计算方法课后习题答案
习 题 一
3.已知函数y x
=
在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函
数求7的近似值，并估计其误差。 解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x x y y y =
======由题意知：
（1） 采用Lagrange 插值多项式2
20
()()j j j y x L x l x y ==
≈=
∑
27020112012
0102101220217()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)
(74)(79)(74)(7 6.25)
2 2.53
2.255
2.25 2.75
2.755
2.6484848
x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++
------------=
?+
?+??-??=
其误差为
(3)
25(3)
2
5(3)
2
[4,9]
2()
(7)(74)(7 6.25)(79)
3!3()83m ax |()|4
0.01172
8
1|(7)|(4.5)(0.01172)0.00879
6
f
R f
x x
f
x R ξ-
-
=---=
=
<∴<
=又则
（2）采用Newton 插值多项式2()y x N x =≈
根据题意作差商表：
i
i x
()
i f x
一阶差商
二阶差商
0 4 2
1 6.25 2.5 29
2
9
3
211
4
495
-
22
4
(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489
495
N =+?-+-?-?-≈
4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的
Lagrange 插值多项式。
注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)k f x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有
()0
0(),0,1,...,n
n
n
k
k k
i j
j j j j i j i
i j
x x x l x x x k n x x ===≠-=
≡=-∑
∑
∏
特别地，当0k =时，有
()0
00
1n
n
n
i j j j i j i
i j
x x l x x x ===≠-=
≡-∑
∑∏
而当1k =时有
()0
00n
n
n i
j j j j j i j i
i j
x x x l x x x x x ===≠??
- ?=≡ ?- ???
∑
∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和N ew ton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
解：
（1） Lagrange 插值多项式
3
30
()()j j j L x l x y ==
∑
3
0,()j i
i i j i j
x x l x x x =≠-=
-∏
3120010203124()010204x x x x x x x x x l x x x x x x x ------=
?
?
=
?
?
------=32
7148
8
x x x -+--
0321101213024()10
1214x x x x x x x x x l x x x x x x x ------=
??=??------=
3
2
683
x x x
-+
031220
21
23
014()20
21
24
x x x x x x x x x l x x x x x x x ------=
??=
??------=3
2
544
x x x
-+-
x 0 1
2 4 ()f x
1 9
23
3
012330
31
32
012()40
41
42
x x x x x x x x x l x x x x x x x ------=
?
?
=
?
?
------=
32
3224
x x x
-+
()()()()()()()()()()
()()()
()()()()()()()()()
()()()
()()()()()
32
2
2
2
3
2
12402419010204101214014012233
2021244041421231324368543284
8
11
4511
4
4
2
x x x x x x L x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=
?+?+
------------?+?------=--+-+-+-
-++
-+=-
+
-
+
（2） Newton 插值多项式 k
k x
()k f x
一阶差商
二阶差商
三阶差商
0 0 1 1 1 9 8 2 2 23 14 3
3
4
3
-10
8-
11
4
-
3001001201()()(,)()(,,)()()N x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--
0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +---
1118(0)3(0)(1)(0)(1)(2)4x x x x x x =+-+------
3
2
11451144
2
x x x =-
+
-
+
由求解结果可知：33()()L x N x = 说明插值问题的解存在且唯一。
7. 设()4f x x =，试利用Lagrange 余项定理给出()f x 以1,0,1,2-为节点的插值多
项式()3L x 。
解：由Lagrange 余项定理 (1)
1()
()()()()(1)!
n n n n f
R x f x L x x n ξω++=-=
+ [,]
a b
ξ∈ 可知：当3n =时，(1)
(4)
()()
4!n x f
f x ξ
ξ+===
301234!()()()()()()(31)!
L x f x x x x x x x x x =-
----+
4
(1)(0)(1)(2)x x x x x =-+---
32
22x x x =+-
8.设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证 2
1m a x ()
()
m a x
()
8
a x b
a x b
f x b a
f x ≤≤≤
≤
''≤- 证明：以,a b 为节点进行线性插值，得 ()()
()
x b x a L x f a f b a b
b a --=
+--
1 由于()()0f a f b ==,故1()0L x =。于是由
''
1()()()()(),2!
f f x L x x a x b ξ-=
-- a b ξ<<
有''()()()()2
f f x x a x b ξ=--，
令()()() [,]t x x a x b x a b =--∈
()2()
()2
t x x a b a b x t
x '=-
+
=+=∴时有极大值
2
1m ax
()=
m ax ()m ax ()()
21m ax ()(
)(
)22
2
1 =
()m ax ()
8
a x b
a x b
a x b
a x b
a x b
f x f x x a x b a b a b f x a b b a f x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤''?--++''=
?--''-∴
13．设节点()0,1,,i x i n = 与点a 互异，试对()1f x a x
=
-证明
()010
1,,,,0,1,,k
k i i
f x x x k n a x ==
=-∏
并给出()f x 的N ew ton 插值多项式。
解 依差商的定义
00
1()f x a x =
-，
100110
101
10()()
1
1
11
(,)(
)()()
f x f x f x x x x x x a x a x a x a x -=
=
-
=
------
一般地，设
010
1
1
(,,,)()()
k
k k
i i
i
i f x x x a x a x ==???=
=
--∏∏
则
121
01011
10
1
1
10
11
0101
(,,,)(,,,)(,,,)111()
1
1
111k k k k k k
i i k i i
k
i i k k k i i
f x x x f x x x f x x x x x x x a x a x a x x x a x a x a x ++++==+=+++=???-??????=-=
----??
=
- ?
----??
=
-∏
∏
∏
∏
故()1f x a x
=
-的N ew ton 插值多项式为
0010010110
0110
01011
00
()()(,)()(,,,)()()()()()()1()()
()()()
1n n n n n k n
i k i k
i N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x a x a x a x a x a x a x x x a x a x ---===+-+???+???--???----???-=
+
+???+
-----???-??
-=
?--??
∑∏
16 . 求作满足条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2
H H H H ''==
==的插值多项式
()P x 。
解法1：根据三次Hermite 插值多项式：
2
2
0011301
01
01
10
10
2
2
0100
1101
10
()(12
)()(12
)(
)()(
)()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''
+-+---
并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2
H H H H ''====，得
22
22
33
1()(12)(1)2(32)(1)2(1)2
111
22
H x x x x x x x x x
x x =+-+-+-+-=+
+
解法2：由于010,1x x ==，故可直接由书中（3.9）式，得
()()()()()()()()()
()'
'
300110011
2
2
22
3
112112321122
111
22
H x A x y A x y B x y B x y x x x x x x x
x x x =+++=-+?+-+?+-?
+-?=+
+
18．
求作满足条件()()()()333301,12,29,13H H H H '====的插值多项式
()3H x ，并估计其误差。
解法1：由已知条件
x
0 1 2 y
1 2 9 y '
3
用基函数方法构造()3x H 。令
()()()()()300112211x A x y A x y A x y B x y H '=+++
其中，()()()()0121,,,A x A x A x B x 均为三次多项式，且满足条件
0000A A A A A A A A A B B B B A A A 111111112222(0) =1 (1)=(1)=(2)=0'(1) =1 (0)=(1)=(2)=0'(1) =1 (0)= (1)=(2)=0
'(2) =1 (0)=(1) =(1) =0
'
依条件可设()()()2
012x C x x A =--，由 ()00=1,A 可得：
()()()2
011C = -,
1222
x x x A =-
--
同理，()()()()()()()
2
12112,1,122
x x x x x x x x x x A A B =--=
-=---
()()()()()()2
31121221232
x x x x x x x x H =-
--?--?---?∴
()2
1192
x x +-?3
1x =+
误差为：()()()()
()
()
()42
33124!
f
x f x H x x x x R ξ=-=
--
解法2：用承袭性构造()3x H
由条件()()()33301,12,29H H H ===先构造一个二次多项式2()N x 作差商表：
i
i x ()i P x
一阶差商
二阶差商
0 0 1 1 1 2 1 2
2
9
7
3
于是有：22()11(0)3(0)(1)321N x x x x x x =+?-+--=-+ 令所求插值多项式()32012()()()()x N x c x x x x x x H =+--- 利用剩下的一个插值条件()313H '=，得 ()2
1101231()()()N x c x x x x f x ''+--= 由此解出 ()()()
31211012()34
1()()
1012f x N x c x x x x ''--=
=
=----
故有3
2()()(1)(2)1P x N x x x x x =+--=+
19．
求作满足条件()()()()()()()()33000,1,1,2k
k
i i H x f x i H x f x k ====的
插值多项式()P x 。并给出插值余项。 解：令
()()()()()()()()()
32
020000
3
202
f x H x f
x f x x x x x H x H x c x x '''=+-+
-=+-
利用插值条件()()311H x f x =定出 ： ()()
()
123
0f x H x c x x -=
-
注意到这里0x 是三重零点，1x 是单零点，故插值余项为
()()()
()
()()43
3014!
f
f x H x x x x x ξ-=
--
20．求作次数4≤的多项式()P x ，使满足条件
()()()()()01,10,
02,110,140
P P P P P =-=''''=-==
并列出插值余项。
解法1：由于在0x =处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在
1x =处有直到二阶导数值的插值条件所以1x =是“三重节点”。因此利用重节点的差商公
式：
()()
()
11
11,,...,1
,,...,,
,...,,
!
k k k x
x x x
k f
x f x x x f
x x x x k --→??= ?
?
?
＋＝l i m
可以作出差商表
i x
()i f x
一阶 二阶 三阶 四阶 0 0 1 1 1 －1 －1 0 0 0 －2 1 10 10 3 9 20
6 11
5
根据Newton 插值多项式，有
()()()()()()()()()()2
00000
010222
0011010011101,,,,,,(),,,,()
P x f
x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x x x x x =+-+-+--+-- ()2
22
2
1236(1)5(1),
P x x x x x x
x ?=-
-++-+- 且插值余项为
()()()
()()3
52115!f x P x f
x x ξ-=
-
第二章答案
1.
计算下列函数()f x 关于[]0,1C 的1
2
,,f
f
f
∞
：
注：()m ax ,
a x b
f
f
x ∞
≤≤=()1
b a
f
f x dx =
?
，()()
12
2
2
b a
f
f
x dx
=
?
()()()
()()()()()
()()()
3
10
11122
31,41n
m
x
f x x f x x f x x
x m n f x x e
-=-=-
=-=+与为正整数
解：（1）()()
3
1-=x x f
()()()
11m a x m a x 3
=-==∞
x x f x f
113
1
1()(1)7
f
f x dx x dx =
=
-=
?
?
()()
1
1112
2
2
6
2
7()(1)7
f
f x dx
x dx
=
=
-=
?
?
（2）()12
f x x =-
(
)
()
11m ax m ax 2
2
f x f
x x ∞
==-
=
1
11
211
2
1
1
2
221
22
01111()()()2
2
2
4
13[()]()26b a f
x dx x dx x dx f
f x dx x dx =
-
=
-+
-
=
????==-=
? ?????
?
?
???
3..(){}
i i x ?∞=是区间[]0,1上带权()x x ρ=的最高次项系数为1的正交多项式族，其中
()01x ?=，求()()1
30
x x dx x ???1和。
解法一：11
3300
()()()()x x dx x x x dx ?ρ??=??
{}01
1
3030
()[0,1]()1()()()0()0
i i x x x x x x dx x x dx ?ρρ???∞
==∴==?? 是区间上带权的最高次项系数为的正交多项式，即
0()1x ?=由于12
00
10
1000
(,())2()()((),())
3
x dx
x x x x x x x x x xdx
??????=-
=-
=-??
解法二：设()x x c ?=+1，则由
()10
1203
2
3
c x x c dx c +=
+
=?=-
?
4.求,a b ，使积分()2
20
sin ax b x dx π
+-?取得最小值。 解：题意即为在{}1,span x Φ=中求()s i n f
x x =的最佳平方逼近多项式
()101P x a a x =+，故01,a a 满足法方程
00001101001111((),())((),())(,())
((),())((),())(,())
x x a x x a y x x x a x x a y x ??????????+=??
+=? 2
0123
01
128
:1
8
24a a a a ππ
ππ?+
=????+=??积分可得 02138240.6644389,0.1147707.9624a b a b a a ππ
ππ-?
==???≈≈?
-?==
??
或者按下述方法：
因为()b b a ab
a dx x
b ax 24
2
24241
sin 2
2
3
220
2
-+
+
-+
=
-+?πππ
π
π
上式分别对,a b 求偏导，并令其为零，有
24
1212
3
=-+
=??π
π
b a a
024
12=-+=??ππb a b
从而也有
3
2496π
π
-=
a ，2
24
8π
π-=b
5.对()()[]1
,,f x g x C
a b ∈，定义
()()()()()()()()()()
1,2,b a b
a
f g f x g x dx
f g f x g x dx f a g a ''=
''=+?
?
问它们是否构成内积？
（1）
()()()()12122
,,,,,)(,)(,)
())0
f g g f cf g c f g c f f g f g f g f f f f f f f f x dx +=+≥'=?b
a 显然有=,=,是常数（但不满足“当且仅当=0时（,)=0,(,)0"
这是因为（,)=(
推出()0f x '=,即f 为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。
（2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条
()2
'
2
(,)()b a
f f f x dx f a ??=
+??
?
若()0f x =，则必有(),0f f =反之，若(),0f f =，则()0f x '=且()20f a =，由此可推得()0f x =, 即内积公理第四条满足，故（2）构成内积。
8.判断函数211,,3
x x -
在[]1,1-上两两正交，并求一个三次多项式，使其在[]1,1-上与
上述函数两两正交。 解：
（1）()0,11
1==?-dx
x x ，03131,11
122
=???
?
?-=??? ??
-?-dx x x ，
03131,1
122
=???
?
?-=
??? ?
?-?-dx x x x x ，()211,11
1==?-dx
()3
2,1
1
2
==?-dx x
x x ，
45
83131,312
1
1222=???
?
?-=
??? ??--?-dx x x x
所以，2
11,,3
x x -
在
]1,1-上两两正交。
（2）设所求多项式为()x 3?
()()()
()()()
()()()
()
x x x dx x dx x x x dx x dx x dx dx x x x x
x x
x x
x x 53313131,,,,,,32112
2
1
12
31121
1
4
111
13
32
222
3
1
111
3
000
3
3
3-=??? ??-??
? ?
?-??? ??----=---
=??????------?????????????
2. 用最小二乘法求一个形如2
y a bx =+的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估
计平方误差。
k x 19 25 31 38 44 k y
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
解：
()()()
()
()
()
()()()()02
01010
0111101,1,1,1,1,1361,625,961,1444,193619.0,32.3,49.0,73.3,97.8,11111111115
,13611625196111444119365327,7277699,369321.5,271.4
55327271.45327T
T
T
x x x y y y a b ?????
???????======?+?+?+?+?==?+?+?+?+?====+=2
0.972529
7277699369321.50.05003510.9725290.0500351a a b b y x
=?????
+==??∴=+公式是 将x =19,25,31,38,44分别代入20.970.05y x =+，得
**
*
*
*
01
234
19.02,32.22,
49.02,
73.17,97.77.
y y y y y ===== 所以误差()4
2
*0.025k y y =-=∑
12.求函数()f x 在给定区间上对于{}1,span x Φ=的最佳平方逼近多项式：
()()[]()()[]1a r c t a n ,0,1;
3,0,1;
f x x f x x ==
()()[]()()[]2c o s ,0,1;4,1,1.
x
f x x f x e π==
-
解：设()()x x x ==10,1??
()()()
()()()
11110010110000,,,,,,??????????y a a y a a =+=+
（1）()[]arctan ,0,1f x x =
()()()()()11
1
20001110001
10100
,1,,1/2,,1/3
11,ln 2,,42
4
2
dx xdx x dx y arctgxdx y xarctgxdx ??????ππ??========
-=
=
-
?????
010
01111ln 22ln 232422111363ln 22
342232ln 23(63ln 2)22
a a a a a a y x
ππππππ
??
+=-=--+????
???+=-=-+???=--++-+
(2) ()[]cos ,0,1f x x π=
()()()
()()()
11110010110000,,,,,,??????????y a a y a a =+=+
()()()()()1112
0001110
1
1
012
00,1,,1/2,,1/3
2
,cos 0,,cos dx xdx x dx y xdx y x xdx ???????π?ππ
=
==
==
=====-?
?
?
??
010********
1012241224
2,1122
3a a a a y x a a πππππ?+=??==-?=-?
?+=-
?。 ()()[]3,0,1f x x =
()()()()()111
20001110001
1010
,1,,1/2,,1/322,,,3
5
dx xdx x dx y x dx y x x dx ????????========
=
=
?????
0101
01124444
23,1121551552
35a a a a y x a a ?+=??==?=+??+=
? ()()[]4,1,1x f x e =- ()()()()()111
20001111111
11
1
0111
,2,,0,,2/3
,,,2x
x dx xdx x dx y e
dx e e y xe dx e
????????-------========-=
=?????
111
0011
1233,22223
a e e e e e e a a y x a e e e ----?=---?
?==?=+?=??。
13.()[]1,1f x x =-,在上求关于{}241,,span x x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：Legendre 是[-1，1]上的正交多项式 取2
42
2411()(31),()(35303)
2
8
()1,0
p x x p x x x p x =
-=
-+=
2((),())(0,2,4)
21
k k p x p x k k =
=+
01
01
(,())()1f p x x dx xdx -=
-+
=?
?
012
2
210
014
2
4
2
41
111(,())(31)(31)22
4
111(,())(35303)(35303)8
8
24
f p x x x dx x x dx f p x x x xdx x x xdx --=--+
-=
=
-
-++-+=-
??
?
?
00221155(,()),(,())2
2
2
8
a f p x a f p x ==
==
，4493(,())2
16
a f p x =
=-
002244()()()()x a p x a p x a p x =++*
4所以p =4
2
0.8203125 1.6406250.2578125x x =-++
16.求()[]ln 1,2f x x =在上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。
解：设 ()()[]()()()()2
*0
1002
1
1112
1
12213131,ln ln ,1,12
2
2
2
2
2,
31ln 1
1
1
31
22,ln cos 1.1551922131ln 2
2
2
31
22,cos ln cos 22
1n
k k k x t t f
x x t t t p
t C T t t C T f dt d t
x t C T f dt t
π
?θθπππ
θθ
π
π
π
=--+-??
=+
=
+
==+
=∈-
???
=??+ ???
??
=
=
=
+=- ???
-??+ ?
??
??
=
=
=
?+ ???
-∑??
?
则0
1.520575d π
θ=?
()()()()()2
1222
1
*
2
2
3*
33121ln 2
2
2
31
22,cos 2ln cos 0.4620422
1-1.15519+1.5205750.462042-10.92408 1.5205750.6931531
ln 0.00002055
22
t
t C T f dt d t
p t x x x x t p t π
θθ
θπ
π
π
-∞
??-+ ?
??
??
=
=
=
?+=- ???
-=-=-+-??+
-≈ ???
?
?
所以其误差为
第三章习题答案
1. 分别用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分1
,0.5
I x dx =?并估计误差。
解：1）用梯形公式有：
()()1
10.512[10.5]10.426780.5
2
42x dx f f ??-≈
+=
+≈ ? ???
? ()()
()3
333
3322
0.51 2.6042107.36571012
124T
b a E
f f ηηη-----??''=-
=--=?≤? ???
事实上， ()()()()()()10.5
1
0.5
,0.4309644
10.50.510.4267767
2
10.50.510.0041877
2
T
f x x I x dx I f f E
f x dx f f =
=
=-≈+=????-∴=
-
+=?????
?
2）Simpson 公式
()1
10.53112141230.430930.5642122x dx f f f ??-??
????≈++=++= ? ? ??? ?????????? [
]()()4
4744
211
111522 1.183771018021802
8
S
b a b a E
f f ηη--??
--
???--??=-=--
≤? ? ? ????? ???
()
3
12
2()''()48
T
f f b a
E
h =
--
事实上，()()()1
0.5
10.50.510.5410.000030462S
E
f x dx f f f -?+???
=-
++= ???????
? 3）由Cotes 公式有： ()()()1
11
53
7
2
70.5321232710.5
90
848
1 4.9497525.2982210.3923029.9332670.43096
180
x dx f f f f f -????????
≈
++++ ? ? ??
????????
?=
++++=?
1157(7
32
12
7)
180
288
+++
()
6
1162
11294522 2.697410945464C
E
f η--??? ?
??=-?-≤? ? ???
???
()
7
(6)
945*4
2()()8
2C
f b a
E f
h =
--
事实上，()0.0000003C
E
f =
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson 计算下列积分. (1)2
1
,804x
dx n x
=+?
解：（1）用复化梯形公式有：
1018
8
b a h n
--=
==，
()()[]12
34
56
7212888888
8102(0.0311280.0615380.0905660.117650.142350.164380.18361)0.20.1114
16
n h T f a f f f f f f f f ????
??????????????=++++++++?? ? ? ? ? ? ? ? ????????????????
???
=+?+++++++=由复化Simpson 公式有：
()()()()811123135702()146444488881020.0615380.117650.1643840.0311280.0905660.412350.183510.224
0.11157
S f f f f f f f f f ??
????????????????=?+?+++++++??
? ? ? ? ? ? ? ?????????
??????????=+?+++?++++????
=5．给定积分20
sin I xdx π
=
?
。
（1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过3
1
10;2
-?
（2） 取同样的求积节点，改用复化Simpson 公式计算时，截断误差是多少？ （3） 如果要求截断误差不超过610-，那么使用复化Simpson 公式计算时，应将积分
区间分成多少等分？
解：(1)
3
3''
''
2
2
()()()()1296n T
b a E f f f n
n
π
ηη-=-
=-
()f x =sin x ,'
''()cos ,()sin f x x f x x ==-∴33
2
2()sin ,0,96962n T
E f n
n π
π
πφη??=
≤
∈????
当误差3()0.510n T E f -≤?时，n ≥25.6, 所以取n =26。
25h :h=[(0)()2()]
52221
T f f f x n k k π
π
?=++∑=则12325{012[sin()sin()sin()...sin()]}25252525252
πππππ
=
?++++++0.9465= （2）1S 4''''42E []()()()sin()n 180218022n
h f f π
πηη=-=-??b-a 11S 44922E []()(26)()710n 18022n 18022n f n ππ
ππ-≤??=???=?则 1S 462(3)E []()10n 18022n
f π
π-≤??≤
7.6=8n n ≥?则
7．推导下列三种矩形求积公式：
()()()()()
()
()()()()()()()()()()
()
2
2
3
1;2
2;
2
3;
2
24b
a
b
a
b
a
f f
x dx b a f a b a f f x dx b a f b b a f a b
f
x dx b a f b a ξη?'=-+
-'=--
-'+??=-+
-
???
???
证明：(1)将()f x 在x a =处Taylor 展开，得
()()
'(
)(
),(,
f x f a f x a a x ξξ=
+-∈ 两边在[,]a b 上积分，得
()()()()b b b
a
a
a
f x d x f a d x f x
a d x ξ'=
+-?
?
? ()()()
()b a
b a f a f x a d x
η'=-+-
? 2
1()()(
)(),[,].
2
b a f a f b
a a
b ηη'=-+
-∈ (2)将()f x 在x b =处Taylor 展开，得 ()()
(
)(),(,
f x f b f x
b x b ξξ'=
+-∈ 两边在[,]a b 上积分，得
()()()()b b b a
a
a
f x d x f b d x
f x
b d x ξ'=
+-?
?
? ()()()
()b
a
b a f b f x b d x
η'=-+-
? 2
1()()()(),[,].
2
b a f b f b
a a
b ηη'=--
-∈ (3)将()f x 在2
a b x +=处Taylor 展开，得
2
1
()()()(
)
()(
),[,].
2
2
2
2
2
a b
a b
a b a b
f x f f x f x a b ξ
ξ++++'''=
+-+-∈ 两边在[,]a b 上积分，得
2
1
()()()()(
)()222
22
b b b b a
a
a a a b
a b a b
a b
f x d x f d x f x d x
f x
d x
ξ+++
+
'
''=
+-+-?
?
?? 2
1
()()()(
)
()()
22
2
22
b b
a
a
a b a b
a b a b b a f f x dx f x dx ξ
++++'''=-+-+-?
?
3
"()()(
)().
2
24
a b f b a f b a ?+=-+
- 10．判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：
()()()3
3120
2
f
x dx f f ≈
+?????
解：插值型求积公式
()()n
b k k a
k f x dx A f x =≈
∑
?
其中 0
n
b
i k a
i k i
i k
x x A dx x x =≠-=
-∏
?
则 33010
2313,.12
2
21
2
x x A dx A dx --=
==
=
--?
?
因此，3
3()[(1)(2)]2
f x dx f f ≈
+?是插值型的求积公式。
因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。 对于2()f x x =时， 3
3
2
()9;f x dx x dx =
=?
?
33
15
[(1)(2)]
(14)9.
2
2
2
f f
+=+=≠
可见它对于2()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
11．构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度：
()()()()()()()()()()()()()()1
0102
01010
011101;
200;3.
h h h
f x dx A f A f f x dx h f f h h f f h f x dx A f h A f x ααββ-≈
+''≈+++????????≈-+???
解（1）：令原式对于()1,f x x =准确成立，于是有
011112
A A A +=??
?=??
解之得 0111,2
2
A A =
=
， 于是有求积公式
10
11()(0)(1)22f x dx f f ≈
+
?
容易验证，它对于2
()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
解（2）：令原式对于23()1,,,f x x x x =准确成立，于是有
01101111111
2123
134
αααββαβαβ+=??
?++=
?
?
?+=
??
?
+=??
解之得 01011111,,,.2
2
12
12
ααββ==
==-
于是有求积公式
2
11()[(0)()]['(0)'()].2
12
h
f x dx h f f h h f f h ≈++
-?
容易验证当4()f x x =时，5
1();5
h
f x dx h =
?而
2
55
1111[(0)
()][(0)()]2
12
65
h f f h h f f
h h h
''++-=≠（） 可见，它对于4()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。 解(3)：令原式对于2()1,,f x x x =准确成立，于是有
0100A A -A A 011223
11202
3h dx h h A x h A x h ?+==??+=???+=?
?解得: 01h 3A =,A =221,3h
h x =
于是有求积公式
13
()()().223
h h
h
f x dx hf h hf -≈
-+
?
容易验证，当3
()f x x =时，()0;h h
f x dx -=?
而 4
134()().2239h hf h hf h -+=-
可见，它对于3
()f x x =不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。
12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss 求积公式：
()()()()()()()()
1
00110
1
00110
12x f x dx A f x A f x f x dx A f x A f x x
≈+≈+??
解（1）：令原式对于2
3
()1,,,f x x x x =准确成立，于是有
10011
22001133001123
2
5
2729A A A x A x A x A x A x A x ?
+=??
?+=???+=???+=
?
(1)
利用(1)的第1式，可将第2式化为
010122()35
x x x A +-=
(2)
同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得 0101122()57x x x x A +-= (3)
2
0101
122()7
9
x x x x A +-= (4)
由(2)(3)(4)式消去101(),x x A -得 001001
2
222()5537
2222
()7
759x x x x x x ?+-=????+-=??
进一步整理
01010101
2
22()537
222()7
59x x x x x x x x ?+-=????+-=
??
由此解出 0101510,.21
9
x x x x =+=
解得：
01010.821161913186,0.289949197925,0.3891110668436,0.27755599823.
x x A A ====
因此所求的两点Gauss 求积公式：
1
()0.3891110668436(0.821161913186)0.27755599823(0.289949197925).x f x dx f f ≈+?
或依下面的思想：
计算机组成原理_第四版课后习题答案(完整版)[]
第一章 1．比较数字计算机和模拟计算机的特点 解：模拟计算机的特点：数值由连续量来表示，运算过程是连续的；数字计算机的特点：数值由数字量（离散量）来表示，运算按位进行。两者主要区别见 P1 表 1.1 。 2．数字计算机如何分类？分类的依据是什么？ 解：分类：数字计算机分为专用计算机和通用计算机。通用计算机又分为巨型机、大型机、 中型机、小型机、微型机和单片机六类。分类依据：专用和通用是根据计算机的效率、速度、价格、运行的经济性和适应性来划分的。 通用机的分类依据主要是体积、简易性、功率损耗、性能指标、数据存储容量、 指令系统规模和机器价格等因素。 3．数字计算机有那些主要应用？（略） 4．冯 . 诺依曼型计算机的主要设计思想是什么？它包括哪些主要组成部分？ 解：冯 . 诺依曼型计算机的主要设计思想是：存储程序和程序控制。存储程序：将解题的程序（指令序列）存放到存储器中；程序控制：控制器顺序执行存储的程序，按指令功能控制全机协调地完成运算任务。 主要组成部分有：控制器、运算器、存储器、输入设备、输出设备。 5．什么是存储容量？什么是单元地址？什么是数据字？什么是指令字？ 解：存储容量：指存储器可以容纳的二进制信息的数量，通常用单位KB MB GB来度量，存储 容 量越大，表示计算机所能存储的信息量越多，反映了计算机存储空间的大小。单元地址：单元地址简称地址，在存储器中每个存储单元都有唯一的地址编号，称为单元地 址。 数据字：若某计算机字是运算操作的对象即代表要处理的数据，则称数据字。指令字：若某计算机字代表一条指令或指令的一部分，则称指令字。 6．什么是指令？什么是程序？ 解：指令：计算机所执行的每一个基本的操作。程序：解算某一问题的一串指令序列称为该问题的计算程序，简称程序。 7．指令和数据均存放在内存中，计算机如何区分它们是指令还是数据？ 解：一般来讲，在取指周期中从存储器读出的信息即指令信息；而在执行周期中从存储器中读出的信息即为数据信息。
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
计算机组成原理第二版课后习题答案
第1章计算机系统概论 1. 什么是计算机系统、计算机硬件和计算机软件？硬件和软件哪个更重要？ 解： 计算机系统：由计算机硬件系统和软件系统组成的综合体。 计算机硬件：指计算机中的电子线路和物理装置。 计算机软件：计算机运行所需的程序及相关资料。 硬件和软件在计算机系统中相互依存，缺一不可，因此同样重要。 2. 如何理解计算机的层次结构？ 答：计算机硬件、系统软件和应用软件构成了计算机系统的三个层次结构。 （1）硬件系统是最内层的，它是整个计算机系统的基础和核心。 （2）系统软件在硬件之外，为用户提供一个基本操作界面。 （3）应用软件在最外层，为用户提供解决具体问题的应用系统界面。 通常将硬件系统之外的其余层称为虚拟机。各层次之间关系密切，上层是下层的扩展，下层是上层的基础，各层次的划分不是绝对的。 3. 说明高级语言、汇编语言和机器语言的差别及其联系。 答：机器语言是计算机硬件能够直接识别的语言，汇编语言是机器语
言的符号表示，高级语言是面向算法的语言。高级语言编写的程序（源程序）处于最高层，必须翻译成汇编语言，再由汇编程序汇编成机器语言（目标程序）之后才能被执行。 4. 如何理解计算机组成和计算机体系结构？ 答：计算机体系结构是指那些能够被程序员所见到的计算机系统的属性，如指令系统、数据类型、寻址技术组成及I/O机理等。计算机组成是指如何实现计算机体系结构所体现的属性，包含对程序员透明的硬件细节，如组成计算机系统的各个功能部件的结构和功能，及相互连接方法等。 5. 冯?诺依曼计算机的特点是什么？ 解：冯?诺依曼计算机的特点是：P8 ●计算机由运算器、控制器、存储器、输入设备、输出设备五大 部件组成； ●指令和数据以同同等地位存放于存储器内，并可以按地址访 问； ●指令和数据均用二进制表示； ●指令由操作码、地址码两大部分组成，操作码用来表示操作的 性质，地址码用来表示操作数在存储器中的位置； ●指令在存储器中顺序存放，通常自动顺序取出执行； ●机器以运算器为中心（原始冯?诺依曼机）。
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
计算理论课后题及答案2
第三章 上下文无关语言 3.1 略。 3.2 a. 利用语言A={a m b n c n | m,n ≥0}和A={a n b n c m | m,n ≥0}以及例3.20，证明上下文无关语言在交的运算下不封闭。 b. 利用(a)和DeMorgan 律(定理1.10)，证明上下文无关语言在补运算下不封闭。 证明：a.先说明A,B 均为上下文无关文法，对A 构造CFG C 1 S →aS|T|ε T →bTc|ε 对B,构造CFG C 2 S →Sc|R|ε R →aRb 由此知 A,B 均为上下文无关语言。 但是由例3.20, A ∩B={a n b n c n |n ≥0}不是上下文无关语言，所以上下文无关语言在交的运算下不封闭。 b.用反证法。假设CFL 在补运算下封闭，则对于(a)中上下文无关语言A,B ，A ,B 也为CFL ，且CFL 对并运算封闭，所以B A ?也为CFL ，进而知道B A ?为CFL ，由DeMorgan 定律B A ?＝A ∩B ，由此A ∩B 是CFL,这与(a)的结论矛盾，所以CFL 对补运算不封闭。 3.3 略。 3.4和3.5 给出产生下述语言的上下文无关文法和PDA ，其中字母表∑={0,1}。 a. {w | w 至少含有3个1} S →A1A1A1A A →0A|1A|ε b. {w | w 以相同的符号开始和结束} S →0A0|1A1 A →0A|1A|ε c. {w | w 的长度为奇数} S →0A|1A A →0B|1B|ε B →0A|1A 0, ε→ε 0,ε→ε 0,ε→ε 1,ε→ε 0,ε→ε
数值分析课后答案
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("
计算方法课后题答案之习题二
习题二 1. 证明方程043 =-+x x 在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要 二分多少次。 证明: （1） 不妨令 4)(3-+=x x x f ，求得： 02)1(<-=f 06)2(>=f 又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。 又因为 13)(2'+=x x f 在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。 得证，043 =-+x x 在区间[1，2]内仅有一个根。 （2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成 5 4321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是 5a 位上的 一半，即： 4105.0-?=ε。由公式： ε≤-+1 2 k a b 可得到, 14=k 迭代次数为151=+k 次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用二分法求方程 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。 解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2 >=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2 <-=-=-=f 所以0)2 (sin )(2 =-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又 x cos )('-=x x f 在区间[1.5，2]内 0x cos )('<-=x x f 所以 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的 次数为：
计算方法练习题与答案
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。() 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。()
4.用近似表示cos x产生舍入误差。 ( ) 5.和作为的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写 为； 2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限 为，相对误差限为； 3.误差的来源是； 4.截断误差 为； 5.设计算法应遵循的原则 是。 三、选择题 1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．作为的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题 1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？ 2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)， (2) (3) ， (4) 4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。 5*. 采用迭代法计算，取 k=0,1,…, 若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。 练习题二 一、是非题 1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2.牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3.求方程在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。( ) 4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5.求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题
计算机组成原理课后习题答案(一到九章)
作业解答 第一章作业解答 1.1 基本的软件系统包括哪些内容？ 答：基本的软件系统包括系统软件与应用软件两大类。 系统软件是一组保证计算机系统高效、正确运行的基础软件，通常作为系统资源提供给用户使用。包括：操作系统、语言处理程序、数据库管理系统、分布式软件系统、网络软件系统、各种服务程序等。 1.2 计算机硬件系统由哪些基本部件组成？它们的主要功能是什么？ 答：计算机的硬件系统通常由输入设备、输出设备、运算器、存储器和控制器等五大部件组成。 输入设备的主要功能是将程序和数据以机器所能识别和接受的信息形式输入到计算机内。 输出设备的主要功能是将计算机处理的结果以人们所能接受的信息形式或其它系统所要求的信息形式输出。 存储器的主要功能是存储信息，用于存放程序和数据。 运算器的主要功能是对数据进行加工处理，完成算术运算和逻辑运算。 控制器的主要功能是按事先安排好的解题步骤，控制计算机各个部件有条不紊地自动工作。 1.3 冯·诺依曼计算机的基本思想是什么？什么叫存储程序方式？ 答：冯·诺依曼计算机的基本思想包含三个方面： 1) 计算机由输入设备、输出设备、运算器、存储器和控制器五大部件组成。 2) 采用二进制形式表示数据和指令。 3) 采用存储程序方式。 存储程序是指在用计算机解题之前，事先编制好程序，并连同所需的数据预先存入主存储器中。在解题过程（运行程序）中，由控制器按照事先编好并存入存储器中的程序自动地、连续地从存储器中依次取出指令并执行，直到获得所要求的结果为止。 1.4 早期计算机组织结构有什么特点？现代计算机结构为什么以存储器为中心？ 答：早期计算机组织结构的特点是：以运算器为中心的，其它部件都通过运算器完成信息的传递。 随着微电子技术的进步，人们将运算器和控制器两个主要功能部件合二为一，集成到一个芯片里构成了微处理器。同时随着半导体存储器代替磁芯存储器，存储容量成倍地扩大，加上需要计算机处理、加工的信息量与日俱增，以运算器为中心的结构已不能满足计算机发展的需求，甚至会影响计算机的性能。为了适应发展的需要，现代计算机组织结构逐步转变为以存储器为中心。 1.5 什么叫总线？总线的主要特点是什么？采用总线有哪些好处？ 答：总线是一组可为多个功能部件共享的公共信息传送线路。 总线的主要特点是共享总线的各个部件可同时接收总线上的信息，但必须分时使用总线发送信息，以保证总线上信息每时每刻都是唯一的、不至于冲突。 使用总线实现部件互连的好处： ①可以减少各个部件之间的连线数量，降低成本； ②便于系统构建、扩充系统性能、便于产品更新换代。 1.6 按其任务分，总线有哪几种类型？它们的主要作用是什么？ 答：按总线完成的任务，可把总线分为：CPU内部总线、部件内总线、系统总线、外总线。
数值分析课后题答案
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的ＬU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； ５、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ）； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ ６、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 )，=]4,3,2,1,0[f ( ０ )； 7、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 （ 1 2+-n a b ); １０、已知f （１）＝2,f (2)=３,ｆ(４)＝5.９，则二次Ne ｗton 插值多项式中x 2系数为 ( ０.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该
信息与编码理论课后习题答案
二章-信息量和熵习题解 2.1 莫尔斯电报系统中，若采用点长为0.2s ，1划长为0.4s ，且点和划出现的概率分别为2/3和1/3，试求它的信息速率(bits/s)。 解: 平均每个符号长为: 15 44.0312.032=?+?秒 每个符号的熵为9183.03log 3 123log 32=?+?比特/符号 所以，信息速率为444.34159183.0=?比特/秒 2.2 一个8元编码系统，其码长为3，每个码字的第一个符号都相同(用于同步)，若每秒产生1000个码字，试求其信息速率(bits ／s)。 解: 同步信号均相同不含信息,其余认为等概,每个码字的信息量为 3*2=6 比特； 所以，信息速率为600010006=?比特/秒 2.3 掷一对无偏的骰子，若告诉你得到的总的点数为：(a ) 7；(b ) 12。 试问各得到了多少信息量? 解: (a)一对骰子总点数为7的概率是 36 6 所以，得到的信息量为 585.2)36 6(log 2= 比特 (b) 一对骰子总点数为12的概率是36 1 所以，得到的信息量为 17.5361log 2= 比特 2.4 经过充分洗牌后的一付扑克(含52张牌)，试问： (a) 任何一种特定排列所给出的信息量是多少? (b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量? 解: (a)任一特定排列的概率为! 521, 所以，给出的信息量为 58.225!521log 2 =- 比特 (b) 从中任取13张牌,所给出的点数都不相同的概率为 1313 1313525213!44A C ?=
所以，得到的信息量为 21.134 log 1313522=C 比特. 2.5 设有一个非均匀骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求各点 出现时所给出的信息量，并求掷一次平均得到的信息量。 解:易证每次出现i 点的概率为 21i ,所以 比特比特 比特 比特 比特 比特 比特 398.221 log 21)(807.1)6(070.2)5(392.2)4(807.2)3(392.3)2(392.4)1(6,5,4,3,2,1,21 log )(2612=-==============-==∑=i i X H x I x I x I x I x I x I i i i x I i 2.6 园丁植树一行，若有3棵白杨、4棵白桦和5棵梧桐。设这12棵树可随机地排列， 且每一种排列都是等可能的。若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，你得到了多少关 于树的排列的信息? 解: 可能有的排列总数为 27720! 5!4!3!12= 没有两棵梧桐树相邻的排列数可如下图求得， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 图中X 表示白杨或白桦，它有???? ??37种排法，Y 表示梧桐树可以栽种的位置，它有? ??? ??58种排法， 所以共有???? ??58*??? ? ??37=1960种排法保证没有两棵梧桐树相邻， 因此若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列的信息为1960log 27720log 22-=3.822 比特 2.7 某校入学考试中有1/4考生被录取，3/4考生未被录取。被录取的考生中有50%来 自本市，而落榜考生中有10％来自本市，所有本市的考生都学过英语，而外地落榜考生中以及被录取的外地考生中都有40%学过英语。 (a) 当己知考生来自本市时，给出多少关于考生是否被录取的信息?
计算方法习题答案
计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021