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cholesky分解

1.4.2 Cholesky 分解

在这里我们说明，用LU分解方法分解一个正值并且对称的矩阵A(A T=A)，比如，对于所有的v∈R N, v不等于0，v T Av > 0 (1.4.2-1)

对于正值矩阵，我们将会在以后的关于矩阵特征值的章节中清楚说明。现在，我们只是用上面这个定义，注意很多矩阵符合这个性质。

比如以下这个经常作为PDE解的矩阵，

这个矩阵为正值矩阵，其原因为

由于第一项是正值，并且大于第二项，因此v T Av > 0.

对于满足 A T = A, v T Av > 0条件的A，我们可以进行Cholesky分解，

A = LL T (1.4.2-5)

注意

A T = (LL T)T = (L T)T L T = LL T = A (1.4.2-6)

并且

V T Av = v T LL T v = (L T v)T(L T v) = (L T v)(L T v) > 0 for v 不等于零, 非奇异性(1.4.2-7)在这里，我们用到了决定性的条件(AB)T = B T A T (1.4.2-8)

所以A = LL T 的条件就决定了A是一个对称且正值矩阵。

Cholesky分解的优点是：

0- 只需L进行简化。

1- 即使不进行绕轴旋转也很稳定。

2- 使用系数2能比LU分解快。

如果将(1.4.2-5)写的更清楚，我们得到，

运用乘法我们得到L11L11 = a11 => L11= (a11)(1/2) (1.4.2-10)

接下来，用L 的第一行乘L T的第二列

a12 = L11L21 => L21 = a12/L11 (1.4.2-11)

接下来，用L 的第一行乘L T的第三列

a13 = L11L31 => L31 = a13/L11 (1.4.2-12)

对于j = 4, …., N 我们同样可以得到L j1 = a1j/L11 (1.4.2-13)

这样，我们就得到了L第一列(L T的第一行)的值

接下来，我们处理L的第二列，

用L 的第二行乘L T的第二列

L21L21 + L22L22 = a22 => L22 = (a22 – L212)(1/2) (1.4.2-14)

用L 的第二行乘L T的第三列

L21L31 + L22L32 = a23 => L32 = (a23 – L21L31)/L22 (1.4.2-15)

用L 的第二行乘L T的第j列

L21L j1 + L22L j2 = a2j => L j2 = (a2j – L21L j1)/L22 (1.4.2-16)

这样，我们就得到了L第二列(L T的第二行)的值

通常，为得到L 第i列的值，我们就首先用L 的第i行乘L T的第i列

L i12 + L i22 + … + L i, i-12 + L ii2 = a ii (1.4.2-17)

=> L ii = [a ii - ](1/2) (1.4.2-18)

接下来，对于j = i+1, i+2, …, N，我们用L 的第i行乘L T的第j列

因此

这样对于运算Cholesky分解有下面的运算法则：

因式分解易错题和经典题型精选

因式分解易错题精选班级姓名成绩一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042 =+x x ，的解是________。

1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4 422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 5、1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（）（A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 6．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是……………………………（）（A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 7．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………………（）（A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 8．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选项是………………………（）（A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 9.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（）（A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值

基于矩阵分解的协同过滤算法

万方数据

基于矩阵分解的协同过滤算法作者：李改，李磊， LI Gai， LI Lei 作者单位：李改,LI Gai(顺德职业技术学院,广东顺德528333;中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中山大学软件研究所,广州510275)，李磊,LI Lei(中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中山大学软件研究所,广州510275) 刊名：计算机工程与应用英文刊名：Computer Engineering and Applications 年，卷(期)：2011,47(30) 被引用次数：1次参考文献(18条) 1.Wu J L Collaborative filtering on the Nefifix prize dataset 2.Ricci F.Rokach L.Shapira B Recommender system handbook 2011 3.Adomavicius G.Tuzhilin A Toward the next generation of recommender systems:a survey of the state-of-the-art and possible extenstions 2005(06) 4.Bell R.Koren Y.Volinsky C The bellkor 2008 solution to the Netflix prize 2007 5.Paterek A Improving regularized singular value decomposition for collaborative filtering 2007 6.Lee D D.Seung H S Leaming the parts of objects by non-negative matrix factorization[外文期刊] 7.徐翔.王煦法基于SVD的协同过滤算法的欺诈攻击行为分析[期刊论文]-计算机工程与应用 2009(20) 8.Pan R.Zhou Y.Cao B One-class collaborative filtering 2008 9.Pan R.Martin S Mind the Gaps:weighting the unknown in largescale one-class collaborative filtering 2009 https://www.wendangku.net/doc/5610703727.html,flix Netflix prize 11.罗辛.欧阳元新.熊璋通过相似度支持度优化基于K近邻的协同过滤算法[期刊论文]-计算机学报 2010(08) 12.汪静.印鉴.郑利荣基于共同评分和相似性权重的协同过滤推荐算法[期刊论文]-计算机科学 2010(02) 13.Hadoop[E B/OL] 14.Apache MapReduce Architecture 15.Wbite T.周敏.曾大聃.周傲英Hadoop权威指南 2010 16.Herlocker J.Konstan J.Borchers A An algorithmic framework for performing collaborative filtering 1999 17.Linden G.Smith B.York J https://www.wendangku.net/doc/5610703727.html, recommendations:Itemto-item collaborative filtering[外文期刊] 2003 18.Sarwar B.Karypis G.Konstan J ltem-based collaborative filtering recommendation algorithms 2001 引证文献(1条) 1.沈韦华.陈洪涛.沈锦丰基于最佳匹配算法的精密零件检测研究[期刊论文]-科技通报 2013(5) 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/5610703727.html,/Periodical_jsjgcyyy201130002.aspx

经典的因式分解练习题有答案

因式分解练习题一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是( ) A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)

A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是( ) A．－12 B．±24C．12 D．±12 6．把多项式a n+4－a n+1分解得( ) A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为( ) A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为( ) A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得( ) A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得( ) A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得( ) A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得( ) A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得( )

因式分解练习题(超经典)

因式分解习题一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值

初中因式分解典型例题汇总(附答案)

初中因式分解典型例题汇总例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值．分析根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解决．解
2 2
由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
2
2
x +ax+b=x -x-2，从而得出 a=-1，b=-2，所以 a+b=(-1)+(-2)=-3．点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种重要方法．例2 分析解点评因式分解 6a b+4ab -2ab．此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)．用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
2 2 2 2
先，所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积．如果原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能

丢掉．本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和，其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢．例3 分析因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y．将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提
2 2
取 x+y 即可．解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)．点评例4 分析
3
注意添、去括号法则．因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
6 3 2 2 3 2 6
看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分解．解
6
方法一
3 2
64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3

较复杂的因式分解习题

较复杂的因式分解习题． 1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项

式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我们也可以用22十字相乘法分解因式．例如，分解因式 2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上式按x降22幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x-(5+7y)x-(22y-35y+3)，可以看作是关 22于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再2利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y；22 (x-3)(2x+1)=2x-5x-3；

-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．2． 2(2y 这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式 ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步22骤是： (1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得22到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式： (1)x-3xy-10y+x+9y-2；22 (2)x-y+5x+3y+4；22． (3)xy+y+x-y-2；2 (4)6x-7xy-3y-xz+7yz-2z．

因式分解典型例题及经典习题

14.3 因式分解典型例题【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )． A ．a (x ＋y )＝ax ＋ay B ．y 2－4y ＋4＝y (y －4)＋4 C ．10a 2－5a ＝5a (2a －1) D ．y 2－16＋y ＝(y ＋4)(y －4)＋y 【例2】把多项式6a 3b 2－3a 2b 2－12a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是( )． A ．3a 2b B ．3ab 2 C ．3a 3b 3 D ．3a 2b 2 【例3】用提公因式法分解因式： (1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5； (3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )．用平方差公式分解因式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．【例4】把下列多项式分解因式： (1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2； (3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 用完全平方公式分解因式 a 2＋2a b ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2. 【例5】把下列多项式分解因式： (1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9； (3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy . 因式分解的一般步骤一般步骤可概括为：一提、二套、三查．【例6】把下列各式分解因式： (1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2. 【例7】下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )． ①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24 ；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

八年级上册因式分解分类练习题(经典全面)

因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+-

因式分解经典例题练习题

提公因式法提公因式法：确定公因式的一般方法： ①各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数； ②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. ③它们的乘积就是多项式的公因式例：用提公因式法分解因式（1）3a 2- 9ab 2 （2）-5x 2 + 25x 3 （3）4x 3y+2x 2y 2-6xy 3 （4）-9m 2n-3mn 2+27m 3n 4 （5）2(x+y)2-4x(x+y) （6）2(a-1)+a(1-a) 自我检测 1、判断下列各题是否为因式分解： ①m(a+b+c)= ma+mb+mc. ②a 2-b 2 = (a+b)(a-b) ③a 2-b 2 +1= (a+b)(a-b)+1 2、试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式）（1） 3a+3b 的公因式是：（2）-24m 2x+16n 2x 公因式是：（3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是： (4) 4ab-2a 2b 2的公因式是： 3、.对下列多项式进行因式分解 ①－20a －25ab ②－32233b a b a - ③1+-m m a a ④44252336279x a x a x a +- ⑤3a 2- 9ab 4.、把下列各式分解因式 ①3 x 3 -3x 2 –9x ② 8a 2c+ 2b c ③ -4a 3b 3 +6 a 2 b-2ab ④ a(x-y)+by-bx

5、把下列多项式分解因式 ① 2p 3q 2+p 2q 3 ② x n -x n y ③ a(x-y)-b(x-y) ④ 4a 3b-2a 2b 2 ⑤323812a b ab c - ⑥ 32 3612ma ma ma -+- 6、已知,x+y=2,xy=-3,求x 2y+xy 2的值. 公式法（平方差公式） a 2- b 2=(a+b) (a-b) 注意： ①公式中的a 、b 可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式。 ②分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。 ③一定要分解到每个因式都不能再分解为止。例：把下列各式进行分解因式： ①-m 2n 2+4p 2 ②x 2 - y 2 ③(x+z)2 - (y+z)2 五、检测与提高 1.、请问993-99能否被100整除？ 2、怎样把多项式4x 3y - 9xy 3分解因式？

经典因式分解练习题100道

For personal use only in study and research; not for commercial use 1.）3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 2.）16x2－81 3.）xy＋6－2x－3y 4.）x2(x－y)＋y2(y－x) 5.）2x2－(a－2b)x－ab 6.）a4－9a2b2 7.）x3＋3x2－4 8.）ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) 9.）(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) 10.）a2－a－b2－b 11.）(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 12.）(a＋3) 2－6(a＋3) 13.）(x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 2 14．）16x2－81 15.）9x2－30x＋25 16.）x2－7x－30 17.) x(x＋2)－x 18.) x2－4x－ax＋4a 19.) 25x2－49 20.) 36x2－60x＋25

21.) 4x2＋12x＋9 22.) x2－9x＋18 23.) 2x2－5x－3 24.) 12x2－50x＋8 25.) 3x2－6x 26.) 49x2－25 27.) 6x2－13x＋5 28.) x2＋2－3x 29.) 12x2－23x－24 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) 32.) 9x2＋42x＋49 33.) x4－2x3－35x 34.) 3x6－3x2 35.）x2－25 36.）x2－20x＋100 37.）x2＋4x＋3 38.）4x2－12x＋5 39.）3ax2－6ax 40.）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 41.）2ax2－3x＋2ax－3 42.）9x2－66x＋121

因式分解法解一元二次方程典型例题

例用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6 (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 (2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝2 1，t 2＝3． (3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝2 3 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了． (2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2． (3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考典型例题二例用因式分解法解下列方程 6223362+=+x x x 解：把方程左边因式分解为： 0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x ∴ 3 2,2321=- =x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。

苏教版因式分解典型例题

因式分解知识梳理知识点1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。知识点2:如果多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，把这个多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。知识点3：运用公式法：两个主要的公式1.平方差公式。2.完全平方公式。知识点4：如果提取公因式后还可以运用公式的，要再进行因式分解。直到在有理数范围内不能分解为止。知识点5： () () ()()() ()() 12 22 32 44 222 222 2222 22 . . . . a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+ -+=+ ++-=+ +--= 典型例题例1. 分解因式（1）ax2-6ax+9a （2）8（1-p）5+2（p-1）3 （3）-4（2m-3n）2+9(2m+3n)2 (4)25m2n2-30mn+36 (5)9ax2-a3 ☆(6)x2+3x+2 （7）t4-16 （8）x4-2x2+1

☆例2.证明：当n 为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差作业一、把下列各式因式分解 1.n n n a a a ++++122 2.ax 4-16a 二、计算1、（m-2n-3）2 2 、（x 2+3x-3）(x 2+3x+3)

三、解答下列各题： 1.阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：()()22322a b a b a ab b ++=++ 就可以用图4或图5等图表示。（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示： ()()a b a b a ab b ++=++34322 2. 计算：（1）20062－20052+20042－20032+……+42－32+22－1 2 （2）（2x 2-1+x ）(2x 2+1-x) (3) 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)] =(1+x )2(1+x ) =(1+x )3 (1)上述分解因式的方法是，共应用了次. (2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1) 2004，则需应用上述方法次，结果是 . (3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).

因式分解的常用方法及练习题

（因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a 2-b 2 (2) 完全平方公式：(a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 (3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 ) { (4) 立方差公式：a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) （5）完全立方公式：(a±b)3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3 下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (7)a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)；三、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式：))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 | 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：652++x x 672 +-x x # 练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542 -+x x } 练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102 --x x 】（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c

因式分解经典题与解析

2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题：（1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3；（3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________ ． A、提取公因式B．平方差公式 C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_________ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________ ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数围）的整数值a，并且将其进行因式分解． 5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．

因式分解典型题(分类详细)

因式分解典型题一．因式分解的概念 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（） A 、 B 、 C 、 D 、 2﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A ﹒2x 2+8x －1＝2x (x +4)－1 B ﹒(x +5)(x －2)＝x 2+3x －10 C ﹒x 2－8x +16＝(x －4)2 D ﹒6ab ＝2a ·3b 二．提公因式 1、232y x 与y x 612的公因式是_____________ 2．多项式－6ab 2+18a 2b 2－12a 3b 2c 的公因式是（） A ．－6ab 2c B ．－ab 2 C ．－6ab 2 D ．－6a 3b 2c 3﹒多项式15m 3n 2+5m 2n －20m 2n 3的公因式是（） A ﹒5mn B ﹒5m 2n 2 C ﹒5m 2n D ﹒5mn 2 4.多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 5．多项式m mx -2与122+-x x 的公因式为_____________; 三．公式法（高次+复杂系数） 1.分解因式得（） A 、 B. C 、 D 、 2.把a 4－2a 2b 2＋b 4分解因式，结果是（） A 、a 2(a 2－2b 2)＋b 4 B 、(a 2－b 2)2 C 、(a －b)4 D 、(a ＋b)2(a －b)2 3. (1)22)2(4)2(25x y y x ---=______________(2)811824+-x x =______________________ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。四．因式分解综合 1.把多项式分解因式等于（） A 、 B 、 C 、m (a －2)(m －1) D 、m (a －2)(m +1) 2．下列因式分解不正确的是（） A ．－2ab 2+4a 2b =2ab （－b +2a ） B ．3m （a －b ）－9n （b －a ）=3（a －b ）（m +3n ） C ．－5ab +15a 2bx +25ab 3y =－5ab （－3ax －5b 2y ）; D ．3ay 2－6ay －3a =3a （y 2－2y －1） bx ax b a x -=-)(222)1)(1(1y x x y x ++-=+-)1)(1(12-+=-x x x c b a x c bx ax ++=++)(14-x )1)(1(22-+x x 22)1()1(-+x x )1)(1)(1(2++-x x x 3)1)(1(+-x x )2()2(2a m a m -+-))(2(2m m a +-))(2(2m m a --

初中因式分解经典题型汇总

（1） 9x 2－y 2－4y －4＝（2） 22414y xy x +-- （3） 2ax a b ax bx bx -++--2 （4） 1235-+-x x x （5）⒈已知2,2-==+xy y x ，求xy y x 622++的值； ⒉已知21,122=+-=-y x y x ，求y x -的值； ⒊已知21=+b a ，8 3-=ab ，求（1）2)(b a -；（2）32232ab b a b a +- ⒋已知0516416422=+--+y x y x ，求x+y 的值；（6）已知，8=+n m ，15=mn 求22n mn m +-的值。（7）5a b ab - （8）22(1)()ab a b +-+ （9）2223(4)48a x ax +- （10）22(23)(32)x x y x -+- （11）a 2-b 2+a +b （12）(a b+b)2-(a +1)2 （13）222()()x x y z y z --++ （14）2244x y xy --+ （15）22293 m mn n -+ （16）2(1)(1)x b x -+- （17）992+198+1. （18）x 4-81x 2y 2；（19）（x 2+x+1）2-1

（20）()()x x x x 22 2322372+-++ （最难的题，了解就好）（21）若0136422=+--+b a b a ，求a+b 的值。（22）106222+++-y y x x （23）已知9ab =，3a b -=-，求223a ab b ++的值. （24）;12222c b a ab +-- （25）22)2(4)2(25x y y x --- （陷阱）（26）a 2-4b 2-4c 2-8bc （27）2224)1(a a -+ （28）5335y x y x +- （29）无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正（30）已知5-=+b a ，7=ab ，求b a ab b a --+22的值。