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空间中直线与直线的位置关系

空间中直线与直线之间的位置关系

[新知初探]

1．异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．

(2)异面直线的画法：

2．空间两条直线的位置关系

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点

[点睛](1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面

直线既不相交，也不平行．

(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4)

(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．

a∥b b∥c?a∥c.

(2)符号表述：}

4．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

5．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.

(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.

[点睛](1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．

(2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系

中得到了广泛的应用．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行()

(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行()

(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()

(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()

答案：(1)×(2)√(3)×(4)×

2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()

A．共面B．平行

C．异面D．平行或异面

解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()

A．30°B．30°或150°

C．150°D．以上结论都不对

解析：选B由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°.

两直线位置关系的判定

[典例]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．

[解析](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.

(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．

(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.

(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．

[答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面

(1)判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．

(2)判定两条直线是异面直线的方法

①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．

②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A?α，B∈α，l?α，B?l?AB与l是异面直线(如图)．

[活学活用]

1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF() A．平行B．异面

C．相交D．以上均有可能

解析：选B假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE?α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.

2．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()

A．相交B．异面

C．平行D．异面或相交

解析：选D由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．

平行公理与等角定理的应用

[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD

和A1D1的中点．

(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.

[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，

∴A1M1綊AM，

∴四边形AMM1A1是平行四边形，

∴A1A綊M1M.

又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.

由平面几何知识可知，

∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；

②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，这是两种情况都有可能．

[活学活用]

如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．

求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；

(2)∠DNM＝∠D1A1C1.

证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中，

∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，

∴MN∥AC，MN＝1

2AC.

由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.

∴MN∥A1C1，且MN＝1

2A1C1，

即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．

(2)由(1)可知MN∥A1C1.

又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．

而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1.

异面直线所成角

[典例] 11111111的中点，求异面直线

DB1与EF所成角的大小．

[解] 法一：如图1所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，

则OG∥B1D，EF∥A1C1，

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，

∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

图1

法二：如图2所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，

则HE綊1

2DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．

连接HF，设AA1＝1，

则EF＝

2，HE＝

2，

取A1D1的中点I，连接HI，IF，

则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝5 4，

∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

图2

法三：如图3，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN. ∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，

∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.

连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，

∴四边形DMB1N为平行四边形，

∴MN与DB1必相交，设交点为P，

则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．

设AA1＝k(k>0)，则MP＝

2k，DM＝

2k，DP＝

2k，

∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

法四：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．

设AA1＝k(k>0)，

则B1D＝3k，DQ＝5k，B1Q＝2k，

∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

求两异面直线所成的角的三个步骤

(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；

(2)证：证明作出的角就是要求的角；

(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．

可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.

[活学活用]如图所示，点A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E，

F分别是AB，CD的中点，当EF＝

2AD时，求异面直线AD和BC所成的角．

解：如图所示，设G为AC的中点，连接EG，FG. ∵E，F，G分别为AB，CD，AC的中点．

∴EG∥BC，且EG＝1

2BC；

FG∥AD，且FG＝1

2AD.

又AD＝BC，∴EG＝FG＝1

2AD.

∴EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角．

在△EFG中，∵EG＝FG＝1

2AD，又EF＝

2AD，

∴EG2＋FG2＝EF2，即EG⊥FG.

∴∠EGF＝90°.故AD与BC所成角为90°.

层级一学业水平达标

1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()

A．一定平行B．一定相交

C．一定是异面直线D．一定垂直

解析：选D因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.

2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()

A．相交B．异面

C．相交或异面D．平行

解析：选C如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线

B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与

A1D1相交，与BC异面．

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面

C．平行D．垂直

解析：选C如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，

CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF

∥GH，故选C.

4．已知直线a，b，c，下列三个命题：

①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；

②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；

③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.

其中，正确命题的个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选A①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③

不正确．可能平行，可能相交也可能异面．

5．异面直线a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系

是()

A．c与a，b都相交

B．c与a，b都不相交

C．c至多与a，b中的一条相交

D．c至少与a，b中的一条相交

解析：选D若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.

又c与b都在β内，∴b∥c.

由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．

如图，只有以下三种情况．

6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．

解析：连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1

所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，

∴∠CAD1＝60°，

即AC与BC1所成的角为60°.

答案：60°

7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．

解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．

答案：③

8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．

解析：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME

为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．

设正方体的棱长为a，则A1M＝3

2a，ME＝

4a，A1E＝

4a，

所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°. 答案：90°

9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点．

求证：四边形B1EDF是平行四边形．

证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.

∵E是AA1的中点，

∴EQ綊A1D1.

又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，

∴EQ綊B1C1(平行公理)．

∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.

又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.

∴四边形QDFC1为平行四边形．

∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.

∴四边形B1EDF为平行四边形．

10.如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F

分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．

解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.

∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，

∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝1

2CD，GF＝

2AB.

∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.

∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.

∴∠EGF＝90°.

∴△EFG为等腰直角三角形．

∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.

层级二应试能力达标

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()

A．相交B．异面

C．平行D．垂直

解析：选A如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意

可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是

线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选

2．在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，

则四边形EFGH 是( )

A ．菱形

B ．矩形

C ．梯形

D ．正方形

解析：选B 如图，在△ABD 中，点H ，E 分别为边AD ，AB 的中点，所以HE 綊12BD ，同理GF 綊1

2BD ，所以HE 綊GF ，所以四边形EFGH 为平

行四边形．又AC ⊥BD ，所以HG ⊥HE ，所以四边形EFGH 是矩形，故选B.

3．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成的角的大小是( ) A ．60° B ．75° C ．90°

D ．105°

解析：选C 设BB 1＝1，如图，延长CC 1至C 2，使C 1C 2＝CC 1＝1，连接B 1C 2，则B 1C 2∥BC 1，所以∠AB 1C 2为AB 1与BC 1所成的角(或其补角)．连接

AC 2，因为AB 1＝3，B 1C 2＝3，AC 2＝6，所以AC 22＝AB 21＋B 1C 22，则∠AB 1C 2

＝90°.

4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )

A ．0°<θ<60°

B ．0°≤θ<60°

C ．0°≤θ≤60°

D ．0°<θ≤60°

解析：选D 如图，连接CD 1，AC ，因为CD 1∥BA 1，所以CP 与BA 1所成的角就是CP 与CD 1所成的角，即θ＝∠D 1CP .当点P 从D 1向A 运动时，∠D 1CP 从0°增大到60°，但当点P 与D 1重合时，CP ∥BA 1，与CP 与BA 1为异面直线矛盾，所以异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.

5.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是棱BC ，CC 1

的中点，则异面直线EF 与B 1D 1所成的角为__________．

解析：连接BC 1，AD 1，AB 1，则EF 为△BCC 1的中位线， ∴EF ∥BC 1.

又∵AB 綊CD 綊C 1D 1，

∴四边形ABC 1D 1为平行四边形． ∴BC 1∥AD 1.∴EF ∥AD 1.

∴∠AD 1B 1为异面直线EF 和B 1D 1所成的角或其补角．在△AB 1D 1中，易知AB 1＝B 1D 1＝AD 1，

∴△AB 1D 1为正三角形，∴∠AD 1B 1＝60°. ∴EF 与B 1D 1所成的角为60°. 答案：60°

6.如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 等于________．

解析：取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝1

2AC ＝4，

PM ＝1

BD ＝3，∴MN ＝5.

答案：5

7．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值．

解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC -A 1B 1D 1C 1，连接BD 1，A 1D 1，AD ，由四棱柱的性质知BD 1∥AC 1，则∠A 1BD 1就是异面直线A 1B 与AC 1所成的角．设AB ＝a ，

∵AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，且AB ＝AC ＝AA 1， ∴A 1B ＝a ，BD 1＝AC 1＝2AA 1·cos 30°＝3a . 又∠BAC ＝90°，∴在矩形ABCD 中，AD ＝2a ， ∴A 1D 1＝2a ，

∴A 1D 21＋A 1B 2＝BD 21，∴∠BA 1D 1

＝90°， ∴在Rt △BA 1D 1中，cos ∠A 1BD 1＝

A 1

B BD 1＝a 3a ＝3

8.正三棱锥S -ABC 的侧棱长与底面边长都为a ，E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求直线EF 和SA 所成的角．

解：如图，取SB 的中点G ，连接EG ，GF ，SF ，CF . 在△SAB 中，F ，G 分别是AB ，SB 的中点， ∴FG ∥SA ，且FG ＝1

SA .

于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线EF 与FG 所成的角．在△SAB 中，SA ＝SB ＝a ，AF ＝FB ＝12

a ，

∴SF⊥AB，且SF＝

3 2a.

同理可得CF⊥AB，且CF＝

3 2a.

在△SFC中，SF＝CF＝

2a，SE＝EC，

∴FE⊥SC且FE＝SF2－SE2＝

2 2a.

在△SAB中，FG是中位线，∴FG＝1

2SA＝

在△SBC中，GE是中位线，∴GE＝1

2BC＝

在△EGF中，FG2＋GE2＝a2

2＝FE

2，

∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形，

∴∠EFG＝45°.∴异面直线SA与EF所成的角为45°.