2018年人教A版数学必修2 第2章 学业分层测评11

学业分层测评(十一)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()

A．至少有一条B．至多有一条

C．有且只有一条D．没有

【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.

【答案】 B

2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()

A．平行B．相交

C．异面D．平行或异面

【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，

又a与α无公共点，故选C.

【答案】 C

3．下列命题中不正确的是()

A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β

B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β

C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行

D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线

【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.

【答案】 A

4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()

图2-2-24

A．平行B．相交

C．异面D．平行或异面

【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，

∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，

∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.

【答案】 A

5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()

A．不共面

B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面

C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D．无论点A，B如何移动都共面

【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．

【答案】 D

二、填空题

6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

图2-2-25

【解析】因为EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，

所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，

所以点F是CD的中点，所以EF＝1

2AC＝ 2.

【答案】 2

7．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.

图2-2-26

【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.

又EF

BC＝

AF

AC，∴EF＝

AF×BC

AC＝

3×4

8＝

3

2.

【答案】3 2

三、解答题

8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．

图2-2-27

【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.

∵AD?平面APD，BC?平面APD，

∴BC∥平面APD.

又平面BCFE∩平面APD＝EF，

∴BC∥EF，∴AD∥EF.

又E，F是△APD边上的点，

∴EF≠AD，∴EF≠BC.

∴四边形BCFE是梯形．

9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，

BD上的点，且AM

SM＝

DN

NB，求证：MN∥平面SBC.

图2-2-28

【证明】在AB上取一点P，使AP

BP＝

AM

SM，连接MP，

NP，则MP∥SB.

∵SB?平面SBC，MP?平面SBC，∴MP∥平面SBC.

又AM

SM＝

DN

NB，∴

AP

BP＝

DN

NB，∴NP∥AD.

∵AD∥BC，∴NP∥BC.

又BC?平面SBC，NP?平面SBC，

∴NP∥平面SBC.

又MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面SBC，而MN?平面MNP，

∴MN∥平面SBC.

[能力提升]

10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()

A．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如

图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.

图(1)图(2)图(3)

【答案】 C

11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.

图2-2-29

【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.

因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF?平面AEF，PQ，PB?平面AEF，

所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.

又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ?平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.