高考数学经典题汇编
高考数学经典试题汇编
1. 下表给出一个“等差数阵”：
其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数．（1）写出a 45的值； （2）写出a ij 的计算公式；（３）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．讲解 学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．
（1） 按第一行依次可读出：,1013=a 1314=a ，1615=a ；按第一行依次可读出：,1723=a 2224=a ，
2725=a ；最后，按第５列就可读出：,3835=a 4945=a ．
（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是： a j j 1431=+-()而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为：
a j j 2751=+-() …… 通过递推易知，第i 行是首项为431+-()i ，公差为21i +的等差数列，故有43(1)(21)(1)(21).ij a i i j i j j =+-++-=++
（３）先证必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N i j j =++()21．从而
12)12(212+++=+j j i N =++()()2121i j ，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之
积．再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数
k ，l ，使得212121N k l +=++()()，从而
N k l l a kl =++=()21，由此可见N 在该等差数阵中．综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是
2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
2. 求(){}{}=-=?-=3244lg 2
2
x y y x y x [)(),,--?+∞311 。
3. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中任取一数比
37大的概率是
1736
。
4. 函数()1>=a a y x 及其反函数的图象与函数x
y 1=
的图象交于A 、B 两点，若22=AB ，则实数a
的值等于_________。
1
(1
)a =
+
5. 从装有1+n 个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()N n m n m ∈≤<,,0，共有m n C 1
+种取法。在这m n C 1+种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，共有m n C C ?01种取法；另一类是取出的m 个球有1-m 个白球和1个黑球，共有111-?m n C C 种取法。显然
m n m n m
n C C C C C 11
1
10
1+-=?+?，即有等式：m
n m n
m n C C C 11
+-=+成立。试根据上述思想化简下列式子：
=?++?+?+---k
m n
k k m n k m n
k m
n C C C C C C C 2
2
1
1
m
k n C + ()N n m k n m k ∈≤<≤,,,1。
6. 某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y （单位：万元）与年数x ()N x ∈满
足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用 （ C ）
（A ）3年 （B ）4年 （C ）5年 （D ）6年
7. （14分）已知函数()Z k x x f k k
∈=++-2
2
)(，且)3()2(f f <
（1）求k 的值；
（2）试判断是否存在正数p ，使函数()x p x f p x g 12)(1)(-+?-=在区间[]2,1-上的值域为??
?
??
?-817,
4。若存在，求出这个p 的值；若不存在，说明理由。
解：（1）∵)3()2(f f <，∴022>++-k k ，即022<--k k ，∵Z k ∈，∴10或=k （2）2
)(x x f =，
()p p p p x p x p x p x g 414212121)(2
2
2
++???? ?
?---=-+?-=；当[]2,1212-∈-p p ，即??
?
???+∞∈,41p 时，1)2(,4)1(,2,8
174142
-=-=-==
+g g p p
p ；当
()+∞∈-,2212p
p 时，∵0>p ，∴这样的p 不存在。当
()1,212-∞-∈-p
p ，即??
?
??∈41,0p 时，4)2(,817)1(-==-g g ，这样的p 不存在。综上得，=p 。
8. （14分）如图，设圆()3222
=+-y x 的圆心为C ，此圆和
抛物线()02>=p px y 有四个交点，若在x 轴上方的两个交 点为A 、B ，坐标原点为O ，AOB ?的面积为S 。 （1） 求P 的取值范围；
（2） 求S 关于P 的函数)(p f 的表达式及S 的取值范围； （3） 求当S 取最大值时，向量CB CA ,的夹角。
解：（1）把 px y =2 代入()3222
=+-y x 得 ()0142=+-+x p x
由 ?????>?>+>?000
2121x x x x ， 得 ??
?
??>>->+-00401282p p p p ，即 ()2,0∈p
（2）设(
)(
)
2211,
,,
px x B px x A ，AB 的方程：()12
12
11x x x x px px px y ---=
-
()12
1x x x x p -
+
=
， 即
012
112
1=+
-
+
-+
x x x p px y x x x p
即 (
)
02121=+
+-
x px y x x x p ， 即
06=+?--
?p y p x p
点O 到AB 的距离6
p d =，又()
(
)
p x x p x x AB 6122
2
12
21-=-?
+-=
∴()21
22
16
6122
1≤
-=
?
-?=
P P P P S ， 即 ??
?
??
∈21,0S
（3）S 取最大值时，1=P ，解方程0132
=+-x x ，得???
?
??++????
?
?--215,2
5
3,215,
25
3B A (
)?
??
??
?+-=???
?
?
?-+-
=215,215,215,
2
15CB CA ，011=+-=?CB CA ∴向量CB CA ,的夹角的大小为?90。
9. （16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达
姆政权为目的的战争的花费约为
540亿美元。同时美国战后每月还要投入约4亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约10亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约1亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以0
050
的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费
还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？
解：设n 个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则()n n n 4540]35.15.15.11[1032+≥--+++ 即75.59375.28≥n ，65.20≥n ，即21个月后，美国才能收回在伊的“投资”。 10. 数列 ,5,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1的第2004项是____________。63 11. 在等比数列}{n a 中，20101=a ，公比3
1-
=q ，若)(321N n a a a a b n n ∈??= ，则n b 达到最大时，n
的值为____________。8 12. 设函数为常数）b a x
b x a x f ,(||)(+
=，且①0)2(=-f ；②)(x f 有两个单调递增区间，则同时满足上
述条件的一个有序数对),(b a 为______________。满足)
0()4,( 的任一组解均可 13. 已知两条曲线0:,1:22221=++=+x bxy ax C y x C （b a ,不同时为0）.则“221a b +<”是“1C 与2C 有且仅有两个不同交点”的 A (A)充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 已知二次函数)(41)(2R t a t b at t f ∈+ - =有最大值且最大值为正实数，集合 }0| {<-=x a x x A ，集合}|{22b x x B <=。 （1）求A 和B ； （2）定义A 与B 的差集：A x x B A ∈=-|{且}B x ?。 设a ，b ，x 均为整数，且A x ∈。)(E P 为x 取自B A -的概率，)(F P 为x 取自B A 的概 率，写出a 与b 的三组值，使3 2)(= E P ，3 1)(= F P ，并分别写出所有满足上述条件的a （从 大到小）、b （从小到大）依次构成的数列{n a }、{n b }的通项公式（不必证明）； （3）若函数)(t f 中，n a a =，n b b = （理）设1t 、2t 是方程0)(=t f 的两个根，判断||21t t -是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应 的值；若不存在，请说明理由。 （文）写出)(t f 的最大值)(n f ，并判断)(n f 是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应 的值；若不存在，请说明理由。 （1）∵ ) ()(412 R t t b at t f a ∈+ -=有最大值，∴0 a b a b t a t f 412 2)()(-+ - =，由1041>?>-b a b 。 ∴}0|{<<=x a x A ，} |{b x b x B <<-=。 （2）要使3 2)(= E P ，3 1)(=F P 。可以使①A 中有3个元素，B A -中有2个元素， B A 中有1个元素。 则2,4=-=b a 。②A 中有6个元素，B A -中有4个元素， B A 中有2个元素。则3,7 =-=b a 。 ③A 中有9个元素,B A -中有6个元素,B A 中有3个元素。则4,10=-=b a 。 1,13+= --=n b n a n n 。 （3）（理）0 )(=t f ，得01>-=? n b 。6 911 691 212 212112 24)(||)(++++-= = = -+= -=n n n n n n n a b t t t t t t n g ， ∵6 92911 =?≥+n n n n ，当且仅当3 1= n 时等号成立。∴)(n g 在N 上单调递增。4 1max 2 1)1(||= =-g t t 。 又 )(lim =∞ →n g n ，故没有最小值。 （文）∵n n n n n a b n g 41214 1241)(+ +-= == 单调递增，∴ 4 1min )1()(= =f n f ，又 12 1)(lim = ∞ →n f n ，∴没有最大值。 15. 把数列? ?? ?? ? -121 n 的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表： 第k 行有1 2 -k 个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为()s t A ,， 13 1111917151311 则()=17,8A 1287 。 16. 我边防局接到情报，在海礁AB 所在直线l 的一侧点M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派 出快艇前去搜捕。如图，已知快艇出发位置在l 的另一侧码头P 处，8=PA 公里，10=PB 公里，?=∠60APB 。 （1）（10分）是否存在点M ，使快艇沿航线M A P →→或M B P →→的路程相等。如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M 的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由。 （2）（4分）问走私船在怎样的区域上时，路线M A P →→比路线M B P →→的路程短，请说明理由。 解：（1）建立直角坐标系（如图），2=-MB MA ， 点M 的轨迹为双曲线的一部分， 2128010064=-+= AB ， 即20,21,12 ===b c a 点M 的轨迹方程为()0,1120 2 2 >>=- y x y x （2）走私船如在直线l 的上侧且在（1）中曲线的左侧的区域时， 路线M A P →→的路程较短。 理由：设AM 的延长线与（1）中曲线交于点N ， 则BN PB AN PA +=+ MN BN PB MN AN PA AM PA -+=-+=+ BM PB +< 17. 已知函数)(x f 对任意的整数y x ,均有xy y f x f y x f 2)()()(++=+，且1)1(=f 。 （1）（3分）当Z t ∈，用t 的代数式表示)()1(t f t f -+； （2）（理）（10分）当Z t ∈，求)(t f 的解析式； （文）（ 6分）当N t ∈，求)(t f 的解析式； （3）如果[]R a x ∈-∈,1,1，且()()()()a f f f f x x x x ?>+++2222)2004()2003()2()1( 恒成立， 求a 的取值范围。（理5分；文9分） 解：（1）令t t f t f t f t f t f y t x 21)()1(,2)1()()1(,1,+=-+++=+== （2）（理）当{}0?∈+ Z t 时，12)1()(,,3)1()2(,1)0()1(,0)0(-=--=-=-=t t f t f f f f f f ， 上述各式相加，得2 )(t t f = 当- ∈Z t 时，,,5)3()2(,3)2()1(,1)1()0( -=----=----=--f f f f f f ]1)(2[12)()1(---=+=-+t t t f t f 上述各式相加，得2)()(t t f --=-，即2)(t t f = 综上，得2)(,t t f Z t =∈。 （文）N t ∈， 2)(t t f = （3）[])1,1(200420032004220041-∈?? ? ??++??? ??+??? ?? x x 恒成立 令[])1,1(2004200320042 20041 )(-∈?? ? ??++??? ??+??? ??=x x g x x x ，)(x g 是减函数 ∴2 20032004 2003 21)1(= +++= < g a 18. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是两个互异的点，点P 的坐标由公式??? ???? ++=++=λλλ λ1121 21y y y x x x 确定，当∈λR 时， 则 （ C ） A ．P 是直线AB 上的所有的点 B ．P 是直线AB 上除去A 的所有的点 C ．P 是直线AB 上除去B 的所有点 D ．P 是直线AB 上除去A 、B 的所有点 19. 设12)310(++n （n ∈N ）的整数部分和小数部分分别为I n 和F n ，则F n (F n +I n )的值为（A ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．与n 有关的数 20. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001，0002，0003，…1000，打算从中抽取一个容量为50的 样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 ．0795 21. 设x 、y 、z 中有两条直线和一个平面，已知命题||x y x z y z ⊥??⊥? ?为真命题，则x 、y 、z 中一定为直线 的是 ．z 22. 秋收要到了，粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为a 、b 的矩形木板，在屋内的一个墙 角搭一个急需用的粮仓，这个农户在犹豫，是将长为a 的边放在地上，还是将边长为b 的边放在地上，木板又该放在什么位置的时候，才能使此粮仓所能储放的粮食最多。请帮该农户设计一个方案，使粮仓所能储放的粮食最多（即粮仓的容积最大） 设墙角的两个半平面形成的二面角为定值α 。将b 边放在地上，如图所示，则粮仓的容积等于以△ABC 为底面，高为a 的直三棱柱的体积。 由于该三棱柱的高为定值a ，于是体积取最大值时必须△ABC 的面积S 取最大值。 设AB = x ，AC = y ，则由余弦定理有 2 24(1cos ) 4 α-当且仅当x =y 时，S 取最大值。 故当AB =AC 时，(V b )max = 2 cot 24 ab α 。 同理，当a 边放在地上时，(V a )max = 2 cot 24 ba α 。 显然，当a ＞b 时，(V a )max ＞(V b )max ；当a ＜b 时，(V a )max ＜(V b )max ；当a =b 时，(V a )max = (V b )max 。 故当a ＞b 时，将a 边放地上，且使底面三角形成以a 为底边的等腰三角形；当b ＞a 时，将b 边放地上，且使底面三角形成以b 为底边的等腰三角形；当a =b 时，无论将a 边还是b 边放在地上均可，只须使底面三角形构成以所放这条边为底边的等腰三角形即可。 23. 已知一个数列{a n }的各项是1或3．首项为1，且在第k 个1和第k +1个1之间有2k -1个3，即1，3， 1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n 项的和为S n ． （Ⅰ）试问第2004个1为该数列的第几项？ （Ⅱ）求a 2004； （Ⅲ）S 2004； （Ⅳ）是否存在正整数m ，使得S m =2004？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 将第k 个1与第k +1个1前的3记为第k 对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；)3,,3,3,3,1(3 12 个共-k 为第k 对，共1+（2k -1）=2k 项；…．故前k 对共有项数为 2+4+6+…+2k =k (k +1)． （Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为 2003(2003+1)+1=4014013（项）． （Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a 2004=3． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是 S 2004=45+3×1959=5922． （Ⅳ）前k 对所在全部项的和为 S k (k +1)=k +3[k (k +1)-k ]=3k 2+k ． 第22题答图 易得，S 25(25+1)=3×252+25=1900，S 26(26+1)=3×262 +26=2054，S 651=1901，且自第652项到第702项均为3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m ，使S m =2004． 24. （Ⅰ）设A 为动椭圆的中心，BD 为过焦点F 的弦，M 为BD 的中点，连接AM 并延长交椭圆于点C ．求 证：四边形ABCD 为平行四边形的充要条件是 a BD ||为定值且值为 2 3（其中a 为椭圆的半长轴）． （Ⅱ）命题（Ⅰ）的结论能推广到双曲线吗？为什么？ （Ⅰ）不妨设椭圆方程为12 22 2=+ b y a x (a ＞b ＞0)，F (c ，0)为右焦点，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， M (x 0，y 0)，弦 BD 的方程为x = my +c ． 联立两方程得 02)(422222=-++b mcy b y a b m ，于是 2 2 2 2 2 102 a b m m c b y y y +- =+= ，x 0 = my 0+c 2 2 2 2 a b m c a += ．由椭圆第二定义得 2 2 2 2 212 22)](2[ ||a b m a c a x x c a a c BD +- =+-? = ，于是 - =2||a BD 2 22 2 2a b m c +． 首先，若四边形ABCD 为平行四边形，则C 的坐标为 (2x 0，2y 0)，将其代入椭圆方程并化简得 2 2 2 2 4a b m c +=，由此可得 = a BD ||2 3． 其次，若 =a BD ||2 3，则2 2 2 2 4a b m c +=，于是x 02 2 2 2 a b m c a += c a 42 = ，c m b a b m m c b y 42 2 2 2 2 0- =+- =，从 而， 14)2()2(2 2 2 2 2 2 02 2 0=+= + c b m a b y a x ，也就是点(2x 0，2y 0)在椭圆上，且M 平分AC ，故ABCD 为平行四边 形． （Ⅱ）命题（Ⅰ）的结论在双曲线中不成立，因四边形ABCD 不可能为平行四边形 25. 用“斜二测画法”作正三角形ABC 的水平放置的直观图得C B A '''?，则C B A '''?与ABC ? 的面积之比为 （ B ） A ． 8 2 B ． 4 2 C ．2 2 D ．2 1 26. （理科）设抛物线0(22 >=p px y 为常数）的焦点为F ，准线为l .过F 任作一条直线与 抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点，给出下列四个结论：①|AB|的最小值为2p ；② △AOB 的面积为定值 2 2 p ；③OA ⊥OB ；④以线段AB 为直径的圆与l 相切，其中正确 结论的序号是 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）①④ （文科）长为4的线段AB 的两端点在抛物线x y 22 =上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值为 2 3 27. 如图所示的正方体中，E 、F 分别是AA 1、D 1C 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，则 空间四边形AGFE 在该正方体面上的射影不可能是 28. 设A 、B 两点到平面α的距离分别为2与6，则线段AB 的中点到平面α的距离为 4或2 29. （理）设函数f(x )是二次函数，已知22)(+='x x f ，且f(x )=0有两个相等实根，问是否存在一个常 数t （O ＜t ＜1)，使得直线x =－t 将函数y=f(x )的图象与坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，若存在，求出此常数t ，若不存在，请说明理由. （文）已知1,)(log ,2)(log ,)(2 2 2≠==+-=a k a f a f k x x x f 且. （1）求a 、k 之值； （2）x 为何值时f （log 2x ）有最小值，并求其最小值 解：（理）设f(x )=ax 2+bx +C ，则b ax x f +='2)( （1分） 由f '(x )=2x +2及f(x )=0可 得a =1，b=2，c=1 （2分） 即f(x )=x 2+2x +1 （3分） 假设存在常数t （0＜t ＜1)满足条件，则?? ++=++--dx x x dx x x t )12(2)12(2 02 1 （6分） 即0 23 01 2 3 |)3 ( 2|)3 ( t x x x x x x --++=++ （8分） 化简得：2t 3 －6t 2 +6t=1（10分） 即2(t －1)3=－1 解得3 2 1 1- =t （12分） （文）（1）由题设知?????=+-=+-k k a a k a a 22 22 2log log 2)(log （3分） 由②得log 2a =0或log 2a =1（4分） 又a ≠1，故a =2 代入①log 2（2+k ）=2得k=2（5分） ∴a =2，k=2 （6分） （2）2log log )(log 2 2 2 2 +-=x x x f （8分） 4 7)2 1(log 2 2 + - =x （10分） 当4 7)(log ,2,2 1log min 2 2 = == x f x x 时即（12分） 30. 三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524、746 等都是凹数.那么，各个数位上无重复数字的三位凹数共有 个 240 D 1 C 1 F A 1 C B 1 G E A D A B C D B ① ② 31. 在容量为10的一个样本中，已知S=9，那么 （ D ） A 、S*的值不可能求出 B 、S*=10 C 、S*=90 D 、S*=310 32. 在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得 到的数能被5或2整除的概率是 （ Ｂ ） A 、0.8 B 、0.6 C 、0.4 D 、0.2 33. 有一台坏天平，两臂长不相等，其余均精确，现用它称物体的重量，将物体放在左右托 盘各称一次，重量分别为a 、b ，则该物体的真实重量为 （ Ｂ ） A 、 2 b a + B 、ab C 、 2 2 2b a + D 、 b a 112+ 34. 设曲线)0(:2>=x x y c 上的点为),,(000y x P 过P 0作曲线c 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y 轴的直线与曲线c 交于),(111y x P ，然后再过P 1作曲线c 的切线交x 轴于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线c 交于),(222y x P ，依此类推，作出以下各点：P 0，Q 1，P 1，Q 2，P 2，Q 3，…P n ，Q n+1…，已知20=x ，设))(,(N n y x P n n n ∈ （1）求出过点P 0的切线方程； （2）设),(n f x n =求)(n f 的表达式； （3）设,10n n x x x S +++= 求 解：（1）4200 ==x k ∴过点P 0的切线段为)2(44-=-x y 即044=--y x （4分） （2）n n x k 2= ∴过点P n 的切线方程为) (22 n n n x x x x y -=- （6分） 将)0,(11++n n x Q 的坐标代入方程得：)(212 n n n n x x x x -=-+ 2 1211 =? =∴++n n n n x x x x （8分） 故数列}{n x 是首项为2 1,20公比为 =x 的等比数列 1 )2 1()()21(2)(-=?==∴n n n n f n f x 即 （10分） （3） )2 1 1(42 1 1) 2 11(21 1 ++- =?- -= n n n n S S （12分） 4 )2 11(4lim lim 1 =- =∴+∞ →∞ →n n n n S （14分） 35. 已知图①中的图象对应的函数)(x f y =，则图②中的图象对应的函数 在下列给出的四式中，只可能是 （ Ｃ ） A ．|)(|x f y = B ．|)(|x f y = C ．|)|(x f y -= D ．|)(|x f y -= 36. 如图，已知多面体ABC —DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两 互相垂直，平面ABC//平面DEFG ，平面BEF//平面ADGC ， AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为（ Ｂ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 37. （如图）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1 及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹 是 （ A ） A ．线段B 1C B ．线段BC 1 C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段 D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 38. （理）已知双曲线12 22 2=- b y a x 的离心率2= e ，一条 准线方程为2 2= x ，直线l 与双曲线右支及双曲线的渐 近线交于A 、B 、C 、D 四点，四个点的顺序如图所示. （Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）求证：|AB|=|CD|； （Ⅲ）如果|AB|=|BC|=|CD|，求证：△OBC 的面积为定值. （文）已知函数) 0,0,,,(1 )(2 >>∈++= =b a R c b a c bx ax x f y 是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2 ， 其中b ∈N 且f (1)2 5<. （Ⅰ）试求函数f (x )的解析式； （Ⅱ）问函数f (x )图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标;若不存在，说 明理由. （理）解（Ⅰ）由已知 .2,1.2 2, 22 = =∴= =c a c a a c ∴所求双曲线的方程x 2 －y 2=1………………………………………………2分 （Ⅱ）解法一 设l :x =my +b ,(m ≠±1) 由).1,1( m b m b A b my x x y -- -?? ? +==得 由).1,1(m b m b D b my x x y +-+?? ?+=-=得 )1, 1( 2 2 m bm m b AD --∴中点坐标为………………………………………………4分 2 212 222212012)1(1m mb y y b mby y m b my x y x -= +∴=-++-???+==-得由 )1, 1( 2 2 m bm m b BC --∴中点坐标为 (6) 分 ∴AD 中点与BC 中点为同一点，又A 、B 、C 、D 四点共线，∴|AB|=|CD|.……7分 解法二： 当l 倾斜角为90°时，设l :x =m ,(m >1). .|||1|||)1,(),1, (),,(),,(22 2 CD m m AB m m C m m B m m D m m A =-- =∴----∴ (3) 分 当l 倾斜角不是90°时，设l :y =kx +b ,(k ≠±1). ).1,1(k b k b A b kx y x y --?? ?+==得 由).1, 1(k b k b D b kx y x y ++- ?? ?+=-=得).1, 1( 2 2 k b k bk AD --∴中点坐标为…………4分 由.12)01.(012)1(12 21222222k bk x x k b bkx x k b kx y y x -=+∴≠-=----???+==-得 ).1, 1( 2 2 k b k bk BC --∴中点坐标为 (6) 分 ∴AD 中点与BC 中点为同一点，又A 、B 、C 、D 四点共线，∴|AB|=|CD|.……7分 （Ⅲ）设A(a ,a ) D(b ,－b ) a >0, b >0 ∵|AB|=|BC|=|CD| )2(3 12 12) 2(3 12 12b a b a y b a b a x c c -=+-= +=++= ∴ 即)3 2,32( b a b a C -+…………………………………………………………………9分 ∴点C 在双曲线上 891 ) 3 2( )3 2( 2 2 =∴=--+∴ab b a b a ……………11分 8 331226 1||||21313 1= = ? =??= = ??ab b a OD OA S S OAD OBC 又……………13分 ∴△OBC 的面积为定值. （文）（Ⅰ）∵f (x )是奇函数 ∴f (―x )=―f (x ) 即0.1 1 2 2 =∴-=+∴+-+- =++c c bx c bx c bx ax c bx ax ……………………2分 2 2 2 11 )(0,0b a bx x b a bx ax x f b a ≥+ = += ∴>> ，……………………4分 当且仅当，a x 1= 时，等号成立.于是2 2 22 b a b a =∴=…………………6分 02522 512 512 5)1(2 2 <+-∴< +< ++< b b b b c b a f 即 得 由 解得11. 22 1==∴∈< x x x f 1)(+=∴…………………………………………………………………………8分 （Ⅱ）设存在一点(x 0,y 0)在y=f (x )图象上,并且关于(1,0)的对称点 (02x -、y 0)也在y =f (x )图象上，…………………………………………………9分 则 00 2 00 2 021 )2(1y x x y x x -=-+-=+…………………………………………11分 关于点 图象上存在两点 得消)22,21(),22,21()(2 1.012002 00-- + =∴±==--x f y x x x y （1，0）对称…………………………………………………………………………13分 39. 对于函数f(x)=ax 2+bx+c （a ≠0）作代换x=g （t ），则不改变函数f(x)的值域的代换是 Ｄ A ．g （t ）=2t B ．g(t)=|t | C ．g(t)=sint D ．g(t)=log 2t 40. 若将离心率为 4 3的椭圆 )0(12 22 2>>=+ b a b y a x 绕着它的左焦点按逆时针方向旋转 2 π 后，所得新椭 圆的一条准线方程是3y +14=0，则新椭圆的另一条准线方程是 Ｃ A ．0143=-y B ．0233=-y C ．0503=-y D ．0323=-y 41. 数列满足条件： ①任意连续二项的和大于零；②任意连续三项的和小于零. 则这样的数列最多有 项. 3 42. 设数列}{n a 的首项a 1=1,前n 项和S n 满足关系 )4,3,2,0(3)32(31 =>=+--n t t S t tS n n . （Ⅰ）求证：数列}{n a 是等比数列； （Ⅱ）设数列}{n a 的公比是f （t ）作数列}{n b ，使),4,3,2)(1( ,11 1 ===-n b f b b n n 求b n 及;lg lim n n n b a ∞ → （Ⅲ）求和：.)1(1143322120+--+-+-=n n n b b b b b b b b B （I ）证明：由已知得),4,3(3)32(321 ==+---t t S t tS n n 减去已知式，化得t t a a n n 3321 += -.当n =2时， 由已知式及a=1得. 332.3321 22 t t a a t t a += ∴ += 数列{a n }是以 1为首项， t t 332+为公比的等比数列.（4分）（II ）解： {} n n n n n b b b b b b ∴+= += =---.3 233 2 ,111 1 1是以1为首项，3 2为公差的等差数列 ) 9.(332lg 2 3332lg 1 2)1(3lim 3 12) 33 2lg( lim lg lim ,) 332( 3123 2) 1(11 1 分又t t t t n n n t t b a t t a n n b n n n n n n n n n +=++-= ++=∴+=+= -+=∞ →-∞ →∞ →-（III ）解： ). 32)(12(9 ) 1() 1(1 11 ++-= --+-k k b b k k k k 当k 为偶数时， ) 12(9 4)32)(12(9 1)12)(12(9 1) 1() 1(11 12 +-=++-+-= -+-+---k k k k k b b b b k k k k k k 当n 为偶数时，将相邻两项配对，则);3(9 2)]12(1395[9 4+- =+++++- =n n n B n 当n 为奇数时， 2 1121267 (1)(2)(21)(23).9 9 9 n n n n n n B B b b n n n n -+++=+=- -++ ++= （14分） 43. 设20()(1) x a x f x f x x -?-≤=? ->?， 若()f x x =有且仅有两解，则实数a 的取值范围是：2a < 44. A 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x + 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析 方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的 最大值为( ) A.2 3 B ．1 C.32 D ．3 答案 D 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析 作出可行域如图． 图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11 抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 高考数学选择题专项训练（二） 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是（ ）。 （A ）x =-2π （B ）x =-4π （C ）x =8 π （D ）x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是（ ）。 （A ）n //α （B ）n //α或n ?α （C ）n ?α或n 不平行于α （D ）n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么y c x a +的值为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、如果在区间[1, 3]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对．． 的是（ ）。 （A ）f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) （B ）f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) （C ）f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 （D ）f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中，有理数的项共有（ ）。 （A ）4项 （B ）6项 （C ）25项 （D ）26项 6、等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n , T n =n n a S ，则有（ ）。 （A ）T 1 7、设集合A ＝ο/，集合B ＝{0}，则下列关系中正确的是（ ） （A ）A ＝B （B ）A ?B （C ）A ?B （D ）A ?B 8、已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是（ ） （A ） x ＋y ＋1＝0 （B ）x －y ＋1＝0 （C ）x ＋y －1＝0 （D ）x ―y ―1＝0 9、已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是（ ） （A ）16 （B ）±16 （C ）2 （D ）±2 10、已知函数y ＝1 -x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减 （B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增 （C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减 （D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增 11、在(2－x )8的展开式中，第七项是（ ） （A ）112x 3 （B ）－112x 3 （C ）16x 3x （D ）－16x 3x 12、设A ＝{x | x 2＋px ＋q ＝0},B ＝{x | x 2＋(p －1)x ＋2q ＝0}, 若A ∩B ＝{1}，则（ ）。 （A ） A ?B （B ）A ?B （C ）A ∪B ＝{1, 1, 2} （D ）A ∪B ＝(1,－2) 集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?， 求实数a 的取值范围． 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求 实数a 的值． 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . 高考数学选择题专项训练（十）1、平面α与平面β平行，它们之间的距离为d (d>0)，直线a在平面α内，则在平面β内与直线a相距2d的直线有（）。 （A）一条（B）二条（C）无数条（D）一条也没有2、互不重合的三个平面可能把空间分成（）部分。 （A）4或9 （B）6或8 （C）4或6或8 （D）4或6或7或8 3、若a, b是异面直线，a?α,b?β,α∩β＝c，那么c（）。（A）同时与a, b相交（B）至少与a, b中一条相交（C）至多与a, b中一条相交（D）与a, b中一条相交, 另一条平行4、直线a//平面M，直线b?/M, 那么a//b是b//M的（）条件。（A）充分不必要（B）必要而不充（C）充要（D）不充分也不必要5、和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是（）。 （A）7个（B）6个（C）4个（D）3个 6、在长方体相交于一个顶点的三条棱上各取一个点，那么过这三点的截面一定是（）。 （A）三角形或四边形（B）锐角三角形（C）锐角三角形或钝角三角形（D）钝角三角形7、圆锥底面半径为r，母线长为l，且l>2r, M是底面圆周上任意一点，从M拉一条绳子绕侧面转一周再回到M，那么这条绳子的最短长 度是（ ）。 （A ）2πr （B ）2l （C ）2lsin l r π （D ）lcos l r π 8、α、β是互不重合的两个平面，在α内取5个点，在β内取 4个点，这些点最多能确定的平面个数是（ ）。 （A ） 142 （B ）72 （C ）70 （D ）66 9、各点坐标为A(1, 1)、B(－1, 1)、C(－1, －1)、D(1, －1)，则 “点P 在y 轴”是“∠APD ＝∠BPC ”的（ ）。 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 10、函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 11、若直线y ＝x ＋b 和函数y ＝21x -有两个不同的交点，则b 的取值范围是（ ）。 （A ）(－2, 2) （B ）[－2, 2] （ C ）(－∞,－2)∪[2, ＋∞） （D ）[1, 2） 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析 设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A 解析 根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分 组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即 所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集： 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 高考数学选择题专项训练（九） 1、如果(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋……＋(1＋x)50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋……＋a 50x 50，那么a 3等于（ ）。 （A ）2350C （B ）351C （C ）451C （D ）450C 2、299除以9的余数是（ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）8 3、化简)4 sin()4cos()4sin()4cos(x x x x +π++π+π-+π的结果是（ ） 。 （A ）－tanx （B ）tan 2 x （C ）tan2x （D ）cotx 4、如果函数y ＝f (x)的图象关于坐标原点对称，那么它必适合关系式（ ）。 （A ）f (x)＋f (－x)＝0 （B ）f (x)－f (－x)＝0 （C ）f (x)＋f －1(x)＝0 （D ）f (x)－f －1(x)＝0 5、画在同一坐标系内的曲线y ＝sinx 与y ＝cosx 的交点坐标是（ ）。 （A ）(2n π＋2π, 1), n ∈Z （B ）(n π＋2 π, (－1)n), n ∈Z （C ）(n π＋4π, 2)1(n -), n ∈Z （D ）(n π, 1), n ∈Z 6、若sin α＋cos α＝2，则tan α＋cot α的值是（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2 7、下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ）。 （A ）f (x)＝ 22tan 1tan x x ππ+ （B ）f (x)＝22tan 1tan x x - （C ）f (x)＝cos 22x －sin 22x （D ）f (x)＝2sin 2 (x －2 3π) 8、在△ABC 中，sinBsinC ＝cos22A ，则此三角形是（ ）。 （A ）等边三角形 （B ）三边不等的三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上答案都不对 9、下列各命题中，正确的是（ ）。 （A ）若直线a, b 异面，b, c 异面，则a, c 异面 （B ）若直线a, b 异面，a, c 异面，则b, c 异面 （C ）若直线a//平面α，直线b ?平面α，则a//b （D ）既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 10、斜棱柱的矩形面(包括侧面与底面)最多共有（ ）。 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）6个 11、夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是（ ）。 （A ）两条线段同时与平面垂直 （B ）两条线段互相平行 （C ）两条线段相交 （D ）两条线段与平面所成的角相等 12、如果正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧棱与底面所成的角θ 应属于下列区间（ ）。 （A ）(0, 6π) （B ）(4π, 3π) （C ）(6π, 4π) （D ）(3π, 2π) 一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1 题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五 222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称 高中数学新课标典型例题：子集、全集、补集·典型例题 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈＝ 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 解含有个元素的子集有：； 0? 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． 说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ? 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ． 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． 点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠?? 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除 )的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法． 高考数学《集合》专项 练习(选择题含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 《集合》专项练习参考答案 1．（2016全国Ⅰ卷，文1，5分）设集合，，则A ∩B ＝（ ） （A ）{1，3} （B ）{3，5} （C ）{5，7} （D ）{1，7} 【解析】集合A 与集合B 的公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，故选B ． 2．（2016全国Ⅱ卷，文1，5分）已知集合，则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【解析】由29x <得33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{1,2}A B =，故选D ． 3．（2016全国Ⅲ卷，文1，5分）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ＝（ ） （A ）{48}， （B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ） {0246810}，，，，， 【解析】由补集的概念，得{0,2,6,10}A B =，故选C ． 4．（2016全国Ⅰ卷，理1，5分）设集合， ， 则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【解析】对于集合A ：解方程x 2－4x ＋3＝0得，x 1＝1，x 2＝3，所以A ＝{x |1＜x ＜3}（大于取两边，小于取中间）．对于集合B ：2x －3＞0，解得x ＞ 23．3{|3}2 A B x x ∴=<<．选D ． 5．2016全国Ⅱ卷，理1，5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【解析】要使复数z 对应的点在第四象限，应满足3010 m m +>??-，则S ∩T ＝（ ） (A) [2，3] (B)（－∞ ，2] [3，＋∞） (C) [3，＋∞） (D)（0，2] [3，＋∞） {1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤{123}A =， ，，2{|9}B x x =<{210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}， ，{12}，2{|430}A x x x =-+<{|230}B x x =->3(3,)2--3(3,)2-3(1,)2 3(,3)2 近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 三基小题训练一 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是 （ ） 2.△ABC 中，cos A = 135 ，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A. 65 56 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ） A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ） A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ） A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ） A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
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