第2章 第7节 对数与对数函数

2009~2013年高考真题备选题库 第2章 函数、导数及其应用 第7节 对数与对数函数

考点一 对数与对数运算

1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b

D ．a ＞b ＞c

解析：本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查考生分析问题与合理运用知识巧妙求解问题的能力．

a ＝log 36＝1＋log 32，

b ＝log 510＝1＋log 52，

c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D.

答案：D

2．(2013陕西，5分)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c

解析：本题主要考查对数的有关运算，考查运算能力．利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c b log c a

·log c a ＝log c b ，则B 对．

答案：B

3．(2013四川，5分)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )

A ．9

B ．10

C ．18

D ．20

解析：本题考查对数运算、排列组合等基本知识和基本技能，意在考查考生分析问题和解决问题的数学应用能力．lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看a

b 不同值的个数，

所以共有A 25－2＝20－2＝18个不同值．

答案：C

4．(2013四川，5分)lg 5＋lg 20的值是________．

解析：本题主要考查对数的运算，意在考查考生对基本性质与公式的掌握．lg 5＋lg 20

＝lg(5×20)＝lg 10＝1.

答案：1

5．（2010新课标全国，5分）已知函数f (x )＝????

?

|lg x |，010.若a ，b ，c 互不相等，

且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )

A ．(1,10)

B ．(5,6)

C ．(10,12)

D ．(20,24)

解析：由a ，b ，c 互不相等，结合图象可知 ： 这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上， 不妨设a ∈(0,1)，b ∈(1,10)，c ∈(10,12)， 由f (a )＝f (b )得lg a ＋lg b ＝0，

即lg ab ＝0，所以ab ＝1，所以abc ∈(10,12)． 答案：C

6．（2010天津，5分）设函数f (x )＝?????

log 2

x ， x >0，log 12(－x )， x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的

取值范围是( )

A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(0,1)

解析：由题意可得

?????

a >0

log 2a >－log 2a 或?

????

a <0

log 12

(－a )>log 2(－a )

，

解之可得a >1或－1

7．（2010湖南，5分）函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a |x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系

中的图象可能是( )

解析：从对数的底数入手进行讨论，再结合抛物线过原点，然后从抛物线对称轴的取值范围进行判断，故选D.

答案：D

8．(2009·山东，5分)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝?

????

log 2(1－x )， x ≤0，

f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则

f (2 009)的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

解析：∵x ＞0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， 又f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，

两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，故f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，故函数周期为6.∴f (2 009)＝f (6×334＋5)＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1.故选C.

答案：C

9．(2009·广东，5分)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f(x )＝( )

A ．log 2x B.12x C ．log 1

2

x

D ．x 2

解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝1

2，

∴f (x )＝log 1

2x .故选C.

答案：C

考点二 指数函数、对数函数与幂函数的综合问题

1．（2013浙江，5分）已知x ，y 为正实数，则( )

A ．2lg x ＋lg y

＝2lg x ＋2lg y

B ．2lg(x

＋y )

＝2lg x ·2lg y

C ．2lg x ·lg y

＝2lg x ＋2lg y

D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y

解析：本题考查理解有理指数幂的含义、幂的运算，考查指数、对数函数的概念及其运算性质，意在考查考生基本的运算能力．取特殊值即可．如取x ＝10，y ＝1,2lg x ＋lg y

＝2,2lg(xy )

＝2,2lg x ＋2lg y ＝3,2lg(x

＋y )

＝2lg 11,2lg x ·lg y

＝1,2lg x ·2lg y ＝2.

答案：D

2．（2012新课标全国，5分）设点P 在曲线y ＝12e x 上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |

的最小值为( )

A ．1－ln 2 B.2(1－ln 2) C ．1＋ln 2

D.2(1＋ln 2)

解析：根据函数y ＝1

2e x 和函数y ＝ln 2x 的图像可知两函数图像关于直线y ＝x 对称，故

要求|PQ |的最小值可转化为求与直线y ＝x 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y ＝12e x 上的切点为A (m ，n )，则A 到直线y ＝x 的距离的2倍即为最小值．因为y ′＝(1

2e x )′＝12e x ，则12e m ＝1，所以m ＝ln 2，切点A 的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y ＝x 的距离为d ＝|ln 2－1|2＝1－ln 22

，所以2d ＝2(1－ln 2)．

3．（2012湖南，5分）已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝8

2m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |

的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b

a

的最小值为( )

A ．16 2

B ．8 2

C ．83

4

D ．434

解析：数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x D

x C －x A

，

根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2

－m

.同理可得x C ＝2－8

2m ＋1

，x B ＝2m ，

x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－

m ＝2m －282m ＋112

82m ＋1－12m ＝2m －2

8

2m ＋12m －2

82m ＋12m ·2

8

2m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于

8

2m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝3

2时等

号成立，故b a 的最小值为27

2

＝8 2.

答案：B

4．（2011辽宁，5分）设函数f (x )＝?

????

21－

x

，x ≤1，

1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围

是( )

A ．[－1,2]

B ．[0,2]

C ．[1，＋∞)

D ．[0，＋∞)

解析：当x ≤1时，21－

x ≤2，解得，x ≥0，所以，0≤x ≤1；当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得，x ≥1

2

，所以，x ＞1.综上可知x ≥0.

答案：D

5．（2011天津，5分）已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(1

5)log 30.3，则( )

A ．a >b >c

B ．b >a >c

C ．a >c >b

D ．c >a >b

解析：因为c ＝5－log 30.3＝5log 3103，又log 23.4>log 310

3>1>log 43.6>0，且指数函数y ＝5x

是R 上的增函数，所以a >c >b .

答案：C

6．(2009·辽宁，5分)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.5

2 B ．

3 C.72

D ．4

解析：依题意：2x 1－1＝52－x 1，log 2(x 2－1)＝5

2－x 2，

∴2x 1－1＝32－(x 1－1)，log 2(x 2－1)＝3

2－(x 2－1)．

又函数y 1＝2x 与y 2＝log 2x 互为反函数， ∴x 1－1＋x 2－1＝32，即x 1＋x 2＝32＋2＝7

2

.

答案：C

高一对数及对数函数练习题及答案

《对数与对数函数》测试 12.21 一、选择题： 1．已知3a ＋5b = A ，且 a 1＋b 1 = 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lg a 1 ，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值 是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)． 6 1 4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值X 围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21 ，1) (D)．(1，＋∞) 5． 已知x = 31log 12 1 ＋ 31log 1 5 1 ，则x 的值属于区间( )． (A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg b a )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a = 4b = 6c ，则( )． (A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1 (C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b 2 8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值X 围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )．

3.2.3指数函数与对数函数的关系教案

3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？ 答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？ 答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1).

对数与对数函数

对数与对数函数 【考纲要求】 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10， 1 2 的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)． 【基础再现】 1．对数的定义 如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1) ①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式 ①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________. (3)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M N ＝____________； 3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质

5 指、对函数的关系 ③log a M n＝__________(n ∈R)； ④log am M n＝ n m log a M. 【例题选讲】 例1 ⑴27 log 9 ，⑵81 log 43 ，⑶()()3 2 log 3 2 - + ，⑷625 log 34 5 例2 ⑴ = ⑵2 5 log()a -= ⑶ 3 log1= = ⑷2 (lg5)lg2lg50 +?＝. ⑸()2 151515 log5log45log3 ?+ 例4 ⑴已知 3 log2a =，35 b=用a b ，表示log

指数函数和对数函数知识点总结

指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数

3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 01 32.5 2 1.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 1 1 32.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 定义域x ＞0 定义域x ＞0 值域为R 值域为R 在R 上递减 在R 上递增 定点（1，0） 定点（1，0）

第6讲 对数与对数函数

第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0； 当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是() A.a＝bc C.ab>c 解析因为a＝log23＋log23＝log233＝3 2log23>1，b＝log29－log23＝ log233＝a，c＝log320，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()

解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝? ? ? ??13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )＝???log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ? ? ? ??log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ? ? ? ??log 312＝5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0 D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.

(完整word版)对数与对数函数练习题及答案

对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（ ） A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<<

2021届高考数学(理)一轮复习学案：第2章函数第7节对数与对数函数

第七节 对数与对数函数 [最新考纲] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，1 2的对数函数的图像.3.体会对数函数是一 类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 必备知识填充 1．对数的概念 如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质： ①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式： log a b ＝log c b log c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)． (3)对数的运算性质： 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的定义、图像与性质 定义 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数 图像 a ＞1 0＜a ＜1 定义 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R

当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0) 当0＜x ＜1时，y ＜0； 当x ＞1时，y ＞0 当0＜x ＜1时，y ＞0； 当x ＞1时，y ＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称． [常用结论] 1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n ＝n m log a b . 其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R ，m ≠0. 2．对数函数的图像与底数大小的比较 如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 自我检测 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)log 2x 2 ＝2log 2x .( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，? ?? ??1a ，－1，函数图像不在第二、三象限．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编 1．(log 29)·(log 34)＝( ) A ．1 4 B ．1 2 C ．2 D ．4

(对数与对数函数)含有答案-人教版

(对数与对数函数)含有答案-人教版

命题人：张立洪 第 2 页 共 10 页 高一数学基础训练（六） 对数部分： 一、选择题： 1.若3 12=x ，则x 等于 (B ) A log 23 B log 2 3 1 C log 2 13 1 D log 3 12 2.已知log a 8=2 3，则a 等于 ( D ) A 41 B 2 1 C 2 D 4 3.下列选项中，结论正确的是 (C ) A 若log 2x =10，则2x=10 B 若2x =3，则log 32=x C 0log )(log 3 22= D 23 3 2log = 4.以下四个命题：(1)若log x 3=3，则x=9；(2)若log 4x =21 ， 则x=2； (3)若log 3 x=0，则x=3；(4)若log 5 1 x=-3， 则x=125，其中真命题的个数是（B ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5.下列各式中，能成立的是 (D ) A log 3(6-4)=log 36-log 34 B log3(6-4)=4 log 6 log 3 3 C log 35-log 36=5 log 5log 3 3 D log 23+log 210=log 25+log 26 6.下列各式中，正确的是 (D ) A lg4-lg7=lg(4-7) B 4lg3=lg3?4 C lg3+lg7=lg(3+7) D ln N e N = 7.如果()N a a =--3log 1 ，那么a 的取值范围是（D ）

命题人：张立洪第 3 页共 10 页

命题人：张立洪 第 4 页 共 10 页 A. 3 B. 8 C. 4 D. log 4 8 二、填空题： 1.把下列指数形式写成对数形式： (1) 4 5=625 5log 6254= （2）6 2-=641 2 log 1 64 =-6 (3）a 3=27 3 log 27=a (4) m ）（3 1 =5.73 13 log 5.73m = 2.把下列对数式写成指数式 (1) 3log 9＝2 2 3＝9 （2）5 log 125＝3 3 5＝125 （3）2log 41＝－2 22-＝14 （4）3 log 811＝－4 4 3-＝1 81 3.利用对数的定义或性质求值： (1) log 3 131 =1； (2)log 111=0；(3) log 232=5；(4)log 9 131=2； 4.当底是9时，3的对数等于14

指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数

2-7第七节 对数与对数函数练习题(2015年高考总复习)

第七节 对数与对数函数 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知集合A ＝{x |0b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b 解析 a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96， ∵log 412.96>log 43.6>log 43.2， ∴a >c >b ，故选B. 答案 B 3．若点(a ，b )在y ＝lg x 的图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( ) A ．(1 a ， b ) B ．(10a,1－b ) C ．(10 a ， b ＋1) D ．(a 2,2b ) 解析 ∵点(a ，b )在函数y ＝lg x 的图象上， ∴b ＝lg a ，则2b ＝2lg a ＝lg a 2， 故点(a 2,2b )也在函数y ＝lg x 的图象上．

4．(2014·湖北武昌调研)已知指数函数y ＝f (x )、对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都经过点P (12，2)，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝( ) A.7 6 B.66 C.54 D.32 解析 答案 D 5．(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f (lg 1 2)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 由于f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1＋ln(1＋9x 2＋3x )＋1＝2，所以f (lg2)＋f (lg 1 2)＝f (lg2)＋f (－lg2)＝2，故选D.

带答案对数与对数函数经典例题.

经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.

2015届高考数学总复习 第二章 第六节对数与对数函数课时精练试题 文(含解析)

1．(2013·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg (x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg (xy )＝2lg x ·2lg y 解析： 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确． 答案：D 2．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( ) 解析：∵f (x )＝2|log 2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0b >0?? ????12a b ? / log 2a >log 2b .故选A. 答案：A 5．(2012·重庆卷)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，

第二章 第7节 对数函数

第二章 第七节 对数函数 1.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2010)＝8，则f (2 1x )＋f (2 2x )＋…＋f (x 2 2010x ) ＝( ) A.4 B.8 C.16 D.2log a 8 解析：∵f (x 1x 2…x 2010)＝f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (2010)＝8， ∴f (2 1x )＋f (2 2x )＋…＋f (2 2010x )＝2[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2010)] ＝2×8＝16. 答案：C 2.已知log 23＝a ，log 37＝b ，则用a ，b 表示log 1456为 . 解析：∵log 23＝a ，log 37＝b ，∴log 27＝ab ， ∴log 1456＝log 256log 214＝3＋log 271＋log 27＝ 3 .1a b a b ++ 答案：31 a b a b ++ 3.(2009·广东高考)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝ ( ) A.log 2x B. 12 x C.log 12 x D.x 2 解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 1 2＝12， ∴f (x )＝log 12 x . 答案：C 4.若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( )

解析：由题意得0＜a ＜1,0＜b ＜1，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是D. 答案：D 5.已知函数f (x )＝288 (1),65(1),x x x x x -??-+>? ≤ g (x )＝ln x ，则f (x )与g (x )两函数的图象的交点 个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：画出f (x )＝288 (1),65(1), x x x x x -??-+>?≤ g (x )＝ln x 的图象如图，两函数的图象的交点个数为3，故选C. 答案：C 6.(2009·天津高考)设a ＝13 lo g 2，b ＝1 2 1 lo g 3 ，c ＝(1 2)0.3，则 ( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜c ＜a D.b ＜a ＜c 解析：∵13 lo g 2＜13 lo g 1＝0，∴a ＜0； ∵1 2 1lo g 3 ＞1 2 1lo g 2 ＝1，∴b ＞1； ∵(1 2)0.3＜1，∴0＜c ＜1，故选B. 答案 B 7.(2010·诸城模拟)若定义运算f (a *b )＝ 则函数f [log 2(1＋x )*log 2(1－x )]的值域是 ( ) A.(－1,1) B.[0,1) C.(－∞，0] D.[0，＋∞) 解析：f (log 2(1＋x )*log 2(1－x )) ＝22lo g 1lo g 0x x x x ?? ?<<<(1+), (0≤),(1-), (-1). 借助函数图象易知，该函数的值域为[0,1). 答案：B ,,,a a b b a ???<≥b

指数函数 和 对数函数公式 (全)

指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数，

第二节 对数与对数函数(知识梳理)

第二节对数与对数函数 复习目标学法指导 1.对数与对数运算(1)对数的概念. (2)常用对数与自然对数. (3)对数的运算性质. (4)对数的换底公式. 2.对数函数及其性质 (1)对数函数的概念. (2)对数函数的图象. (3)对数函数的性质. (4)指数函数与对数函数的关系. 会求一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性.(发展要求) 1.通过对数的概念,明确对数来源于指数,利用指数的知识理解与掌握对数. 2.在同底的条件下,对数只能进行加、减运算,注意应用的顺序. 3.掌握对数函数的图象与性质,一定要坚持分类讨论的思想. 4.应用对数函数的性质解决对数类问题要遵循定义域优先的原则. 一、对数 如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做底数,N叫做真数

底数的限制a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:a x=N?log a N=x 负数和零没有对数 1的对数是零,log a1=0 底数的对数是1,log a a=1 对数恒等式:log a N a=N log a(M·N)=log a M+log a N a>0,且a≠1,M>0,N>0 log a M N =log a M-log a N log a M n=nlog a M(n∈R) 公式:log a b=log log c c b a (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 推广:log a m b n=n m log a b(a>0且a≠1,b>0); log a b=1 log b a (a>0且a≠1;b>0且b≠1) 1.法则理解 应用法则log a M+log a N=log a(M·N)时,注意M>0,且N>0,而不能只考虑到M·N>0,导致增解. 2.与换底公式有关的结论 log a b·log b c·log c d=log a d. 二、对数函数 1.对数函数的概念、图象与性质 概念函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数 底数a>1 0

指数函数与对数函数关系的典型例题

经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2 .∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2.

指数函数与对数函数专项练习(含答案)

指数函数与对数函数专项练习 1 设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a,b,c 的大小关系是[ ] （A)a ＞ｃ＞b (B)a>b ＞c （C ）c ＞a ＞b （Ｄ）b>c>a 2 函数y=ax2＋ b ｘ与y= || log b a x (ab ≠0，｜ ａ |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像 可能是［ ] 3．设525b m ==,且112a b +=，则m =[ ] （Ａ10 (Ｂ)10 (C)20 （D ）１00 ４．设ａ= 3log 2,b=Ｉn2,c=1 2 5- ,则［ ］ A. a0,ｙ>0,函数ｆ(ｘ)满足f(ｘ+y ）=f(x ）f （y ）”的是 ??? ?? [ ］ （A)幂函数? ?（B ）对数函数??（C ）指数函数 ?(D)余弦函数 8. 函数y=l ｏg2x 的图象大致是[ ]

PS (Ａ) (B) (C ） （Ｄ) 8.设 5 54a log 4b log c log ===25，（3），，则［ ] (Ａ)a<ｃ> ?B.b a c >> Ｃ.c a b >>?? Ｄ．b c a >> 12.下面不等式成立的是( ） A.322log 2log 3log 5<< B ．3log 5log 2log 223<< Ｃ．5log 2log 3log 232<< Ｄ.2log 5log 3log 322<< 1３.若01x y <<<，则( ) Ａ． 33y x < B ．log 3log 3x y < Ｃ．44log log x y < Ｄ.1 1()()44 x y < 14.已知01a <<,log 2log 3a a x =1 log 52 a y =,log 21log 3a a z =,则( ） A.x y z >> Ｂ.z y x >>? C ．y x z >> Ｄ．z x y >> 15.若1 3 (1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ ) Ａ.a ≠，的图象如图所示,则a b ，满足的关系是 ( ) Ａ．1 01a b -<<< ?B ．101b a -<<< C.1 01b a -<<<-? Ｄ.1101a b --<<< 1- O y