数列
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 3S 6=13,则S 6
S 12
等于( )
A.13
B.15
C.18
D.19
2.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( )
A .8
B .7
C .6
D .5
3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=3,前3项和S 3=21,则a 3+a 4+a 5=( )
A .2
B .33
C .84
D .189
4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 7-a 10=5,a 11-a 4=7,则S 13等于( )
A .152
B .154
C .156
D .158
5.已知数列{a n }中,a 1=b (b >1),a n +1=-1
a n +1
(n ∈N *),能使a n =b 的n 可以等于( )
A .14
B .15
C .16
D .17
6.数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -1(n ∈N *),则T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1
a n a n +1
的结果可化为
( )
A .1-14n
B .1-12n C.23????1-14n D.2
3???
?1-12n 7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 15>0,S 16<0,则S 1a 1,S 2a 2,…,S 15
a 15
中最大的是( )
A.S 6a 6
B.S 7a 7
C.S 8a 8
D.S 9a 9
8.已知正项等比数列{a n }满足:a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m ,a n ,使得a m a n =4a 1,则1m +4
n
的最
小值为( )
A.32
B.53
C.256
D.43
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置)
9.在等比数列{a n }中,a 5·a 11=3,a 3+a 13=4,则a 15
a 5
=________.
10.已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=5a n -13
3a n -7
(n ∈N *),则数列{a n }的前100项的和为________.
11.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10=________.
12.数列{a n }中,a 1=35,a n +1-a n =2n -1(n ∈N *),则a n
n
的最小值是________.
13.已知a ,b ,c 是递减的等差数列,若将数列中两个数的位置对换,得到一个等比数列,则a 2+b 2
c
2
的值为________.
14.用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组,其排列的规律如下图所示:
个钢珠去排成每边n 个钢珠的正五边形数组时,就会多出9个钢珠,则m =________.
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(12分)在数列{a n }、{b n }中,已知{a n }是等差数列,且a 2=3,a 5=9,又点(n ,b n )在曲线y =3x
上.
(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式;
(2)令c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .
16.(13分)设各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)是否存在最小正整数m ,使得当n ≥m 时,a n >2011
15
恒成立?若存在,求出m ;若不存在,请说
明理由.
17.(13分)某同学在暑假的勤工俭学活动中,帮助某公司推销一种产品,每推销1件产品可获利润4元,第1天他推销了12件,之后加强了宣传,从第2天起,每天比前一天多推销3件.
问:(1)该同学第6天的获利是多少元?
(2)该同学参加这次活动的时间至少要达到多少天,所获得的总利润才能不少于1020元?
18.(14分)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列,S n 是其前n 项和,且满足S 2n -1=1
2a 2n
,n ∈N
+.
(1)求a n ;
(2)数列{b n }满足b n =????
?
2n -
1(n 为奇数),12a n -1
(n 为偶数),T n 为数列{b n }的前n 项和,求T 2n .
19.(14分)数列{b n }(n ∈N *)是递增的等比数列,且b 1+b 3=5,b 1b 3=4. (1)求数列{b n }的通项公式;
(2)若a n =log 2b n +3,求证数列{a n }是等差数列; (3)若a 21+a 2+a 3+…+a m ≤a 46,求m 的最大值.
20.(14分)已知数列{a n }单调递增,且各项非负,对于正整数K ,若对任意i ,j (1≤i ≤j ≤K ),a j -a i 仍是{a n }中的项,则称数列{a n }为“K 项可减数列”.
(1)已知数列{b n }是首项为2,公比为2的等比数列,且数列{b n -2}是“K 项可减数列”,试确定K 的最大值.
(2)求证:若数列{a n }是“K 项可减数列”,则其前n 项和S n =n
2
a n (n =1,2,…,K ).
参考答案
1.B [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,则由S 3S 6=1
3
,
得1-q 3
1-q 6=13
, 解得q 3
=2,所以S 6S 12=1-q 61-q 12=1-41-16=15
,故选B.
2.D [解析] ∵S k +2-S k =a k +1+a k +2=2a 1+(2k +1)d =4k +4,∴4k +4=24,可得k =5,故选D. 3.C [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,由S 3=a 1+a 2+a 3=21,得a 1(1+q +q 2)=21,即q 2+q -6=0,解得q =2或q =-3(舍去),∴a 3+a 4+a 5=a 1(q 2+q 3+q 4)=3(22+23+24)=84,故选C.
4.C [解析] 由题设a 3+a 7-a 10=5,a 11-a 4=7,得a 3+a 11+a 7-(a 10+a 4)=12,即a 7=12,则S 13=13(a 1+a 13)2=13·2a 7
2
=156,故选C.
5.C [解析] ∵a 1=b (b >1),∴a 2=-1b +1
,a 3=-b +1b =-1-1
b ,a 4=b ,由此可得数列{a n }是周
期为3的数列,a 16=a 3×5+1=a 1=b ,故选C.
6.C [解析] 由已知,有S n =2a n -1,S n -1=2a n -1-1(n ≥2),
两式相减,得a n =2a n -2a n -1,即a n =2a n -1,∴数列{a n }是公比为2的等比数列,
又S 1=2a 1-1,得a 1=1,则a n =2n -
1,1a n a n +1=???
?122n -1,
∴T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=12+????123+????125+…+????122n -1 =12????1-
????14n 1-14
=23
????1-14n ,故选C 7.C [解析] 由S 15>0,得S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8>0,即a 8>0,由S 16<0,得S 16=16(a 1+a 16)
2
=8(a 8
+a 9)<0,即a 9<-a 8<0,∴数列{a n }是递减数列,前8项为正,第9项起为负,则S 8最大,而正项中a 8最小,故选C.
8.A [解析] 设等比数列的公比为q ,由a 7=a 6+2a 5,得 a 1q 6=a 1q 5+2a 1q 4,q 2-q -2=0,解得q =2或q =-1(舍去).
由a m a n =4a 1,得a 1·2m -1·a 1·2n -1=4a 1,即2m +n -
2=24,m +n =6,
∴1m +4
n =????1m +4n ·m +n 6=56+2m 3n +n 6m
≥56+22m 3n ·n 6m =56+23=32
, 当且仅当2m 3n =n
6m ,即m =2,n =4时取等号,故选A.
9.3或13 [解析] ∵a 5·a 11=a 3·a 13=3,a 3+a 13=4,∴a 3=1,a 13=3或a 3=3,a 13=1,∴a 15a 5=a 13
a 3
=
3或1
3
,故选C.
10.200 [解析] 由已知a n +1=5a n -13
3a n -7
,得a 2=3,a 3=1,a 4=2,…,由此可知数列{a n }是周期为
3的数列,其前100项的和为33×6+2=200.
11.1 [解析] 方法一:由S n +S m =S n +m ,得S 1+S 9=S 10, ∴a 10=S 10-S 9=S 1=a 1=1. 方法二:
∵S 2=a 1+a 2=2S 1,∴a 2=1, ∵S 3=S 1+S 2=3,∴a 3=1,
∵S 4=S 1+S 3=4,∴a 4=1, 由此归纳a 10=1.
12.10 [解析] 由已知,得a 2-a 1=1,a 3-a 2=3,…,a n -a n -1=2(n -1)-1,各式相加,得
a n -a 1=1+3+…+2(n -1)-1=(n -1)(1+2n -3)
2
=(n -1)2,即a n =(n -1)2+35,
∴a n n =n +36n -2≥2n ·36
n
-2=10, 故当且仅当n =36n ,即n =6时,a n
n
有最小值,最小值是10.
13.516或17
4 [解析] 依题意,得 ①????? a +c =2b ,b 2=ac 或②????? a +c =2b ,a 2=bc 或③?
????
a +c =2
b ,
c 2=ab , 由①得a =b =c ,与“a ,b ,c 是递减的等差数列”相矛盾;
由②消去c 整理得(a -b )(a +2b )=0,又a >b ,∴a =-2b ,c =4b ,a 2+b 2c 2=5
16;
由③消去a 整理得(c -b )(c +2b )=0,又b >c ,∴c =-2b ,a =4b ,a 2+b 2
c 2=17
4
.
14.126 [解析] 每边n 个钢珠的正三角形需要钢珠n (n +1)
2
个,每边n 个钢珠的正方形需要钢珠
n 2个,根据已知n (n +1)2
+n 2
=m .
设每边n 个钢珠的正五边形需要钢珠a n 个,根据组成规律,则a n +1=a n +3n +1且a 1=1,根据这
个递推式解得a n =1+(3n +2)(n -1)2,根据已知1+(3n +2)(n -1)2+9=m .所以n (n +1)
2
+n 2=10+
(3n +2)(n -1)2,解得n =9,所以m =9×102
+92
=126.
15.[解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则3d =a 5-a 2=9-3=6,d =2, ∴数列{a n }的通项公式是a n =a 1+(n -1)d =a 2-d +(n -1)d =2n -1; ∵点(n ,b n )在曲线y =3x 上,∴数列{b n }的通项公式为b n =3n . (2)由已知c n =a n +b n ,得数列{c n }的前n 项和为
T n =c 1+c 2+…+c n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n ) =n (1+2n -1)2+3(1-3n )1-3
=12·3n +1+n 2-32.
16.[解答] (1)设{a n }的公比为q ,由S 4=1,S 8=17,知q ≠1,所以得a 1(q 4-1)q -1=1,a 1(q 8-1)
q -1
=17.
相除得q 8-1
q 4-1
=17,解得q 4=16,所以q =2或q =-2(舍去).
将q =2代入a 1(q 4-1)q -1
=1得a 1=1
15,所以a n =2n -
115.
(2)由a n =2n -
115>201115
,得2n -
1>2011,而210<2011<211,所以n -1≥11,即n ≥12.
因此,存在最小的正整数m =12,使得n ≥m 时,a n >2011
15
恒成立.
17.[解答] (1)记此同学第n 天推销的产品的件数为a n ,由题设可知,{a n }是一个公差为3的等差数列,则
a n =12+(n -1)×3=3n +9,a 6=27,
∴该同学第6天的获利是27×4=108(元).
(2)设该同学前n 天推销的产品的件数为S n ,由题设可知,
S n =12n +n (n -1)
2
×3,
令4S n ≥1020,即12n +n (n -1)
2
×3≥255,
化简,得n 2+7n -170≥0,解得n ≥10或n ≤-17(舍去),
故该同学参加这次活动的时间至少要达到10天,所获得的总利润才能不少于1020元.
18.[解答] (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,在S 2n -1=12a 2
n 中,令n =1,n =2,得?????
2S 1=a 21,2S 3=a 22
,即?????
2a 1=a 21,2(3a 1+3d )=(a 1
+d )2, 解得a 1=2,d =4或d =-2(舍去).
所以a n =4n -2.
(2)由(1)得b n =?
???
?
2n -
1(n 为奇数),2n -3(n 为偶数),
所以T 2n =1+(2×2-3)+22+(2×4-3)+24+(2×6-3)+…+22n -
2+(2×2n -3)
=1+22+24+…+22n -
2+4(1+2+…+n )-3n =1-4n 1-4
+4×n (n +1)2-3n
=4n 3+2n 2-n -13
. 19.[解答] (1)由?????
b 1b 3=4,
b 1+b 3=5,
知b 1,b 3是方程x 2-5x +4=0的两根,
注意到b n +1>b n 得b 1=1,b 3=4. b 22=b 1b 3=4,得b 2=2,∴b 1=1,b 2=2,b 3=4.
等比数列{b n }的公比为b 2b 1
=2,∴b n =b 1q n -1=2n -
1.
(2)证明:a n =log 2b n +3=log 22n -
1+3=n -1+3=n +2. ∵a n +1-a n =[(n +1)+2]-(n +2)=1,
故数列{a n }是首项为3,公差为1的等差数列.
(3)由(2)知数列{a n }是首项为3,公差为1的等差数列,有
a 21+a 2+a 3+…+a m =a 2
1+a 1+a 2+a 3+…+a m -a 1
=32
+m ×3+m (m -1)2×1-3=6+3m +m 2-m 2
,
∵a 46=48,∴6+3m +m 2-m
2
≤48,
整理得m 2+5m -84≤0,解得-12≤m ≤7. ∴m 的最大值是7.
20.[解答] (1)设c n =b n -2=2n -2,则c 1=0,c 2=2,c 3=6,
则c 1-c 1=c 1,c 2-c 1=c 2,c 2-c 2=c 1,即数列{c n }一定是“2项可减数列”, 但因为c 3-c 2≠c 1,c 3-c 2≠c 2,c 3-c 2≠c 3,所以K 的最大值为2.
(2)证明:因为数列{a n }是“K 项可减数列”,所以a K -a t (t =1,2,…,K )必定是数列{a n }中的项,而{a n }是递增数列,a K -a K 所以必有a K -a K =a 1,a K -a K -1=a 2,a K -a K -2=a 3,…,a K -a 1=a K . 故a 1+a 2+a 3+…+a K =(a K -a K )+(a K -a K -1)+(a K -a K -2)+…+(a K -a 1) =Ka K -(a 1+a 2+a 3+…+a K ), 所以S K =Ka K -S K ,即S K =K 2 a K , 所以S n =n 2 a n (n =1,2,…,K ).