点差法弦长公式
点差法
1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为
2
2的
椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =2
1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.
命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.
知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.
错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.
技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理.
解法一：由
e =2
2
=a c ,得21
222=-a
b a ,从而a 2=2b 2,
c =b .
设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上.
则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,
.)
(2212
12121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－
2y x ,又(x 0,y 0)在直线y =2
1x 上，y 0=2
1x 0,
于是－
02y x =
－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.
右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),
??
?-='='???????++'-='=-''
b y x b x y b
x y 11 1
22
1解得则 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=8
9
,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2
29
1698y x +
=1,l 的方程为y =－x +1.
解法二：由
e =21
,22222=-=a
b a a
c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),
将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则
x 1+x 2=
2
2
214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－
2
212k k
+.
直线
l ：y =2
1x
过AB
的中点(2
,22
121y y x x ++),则
2
2
22122121k k k k +?=+-,解得
k =0，或k =－1.
若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一.
2.(★★★★★)已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)
2
=3
20,椭圆C 2的方程为2
2
22b
y a x +=1(a ＞b ＞0)，
C 2的离心率为
2
2
，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为
圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程
.
解：由e =
2
2,可设椭圆方程为2
2
222b
y b x +=1,
又设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,
又2
2
222
222
122
12,12b
y
b x b y b x +=+=1,两式相减，得22
2
21222212b
y
y b x x -+-=0,
即(x 1+x 2)(x 1－x 2)+2(y 1+y 2)(y 1－y 2)=0.
化简得2
121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3,
代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0. 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3
20
4)(221221=
-+x x x x ,
得
3
209722422=-?b ，解得b 2=8.
故所求椭圆方程为8
162
2y x +
=1.
22220002103
10123x y a b e A B a b AB x P AB C x y x F AF BF +=>>=+=椭圆（）的离心率，、是椭圆上关于坐标不对称的
两点，线段的中垂线与轴交于点（，）。（）设中点为（，），求的值。
（）若是椭圆的右焦点，且，求椭圆的方程。
15
95232
333229233
2233
24
99951959500
19594323212212
22021212121
2
21200
00
0000020221212102022121212
2121222222222222122122
22
2222220
21210210212211=+∴=???
??
?
=?==?+=?
??
??
?
?=
=+=+-?
=-+-∴?????-=-=?-==
-=+=∴
-=-?-=-
∴-
=-=--?=-+-?=-++-+????
?=+=+?
=+=
?=-?=?=-=
--=+=+y x b c a c a a x x x x x a ex a ex a ex a BF ex a AF x c a BF a c x c a AF
BF AF x x x y x y x y x y a x b x x y y y y y a x b x x y y y y a x x x x b b a y a x b b a y a x b b y a x B A a
b a b a a
c e y x x x y y y y y x x x y x B y x A 所求椭圆方程为
）（又
）（）（）（））（（））（（上
在椭圆
、又由
，则
）
，（）、，（）令（
（2006年江西卷）如图，椭圆Q ：22
22x y 1a b
＋＝（a >b >0）的右焦点F （c ，0）
，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点
求点P 的轨迹H 的方程
在Q 的方程中，令a 2
＝1＋cos θ＋sin θ，b 2
＝sin θ（0<θ≤
2
π
），确定θ的值，使原点距椭圆
的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形
ABD 的面积最大？
解：如图，（1）设椭圆Q ：22
22x y 1a b
＋＝
（a >b >0）
上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P 点坐标为P （x ，y ），则
22222211222222
22b x a y a b 1b x a y a b 2?????＋＝…………（
）＋＝…………（）
1?当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2， 由（1）－（2）得 b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2
（y 1－y 2）2y ＝0
212212y y b x y x x a y x c
∴－＝－＝－－
∴b 2x 2
＋a 2y 2
－b 2
cx ＝0 (3)
2?当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3）
故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2
cx ＝0
（2）因为，椭圆 Q 右准线l 方程是x ＝2
a c
，原点距l
的距离为2a c ，由于c 2＝a 2－b 2，a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2
＝sin θ（0<θ≤2π）
则2a c ＝1cos sin 1cos θθ
θ
＋＋＋＝2sin （2θ＋4π）
当θ＝
2
π
时，上式达到最大值。此时a 2＝2，b 2
＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1
设椭圆Q ：22
x y 12
＋＝上的点 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），三角形ABD 的面积
S ＝
12|y 1|＋12|y 2|＝1
2
|y 1－y 2| 设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，代入22
x y 12
＋＝
中，得（2＋k 2）y 2＋2ky －1＝0 由韦达定理得y 1＋y 2＝22k 2k －
＋，y 1y 2＝2
1
2k －＋， 4S 2
＝（y 1－y 2）2
＝（y 1＋y 2）2
－4 y 1y 2＝222
8k 1k 2（＋）
（＋）
令t ＝k 2＋1≥1，得4S 2
＝
2
8t 88
21t 14t 2t
≤＝＝（＋）＋＋，当t ＝1，k ＝0时取等号。 因此，当直线m 绕点F 转到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大。
( 2006年湖南卷）已知椭圆C 1:22
143
x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2
的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.
(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (Ⅱ)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.
45．(Ⅰ) m =0，98
p =
； (Ⅱ) 63m =
，或6
3
m =-，43p =。
解 （Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为 x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－2
3
）. 因为点A 在抛物线上，所以p 249
=，即8
9=p . 此时C 2的焦点坐标为（
16
9
，0），该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .
由?
??
??=+-=134
)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①
设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝
2
2438k k +.
因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦， 所以)(2
1
4)212()212(2121x x x x AB +-=-+-
=，且 1212()()22
p p
AB x x x x p =+++=++.
从而12121
4()2
x x p x x ++=-
+. 所以12463p x x -+=，即22
846343
k p
k -=+. 解得6,62±==k k 即.
A
y
B
O
x
因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 3
1
-=.
即3
6
36-==m m 或. 当3
6
=
m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当3
6
-
=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程 为)1(-=x k y .
由??
???-==-)
1(38)(2
x k y x m y 消去y 得x m k kx 38)(2
=--. ……①
因为C 2的焦点),3
2
(m F '在直线)1(-=x k y 上，
所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 3
8
)32(2=-.
即09
4)2(342
22
2
=+
+-k x k x k . ……② 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝
2
23)2(4k k +.
由?
??
??=+-=134
)
1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……③
由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝
2
2438k k +.
从而
2
23)2(4k k +＝
2
2438k k +. 解得6,62±==k k 即.
因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 3
1
-=.
即3
6
36-==m m 或. 当3
6
=
m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当3
6
-
=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法三 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又是过C 2的焦点),3
2
(m F '，
所以)2
1
2()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=.
即9
16
)4(3221=-=
+p x x . ……① 由（Ⅰ）知21x x ≠，于是直线AB 的斜率m m x x y y k 313
20
1
212=--=--=， ……② 且直线AB 的方程是)1(3--=x m y , 所以3
2)2(32121m
x x m y y =
-+-=+. ……③ 又因为?????=+=+12
4312
4322222121y x y x ，所以0)(4)(31212
2121=--?+++x x y y y y x x . ……④ 将①、②、③代入④得3
2
2=m ，即3636-==m m 或. 当3
6
=
m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当3
6
-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y .
弦长公式
1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=3
104，试求椭
圆的方程.
解：|MF |max =a +c ,|MF |min =a －c ,则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2,
∴b
2
=4,设椭圆方程为142
22=+y a
x
① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m
② 将②代入①得：(4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0
③
设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2),M 1M 2的中点为(x 0,y 0),
则
x 0=2
1
(x 1+x 2)=
2
24a m
a +,y 0=－x 0+m =2
44a m +.
代入
y =x ,得
2
22444a m
a m a +=+,
由于a 2
＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－
22
44a a +,
又|M 1M 2|=
3
1044)(221221=
-+x x x x ,
代入x 1+x 2,x 1x 2可解a
2
=5,故所求椭圆方程为：4
52
2y x +
=1.
2.（2008全国一21）．（本小题满分12分）
双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1
l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、
、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =
，tan b
AOF a
∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠=
= 由倍角公式∴2
2
431b
a b a =??
- ???
，解得12b a =,则离心率52e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()a
y x c b
=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立
将2a b =，5c b =代入，化简有
221585
2104x x b b
-+= 2
22
121212411()4a a x x x x x x b b ????????=+-=++-?? ? ???
????????
将数值代入，有2
232528454155b b ??
????=- ? ?????
??
,解得3b =
故所求的双曲线方程为
22
1369
x y -=。 （山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2
2
14
y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ?的面积为
1
2
的点P 的个数为（ B ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（福建卷）已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准
线上.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足63
4
=
?ON OM cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由. （I ）解法一：直线333:-=x y l ， ①
过原点垂直l 的直线方程为x y 3
3
-=， ② 解①②得.2
3=
x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，
.32
322=?=∴c a
∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
.2,6,22
2
===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12
62
2=+
y x ③ 解法二：直线333:-=x y l .
设原点关于直线l 对称点为（p ，q ），则???
???
?-=?-?=.1332232p q p q 解得p=3. ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，
.32
=∴c
a
∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
.2,6,22
2
===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12
62
2=+
y x ③ （II ）解法一：设M （11,y x ），N （22,y x ）.
当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得
,061212)13(2222=-+++k x k x k
,1
36
12,13122
2212221+-=?+-=+∴k k x x k k x x ,1
3)1(62136124)1312(14)(1||22222222
212212
++=+-?-+-+=-++=k k k k k k k
x x x x k
MN
点O 到直线MN 的距离2
1|2|k
k d +=
,cot 634MON ON OM ∠=
? 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠?MON
MON
MON ON OM ,63
4
||.632,634sin ||||=?∴=∴=
∠?∴?d MN S MON ON OM OMN
即).13(63
4
1|
|6422+=
+k k k
整理得.3
3,312±=∴=
k k
当直线m 垂直x 轴时，也满足63
2
=?OMN S .
故直线m 的方程为,3
3233+=
x y
或,3
3
233--
=x y 或.2-=x
经检验上述直线均满足0≠?ON OM .所以所求直线方程为,3
3233+=
x y
或,3
3
233--
=x y 或.2-=x 解法二：设M （11,y x ），N （22,y x ）. 当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得
,061212)13(2
2
2
2
=-+++k x k x k ,1
3122
2
21+-=+∴k k x x
∵E （－2，0）是椭圆C 的左焦点，
∴|MN|=|ME|+|NE|
=.13)1(6262)1312(6
22)()()(2222212212++=++-?=++=+++k k k k a x x a c x c a e x c a e 以下与解法一相同.
解法三：设M （11,y x ），N （22,y x ）.
设直线2:-=ty x m ，代入③，整理得.024)3(2
2
=--+ty y t
,3
2
,342
21221+-=+=+∴t y y t t y y
.)3(24
243
8
)34(4)(||2
22222212121++=
+++=-+=-t t t t t y y y y y y
,cot 634MON ON OM ∠=
? 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠?MON
MON MON ON OM
.63
2
,634sin ||||=∴=
∠?∴?OMN S MON ON OM
=-?=+=???||||2
1
21y y OE S S S OEN
OEM OMN .)3(24
242
22++t t
∴2
22)
3(2424++t t =632
，整理得.324t t =
解得,3±=t 或.0=t
故直线m 的方程为,33233+=
x y 或,3
3
233--=x y 或.2-=x
经检验上述直线均满足.0≠?ON OM
所以所求直线方程为,33233+=
x y 或,3
3233--=x y 或.2-=x
（广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．
（Ⅰ）求AOB ?得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）AOB ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???
????+=+=33
21
21y y y x x x (1)
∵OA ⊥OB ∴1-=?OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)
又点A ，B 在抛物线上，有2
22211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x
∴3
2332)3(31]2)[(31)(31322212212
22121+=+?=-+=+=+=
x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3
2
32
+
=x y （II ）2221212222212221222221212
1))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==
? 由（I ）得
1
22
12)1(221222122166
2616261=?=+-=+?≥++=
?x x x x S AOB 当且仅当6
261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。
所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；
x
y
O
A
B
（2006年安徽卷）如图，F 为双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点。P 为双曲线C
右支上一点，且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。已知四边形OFPM 为平行四边形，PF OF λ=。
（Ⅰ）写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式；
（Ⅱ）当1λ=时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 点，若12AB =，求此时的双曲线方程。
解：∵四边形OFPM 是
，∴||||OF PM c =
=，作双曲线的右准线交PM 于H ，则2
||||2a P M P H c
=+，又
2222222
||||||2222
PF OF c c e e a a PH c a e c c c c
λλλλ=====----，220e e λ--=。 （Ⅱ）当1λ=时，2e =，2c a =，2
2
3b a =，双曲线为22
22143x y a a
-=四边形OFPM 是
菱形，所以直线OP 的斜率为3，则直线AB 的方程为3(2)y x a =-，代入到双曲线方程得：22
948600x ax a -+=， 又12AB =，由2
2
12121()4AB k
x x x x =++-得：2
24860122()499
a a =-，解得
2
94a =，则2
274b =，所以221279
4
x y -=为所求。
（2006年四川卷）已知两定点()(
)
12
2,0,2,0F F -，满足条件212PF PF -=的点P 的
轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点，如果63AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC ==，求m 的值和ABC ?的面积S ?
O F
x
y
P
M
第22题图
H
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。 解：由双曲线的定义可知，曲线E 是以()(
)
122,0,2,0F F -为焦点的双曲线的左支，
且2,1c a =
=，易知1b =
故曲线E 的方程为()2
210x
y x -=<
设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组22
1
1y kx x y =-??-=?
消去y ，得()
221220k x kx -+-= 又已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，有
()()222
12
212210
281020
1201k k k k x x k x x k ?-≠??=+->???-?+=?-?
解得21k -<<- 又∵ 2
121AB k x x =+?-()
2
2121214k x x x x =+?
+-
2
2
22
221411k k k k --??
=+?-? ?--??
()()()
2
2
2
21221k k k +-=-
依题意得 ()()()
2
2
2
2122
631k k k +-=- 整理后得 42
2855250k k -+=
∴257k =
或2
54k = 但21k -<<- ∴52
k =- 故直线AB 的方程为
5
102
x y ++=
设(),c c C x y ，由已知OA OB mOC +=，得()()()1122,,,c c x y x y mx my += ∴()1212,,c c x x y y mx my m
m ++??
=
???，()0m ≠
又1222451k x x k +==--，()212122222
22811
k y y k x x k k +=+-=-==-- ∴点458,C m m ??
- ? ???
将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得
22
8064
1m m -= 得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴4m =，C 点的坐标为()
5,2-
C 到AB
的距离为()
2
25
521
213
512?-++=??+ ???
∴ABC ?的面积11
63323
S =??=
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红)
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例 湖北省宜昌市夷陵中学 曹文红 [问题背景] 圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为),(),,(2211y x B y x A ，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。 [案例实录] 1、 创设情景，提出问题 师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。下面请大家看问题1：已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆19 362 2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程。 问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。 2、 自主探索，暴露思维 学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书： 生1：解：设直线l 与椭圆交点为),(),,(2211y x B y x A ，则有3642 121=+y x ，3642222=+y x ，
各种面积计算公式
各种面积计算公式各种面积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 椭圆的面积S＝πab的公式求椭圆的面积。a＝b时， 当长半径a＝3(厘米)，短半径b＝2(厘米)时，其面积S＝3×2×π＝6π(平方厘米)。 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah
＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)
(完整版)用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。 一、 求以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22 121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB
弦长公式.
弦长公式 弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号 证明方法如下： 假设直线为:Y=kx+b 圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2
假设相交弦为AB，点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2) 则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^ 把y1=kx1+b. y2=kx2+b分别带入, 则有： AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2 =√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2 =√1+k^2*│x1-x2│ 证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 的方法也是一样的 证明方法二 d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2 这是两点间距离公式 因为直线 y=kx+b 所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2) 将其带入 d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 得到 d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2 =√(1+k^2)(x1-x2)^2 =√(1+k^2)*√(x1-x2)^2 =√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2 公式二 抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物 抛物线 线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A ﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚ x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2
1.中点弦问题(点差法)
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问 题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题 圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是： 联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 解题策 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法( 点差法)：若设直线与圆锥曲线的交 点(弦的端点)坐标为 A(x i ，yj 、B(X 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程 相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。 (3)y 2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x o ,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p. 经典例题讲解 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程 2 2 例1、过椭圆x 匚 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线 16 4 的方程。 解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2) M (2,1)为 AB 的中点 x 1 x 2 4 y 1 y 2 2 2 2 2 2 ，消去四 如: 2 (1)笃 a 2 y b 2 1( a x o 2 阶 o 。 a b 2 2 (2)笃 y 2 1( a a b X o yo, o 2 a b 严 b 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o ),则有 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有
二次曲线中的万能弦长公式
二次曲线中的万能弦长公式 王忠全 我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。 设直线方程为：y=kx+b （特殊情况要讨论k 的存在性），二次曲线为f （x ，y ）=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax 2+by 2+c=0，（或ay 2+by+c=0），设直线和二次曲线的两交点为A （x 1，y ），B （x ，y ） 那么：x 1，x 2是方程ax +by +c=0的两个解，有 x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=a c ， ()()||k 1x x 4)(k 1))(k (1)()(||2 21221222122212212 21221a x x x x b kx b kx x x y y x x AB ? +=-+?+=-+=--++-=-+-= 同理：若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0，则|AB|= | |112a k ?+. 例、已知过点M （-3，-3）的直线m 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线m 的方程。 解析:设直线方程m:y+3=k(x+3), 即y=kx+3k-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得x 2+k 2x 2+9k 2+9+6k 2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k 2)x 2+(6k 2-2k)x+9k 2-6k-24=0,那么 032,092,2,210 232016162416808096246454196246454|1|96246024364243612122222222342342=+-=++=-==--=--+=+-=++-=++-++-+-+y x y x k k k k ，k k ，k k k ，，k k k k k k k k k k k k 或所求直线方程为得两边平方即
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
抛物线焦点弦的弦长公式
关于抛物线焦点弦的弦长公式 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点， 且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y - =)2 (π θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42 2 2 2 2 =+ +-k p k x k x p p ，且θtan =k 设A,B 两点的坐标为),(),,( 2 2 1 1 y x y x 则：k k x x p p 22 2 1 2+=+， 4 2 21p x x = ) (sin ) (2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+=+ 当2 π θ= 时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为 )0(22 >=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点， 直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：设A,B 的坐标为),(),,(2 211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2 ,0(p ，故AB 的方程为kx p y =- 2 ，将其代入抛物线的方程整理得： ,022 2 =- -p x pkx 从而p x x x x pk 2 2121,2- ==+， 弦长为：) (cos )(2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+ =+ p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。 而 px y 22 -=与（1）的结果一样，py x 22 -=与（2）的结果一样，但是（1）与（2） 的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下： （3）已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题 一：圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； ②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； ③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。 注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！ 1、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 例4、已知椭圆125 752 2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为 2 1，求椭圆的方程。 ∴所求椭圆的方程是125 752 2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆13 42 2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 五、注意的问题 （1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解 例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+ ，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .
点差法求椭圆中点弦
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 本文用这种方法作一些解题的探索。 一、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题 【定理1】 在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N 两点的坐标分别为、，则有，得又 【定理2】 在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又 【定理3】 在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN 的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又、、注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在、 一、椭圆 1、过椭圆＋＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于 A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程． 【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x
1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝、∵P为弦AB的中点，∴2＝＝、解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0、 法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB 的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2、又∵ A、B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝ 16、两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0、∴＝＝－，即kAB＝－、∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0、 2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程． 【解答】 解：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．∵P为弦AB 的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为： x+y=0．（﹣＜x＜）∴点P的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x＜）； 3、（xx秋?启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ． 【解答】 解：设椭圆=1（a＞b＞0），则a2﹣b2=50①又设直线3x﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点 （x0，y0）∵x0=，∴代入直线方程得y0=﹣2=﹣，由，得，∴AB
弦长公式
弦长公式 若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长2 212 21) () (y y x x AB -+-= 2 212 21)] ([)(b kx b kx x x +-++-= 212 1x x k -+= 212 2124) (1x x x x k -++= 同理： |AB|=122 12122 4)(| |11y y y y y y k -+-+ 特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=? P48第7题 例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14 :2 2 =- y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由? ????=-+=141 22 y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有??????? - ==+35322121x x x x 得， 23 83 209 42 4) (1212 212 = + = -++= x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为 12 2 2 =+y x 与直线方程2 1:+ =x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的 弦长 练习2：设抛物线x y 42 =截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值 分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （
联立方程??????? =++=12 2122y x x y 得03462 =-+x x 则??? ???? - =-=+21322121x x x x 3 112)2 1(4) 3 2(24) (12 212 212 = - ?-- = -++= ∴x x x x k AB 解: 设),(),,2211y x B y x A （ 联立方程:???+==m x y x y 242 得0)44(42 2 =+-+m x m x 则?? ? ??= -=+4122121m x x m x x 53) 1(54) (12 2 212 212 =--= -++= m m x x x x k AB 4-=∴m 例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长 AB 分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-且AB 的中点在已知直线上 解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=?∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k 设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （ 联立方程?? ?+-=+=3 2 x y b x y 化简得032 =-++b x x 121-=+∴x x AB ∴中点)2 1,21(b M +-- 在直线0=+y x 上 1=∴b 022 =-+∴x x 则 ?? ?-=-=+2 12121x x x x 23 8) 1(24) (12 212 212 =+-= -++=∴x x x x k AB 小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解 过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式 作业： （1） 过抛物线2 4y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且 316= AB ， 求α的值
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题 点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。 【定理1】在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-， 得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22a b x y k MN -=?∴ 【定理2】在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是 弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN =?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 222222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02 2 2 2 122 22 1=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++?--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .2 2 00a b x y k MN =?∴ 【定理3】 在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k M N =?0.
高中数学解题方法系列：解析几何中的点差法解中点弦问题
高中数学解题方法系列：点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、) ,(22y x B )1,2(M 为AB 的中点∴4 21=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，16 42222=+y x 两式相减得0 )(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、) ,(22y x B 则221=+x x ，221=+y y
解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用教案资料
“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。 定理 在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有?????==)2(.2)1(,2222121ΛΛΛΛmx y mx y )2()1(-，得).(2212 221x x m y y -=- .2)(121 212m y y x x y y =+?--∴ 又01212122,y y y x x y y k MN =+--= Θ. m y k MN =?∴0. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN =?01 . 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零. 例1．抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） A. 12-=x y B. )1(22-=x y C. 2 12-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =?得： 21=?-y x y ， 整理得：)1(22-=x y .
36种和弦计算公式
36种和弦计算公式。原来这么简单！ 和弦计算公式，大三、挂四、九、十一、十三和弦光这几个我们歆然教育的学生就老记不住，所以作为歆然教育的老师我在这里总结一个和弦从大三到十三和弦的36种变化特点，总结成计算式，让同学们可以像做计算题一样算和弦。再也不用担心乐理了。（附带配和弦、音阶等） 序号和弦标记和弦名称和弦内音和弦公式 1 C 大三和弦 135 大三度+小三度 2 Cm 小三和弦 1b35 小三度+大三度 3 C-5 大三减五和弦 13b5 大三度+增二度 4 C+5,C+,Cang 增和弦 13# 5 大三度+大三度 5 Cdim,C-,C°减和弦 1b3b5 6 小三度+小三度+小三度 6 Csus4,Csus 挂四和弦 145 纯四度+大二度 7 C6 大六和弦 1356 大三和弦+大二度 8 Cm6 小六和弦 1b356 小三和弦+大二度
9 C7 七和弦 135b7 大三和弦+小三度 10 Cmaj7,CM7 大七和弦 1357 大三和弦+大二度 11 Cm7 小七和弦 1b35b7 小三和弦+小三度 12 Cm#7 小升七和弦 1b357 小三和弦+大二度 13 C7+5,C7#5 七增五和弦 13#5b7 增和弦+大二度 14 C7-5,C7b5 七减五和弦 13b5b7 大三减五和弦+大三度 15 Cm7-5 ,Cm7b5 小七减五和弦 1b3b5b7 减三和弦+大三度 16 C7sus4 七挂四和弦 135b74 七和弦+纯四度 17 C7/6 七六和弦 135b76 七和弦+大六度 18 Cm79 大七九和弦 13572 大七和弦+小三度 19 Cmaj9,CM9 大九和弦 13572 大七和弦+小三度 20 C9 九和弦 135b72 七和弦+大三度 21 C9+5 九增五和弦 13#5b72 七增五和弦+大三度 22 C9-5 九减五和弦 13b5b72 七减五和弦+大三度 23 Cm9 小九和弦 1b35b72 小七和弦+大三度 24 C7+9 七增九和弦 135b7#2 七和弦+纯四度 25 Cm9#7 小九增七和弦 1b3572 小升七和弦+小三度
高中数学：四大类弦长公式
高中数学中的四大类弦长公式 一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式 1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()2 21221y y x x AB -+-= 2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则 a k x x k AB ? +=-+=2 21211（?,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） a k y y k AB ?+=-+ =22121111（?,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式） 注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理） 二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式 1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()22 2 :r b y a x M =-+-相交于B A ,，则 2 2 2d r AB -=（其中2 2 B A C Bb Aa d +++= 为圆心),(b a M 到直线l 的距离） 注：此公式证明需用垂径定理 2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长, BF AF AB += ①α 2 21sin 2p x x p AB = ++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）
②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式. 3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB += ①过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=. ②过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=. ③过椭圆)0(122 22>>=+b a b x a y 的左焦点)0(1c F -， 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=. ④过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=. 注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式. 三、直线标准参数方程下的弦长公式 过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程 ? ? ?+=+=αα sin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .
弦长公式例题
弦长公式 若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长2 21221)()(y y x x AB -+-= 2 21221)()(kx kx x x -+-= 212 1x x k -+= 212 212 4)(1x x x x k -++= 例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14 :2 2=- y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由?? ???=-+=14122 y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有???????-==+35322121x x x x 得， 23 83 209 42 4)(1212 212 = + = -++= x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为 12 2 2 =+y x 与直线方程2 1:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的 弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （ 联立方程??????? =++=12 2122y x x y 得03462 =-+x x 则??? ????- =-=+21322121x x x x 3 112)2 1(4)3 2(24)(12 212 212 = - ?-- = -++= ∴x x x x k AB 练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值 分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解: 设),(),,2211y x B y x A （ 联立方程:???+==m x y x y 242得0)44(42 2=+-+m x m x