用待定系数法求一下函数解析式

求一次函数解析式教案

京山县石龙镇中学赖光彩

教学目标：

1、理解待定系数法，并会用待定系数法求一次函数的解析式；

2、能结合一次函数的图象和性质，灵活运用待定系数法求一次函数解析式；

3、能根据函数图象确定一次函数的表达式，并由此进一步体会数形结合的思想；

4、通过引入待定系数法的过程，向学生渗透转化的思想，培养学生分析问题，解决问题的能力.

教学重点与难点：

1、重点：用待定系数法求一次函数的解析式；

2、难点：结合一次函数的性质，用待定系数法确定一次函数的解析式.

教学方法：引导探究法

教学过程：

一．创设情境，提出问题

1.练一练：画出函数y= 2x与y= -3/2 x +3的图象

反思：你在作这两个函数图象时，分别描了几个点？你为何选取这几个点？可以有不同取法吗？

2.引入新课：上节课我们学习了给定解析式的前提下，可以画函数的图像，反之，如果给你图像，能否求出函数的解析式呢？这将是本节课我们要研究的问题。二．提出问题，探究新知：

1.求下图中直线的解析式

考考你：1、已知一次函数解析式如何画它的函数图象？

2、已知一次函数的图象怎样求它的函数解析式？

形成概念：像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．

三．应用举例，感悟新知：

例1、已知一次函数的图象过点（3,5）与（-4，9）求这个一次函数的解析式．教师引导学生想一想：已知函数图像和点的坐标，怎样求函数的解析式，

大家讨论以后再表述出来。

师生共同归纳：用待定系数法求一次函数关系的一般步骤：

可归纳为：“一设、二列、三解、四写”

一设：设出函数关系式的一般形式y=kx+b;

二列：根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元一次方程组；

三解：解这个方程组，求出k、b的值；

四写：把求得的k、b的值代入y=kx+b，写出函数关系式.

四．综合运用：

小试牛刀：1.已知y是x的一次函数，当x=-1时y=3，

当x =2 时y=-3，求y关于x 的一次函数解析式．

2.判断三点A（3，1）B（0，-2）C（4，2）是否在同一条直线上．

[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过

这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，

若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上

例2、若一次函数的图象经过点A(2,0)，且与直线y=-x+3平行，求其解析式。解：∵一次函数图象与直线y=-x+3平行∴设一次函数解析式为y＝-x＋b．由直线经过点A(2,0)得0=-2+b 解得b=2 ∴函数解析式为y= -x+2五．当堂检测:1、若一次函数y=3x-b的图象经过点P(1，－1)，则该函数图象必过点（）

A （－1，1）

B (2，2)

C （－2，2）

D (2，一2)

2、若函数y=kx+b的图象平行于y= -2x的图象，且经过点（0，

4），则k= ，b= 。

3、若一次函数的图象与直线y=-3x+2交y轴于同一点，且过点(2,-6)，求此函数解析式

4. 在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买

400kg,单价是多少?

六．课堂小结：

通过本节课学习，你有哪些收获？

用待定系数法求函数的解析式教案

运用待定系数法求函数的解析式(教案) 教学目标： 1.了解用待定系数法求函数解析式的一般步骤; 2.掌握用待定系数法求函数的解析式的方法; 3.通过自主、合作学习，培养学生勇于探索、勤于思考的精神. 教学重点：用待定系数法求函数的解析式 教学难点:选设适当形式的函数解析式并用待定系数法求出解析式 教学设计： 一、基础扫描 1．已知一次函数y=kx+3的图像经过两点A(2,-1)，则k=__________． 2．已知反比例函数 k y x =的图象经过（1，－2）．则k=__． 3．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.求经过A、B、C三点的抛物线的解析式. 4．抛物线的顶点为（-2，-3），且过点（0，-7），求该抛物线的解析式． 问题1：结合上述四题，说说何为待定系数法？（板书课题） 问题2：谈谈用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数解析式的一般步骤. 二、课内探究 活动一：一次函数的解析式的确定 1．与直线y=x平行，并且经过点P（1,2）的一次函数解析式为_________. 2．如图,在平面直角坐标系中,A、B均在边长为1的正方形网格格点上. (1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当02 y ≤≤时,自变量x的 取值范围； (2)将线段AB绕点B逆时针旋转90,得到线段BC,请在图中画出线段 BC.若直线BC的函数解析式为y kx b =+, 则y随x的增大而(填“增大”或“减小”). 活动二：反比例函数解析式的确定 1．如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为（） A． 2 y x =B． 2 y x =-C． 1 2 y x =D． 1 2 y x =-

换元法求函数值

换元法求函数值 函数求值问题涉及很多方面： 1．分段函数求值问题，关键在于准确确定与自变量对应的函数解析式。 2．利用函数性质求值的关键在于利用函数的奇偶性、周期性或对称性等将自变量转化到已知区间内求解。 3．对于自变量之间存在某种特殊关系的函数求值问题，要注意与自变量对应的函数值之间关系的建立。 这里我们重点研究换元法求函数值，请看下面例子： 【典例】 设x ∈R ，若函数f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln2)的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 因为f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1，所以f (x )－e x 必然是一个常数，设f (x )－e x ＝t (t 为常数)，则f (x )＝e x ＋t ，故f (t )＝e t ＋t 。由已知可得f (t )＝e ＋1，所以e t ＋t ＝e ＋1。又函数y ＝e x ＋x 在R 上是单调递增的，显然t ＝1，所以f (x )＝e x ＋1，故f (ln2)＝e ln2＋1＝3。故选C 。 【答案】 C 先利用换元法，根据已知求出函数f (x )的解析式，然后代入 求值。 【变式训练】 设定义在R 上的函数f (x )满足f (tan 2x )＝1cos2x ， 则f ? ????12 017＋f ? ????12 016＋…＋f ? ????13＋f ? ?? ??12＋f (0)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝________。 解析 设t ＝tan 2x ，则1cos2x ＝1cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan 2x 1－tan 2x ＝1＋t 1－t ，所以f (t )＝1＋t 1－t 。故f (t )＋f ? ????1t ＝1＋t 1－t ＋1＋1t 1－1t ＝1＋t 1－ t

一次函数——待定系数法专题训练

一次函数——待定系数法专题训练 一、基础训练 1、已知 y a +与x a +（a,b 为常数）成正比例，且当x=3时，y=5；当x=2时，y=2，求y 与x 的函数关 系式 2、已知以此函数图像经过点A （3，4）和B （－1，2） （1）求一次函数的解析式 （2）求OAB 的面积 3、已知：直线1l :24y x =+与直线2l 交于点A （－1，a ），且直线2l 与直线1y x =-没有交点，求直线2l 的函数解析式 4、已知直线y kx b =+经过P （3，2），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 和点B ，若OA+OB ＝12，求直线的函数解析式 5、若一次函数y kx b =+，当自变量的取值为2x -≤≤6时，对应的函数值为119y -≤≤，求函数解析式 二、能力提高 6、将直线1l ：24y x =-向左平移5个单位长度得到直线2l （1）求直线2l 的函数解析式 （2）若直线2l 与直线3l ：2y kx =-及y 轴围成三角形面积为12个平方单位，求直线3l 的函数解析式 （3）若直线2l 与直线3l ：2y kx =-交于第三象限，2l 、3l 及x 轴围成三角形的面积为9个平方单位，求直线3l 的函数解析式

7、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+（k<0,b<0）的图像分别与x 轴、y 轴和直线x=4交于点A 、B 、C ，直线x=4与x 轴交于点D ，梯形OBCD （O 为坐标原点）的面积为10，若A 的横坐标为1 2 - ，求这个一次函数的解析式 8、如图所示，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，a ）在第一象限内，直线PA 交y 轴与点C （0，2），直线PB 交y 轴于点D ，6AOP S = （1） 求COP S （2）求点A 的坐标及a 的值 （3）若BOP DOP S S = ，求直线BD 的解析式 9、如图所示，已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，另一直线y kx b =+经过点C （1，0），且把 AOB 分成两部分，若 AOB 被分成的两部分的面积比为1：5，求k, b 的值 10、如图所示，正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 在x 轴正半轴上，A 点坐标为（1，0） （1） 经过点C 的直线48 33 y x = -与x 轴交于点E ，求四边形AECD 的面积 （2） 若直线经过点E 且将正方形ABCD x=4

专题用待定系数法求二次函数的解析式

精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标） 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的

精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0）， （1Q 点坐15（1（2）

换元法解复合函数零点问题(6lw)

换元法解复合函数零点问题 1、设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由 3个不同的解123,,x x x ，则222 123x x x ++=______ 2、关于x 的方程( ) 2 2 21 3120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 3、已知函数 11()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2 ()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 4、已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,02 12,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方程 ()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5、已知函数()2 43f x x x =-+，若方程()()2 0f x bf x c ++=????恰有七个不相同的实 根，则实数b 的取值范围是（ ） A. ()2,0- B. ()2,1-- C. ()0,1 D. ()0,2 6、已知函数()2 1,0 log ,0ax x f x x x +≤?=?>?，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正 确的是（ ） A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点 B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点 C. 无论a 为何值，均有2个零点 D. 无论a 为何值，均有4个零点

高中数学解题思路大全：用待定系数法求三角函数最值

用待定系数法求三角函数最值 武增明 用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。 例1. 设x ∈（0，π），求函数x sin 22x sin y +=的最小值。 分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。 因为 sinx ＞0， 所以2x sin 22x sin 2x sin 22x sin y =?≥+=。故y min =2。 显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由 x sin 22x sin =得sinx=2，这样的x 不存在，故为错解。 事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这 个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0＜λ＜2，使x sin 2x sin 2x sin y λ-+λ+=。由均值不等式及正弦函数的有界性，得λ-+λ≥λ-+λ?≥22x sin 2x sin 2x sin 2y 。 当且仅当x sin 2x sin λ=且sinx=1，即λ=21时，上式等号成立。将λ=21代入，得y min =2 5。 另解：y=)x sin 4x (sin 21+。 令sinx=t(0＜t ≤1＝，易证)t 4t (21y +=在（0，1]上单调递减，所以25)141(21y min =+=。 例2. 当x ∈(0，2π)时，求函数x cos 2x sin 36y +=的最小值。 分析：因为x ∈(0， 2 π)，所以sinx ＞0，cosx ＞0，引入大于零的待定系数k ，则函数x cos 2x sin 36y +=可变形为x cos 1x cos 1x sin k x sin 33x sin 33y 2++++=+kcos 2x －k ≥

用待定系数法求函数表达式

21.3用待定系数法确定一次函数表达式 【教材分析】 本节是冀教版数学八年级下册第二十一章第三节内容.在此之前学生已经能够根据实际问题的意义写出函数表达式,并且知道一次函数的意义及其性质,本节是在此基础上学习确定一次函数的表达式的方法,这一节内容在本章及初中的函数学习中都占有重要地位. 【教学目标】 （1）知识与技能：1、能依照不同情境选择确定一次函数表达式的方法. 2、会用解二元一次方程组的方法求y=kx+b中的待定系数k与b. （2）过程与方法：经历观察、猜测、探索、合作交流等过程，锻炼学生的总结归纳能力，培养学生数形结合的数学思维. （3）情感态度价值观：通过观察、讨论、交流，培养探索精神、合作精神. 【教学重难点】 重点：利用待定系数法求一次函数的表达式 难点：待定系数法的探索过程 【教学方法和手段】 1、综合采用启发式、讨论式、探究式的教学方法 2、借助多媒体课件运用联想、猜测、观察、讨论等多种教学手段 【教学过程设计】 (一) 创设情境 利用多媒体课件出示温故而知新的画面,出示复习问题 1 、请你给大家说一说一次函数和正比例函数的意义 2、请你为大家描述一下一次函数和正比例函数图像的特点 3 、请你在平面直角坐标系中画出正比例函数y=2x和一次函数y=2x+3的图像 （设计意图:问题1、2 为本课课题服务的.在质疑中发现问题,在问题中展开教学,可以激活学生的数学思维,在解决问题中深化学生对知识的理解.） (二)尝试与探索 通过正比例函数和一次函数表达式,我们可以画出它们的函数图像;反过来,如果给你一个函数图像,你能求出它的函数表达式吗?我们一起来看下面两个问题. 1、抛出问题 (1)现有位同学画了如图所示的一条直线，但是他忘记了写表达式，

函数求值域方法之值域换元法

函数求值域方法之值域换元法

函数求值域方法之值域换元法 求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。 五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法（难度较大）；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法 类型一：一般换元法 形如：y=ax+b ±d cx + 方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t=d cx +，用t 表示x ，带入原函数得到一个关于t 的二次函数，求解值域即可。 例1：求函数1)(--=x x x f 的值域 分析：本题),1[+∞∈x ，在取值区间内，x 单调增，1-x 单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。 解：另1-=x t （0≥t ），则12+=t x ， 代入)(x f 得1)(2+-=t t x f （0≥t ） 本题实求二次函数在指定区间内的范围

③巧用万能公式：2 tan 12tan 2sin 2θ θ θ+= 2 tan 12tan 1cos 2 2 θ θθ+-= 三角换元时，尤其注意确定好θ的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明。 例2：求21)(x x x f -+=的值域 分析：本题若使用一般换元法，则只能得到2x 与2t 之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为2x 前面的系数是-1，所以使用公式①换元 解：令θsin =x ， 012≥-x ，∴]1,1[-∈x ，]1,1[sin -∈∴θ 另]2 ,2[π πθ- ∈（原因：方便后面化出来的θcos ，不用讨论正负性了） 代入)(x f ，得θθ2sin 1sin )(-+=x f =|cos |sin θθ+ ]2 ,2[π πθ- ∈，θθcos sin )(+=∴x f 辅助角公式，合一变形得：)4sin(2)(πθ+=x f （]2 ,2[π πθ-∈） ]4 3,4[4 π ππ θ- ∈+ ，∴]2,1[)(-∈x f 变式：求22)(x x x f -+=的值域 分析：另θsin 2=x 即可

二次函数待定系数法求函数解析式

精心整理 专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方 2. 3. 4. 5. 6. 7. 线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标； 8.已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点.求此抛物线的解析式.

9.如图所示，求此抛物线的解析式。 10.如图，抛物线c bx x y ++-=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式． 11．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过点A （－1，0），C （0， 4）. （1（212.. 13.3）. 和y 二、已知顶点或对称轴求解析式 1.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0），求该二次函数的解析式. 2.已知二次函数图象的顶点是（1，－3），且经过点M （2，0），求这个函数的解析式.

3.如果抛物线的顶点坐标是（3，－1），与y 轴的交点是（0，－4），求它的解析式。 4.已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋k ＋3，若抛物线的顶点在y 轴上，求此抛物线的解析式。 5.已知抛物线经过点A （1，0），B （0，3），且对称轴是直线x ＝2，求该抛物线的解析式. 6.已知某二次函数，当x =3时，函数有最小值－2，且函数图象与y 轴交于)2 5 ,0(，求此二次函数的解析式。 7. 8.9.10.直线x ＝1的函 11.如图，已知抛物线的顶点为A （1， 4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点.P 是x 轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式；（2）当P A ＋PB 的 1 0 1 2 3 10 5 2 1 2

一次函数待定系数法

用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与实际问题 姓名 一．选择题 1.直线y=4x+b 经过点（2,1），则b 的值为（ ） A ．1 B.5 C.-5 D.-7 2．一次函数的图象经过点A （-2，-1），且与直线y=2x-3平行，?则此函数的解析式为（ ） A ．y=x+1 B.y=2x+3 C ．y=2x-1 D ．y=-2x-5 3．已知一次函数y=kx+b ，当x=1时，y=2，且它的图象与y?轴交点的纵坐标是3，则此函数的解析式为（ ） A ．y=x+3 B ．y=2x+3 C ．y=-x+3 D ．不能确定 4. 将直线y=2x 向右平移2个单位所得的直线解析式为（ ） A .y=2x-2 B. y=2x+2 C. y=2（x-2） D. y=2（x+2） 5.一根弹簧的原长为12 cm ，它能挂的重量不能超过15 kg 并且每挂重1kg 就伸长1 2 cm ，写 出挂重后的弹簧长度y （cm ）与挂重x （kg ）之间的函数关系式（ ） A 、y = 1 2 x + 12（0＜x ≤15） B 、y = 1 2 x + 12（0≤x ＜15） C 、y = 12 x + 12（0≤x ≤15） D 、y = 1 2 x + 12（0＜x ＜15） 6.如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y （元）与销售量x （件）之间的函数图象.下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（ ） A ．①② B ．②③④ C ．②③ D ．①②③ 7.在一定范围内，某产品的购买量y （吨）与单价x （元）满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨800元，购买2000吨，每吨700元，如客户购买400吨，单价为（ ） A ．820元 B.840元 C.860元 D.880 二．填空题 1．已知一次函数的图象经过点A （1，4）、B （4，2），?则这个一次函数的解析式为___________． 2．如图1，该直线是某个一次函数的图象，?则此函数的解析式为_________． 图 1 图 2

待定系数法求解析式

待定系数法求函数解析式 【要点梳理】 一．已知三点求抛物线解析式 例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式． 例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式． 三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式 例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式． 四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式 例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 五．求平移后新抛物线解析式 例6把抛物线2x y- =向左平移1个单位，然后 向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式． 六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式 例7 在一张纸上作出函数3 2 2+ - =x x y的图 象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数 3 2 2+ - =x x y的图象关于x轴对称的抛物线， 并写出新抛物线解析式． 【课堂操练】 1．求下列条件下的二次函数解析式： （1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）． （2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）． 2．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于y轴对称的抛物线解析式． 3．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于x轴对称的抛物线解析式． 4．已知二次函数c bx x y+ + =2 2 1 的图象过点A （c，－2），，求证：这 个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线 上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字． （1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题 目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程； 若不能，请说明理由． （2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添 加一个适当的条件，把原题补充完整． 【课后巩固】 1．将抛物线2 y x =的图像向右平移3个单位，则 平移后的抛物线的解析式为___________． 2．二次函数3 4 2+ + =x x y的图象可以由二次 函数2x y=的图象平移而得到，下列平移正确的 是（） A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 3．已知2 y ax bx c =++的图象过（－2，－6）、 （2，10）和（3，24）三点，求函数解析式． 4．已知函数2 y ax bx c =++，当x＝1时，有最 大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的 解析式． 5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别 为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解 析式．

用待定系数法求数解析式

用待定系数法求数解析式

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用待定系数法求二次函数解析式 二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式，要观察题目中给出的条件，灵活选用方法。一般地，有三个点且点不是特殊点时，一般采用一般式；若有三个点，且有二点为函数图像与x 轴交点时，采用交点式；若有顶点时，一般采用顶点式。同时，在采用交点式时，要注意二次项系数a 不能漏掉。应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。即：根据已知条件列出关于a 、b 、c 或h 、k 及x 1、x 2的方程(注意有几个未知数就列出几个方程)；解方程组求出待定的系数；写出解析式，要化为一般式． (1)一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) ⑵顶点式：y=a(x-h)2＋k(a ≠0)，（h,k ）是抛物线顶点坐标。 (3)交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)，x 1，x 2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标． 思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。 例1 图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求这个二次函数的关系式． 解：分析：因为图像过三点，且三个点不属于特殊点。因此，只能采用一般式求解。 设函数解析式为y=ax 2+bx+c ∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1） c=1 ∴ a+b+c=2 4a+2b+c=-1 解之得a=-2，b=3，c=1； ∴函数解析式为y=-2x 2+3x+1 小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。 思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。 例2 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式． 分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9． 根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。试一试，比较一下。 思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用交点 的形式，其中x 1、x 2， 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。 一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1 ，x 2 为两交点的横坐标。 例3已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 解 设所求二次函数为，y=a(x+2)(x-4)，由于这个函数的图象过（0，3），可以得到a(0+2)×(0-4)=3 解这个方程组，得a= -38 所以: y= -38(x+2)(x-4)= 233 384 x x -++. 所以，所求二次函数的关系式是y= 233 384 x x -++. 思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用︱x 1-x 2︱2=（x 1+x 2）2 -2x 1x 2的形式来求，其中︱x 1-x 2︱ 为两交点之间的距离， x 1、x 2为图象与 轴相交的交点的横坐标。 4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成y=a(x-h)2＋k 的形式，若图象向左（右）移动m 个单位，括号里-h 的值就加（减）m 个单位；若图象向上（下）平移 n

换元法求函数值域

换元法求函数值域 Prepared on 24 November 2020

换元法求函数值域 某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。形如y ax b cx d =+±+ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，可以令t cx d + ≥0),则有2 t cx d =+ ∴2t d x c -= ∴2t d y a b t c -=?+± ； 从而就把原函数化成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数t 的取值范围。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。 例1、求函数313y x x =+- 分析：函数313y x x =-形如y ax b cx d =++ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，因此，可以考虑用换元法。 解：令13(0)t x t =-≥，则213t x =- ∴2 13 t x -= ∴原函数可化为2133t y t -=?+=21t t -++=215()24 t --+ ∴ 其函数图像如图1所示 ∴当12t = 时，即14 x =时 y 取得最大值max y =54,无最小值。 ∴函数313y x x =-的值域为（- ∞，54 ]。 例2、求函数4123y x x =-+- 解：[换元法] 令23t x =- (0)t ≥，则232 t x += ∴原函数可化为222313941252()248 t y t t t t +=?-+=++=++

∵0t ≥ ∴当0t =时，即32 x =时，y 取得最小值min y =5，无最大值。 ∴函数4123y x x =--的值域为[5 ，+∞）。 例3、求函数21y x x =-[4] 分析：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1] ，我们注意到1sin 1t -≤≤ ()22t π π -≤≤,因此,对于定义域为[-1，1]的函数,我们可以考虑用sin ()22x t t π π=-≤≤进行三角换元。 解：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1]， 设sin ()22x t t π π =-≤≤， 则原函数21y x x =-可化为sin cos y t t =+2)4 t π+ ∵22t ππ-≤≤ ∴3444t πππ-≤+≤ 看图像（图2）可知2sin()124 t π-≤+≤ ∴12)24 t π-≤+≤∴12y -≤≤即原函数的值域为[-12]。

利用待定系数法求函数解析式练习题

20.已知点A（ 1，）、B 、O（0,0），试说明A、O、B三点在同一条直线上。 22.为缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示．分别求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的函数关系式； 23.已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点P（-2，1），且一次函数图象与y轴交于点Q（0，3）。 （1）求出这两个函数的解析式； （2）在同一个坐标系内，分别画出这两个函数的图象。 24..若一次函数的图象与直线y=-3x+2交y轴于同一点，且过点(2,-6)，求此函数解析式25、某一次函数的图像与直线y=6-x交于点A(5,k),且与直线y=2x-3无交点，求此函数的解析式. 26、已知直线y=kx+b在y轴上的截距为－2，且过点（－2,3）. （1）求函数y的解析式；（2）求直线与x轴交点坐标；（3）x取何值时，y＞0； 27、直线x-2y+1=0 在y轴上的截距为______． 28.一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是-3≤x≤6相应函数值的范围是-5≤y≤-2,求这个函数的解析式. 29. 一次函数y=kx+b的图象过点(-2,5)，并且与y轴相交于点P，直线y=-1/2x+3与y轴相交于点Q，点Q与点P关于x轴对称，求这个一次函数解析式 30、正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为（3,4），并且OB＝5 （1）求△OAB的面积 （2）求这两个函数的解析式 3)3 ,1 (- -

6.一次函数y=kx+b中，kb>0,且y随x的增大而减小，则它的图象大致为（） 8.下面是y=k1x+k2与y=k2x在同一直角坐标系中的大致图象,其中正确的是( )

待定系数法求函数的解析式

一次函数的解析式 1、把y=kx+b （k ≠0，b 为常数）叫做一次函数的标准解析式，简称标准式。 直线过()11,y x ， ()22,y x =>2121x x y y k --=,或1212x x y y k --= b:与y 轴交点的刻度（ 纵坐标） 1：若点A （2，4）在直线y=kx-2上，则k=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．0 2：一条直线通过A （2,6），B （-1,3）两点，求此直线的解析式。 3：一条直线通过A （1,6），B （0,3）两点，求此直线的解析式。 4：若A （0，2），B （-2，1），C （6，a ）三点在同一条直线上，则a 的值为（ ） A ．-2 B ．-5 C ．2 D ．5 5.已知点M （4，3）和N （1，-2），点P 在y 轴上，且PM+PN 最短，则点P 的坐标是（ ） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（0，-1） D ．（-1，0） 6.如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （0，1）和B （2，0），当x ＞0时，y 的取值范围是（ ） A ．y ＜1 B ．y ＜0 C ．y ＞1 D ．y ＜2 7.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示 （1）当x ＜0时，y 的取值范围是______。 （2）求k ，b 的值．

用待定系数法求二次函数解析式 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。 C:与y轴交点刻度（纵坐标） 2、顶点式：y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。 3、交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2 ) (a≠0)，其中x 1 ,x 2 是抛物线与x轴的交点 的横坐标。 1.已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？ 2.已知二次函数的图象经过点)4 ,0( ), 5 ,1 (- - -和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 3. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？ 4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；求抛物线的解析式？ 5.. 已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？ 6.如图，已知两点A（－8，0），（2，0），与y轴正半轴交于点C（0、4）。求经过A、B、C 三点的抛物线的解析式。

用换元法求函数值域

1 用换元法求函数值域 【自我诊断】 1. 函数f (x )＝1 x ＋1＋1 的值域为_________． 【答案】(0，1]． 2．函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为_________． 【答案】[72，＋∞)． 【解析】方法一、2x －3，4x －13在定义域[134 ，＋∞)上都是增函数，所以f (x )≥f (2)． 方法二、f (x )的定义域是[134，＋∞)， 令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)， 则y ＝2×14(t 2＋13)－3＋t ＝12(t ＋1)2＋3，在t ∈[0，＋∞)单调递增， y ∈[72，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为[72 ，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为_________． 【答案】[3，＋∞)． 【解析】f (x )的定义域是[134 ，＋∞)， 令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)， 则y ＝2×14(t 2＋13)－3－t ＝12(t －1)2＋3，在[0，1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增， y ∈[3，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为[3，＋∞)． 4.函数y ＝e x 3＋e x 的值域为___________． 【答案】(0，1)． 【解析】f (x )的定义域是R ， 令3＋e x ＝t ，x ∈R ，则e x ＝t －3，t ∈(3，＋∞)， 则y ＝t －3t ＝1－3t ， 由t ∈(3，＋∞)，得3t ∈(0，1)，－3t ∈(－1，0)，1－3t ∈(0，1)． 函数y ＝e x 3＋e x 的值域为(0，1)． 5. 函数y ＝ln e x 3＋e x 的值域为___________． 【答案】(－∞，0)． 6.函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是___________．

函数待定系数法

函数待定系数法教学设计 教学目标 1.理解待定系数法； 2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题． 3、体会用"数形结合"思想解决数学问题． 教学重难点 待定系数法确定一次函数解析式 教学过程 一、提出问题，创设情境 一次函数关系式y ＝kx ＋b(k≠0)，如果知道了k 与b 的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k 和b 呢？ 问题1 已知一个一次函数当自变量x ＝-2时，函数值y ＝-1,当x ＝3时，y ＝-3．能否写出个一次函数的解析式呢？ 根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y ＝kx ＋b(k≠0),问题就归结为如何求出k 与b 的值． 由已知条件x ＝-2时，y ＝-1，得 -1＝-2k ＋b ． 由已知条件x ＝3时，y ＝-3， 得 -3＝3k ＋b ． 两个条件都要满足，即解关于x 的二元一次方程 解得 k=-0.4,b=-1.8 所以，一次函数解析式为． y=-0.4x-1.8 问题2 已知弹簧的长度y （厘米）在一定的限度内是所挂物质量x （千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式． 考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x 、y 有什么关系？ 二、导入新课 上题可作如下分析： 已知y 是x 的函数关系式是一次函数，则关系式必是y ＝kx ＋b 的形式，所以要求的就是系数k 和b 的值．而两个已知条件就是x 和y 的两组对应值，也就是当x ＝0时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k 与b 的二元一次方程组，进而求得k 与b 的值． 解 设所求函数的关系式是y ＝kx ＋b(k≠0),由题意，得 ?? ?+=+?=b k b k 42.706 解这个方程组，得 ???==6 3.0b k 所以所求函数的关系式是y ＝0.3x ＋6．(其中自变量有一定的范围) 讨论 1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k 和b 的过程，转化为关于k 和b 的二元一次方程组的问题． 2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围． 问题3 若一次函数y ＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m 的值．

求函数最值常用的方法及经典例题讲解

求函数最值常用的方法及经典例题讲解 知识点： 一、函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥． 二、求函数最大（小）值常用的方法． 案例分析： 例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈-

类型一、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例 1、求函数 1 ,[1,2] y x x =∈ 的值域 A、单调递减，无最小值 B、单调递减，有最小值 B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值小试牛刀： 1、求函数 2 1 y x = - 在区间[2，6] 上的最大值和最小值． 2

()5522++=x x x f 类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例： 求函数3456x y x +=+值域。 实战训练场： 1) 求函数2 13-+= x x y 的值域； 2) 函数.11的值域是x x y +-= 类型三、倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例1 、求函数 y = 的值域。 例2、求函数 的值域。

高中数学-函数待定系数法练习

高中数学-待定系数法练习 课时过关·能力提升 1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点() A.(-2,-3) B.(3,2) C.(3,-2) D.(-3,-2) 解析设反比例函数为f(x)= (k≠0), 则3=,k=-6,即f(x)=, 故其还经过点(3,-2). 答案C 2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点() A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-1,1) 解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1). 答案C 3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则() A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0). 因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上, 所以11=4a-1,解得a=3. 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.

故a=3,b=-12,c=11. 答案D 4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为() A.1,2,3 B.1,-2,-3 C.1,-2,3 D.1,2,-3 解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6, ∴ 解得a=1,b=-2,c=3. 答案C 5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2, 可得 解得 故f(x)= 令f(x)=x,解得x=2或x=-2. 答案B 6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为()