y 125223-++=x x x ∴ 26102y x x '=++

法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x x x y =1322

-+x x +)1(+x )34(+x

26102x x =++ ② 2

31

2

12

332-

--

-+-=x x x

x y

∴ 25

223

2

12

3233-

--+-+='x x x x y

③()f x '=e －x

（cos x +sin x ）+e －x

（－sin x +cos x ）=2e －x

cos x ,

点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。

例2． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率

0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。

解： 切线与直线34+=x y 平行， 斜率为4

又切线在点0x 的斜率为0

32

0(10)31x x x x y x x x =='

'

=+-=+

∵ 4132

0=+x ∴10±=x

∴??

?-==8

100y x 或???-=-=121

00y x

∴切点为（1，-8）或（-1，-12）

切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412+=+x y 即124-=x y 或84-=x y

点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。 变题：求曲线32y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程。 答案：20,5410x y x y +-=--=

点评：本题中“过点(1,1)A 的切线”与“在点(1,1)A 的切线”的含义是不同的，后者是以A 为切点，只有一条切线，而前者不一定以A 为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。 【反馈演练】

1．一物体做直线运动的方程为2

1s t t =-+，s 的单位是,m t 的单位是s ，该物体在3秒末的

瞬时速度是5/m s 。

2．设生产x 个单位产品的总成本函数是2

()88

x C x =+，则生产8个单位产品时，边际成本是

2 。

3．已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为 （1） 。

（1）f （x ）=（x －1）2

+3（x －1） （2）f （x ）=2（x －1）

（3）f （x ）=2（x －1）2

（4）f （x ）=x －1 4．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为430x y --=。

5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于

4

π

的点中，坐标为整数的点的个数是 3 。

6．过点（0，－4）与曲线y ＝x 3

＋x －2相切的直线方程是 y ＝4x －4 ． 7． 求下列函数的导数：

(1)y=(2x 2

-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3))1ln(2x x y ++=

(4)1

1-+=x x e e y (5)x x x x y sin cos ++= (6)x x x

y cos sin 2cos -=

解：（１）34182-+='x x y , (2)x x x x y cos sin 22+=';

(3)211

x

y +=', (4)2)1(2--='x x

e e y ; (5)2

)

sin (1

cos sin sin cos x x x x x x x x y +--+--=

', (6)x x y cos sin -='. 8 已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且

21l l ⊥

（Ⅰ）求直线2l 的方程；

（Ⅱ）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积 解： 设直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，

'21y x =+，由题意得10'|1x k y ===,得直线1l 的方程为2y x =-

1221

1

1l l k k ⊥∴=-

=- 211,1x x +=-=-令得,212,2x y x x y =-=+-=-将代入得

2l ∴与该曲线的切点坐标为(1,2),A --由直线方程的点斜式得直线2l 的方程为：3y x =--

（Ⅱ）由直线1l 的方程为2y x =-,令0=2y x =得: 由直线2l 的方程为3y x =--，令0=3y x =-得: 由23

y x y x =-??

=--?得：5

2y =-

设由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积为S ，则：1525

[2(3)]224

s =?-?--=

第2课 导数的应用A

【考点导读】

1． 通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单

调性；会求某些简单函数的单调区间。

2． 结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项

式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。 【基础练习】

1．若函数()f x mx n =+是R 上的单调函数，则,m n 应满足的条件是 0,m n R ≠∈ 。 2．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。 3．用导数确定函数()sin ([0,2])f x x x π=∈的单调减区间是3[,]22

ππ

。

4．函数1

()sin ,([0,2])2

f x x x x π=+

∈的最大值是π，最小值是0。 5．函数2()x f x x e =?的单调递增区间是 (-∞,-2)与(0,+ ∞) 。 【范例导析】

例1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 。 解：当－1≤x <0时，()f x '>0，当0

所以当x ＝0时，f （x ）取得最大值为2。

点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数3()f x x =。 例2． 求下列函数单调区间：

（1）5221)(2

3

+--==x x x x f y （2）x

x y 12-=

（3）x x

k y +=2

)0(>k （4）x x y ln 22-= 解：（1）∵232--='x x y )1)(23(-+=x x ∴)3

2

,(-

-∞∈x ),1(∞+ 时0>'y )1,32(-∈x 0<'y ∴ )32,(--∞，),1(∞+↑ )1,3

2

(-↓

（2）2

21

x

x y +=' ∴ )0,(-∞，),0(∞+↑ （3）22

1x k y -= ∴ ),(k x --∞∈),(∞+k 0>'y ， ),0()0,(k k x -∈

0<'y

∴ ),(k --∞，↑∞+),(k )0,(k -，),0(k ↓

（4）x x x x y 14142-=-='定义域为),0(∞+ )21,0(∈x 0<'y ↓ ),21

(∞+∈x

0>'y ↑

点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。 例3．设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

解：由已知得[]'

()6(1)f x x x a =--，令'()0f x =，解得 120,1x x a ==-。

（Ⅰ）当1a =时，'2()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；

当1a >时，()'()61f x x x a =--????，'

(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：

从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =时，函数()f x 没有极值；

当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值31(1)a --。 点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。 【反馈演练】

1．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （4） 。

（1）在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 （2）在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 （3）在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 （4）在区间（∞-，0）),2(+∞?内，)(x f 为增函数

2．对任意x ，有34)('x x f =，(1)1f =-，则此函数为 2)(4-=x x f 。 3．函数y=2x 3

-3x 2

-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。 4．下列函数中，0x =是极值点的函数是 （2） 。

（1）3y x =- （2）2cos y x = （3）tan y x x =- （4）1y x

=

5．下列说法正确的是 （4） 。

（1）函数的极大值就是函数的最大值 （2）函数的极小值就是函数的最小值 （3）函数的最值一定是极值 （4）在闭区间上的连续函数一定存在最值 6．函数32()35f x x x =-+的单调减区间是 [0，2] 。

7．求满足条件的a 的范围： （1）使ax x y +=sin 为R 上增函数；

（2）使a ax x y ++=3为R 上的增函数； （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上的增函数。 解：（1）∵a x y +='cos 由题意可知：0y '>对x R ?∈都成立 ∴ 1>a 又当1=a 时 x x y +=sin 也符合条件 ∴ ),1[∞+∈a （2）同上 ),0[∞+∈a （3）同上 ),3

1[∞+∈a

8．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中,,a b c 为常数。 （1）试确定,a b 的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间。

解：（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．

又对()f x 求导得()34341

ln 4'bx x

ax x ax x f +?

+=3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．

（II ）由（I ）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =．

当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．

因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．

第3课 导数的应用B

【考点导读】

1． 深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。 2． 利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、

探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。 【基础练习】

1．若)(x f 是在()l l ,-内的可导的偶函数，且)(x f '不恒为零，则关于)(x f '下列说法正确的是（4） 。

（1）必定是()l l ,-内的偶函数 （2）必定是()l l ,-内的奇函数 （3）必定是()l l ,-内的非奇非偶函数 （4）可能是奇函数，也可能是偶函数 2．()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（4） 。

（1） （2） （3） （4）

3．若t R ∈，曲线3y x =与直线3y x t =-在[0,1]x ∈上的不同交点的个数有 至多1个 。 4．把长为60cm 的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为 15cm ，宽为 15cm 。 【范例导析】

例1．函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y （1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求f (x )的表达式； （2）在（1）的条件下，求)(x f y =在]1,3[-上最大值；

（3）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求b 的取值范围 解：（1）

1

3:))1(,1()()1)(23()1()1)(1()1(:

))1(,1()(23)(:)(223+==-++=+++--'=-=++='+++=x y f P x f y x b a c b a y x f f y f P x f y b ax x x f c bx ax x x f 的切线方程为上而过即的切线方程为上点过求导数得由

???=++=+???=-++=++)2(3)1(0212323 c b a b a c b a b a 即故5

42)(5,4,2)3)(2)(1()

3(1240)2(,2)(23+-+==-==-=+-∴=-'-==x x x x f c b a b a f x x f y 相联立解得由故时有极值在

（2）)2)(23(44323)(22

'

135)2(4)2(2)2()2()(=+---+-=-=f x f 极大

4514121)1(3=+?-?+=f ]1,3[)(-∴在x f 上最大值为13

（3）]1,2[)(-=在区间

x f y 上单调递增

又02)1(,23)(2=+++='b a b ax x x f 知由 b bx x x f +-='∴23)( 依题意]1,2[03,0)(]1,2[)(2-≥+-≥'-'在即上恒有在b bx x x f x f 上恒成立.

①在60

3)1()(,16≥∴>+-='='≥=b b b f x f b

x 小时 ②在0212)2()(,26≥++=-'='-≤=b b f x f b

x 小时 ?∈∴b

③在.60012

12)(,1622

≤≤≥-=

'≤≤-b b b x f b 则时小 综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b ≥0。

点评：本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。 例2．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设1OO 的长度会比较简便。

解：设1()OO x m =,则由题设可得正六棱锥底面边长为

=m ）。

于是底面正六边形的面积为（单位：m 2

）：

2262)42

x x ==+-

。 帐篷的体积为（单位：m 3

）：

231()2)(1)112)232

V x x x x x x ??=

+--+=+-????

求导数，得2()3)2

V x x '=

-； 令()0V x '=解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。

当1,V(x)为增函数；当2

答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大。

点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

【反馈演练】

1．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 图4 。

2．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有

()0f x ≥，则

(1)'(0)

f f 的最小值为 3

2 。

3．若π

02x <<

，则下列命题正确的是 （3） . （1）2sin πx x < （2）2sin πx x > （3）3

sin π

x x <

(4)3

sin π

x x >

4．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是1,e ??+∞????

．

5．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d=2， 所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='

由在M(-1,f(-1))处的切线方程是076=+-y x ， 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即

图1

图2

图3

图4

{{

326,23,

12 1.0,3.

b c b c b c b c b c -+=-=-∴

-+-+=-===-即

解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令

2210.x x --=即 解得 .21,2121+=-=x x

当;0)(,21,21>'+>-

故)21,()(--∞在x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数． 点评：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

6．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆

上，记2CD x =，梯形面积为S ．

（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．

解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），

则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程22

221(0)4x y y r r

+=≥，

解得)y x r =<<

所以1

(22)2

S x r =

+

2()x r =+{}

0x x r <<．

（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-．

令()0f x '=，得12x r =．因为当02r x <<时，()0f x '>；当2r

x r <<时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)2r 上是单调递增函数，在(,)2

r

r 上是单调递减函数，

所以12f r ??

???

是()f x 的最大值． 因此，当1

2

x r =

时，S

2r =． 即梯形面积S

的最大值为

2

2

．

A

7．设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；

（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，

∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-．

（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--， 由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：

()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．

()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，

即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．

8．设函数2()ln()f x x a x =++,若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性.

解：

1()2f x x x a '=

++，依题意有(1)0f '-=，故3

2a =． 从而2231(21)(1)()3322

x x x x f x x x ++++'==++．()f x 的定义域为32??

-+ ???，∞， 当312x -

<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1

2

x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3

1122????---+ ? ?????，，，

∞单调增加，在区间112??

-- ???

，单调减少．

导数讲义终极版

导数目录 【导数的计算与几何意义】 【三次函数】 【导数与单调性】 【导数与极最值】 【导数与零点】 【导数中的恒成立与存在性问题】 【原函数导函数混合还原】 【导数中的距离问题】 【导数题基础练习】 【分离参数】 【构造新函数类】 【导数中的函数不等式放缩】 【导数中的卡根思想 【可使用洛必达法则】 【先构造，再赋值，证明和式或积式不等式】 【极值点偏移问题】 【极值点减元思想】 【导数解决含有x ln与x e的证明题】 【导数解决含三角函数的证明】 【高考导数真题研究】

[基础知识整合] 1、导数的定义:,)()(lim )(000 0x x f x x f x f x ?-?+='→? x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0 2、导数的几何意义: 导数值)(0x f '是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处的切线的斜率 3、常见函数的导数: ;sin )(cos ;cos )(sin );()(;01x x x x Q n nx x C n n -='='∈='='- ;)(;log 1 )(log ;1)(ln x x a a e e e x x x x ='='= ' ;ln )(a a a x x =' 4、导数的四则运算:[])()(;)(;)(;)(2 x u k x ku v u v v u v u u v v u uv v u v u '=' '+'=''+'=''±'='±; 5、复合函数的导数:[])()())((x u f x f ??'?'=' 6、导函数与单调性: 求增区间，解0)(>'x f ; 求减区间，解0)(<'x f 若函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数0)(≥'?x f 在),(b a 上恒成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上是减函数0)(≤'?x f 在),(b a 上恒成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上存在增区间0)(>'?x f 在),(b a 上成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上存在减区间0)(<'?x f 在),(b a 上成立. 7、导函数与极最值: 确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论 8、导数压轴题: 强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多记题型，总结方法

导数及其应用概念及公式总结

导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠

2012高中数学复习讲义(通用版全套)第十二章 导数及其应用

2012高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用 【知识图解】 【方法点拨】 导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。 1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。 2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。 3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。 4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。 5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。 6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。

数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.1～1.1.2

1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念 1．平均变化率 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□ 01f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□ 02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．瞬时变化率 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□ 03f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□ 04lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝L . 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□ 05lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或□ 06y ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)＝□ 07lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□ 08瞬时变化率．

导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝lim x→x0f(x)－f(x0) x－x0 与概念中的f′(x0)＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx意 义相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．() (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．() (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．() 答案(1)√(2)×(3)× 2．做一做 (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y＝f(x)＝1 x在x＝－1处的导数可表示为________． 答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x ＝－1 探究1求函数的平均变化率 例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0＝ [3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2) Δx ＝6x0·Δx＋3(Δx)2 Δx＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

第4讲导数及其应用 课时讲义

第4讲 导数及其应用 课时讲义 1. 导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等． 2. 研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，其主要考查方式有：(1) 确定函数的零点、图象交点的个数；(2) 由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围． 1. 若a ＞1，则函数f(x)＝1 3 x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为________． 答案：1 解析：f′(x)＝x 2－2ax ，由a ＞1可知，f ′(x)在x ∈(0，2)时恒为负，即f(x)在(0，2)内单 调递减．又f(0)＝1＞0，f(2)＝8 3 －4a ＋1＜0，所以f(x)在(0，2)内只有一个零点． 2. (2018·南通中学)已知函数f(x)＝1 3 x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)．若f(x)＋5≥0恒成立， 则实数m 的取值范围是________． 答案：????179，＋∞ 解析：f′(x)＝x 2－4x ，由f′(x)>0，得x>4或x<0，所以f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[0，＋∞)时，f(x)min ＝f (4)．要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4) ＋5≥0恒成立即可，代入解得m ≥17 9 . 3. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y ＝－1 3 x 3＋81x － 234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件． 答案：9 解析：由题意知，x ＞0，令y′＝－x 2＋81＞0，解得0＜x ＜9；令导数y′＝－x 2＋81＜0， 解得x ＞9.所以函数y ＝－1 3 x 3＋81x －234在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减 函数，所以在x ＝9处取极大值，也是最大值． 4. 已知函数f(x)＝e x ，g (x )＝1 2 x 2＋x ＋1，则与f (x )，g (x )的图象均相切的直线方程是 ________． 答案：y ＝x ＋1 解析：因为函数f (x )＝e x 与函数g (x )＝1 2 x 2＋x ＋1的图象有唯一公共点(0，1)，且f ′(0)＝g ′ (0)＝1，所以它们的公切线方程是y ＝x ＋1. , 一) 函数的零点问题 , 1) (2018·镇江期末)已知b>0，且b ≠1，函数f(x)＝e x ＋b x ，其中e 为自然 对数的底数． (1) 对满足b >0，且b ≠1的任意实数b ，证明函数y ＝f (x )的图象经过唯一定点； (2) 如果关于x 的方程f (x )＝2有且只有一个解，求实数b 的取值范围． 解：(1)假设y ＝f (x )过定点(x 0，y 0)，则y 0＝e x 0＋bx 0对任意b >0，且b ≠1恒成立． 令b ＝2得y 0＝e x 0＋2x 0；令b ＝3得y 0＝e x 0＋3x 0， 所以2x 0＝3x 0，即 ????32x 0 ＝1，解得唯一解x 0＝0，所以y 0＝2， 经检验当x ＝0时，f (0)＝2，所以函数y ＝f (x )的图象经过唯一定点(0，2)．

导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)

函数的零点 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例1】已知函数3 ()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x = 的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 ()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则 1234_________. x x x x +++= 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间 []8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知 1212 x x +=-， 344 x x +=． 所以12341248 x x x x +++=-+=-． 6

【题型二】复合函数的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况 第二步：再判断()f x d =的零点个数情况 【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数 1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数 322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两个 相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69): 【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即：

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

导数综合讲义(教师版)

导数综合讲义 第1 讲导数的计算与几何意义 (3) 第2 讲函数图像 (4) 第3 讲三次函数 (7) 第4 讲导数与单调性 (8) 第5 讲导数与极最值 (9) 第6 讲导数与零点 (10) 第7 讲导数中的恒成立与存在性问题 (11) 第8 讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式） (13) 第9 讲导数中的距离问题 (17) 第10 讲导数解答题 (18) 10.1导数基础练习题 (21) 10.2分离参数类 (24) 10.3构造新函数类 (26) 10.4导数中的函数不等式放缩 (29) 10.5导数中的卡根思想 (30) 10.6洛必达法则应用 (32) 10.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式 (33) 10.8极值点偏移问题 (35) 10.9多元变量消元思想 (37) 10.10导数解决含有ln x 与e x 的证明题（凹凸反转） (39) 10.11导数解决含三角函数式的证明 (40) 10.12隐零点问题 (42) 10.13端点效应 (44) 10.14其它省市高考导数真题研究 (45)

0 0 0 x 导数 【高考命题规律】 2014 年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015 年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016 文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017 年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单； 第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。预测 2018 年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，不等 式结合考查恒成立问题，另外 2016 年全国卷 1 理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。 【基础知识整合】 1、导数的定义： f ' (x ) = lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) ， f ' (x ) = lim f (x + ?x ) - f (x ) 0 ?x →0 ?x ?x →0 ?x 2、导数的几何意义：导数值 f ' (x ) 是曲线 y = f (x ) 上点(x , f (x )) 处切线的斜率 3、常见函数的导数： C ' = 0 ； (x n )' = nx n -1 ； (sin x )' = cos x ； (cos x )' = -sin x ； (ln x )' = 1 ； (log x x )' = 1 x ln a ； (e x )' = e x ； (a x )' = a x ln a ' ' ' ' ' ' u ' u 'v - v 'u 4、导数的四则运算： (u ± v ) = u ± v ；； (u ? v ) = u v + v u ； ( ) = v v 2 5、复合函数的单调性： f ' (g (x )) = f ' (u )g ' (x ) 6、导函数与单调性：求增区间，解 f ' (x ) > 0 ；求减区间，解 f ' (x ) < 0 若函数在 f (x ) 在区间(a , b ) 上是增函数? f ' (x ) ≥ 0 在(a , b ) 上恒成立； 若函数在 f (x ) 在区间(a , b ) 上是减函数? f ' (x ) ≤ 0 在(a , b ) 上恒成立； 若函数在 f (x ) 在区间(a , b ) 上存在增区间? f ' (x ) > 0 在(a , b ) 上恒成立； 若函数在 f (x ) 在区间(a , b ) 上存在减区间? f ' (x ) < 0 在(a , b ) 上恒成立； 7、导函数与极值、最值：确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论 8、导数压轴题：强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型，总结方法 a

新人教B版学高中数学选修导数及其应用导数的实际应用讲义

学习 目 标核心素养 １．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．（重点） ２．能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）．（难点、易混点）１．通过导数的实际应用的学习，培养学生的数学建模素养． ２．借助于解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 导数在实际生活中的应用 １．最优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题． ２．用导数解决最优化问题的基本思路 １．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（） Ａ．6 m Ｂ．8 m Ｃ．４m Ｄ．２m [解析] 设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m ２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２.S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）． [答案] C ２．某一件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为______元时，利润最大． [解析] 利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）

＝—x２＋２３0x—6 000， S′（x）＝—２x＋２３0， 由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大． [答案] １１５ 面积、体积的最值问题 示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设A E＝FB＝x（cm）． （１）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm２）最大，试问x应取何值？ （２）某厂商要求包装盒的容积V（cm３）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [思路探究] 弄清题意，根据“侧面积＝４×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值． [解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝错误!x，h＝错误!＝错误!（３0—x），0＜x＜３0． （１）S＝４ah＝8x（３0—x）＝—8（x—１５）２＋１800， 所以当x＝１５时，S取得最大值． （２）V＝a２h＝２错误!（—x３＋３0x２），V′＝6错误!x（２0—x）． 由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝２0． 当x∈（0,２0）时，V′＞0；当x∈（２0,３0）时，V′＜0． 所以当x＝２0时，V取得极大值，也是最大值．

最新高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义

第三章 导数及其应用 1 一、变化率与导数 2 ()()()()()()()() 000000000000000 10,0lim lim lim . x x x x x y f x x x x x y y x x x x x y x x f x x f x y x x y x x f x y f x x f x f x x ?→?→=?→==??≠??+???→=+?-?=??=+?-=?＇＇＇、定义：设在处取得一个增量. 函数值也得到一个增量称 为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函 数在处的导数，记作或, 即 3 4 ()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率. 5 6 7 ()()00. PT x f x P PT f x k ?→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即 8 9 ()()()()003==lim lim . x x f x x f x y y f x y f x y x x ?→?→+?-?==??＇＇＇＇、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即 10 二、常见函数的导数公式 11 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 12 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 13 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 14 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 15 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 16 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 17

高三数学导数基础讲义教案

高三数学导数基础讲义教案 二、考试要求 ⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。 ⑵熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x,lnx, log x的导数）。掌 a 握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。 三、复习目标 1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． x的导数）。 2．熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x, lnx, log a 掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。 4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。 四、双基透视 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微）； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。 2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。 5．瞬时速度

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.1～1.1.2 Word版缺答案

1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念 1．平均变化率 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□ 01f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . 若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□ 02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．瞬时变化率 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□ 03f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□ 04lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝L . 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□ 05 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们 称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)□06y ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)□ 07lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□ 08瞬时变化率．

导数概念的理解 (1)Δx →0是指Δx 从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx 存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导并且导数即为极限值． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0， 于是f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0 与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 意义相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× 2．做一做 (1)自变量x 从1变到2时，函数f (x )＝2x ＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y ＝f (x )＝1 x 在x ＝－1处的导数可表示为________． 答案 (1)2 (2)2 (3)f ′(－1)或y ′|x ＝－1 探究1 求函数的平均变化率 例1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值． [解] 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0 ＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2) Δx ＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2 Δx ＝6x 0＋3Δx . 当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. [结论探究] 在本例中，分别求函数在x 0＝1,2,3附近Δx 取1 2时的平均变化率k 1，k 2，k 3，

导数常用的基本性质及其用法

导数常用的基本性质及其用法 1．)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）： 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. 2．瞬时速度： 00()()()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 3．瞬时加速度： 00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. 4．)(x f 在),(b a 的导数： ()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 5．函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 6．几种常见函数的导数： ⑴ 0='C （C 为常数）. ⑵ '1()()n n x nx n Q -=∈. ⑶ x x cos )(sin ='. ⑷ x x sin )(cos -='. ⑸ x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. ⑹ x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 7．导数的运算法则： ⑴'''()u v u v ±=±. ⑵'''()uv u v uv =+. ⑶'' '2()(0)u u v uv v v v -=≠. 8．复合函数的求导法则： 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数 ''()u y f u =， 则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.

导数及其应用(知识点总结)

导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

高考数学讲义导数及其应用.板块四.导数与其它知识综合5-其它.教师版

题型五：导数与其它知识综合 【例1】 函数20()(4)x f x t t dt =-?在[1,5]-上的最大和最小值情况是（ ） A ．有最大值0，但无最小值 B ．有最大值0和最小值323 - C ．有最小值32 3 - ，但无最大值 D ．既无最大值又无最小值 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 332 220 ()(4)22033 x x t x f x t t dt t x ??=-=-=- ????，2()4(4)f x x x x x '=-=-， 从而()f x 在[1,0]-上单调递增，在(0,4)上单调递减，在[4,5]上单调递增， 故()f x 在0x =时取到极大值0，在4x =时取到极小值32 3 -， 又732(1)33f -=-<-，25(5)03f =-<，故()f x 在区间[1,5]-上的最大值为0，最小值为32 3 -． 【答案】B 【例2】 设函数321()(2)232a f x x x b x =-+--有两个极值点，其中一个在区间(0,1)内，另一个在区间 (1,2)内，则 5 4 b a --的取值范围是 ． 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】 【解析】 2()(2)f x x ax b '=-+-，由题意知()0f x '=的两根分别在区间(0,1)与(1,2)上，又()f x '的图 象是开口向上的抛物线，故有(0)0(1)0(2)0f f f '>??'?，即2030620b a b a b ->??--?，从而有2326b a b a b ??+

专题 导数的应用(三)——多变量问题-讲义

简单学习网课程讲义 学科：数学 专题：导数的应用(三) 主讲教师：王春辉北京高级教师 https://www.wendangku.net/doc/5815326166.html, 北京市海淀区上地东路1号盈创动力大厦E座702B 免费咨询电话4008-110-818 总机：010-********

主要考点梳理 研究函数首先就是研究单调性，这个过程中，导数是个强大的工具.我们经常面临的问题是多参数问题，讨论是重要的方法，当然，如何回避讨论也是我们要关注的. 易错小题 题一 题面：研究函数2 ()1 ax f x x =+的单调性. 题二 题面：设)2()(2x x x f -=，则)(x f 的单调递增区间是 . 题三 题面：函数)(x f )(log 3ax x a -=)1,0(≠>a a 在区间)0,2 1 (-内单调递增，则a 的取值范围是( ) (A))1,41[ (B))1,43[ (C)),4 9(+∞ (D))4 9,1(

金题精讲 题一 题面：已知函数32()1,f x x ax x a R =+++∈. (1)设函数()f x 在区间21 (,)33--内是减函数，求a 的取值范围. (2)设函数()f x 在区间21 (,)33 --内是增函数，求a 的取值范围. 题二 题面：已知函数42)(23-++=x x x x f ，8)(2-+=x ax x g . (1)求函数)(x f 的极值； (2)若对任意的),0[+∞∈x 都有)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围. 题三 题面：已知两个函数x x x x g k x x x f 452)(,168)(2 3 2 ++=-+=，其中k 为实数. (1)对任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； (2)对任意的]3,3[],3,3[21-∈-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤成立，这样的实数k 是否存在？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由.