(绝对好题)导数综合题训练
导数综合题训练
1.已知函数
x ax x x f ln 1)(2
-++-=．
（Ⅰ）若
)(x f 在)2
1,
0(上是减函数，求a
的取值范围；
（Ⅱ）函数)(x f 是否既有极大值又有极小值？若存在，求a
的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）
)(x f '=x
a x 12-
+- …………1分
∵
)(x f 在)2
1,0(上为减函数，∴)21,
0(∈x 时012<-
+-x a x 恒成立． ……3分
即x
x a
12+
<恒成立．设
x
x x g 12)(+
=，则
)(x g '=2
1
2x
-
．
∵
)2
1,0(∈x 时
2
1x
＞4，∴
)(x g '0<，∴)(x g 在)2
1,0(上递减， ………5分
∴g(
x ) ＞g(
2
1)=3，∴
a ≤3． ………6分
（Ⅱ）若
)(x f 既有极大值又有极小值，则首先必须)(x f '=0有两个不同正根21,x x ，
即
0122
=+-ax x 有两个不同正根。 …………7分
令220080
2
2>????>>-????
??>>?a a a a
∴当a ＞22
时，
)(x f '=0有两个不等的正根 …………10分
不妨设
21x x <，由)(x f '=－
x
1（122
+-ax x
）=－
x
2))((21x x x x --知：
10x x <<时)(x f '＜0，21x x x <<时)(x f '＞0，2x x >时)(x f '＜0，
∴当a ＞2
2
时
)(x f 既有极大值)(2x f 又有极小值)(1x f ．
2.设函数
)1ln()1()(++-=x a ax x f ，其中0>a 。（Ⅰ）求
)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）当
0>x 时，证明不等式：
x x x
x <+<+)1ln(1；
（Ⅲ）设
)(x f 的最小值为)(a g ，证明不等式：0)(1<<-
a g a
；
解：（Ⅰ）由已知得函数
)(x f 的定义域为),1(+∞-，且)0(1
1)('>+-=a x ax x f ，
0)('=x f ，解得a
x 1=
……2分
当
x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：
由上表可知,当
)1,
1(a
x -∈时，0)(' 1(a -内单调递减，…3分 当 ),1( +∞∈a x 时，0)('>x f ，函数)(x f 在) ,1( +∞a 内单调递增，……4分 所以,函数 )(x f 的单调减区间是)1, 1(a -,函数)(x f 的单调增区间是) ,1( +∞a 。…5分 （Ⅱ）设),0[,1)1ln() (∞∈+- +=x x x x x ?。 对)(x ?求导，得：2 2 ) 1() 1(11 1)('x x x x x += +- += ?。……7分 当 0>x 时，0)('>x ?，所以)(x ?在),0(+∞内是增函数。所以)(x ?在),0[+∞上是增函数。 当 >x 时，0)() (=>x x ??，即) 1ln(1,01)1ln(+<+∴ >+- +x x x x x x 。……8分 同理可证)1ln(1,)1ln(+<+∴<+x x x x x ＜x 。……9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，)11 ln()1(1)1()(+?+-==a a a f a g ，……11分 将a x 1=代入 x x x x <+<+)1ln(1， 得: a a a 1 )11ln(11<+<+ 即:1＜(a+1)a a 11)11ln( + <+，……13分 0)11ln( )1(11<++-<- ∴a a a ，即0)(1<<- a g a 。 3.已知函数3 ()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； （2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 解：（1）求函数 ()f x 的导数；2 ()31x x f '=-． 曲线 ()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-， 即 2 3 (31)2y t x t =--． （2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23 (31)2b t a t =--． 于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程3 2 230t at a b -++= 有三个相异的实数根． 记 32 ()23g t t at a b =-++，则 2 ()66g t t at '=-6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表： 由 ()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根； 当0a b +=时，解方程()0g t =得302 a t t == ，，即方程 ()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0 g t =得2 a t t a =- =，，即方程 ()0g t =只有两个相异的实数根． 综上，如果过()a b ，可作曲线 ()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0. a b b f a +>?? - 即 ()a b f a -<<． 4.设函数 ()ln 1f x x px =-+（1）求函数()f x 的极值点 （2）当 0p >时，若对任意的0 x >，恒有 ()0f x ≤，求p 的取值范围 （3）证明： 2 2 2 2 2 2 2 ln 2ln 3ln 21...(,2) 2 3 2(1) n n n n N n n n --+ ++ < ∈≥+ 解：11()ln 1()0'()px f x x px f x f x p x x -=-+∴+∞= -= 的定义域为（，）， 0p ≤当时，'()0,()f x f x >在 ∞（0，+）上无极值点 当 0p >时，令1'()0,(0,)f x x p =∴= ∈+∞,'()() f x f x 、随x 的变化情况如下表： 从上表可以看出，当 0p >时，()f x 有唯一的极大值点1x p = （2）解：当 0p >时，()f x 在1x p = 处取得极大值 11( )ln f p p = 此极大值也是最大值。 要使 ()0f x ≤恒成立，只需11( )ln 0f p p =≤1,p p ∴≥∴的取值范围是[1,) +∞ （3）证明：令p=1，由（2）知:ln 10,ln 1x x x x -+≤∴≤- 22 ,2,ln 1n N n n n ∈≥∴≤- ∴ 2 2 2 2 2 ln 111n n n n n -≤ =- ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 2ln 3ln 111...(1)(1) (1) 2 3 2 3 111(1)(...) 2 311 1(1)[...]2334(1)111111(1)( ...) 23 34 1 n n n n n n n n n n n + ++≤-+-++-=--+ ++<--+ ++???+=--- +- ++ - + 2 1121(1)( )2 1 2(1) n n n n n --=--- = ++ 5.已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为()3 1， ⑴若方程06)(=+a x f 有两个相等的实数根，求()x f 的解析式； ⑵若函数)()(x xf x g =无极值，求实数a 的取值范围 解：⑴设2 ()f x ax bx c =++(0)a ≠，∵不等式()2f x x >-的解集为(1,3) ∴ (1)2f a b c =++=- ……… ① (3)936f a b c =++=-……… ② 又∵2 ()660f x a ax bx c a +=+++=有两等根， ∴2 4(6)0b a c a ? =-+=……… ③ 由①②③解得 1,15 a a =- =或 …………（5分） 又∵()2 13f x x >-的解集为（，），∴0 a <，故163,,5 55 a b c =- =- =- . ∴ 2 163()5 5 5 f x x x =- - - ……………………………………………（7分） ⑵由①②得24, 3b a c a =--=，∴3 2 ()(24)3g x ax a x ax =+--+， ' 2 ()32(24)3g x ax a x a =+--+…………………………………………（9分） ∵ ()g x 无极值，∴方程' ()0,g x =无实根或有两个相等实根则 22 4(24)360 a a a ≠???=---≤?，解得227 a -≤≤- 6.已知函数 3 3 ()2() ()f x x m x m N * =+-∈. （Ⅰ）若1x 、2(0, )x m ∈，求证：①3 33 121222x x x x +??+≥ ? ? ?② 1 212()()22x x f x f x f +?? +≥ ?? ?. （Ⅱ）若()n a f n =，1,2,,1n m =- ，其中3, m m N ≥∈，求证：1 122 m m a a a a --+≥+； （Ⅲ）对于任意的a 、b 、2, 23m m c ?? ∈???? ，问：以 ()()() f a f b f c 、、的值为长的三条线段是否可构成三角形？ 请说明理由. 解：（Ⅰ）①要证： 3 2 13 231) 2 ( 2x x x x +≥+， 只需证：3 2 12 2212 121) 2 ( 2))((x x x x x x x x +≥+-+， ∵ 12(0,)x x m ∈、，则120x x +>， ∴只需证： 22 2 21122 1121 24 x x x x x x x x ++-+≥ ，即2 12() 0x x -≥， ∵2 12()0x x -≥成立，∴3 3 3121 2 22x x x x +?? +≥ ? ?? 成立.……………………………（4分） ②又∵12()(0, ), ()(0, )m x m m x m -∈-∈, 由①得：3 3 3 3 121212()()2222m x m x x x m x m x m -+-+??? ?-+-≥?=?- ? ? ???? ， 且3 33 121222222x x x x +??+≥? ? ?? ， 上述两式相加得： )2 ( 2)()(2 121x x f x f x f +≥+.………………………………（6分） （Ⅱ）3m =时显然成立，3m >时，由（Ⅰ）得： 1322a a a +>，3422a a a >+，4532a a a >+，……，2132--->+m m m a a a . 各式相加得：2211 --+≥+m m a a a a ………………………………………………（10分） 说明：直接用比较法证明 )2()2()1()1(-+≥-+m f f m f f 的同样给分. （Ⅲ） 2 2 2 2 '()63()363f x x m x x m x m =--=+-2 2 3(2) x m x m =+-………（11分） 由 '()0f x >得1)x m >或(1)x m <， ∵ 1)2 m m >，∴ ()f x 在2,23m m ?? ?? ??上为增函数， ∴ 3 min 83)2 ()(m m f x f = =， 3 max 27 17)3 2( )(m m f x f = =， ∴ 3 3 3 3 3331788 4 27 m m m m + = > 恒成立， ∴以 ()()()f a f b f c 、、的值为长的三条线段一定能构成三角形 7.设函数 3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y ++= 平行， 导函数 '()f x 的最小值为12- （Ⅰ）求a ，b ，c 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值 解：（Ⅰ）∵ ()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=- 即3 3 ax bx c ax bx c --+=--- ∴0 c =…………………2分 ∵ 2 '()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12 b =- 又直线670x y ++=的斜率为6- 因此， '(1)36f a b =+=- ∴2a =，12b =-，0 c = ………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3 ()212f x x x =- ∴ 2 '()6126(f x x x x =-=+-，列表如下： ∵(1)10f -=，f =-(3)18f = ∴ ()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-8.设曲线 ),()0(t x e t M x e y --≥=在点处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S （t ）. （Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值. 解：（Ⅰ）因为 x e x f --=')(，所以切线l 的斜率为t e -- …………2分 故切线l 的方程为 0)1()(=+-+--=-----t e y x e t x e e y t t t t ，即 ……5分 （Ⅱ）令y=0得) 1(01+==+=-t e y x t x t t 得，又令 …………7分 所以 t t e t t e t t S --?+= +?+=2 )1(2 1)1()1(21)( …………9分 从而).1)(1(2 1)(t t e t S t +-= '- …………10分 ∵当0)(),1(0)()1,0(<'+∞∈>'∈t S x t S t 时，，当时， …………11分 所以)(t S 的最大值为 .2)1(e S = 9.设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，已知32 ()(0)T t at bt ct d a =+++≠，其中温度的单位是℃，时间的 单位是小时．中午12:00相应的t =0，中午12:00以后相应的t 取正数，中午12:00以前相应的t 取负数（如早上8：00相应的t =-4，下午16：00相应的t =4）．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率. （1）求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式； （2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？ 解：(1) 因为2 32T at bt c '=++, ………………………2分 而()()44T T ''-=, 故488488a b c a b c ++=-+, ………………………3分 ∴ ()()()1 0600 4641648315860488488a T d b T a b c d c T a b c d d a b c a b c =?==???=-=-+-+=???? ?=-=+++=????=++=-+?? . …………………6分 ∴()3360 (1212)T t t t t =-+-≤≤. …………………………………7分 (2) 2 33T t '=-, 由 ()011T t t t '==-=得或 ……………………9分 当t 在]2,2[-上变化时，()()T t T t '与的变化情况如下表: …………………………………12分 由上表知当62 )(21取到最大值时或t T t t =-=，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温 度是62℃. 10.设直线) (:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线l 与曲线S 相切且 至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有)() (x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线” ． （Ⅰ）已知函数 ()2sin f x x x =-．求证：2y x =+为曲线()f x 的“上夹线” ． （Ⅱ）观察下图： ? ?22当2 3π=x 时，0cos =x ， 此时22321+=+=πx y ，223sin 22+=-=π x x y ， -----------4分 21y y =，所以?? ? ??+223,23ππ是直线l 与曲线S 的一个切点； -----------5分 所以直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； 对任意x ∈R ，0sin 22)sin 2()2()()(≥+=--+=-x x x x x F x g ， 所以 )()(x F x g ≥ ---------------------------------------------------------------------6分 因此直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”． ----------7分 （Ⅱ）推测： sin (0)y mx n x n =->的“上夹线”的方程为y m x n =+ ------9分 ①先检验直线y m x n =+与曲线sin y mx n x =-相切，且至少有两个切点： 设： ()sin F x mx n x =- ' ()cos F x m n x =-， \ 令 ' ()cos F x m n x m =-=，得：22 x k π π=± （k ?Z ） ------10分 当 22 x k π π=- 时, (2)(2)2 2 F k m k n π π ππ- =- + 故：过曲线 ()sin F x mx n x =-上的点(22 k π π- ，(2)2 m k n π π - +)的切线方程为： y －[ (2)2 m k n π π- +]=m [x －(22 k π π- )]，化简得：y m x n =+． 即直线y m x n =+与曲线sin y mx n x =-相切且有无数个切点． -----12分 不妨设 ()g x mx n =+ ②下面检验g (x )3 F (x ) g(x)－F(x)= (1sin )0(0)n x n +≥> \ 直线y m x n =+是曲线()sin y F x mx n x ==-的“上夹线”． 11.已知函数 )()0,1(),0()(x f y P t x t x x f =>+ =作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N .（I ） 当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （II ）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式； （III ）在（II ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[n n +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使 得不等式 )()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值. 解：（I ）当,2)(,2x x x f t +==时 0 221)(2 2 2 >-= - ='x x x x f 2 ,2-<>x x 或解得.则函数 )(x f 有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞………2分 （II ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ， ) 1(. 02). 1)(1()(0),0,1(). )(1()(:,1)(12 112 1 1 1121 112 =-+-- =+-∴-- =+ -∴- ='t tx x x x t x t x P PM x x x t x t x y PM x t x f 即有过点切线又的方程为切线 同理，由切线PN 也过点（1，0），得 .0222 2=-+t tx x （2） 由（1）、（2），可得 02,2 21=-+t tx x x x 是方程的两根， (*) .22121?? ?-=?-=+∴t x x t x x ] )1(1[)() ()(||2 2 12 212 221 12 21x x t x x x t x x t x x x MN - +-= - -+ +-= ])1(1][4)[(2 2 1212 21x x t x x x x - +-+ 把（*）式代入，得,2020||2 t t MN +=因此， 函数)0(2020)()(2 >+=t t t t g t g 的表达式为 （III ）易知]64,2[)(n n t g + 在区间上为增函数， 12121(2)()(1,2,,1). (2)()()(). ()()()(), i m m m g g a i m m g g a g a g a g a g a g a g a n +∴≤=+?≤++++++< 则对一切正整数成立 恒成立 对一切的正整数不等式n n n g g m )64()2(+ ,)64(20)64(202202202 2 n n n n m + ++ < ?+? . 3 136.3 136]1616[6 1)]64()64[(6 1,1664)]64()64[(6 12 2 2 <∴= +≥+++∴≥++++ < m n n n n n n n n n n n m 恒成立 对一切的正整数 即 由于m 为正整数，6≤∴m . 又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+ 因此，m 的最大值为6. 12.已知函数 )(ln )(R a x a x x f ∈+= （Ⅰ）求)(x f 的极值； （Ⅱ）若函数 )(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间],0(2 e 上有公共点，求实数a 的取值范围。 解：（Ⅰ） 2 ) (ln 1)(),,0()(x a x x f x f +-= '+∞的定义域为 令 a e x x f -=='10)(得，当)(,0)(,),0(1x f x f e x a >'∈-时是增函数 当 )(,0)(,),(1x f x f e x a <'+∞∈-时是减函数 ∴ 1 11)()(,)(---===a a a e e f x f e x x f 极大值处取得极大值 在 （Ⅲ）（i ）当2 1e e a <-时，时1->a ，由（Ⅰ）知),0()(1a e x f -在上是增函数，在],(2 1e e a -上是减函 数 1 1)()(--==∴a a mx e e f x f 又当 ],(.0)(],0(,0)(,2e e x x f e x x f e x a a a ---∈<∈==当时当时时，) .0()(1 -∈a e x f 所 以 1)()(=x g x f 与图象的图象在],0(2 e 上有公共点，等价于11 ≥-a e 解得1,1,1≥->≥a a a 所以又 （ii ）当 12 1-≤≥-a e e a 即时，],0()(2e x f 在上是增函数， ∴ 2 2 2 2)(],0()(e a e f e x f += 上的最大值为 在所以原问题等价于 .2,122 2 -≥≥+e a e a 解得又1-≤a ∴无解 13.已知函数f(x)= 2 12(0),()ln ,2 ax x a g x x +≠= (1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a 的取值范围； (2)是否存在实数a>0，使得方程 ()()(21)g x f x a x '=-+在区间1 (,) e e 内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求 出a 的取值范围？若不存在，请说明理由。 解：（1）由已知，得h(x)= 2 12ln ,2 ax x x +- 且x>0, 则h ˊ(x)=ax+2- 1x = 2 21 ax x x +-, （2分） ∵函数h(x)存在单调递增区间, ∴h ˊ(x)≥0有解, 即不等式ax 2 +2x-1≥0有x>0的解. （3分） ① 当a<0时, y=ax 2 +2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax 2 +2x-1≥0总有x>0的解, 则方程ax 2 +2x-1=0至少有一个 不重复正根, 而方程ax 2 +2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需Δ=4+4a>0, 即a>-1. 即-1 ② 当a>0 时, y= ax 2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax 2+2x-1≥0 一定有x>0的解. （6分） 综上, a 的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) （7分） （2）方程 ()()(21)g x f x a x '=-+ 即为 ln ln 2(21), (12), x x ax a ax a x x =+-+=+- 等价于方程ax 2 +(1-2a)x-lnx=0 . （8分） 设H(x)= ax 2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间( 1,e e )内根的问题, 转化为函数H(x)在区间( 1,e e )内的零点问题. （9分） H ˊ(x)=2ax+(1-2a)- 1x = 2 2(12)1 (21)(1) ax a x ax x x x +--+-= （10分） 当x ∈(0, 1)时, H ˊ(x)<0, H(x)是减函数； 当x ∈(1, +∞)时, H ˊ(x)>0, H(x)是增函数； 若H(x)在( 1,e e )内有且只有两个不相等的零点, 只须 2 2 22 m in 2 2 112(12)()10 ()(1)(12)10 ()(12)1(2)(1)0 a a e a e e H e e e e H x H a a a H e ae e a e e a e ?--++=+ += >???==+-=-??? （13分） 解得2 121 e e a e +<< -, 所以a 的取值范围是(1, 2 21 e e e +-) （14分） 14.已知()ln f x x =，2 17()2 2 g x x m x = ++ （0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函 数()f x 的图像的切点的横坐标为1． （Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值； （Ⅱ）若() (1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数） ，求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当0b a <<时，求证：()(2)2b a f a b f a a -+-< ． 解：（Ⅰ）依题意知：直线l 是函数 ()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率 1(1)11k f '== =， 所以直线l 的方程为1y x =-． 又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由 221 19(1)017 2222y x x m x y x m x =-?? ?+-+=?=++? ? ， 得2 (1)902m m ?=--=?=-（4m =不合题意，舍去） ； （Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-） ，所以 1()11 1 x h x x x -'= -= ++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<． 因此，()h x 在(1, 0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． 因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； （Ⅲ）当0b a <<时，102b a a --<<．由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．因 此，有 ()(2)ln ln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--? ?+-==+< ?? ?． 15.设 21,x x 是函数3 22 ()(0)3 2 a b f x x x a x a = + ->的两个极值点，且2||||21=+x x （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）求证：||9 b ≤ 解证：（I ）易得 2 2 ' )(a bx ax x f -+=…………………………………………1分 )(,21x f x x 是 的两个极值点，0)(,' 21=∴x f x x 是的两个实根，又a ＞0 a b x x a x x - =+<-=2121,0……………………………………………………3分 ∴1212| |||||x x x x +=-== ∵2|||| 21=+x x ， )1(444442 322 2 2a a a a b a a b -=-==+∴ ，即 1002 ≤<∴≥a b ……………………………………………7分 （Ⅱ）设,44)(322 a a a g b -==则) 32(4128)(2 'a a a a a g -=-= 由 ' ' 22()0,0,()013 3 g a a g a a ><< <<≤得由得 ………………10分 ∴ ()g a 在2(0,)3上单调递增；在2 (,1)3上单调递减………………12 分 ∴ 23 x = 时， ()g a 取得极大值也是最大值 m ax 216[()]()327 g a g ∴== ，9b ∴≤………………………………………14分 16.已知函数f(x)=ax 3 +x 2 -x (a ∈R 且a ≠0) （1）若函数f(x)在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）证明：当a>0时，函数在f(x)在区间（3a 1,3a 2- - ）上不存在零点 略解、（1）因为f ′(x)=3ax 2+2x-1，依题意存在（2，+∞）的非空子区间使3ax 2+2x-1>0成立，即2 213x x a -> 在x ∈（2，+ ∞）某子区间上恒成立，令h(x)= 2 21x x -,求得h(x)的最小值为4 3- ，故()+∞?? ? ??-∈,00,41 a （2）由已知a>0 令f ′(x)=3ax 2+2x-1>0 得 3a 23311,3a 133110a ,3a 3a 11x 3311-<+---> ++-∴ >+--< ++-> a a a a a a x 或 故f(x)在区间（3a 1,3a 2- - ）上是减函数，0a 19a 23a 1f 2 >+=??? ??- 又 即f(x)在区间（3a 1,3a 2--）上恒 大于零。故当a>0时，函数在f(x)在区间（3a 1,3a 2- - ）上不存在零点 17.设关于 x 的方程0222 =--ax x 的两根分别为α 、β ()βα<，函数1 4)(2 +-= x a x x f （1）证明 )(x f 在区间()β α,上是增函数； （2）当a 为何值时， )(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小 (1)证明： 2 2 2 ' ) 1() 22(2)(+---= x ax x x f ， 由方程0222 =--ax x 的两根分别为α 、β ()βα<知 ()βα,∈x 时，0222 <--ax x ，所以此时0)(' >x f ， 所以 )(x f 在区间()βα,上是增函数 (2)解：由（１）知在 ()βα,上，)(x f 最小值为)(αf ，最大值为)(βf ， 1 ]2)[(] 44)()[(1 41 4)()(2 2 2 2 2 +-++-++-= +--+-= -αββαβ ααββααβα αβ βαβa a a f f 2 a = +βα ，1-=αβ，可求得4 4 2 += -a αβ， 16 1 24 1) 442 (44 )()(2 2 2 2 += +++ ++?+= -∴a a a a f f αβ， 所以当0 =a 时， )(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小，最小值为4 18.已知函数2 1f(x)=lnx,g(x)=ax +bx (a 0).2 ≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－ 在其定义域是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)??的最小值； 解：（I ）依题意：.ln )(2 bx x x x h -+=()h x 在（0,+∞）上是增函数， 1 ()20h x x b x '∴= +-≥对x ∈（0,+∞ ）恒成立， 1 2. 1 0,则 2b x x x x x ∴≤ +>+≥ (].22,∞-∴的取值范围为 b （II ）设].2,1[,,2 ∈+==t bt t y e t x 则函数化为 , ]2,1[222,12. 4 )2 (2 2 上为增函数在函数时即当y ，b b b b t y ≤≤-≤- ∴- += 当t=1时，y m I n =b+1； , ]2,1[4,22 ; 4 2 ,24,22 12 min 上是减函数 在函数时即当时当时即当y ，b b b ，y b t b b -≤≥- -=- =-<<-<-<当t=2时，y m I n =4+2b 19.已知函数 ()(2 ≠+ =x x a x x f ，常数)a ∈R ． （1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ； （2）讨论函数 )(x f 的奇偶性，并说明理由． （3）（理做文不做）若 ()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围 解： （1） 121 2)1(22 2 ->-- --+x x x x x ， 01 22>--x x ，0)1(<-x x ∴ 原不等式的解为10< （2）当 =a 时， 2 )(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，， ) ()()(2 2x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数 当0≠a 时，2()(00)a f x x a x x =+ ≠≠，，取1±=x ， 得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，， ∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数 ……理8分（文12分） （3）解法一：设122x x <≤， 2 2 21 2 121)()(x a x x a x x f x f - -+ =-[]a x x x x x x x x -+ -= )()(21212 121， 要使函数 )(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立 121204x x x x -<> ，，即)(2121x x x x a +<恒成立 又421>+x x ，16 )(2121>+∴x x x x ∴a 的取值范围是(16]-∞， (12) 解法二：f ’ (x)≥0 在[)2,+∞上恒成立，∴a 的取值范围是(16]-∞， (12) 20.已知函数 ()sin 2cos f x x x x =+的定义域为(,)ππ-。 （1）求证：直线:sin 0l x y c πθ++=（其中,R c R θ∈∈）不是函数 ()f x 图像的切线； （2）判断()f x 在 [0,)π上单调性，并证明； （ 3 ） 已 知 常 数 a b 、满足 22 a b π +<，求关于 x 的不等式 (s i n c o s )(f a x b x f a x b x +<-的解集 解：（1） '()sin cos 2sin cos sin ,''()sin f x x x x x x x x f x x x =+-=-=- 2分 当 (,0)x π∈-时，''()0f x <；当(0,)x π∈时， ''()0f x <而'() f x 在 (,)x ππ∈-连续，∴'() f x 在 (,)x ππ∈-上是减函数，又lim '(),lim '()x x f x f x π π ππ +-→-→==- ∴函数 ()f x 图像上任意点处切线斜率'()f x 存在并满足|'()|f x π < 4分 当sin 0θ=时，直线l 斜率不存在，∴直线l 不是函数()f x 图像的切线；当sin 0θ≠时，直线l 斜率sin k π θ =- ， 则||k π≥，∴直线l 不是函数 ()f x 图像的切线 6分 已知函数 ()sin 2cos f x x x x =+的定义域为(,)ππ-。 （2）由（1）易知 '()f x 在(0,)x π∈上是减函数，而'(0)0f =，当(0,)x π∈时，'()'(0)0f x f <=， 而 ()f x 在[0,)π上连续，∴()f x 在[0,)π上是减函数 10分 （3）∵ ()f x 在[0,)π上是减函数，并且()f x 在(,)x ππ∈-上是偶函数 由不等式 (sin cos )(sin cos )f a x b x f a x b x +<- 等价于 (|sin cos |)(|sin cos |)f a x b x f a x b x +<- ∵0|sin cos |a x b x π ≤+≤<，0|sin cos |a x b x π ≤-≤< ∴| sin cos ||sin cos |a x b x a x b x +>-， 即2 2 (sin cos )(sin cos )a x b x a x b x +>-，∴sin 20ab x > 当0ab >时，sin 20x >，此时原不等式解集为{|,} 2 x k x k k Z π ππ<<+ ∈ 当0ab =时，原不等式解集为Φ 当0 ab <时，sin 20x <，此时原不等式解集为{|,}2 x k x k k Z π ππ- <<∈ 21.已知函数),1,0(),22(log 2)(log )(R t a a t x x g x x f a a ∈≠>-+==和的图象在 x =2处的切线互 相平行. （1）求t 的值. （2）设 2 )(]4,1[)()()(≥∈-=x F x x f x g x F 时，，当恒成立，求a 的取值范围. （1）解： e t x x g e x x f a a log 2 24)(,log 1)(-+= '= ' ∵函数 )()(x g x f 和的图象在x=2处的切线互相平行， ∴ )2()2(g f '='∴ e t e a a log 2 4log 21+= ∴t=6 （2）∵t=6，∴ x x x f x g x F a a log )42(log 2)()()(-+=-= =]4,1[,) 42(log 2 ∈+x x x a 令].4,1[,16164) 42()(2 ∈++ =+= x x x x x x h ∵]4,1[,) 2)(2(4164)(2 2 ∈+-= - ='x x x x x x h ∴当0)(420)(21>'≤<<'<≤x h x x h x 时，，当时， ∴)2,1[)(在x h 是单调减函数，在]4,2(是单调增函数 ∴.36)4()1()(,32)2()(max min =====h h x h h x h ∴当.32log )(136log )(10 min min a a x F a x F a =>=<<时，有，当时，有 当 2)(2)(]4,1[min ≥∴≥∈x F x F x 恒成立，时， ………………………………….10分 ∴满足条件的a 的值满足下列不等式组： ?? ?≥<<236log .10a a ① 或? ??≥>232log , 1a a ② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②，得 2 41≤ 综上所述，满足条件的a 的取值范围是]24,1( …………………………………12分 22.已知在函数 x mx x f -=3 )(的图象上以N （1，n ）为切点的切线的倾斜角为 .4 π （Ⅰ）求m 、n 的值； （Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式 ]3,1[1992)(-∈-≤x k x f 对于恒成立？如果存在，请求出最小的 正整数k ；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）（文科不做）求证：)0,(),21(2|)(cos )(sin | >∈+≤+t x t t f x f x f R 解：（Ⅰ） ,13)(2 -='mx x f 依题意，得3 2,131),1(4 tan = -='=m m f 即π ∴ ,31)1(,),1(,3 2)(3 -==-=f n n N x x x f 得代得把 ∴3 1,3 2- == n m ………………2分 （Ⅱ）令 ,2 2,0)2 2)(2 2(2)(± ==- + ='x x x x f 则 当) (,012)(,2212 x f x x f x >-='-<<-时在此区间为增函数 当)(,012)(,2 2 222 x f x x f x <-='< <- 时在此区间为减函数 当 )(,012)(,32 22 x f x x f x >-='<<时在此区间为增函数 2 2)(-=x x f 在处取得极大值………………5分 又 15 )3(,3 2)2 2( ,3 2)2 2(,3 1)1(=- == - = -f f f f 因此，当 ,15)(3 2 ,]3,1[≤≤- -∈x f x 时…………6分 要使得不等式 2007 199215,]3,1[1992)(=+≥-∈-≤k x k x f 则恒成立对于 所以，存在最小的正整数k=2007，使得不等式]3,1[1992)(-∈-≤x k x f 对于恒成立。7分 （Ⅲ）（方法一）= -+-=+|)cos cos 32()sin sin 3 2( ||)(cos )(sin | 3 3 x x x x x f x f | ]1)cos cos sin (sin 3 2)[ cos (sin ||)cos (sin )cos (sin 3 2| 2 2 3 3 -+-+=+-+x x x x x x x x x 3 | c o s s i n |3 1|31c o s s i n 3 2||c o s s i n |x x x x x x +=- ?+= 3 2 2|)4sin(2|3 13 ≤ + = π x ……………10分 又∵0>t ∴,141,2212 2 ≥+ ≥+ t t t t ∴]1)41 1(32)[21(2)]21()21(32[2)21(22 23-+++=+-+=+t t t t t t t t t t f 3 22)3 13 2( 22)]3 141(3 2)[ 21(22 2 = - ≥- + + =t t t t 综上可得)0,)(21(2|)(cos )(sin | >∈+≤+t R x t t f x f x f ………12分 （方法2）由（2）知，函数 ]22, 2 2[;]2 2,1[)(- - -在上是增函数在x f 上是减函数，在[ 2 2，1]上是增函数, 又 3 1)1(,3 2)2 2( ,3 2)22(,31)1(- =- == - =-f f f f 所以，当 ]1,1[-∈x 时，－ 3 2|)(,3 2)(3 2≤≤ ≤x f x f 即…………9分 ]1,1[cos ,sin -∈x x .32|(c o s )|,3 2|)(s i n |≤ ≤∴f x f 3 22323 2|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+ ≤ +≤+∴x f x f x f x f ……10分 又t>0，1221>≥+ ∴ t t ，且函数],1[)(+∞在x f 上是增函数， 3 32]2)2(3 2[ 2)2(2)21(23 = - =≥+ ∴f t t f 综上可得) 0,)(21(2)(cos )(sin | >∈+≤+t R x t t f x f x f ………………12分 23.设 ).442(31)(2 a ax x e x f x ++=- （1）求a 的值，使)(x f 的极小值为0； （2）证明：当且仅当a=3时， )(x f 的极大值为4。 解：（1） )442(3 131)44()(2 a ax x e e a x x f x x ++- ?+='- ],)44(2[3 12 x a x e x -+= - 令 1,022,2200)(==--==='a a a x x x f 即当或解得时，无极值。 （1）当) (),(,1,022 x f x f a a '<>-时即的变化情况如下表（一） 此时应有 10,0)(<==a x f 得 （2）当) (),(,1,022 x f x f a a '><-时即的变化情况如下表（二） 此时应有 即,0)22(=-a f 03 1) 22(≠--a e .120]4)22(4)22(2[2 >==+-+-∴a a a a a 即 综上所述，当a=0或a=2时， )(x f 的极小值为0。 （2）由表（一）（二）知 )(x f 取极大值有两种可能。由表（一）应有4)22(=-a f ， 即 4]4)22(4)22(2[3 12 ) 22(=+-+---a a a a e a ,)2()(,3)2(2 22 2---==-∴a a e a a g a e 设 则 ),23()2(2)(2 22 22 2a e a e e a g a a a -=-+-='---,1'∴a g 此时g （a ）为增函数， 3)2(.3)1()(,12 2=-=<<∴-a e g a g a a 即时不能成立。 若a>1，由表（二）知，应有.3,4)0(==a f 即综上所述，当且仅当a=3时，)(x f 有极大值4。 24.已知函数f (x)＝e x －k －x ，其中x ∈R ． (1)当k ＝0时，若g(x)＝ 定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2)给出定理：若函数f (x)在[a ，b]上连续，且f (a)·f (b)<0，则函数y ＝f (x)在区间 (a ，b)内有零点，即存在x 0∈(a ，b)，使f (x 0)＝0； 运用此定理，试判断当k>1时，函数f (x)在(k ，2k)内是否存在零点． 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) 导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1 0＋m ＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1 x ＋m ＝ e x x ＋1－1 x ＋1 ， 显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1 x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1 x ＋22>0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －13 2 <0，g ′(0)＝1－1 2>0， 所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－1 2，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1 t ＋2＝0????－12 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论． （1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?? ?? 0，12，求 h (x 1)－h (x 2)的最小 值． [审题程序] 第一步：在定义域内，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值范围； 第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规范解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ， 其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2， 令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4. ①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a >2时，Δ>0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－4 2 ， 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为 【方法综述】 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F n x x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()() F n f x x x = ；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nx x e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()() F nx f x x e = ． 【解答策略】 类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造 常用构造形式有()xf x ， ()f x x ；这类形式是对u v ?，u v 型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ?，u v 的导函数观察可得知，u v ?型导函数中体现的是“+”法，u v 型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ?型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造 u v ． 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设 是定义在上的可导偶函数，若当 时， ，则函数 的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 【答案】A 【解析】 设 ，因为函数 为偶函数，所以 也是上的偶函数，所以 ．由已知， 时， ，可得当 时， ， 故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在 上单调递增．所以 ，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A． 【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数 在上单调递减，从而求出函数的零点的个数． 【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则 A．B． C．当时，取得极大值D．当时， 【答案】C 【解析】 设，则 则 又得 即，所以 即 ， 由得，得，此时函数为增函数 由得，得，此时函数为减函数 则，即，则，故错误 ，即，则，故错误 当时，取得极小值 即当，，即，即，故错误 当时，取得极小值 此时，则取得极大值 高中数学导数的几何意义测试题(含答案) 选修2-21.1第3课时导数的几何意义 一、选择题 1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么() A．f(x0)＞0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＝0 D．f(x0)不存在 [答案] B [解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f(x0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为() A．1 B.4 C.54 D．－4 [答案] B [解析] ∵y＝limx0[12(x＋x)2－2]－(12x2－2)x ＝limx0(x＋12x)＝x 切线的斜率k＝y|x＝1＝1. 切线的倾斜角为4，故应选B. 3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是() A．(0,0) B．(2,4) C.14，116 D.12，14 [答案] D 页 1 第 [解析] 易求y＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1，x0＝12，P12，14. 4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [答案] B [解析] y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3. 由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2. 5．设f(x)为可导函数，且满足limx0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为() A．2 B．－1 C．1 D．－2 [答案] B [解析] limx0f(1)－f(1－2x)2x＝limx0f(1－2x)－f(1)－2x ＝－1，即y|x＝1＝－1， 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B. 6．设f(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在 B．与x轴平行或重合 导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y = 与m x x f y ++'= 5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. （I ）讨论的单调性； （II ）当时，证明对于任意的成立. 1. 高考命题回顾 例1.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. ()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈()f x 1a =()3 ()'2 f x f x +＞[]1,2x ∈ 例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 例3.（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=31 ,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{ ()min (),()(0)h x f x g x x => ， 讨论h （x ）零点的个数 例4.(本小题满分13分) 已知常数,函数 (Ⅰ)讨论在区间 上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且 求的取值范围. 例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 例6已知函数)(x f 满足21 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。 例7已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 ln ()1a x b f x x x = ++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x >+-k 【巩固练习】 一、选择题 1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（ ） A ．0 B ．―1 C ．―60 D ．60 2．（2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为（ ） A.(0,1) B.()(),10,1-∞-U C. ()()1,01,-+∞U D.()1,+∞ 3．（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A.()'23cos 6sin x x x x +=- B. ()'1ln 2 2ln 2x x x x -=- C. ()' 2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -??= ??? 4．函数4538 y x x =+-的导数是（ ） A ．3543 x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为' ()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（ ） A. 2 B.-2 C. 94 D.94- 6．设曲线1(1)1 x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．12 C ．―12 D ．―2 7．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（ ） A ．32log tan e x -? B ．32log cot e x ? C ．32log cos e x -? D ． 22log cos e x 二、填空题 8．曲线y=sin x 在点,12π?? ??? 处的切线方程为________。 9．设y=(2x+a)2，且2'|20x y ==，则a=________。 10．31sin x x '??-= ??? ____________，()2sin 25x x '+=????____________。 11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y=x 3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲 构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧． 技法一：“比较法”构造函数 [典例] (2017·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1． (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜e x． [解] (1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a． 因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2， 令f′(x)＝0，得x＝ln 2， 当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x． 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0， 故g(x)在R上单调递增． 所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x． [方法点拨] 在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的 结论求解． [对点演练] 已知函数f (x )＝x e x ，直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0(x 0＜1) 处的切线，求证：f (x )≤g (x )． 证明：函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)． 令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， 则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝ 1－x e x － 1－x 0 e 0 x ＝ ?1－x ?e 0 x －?1－x 0?e x e 0 ＋x x ． 设φ(x )＝(1－x )e 0 x －(1－x 0)e x ， 则φ′(x )＝－e 0 x －(1－x 0)e x ， ∵x 0＜1，∴φ′(x )＜0， ∴φ(x )在R 上单调递减，又φ(x 0)＝0， ∴当x ＜x 0时，φ(x )＞0，当x ＞x 0时，φ(x )＜0， ∴当x ＜x 0时，h ′(x )＞0，当x ＞x 0时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x )． 技法二：“拆分法”构造函数 [典例] 设函数f (x )＝ae x ln x ＋be x －1 x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1)) 处的切线为y ＝e (x －1)＋2． (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1． [解] (1)f ′(x )＝ae x ? ?? ??ln x ＋1x ＋be x －1 ?x －1? x 2 (x ＞0)， 由于直线y ＝e (x －1)＋2的斜率为e ，图象过点(1,2)， 高三数学第二轮复习导数自助餐 1.已知函数x x f =)(，)1ln()(x x g +=，.1)(x x x h += （1）证明：当0>x 时，恒有);()(x g x f > （2）当0>x 时，不等式)0()(≥+> k x k kx x g 恒成立，求实数k 的取值范围; （3）在x 轴正半轴上有一动点)0,(x D ，过D 作x 轴的垂线依次交函数)(),(),(x h x g x f 的图象于点C B 、、A ，O 为坐标原点.试将AOB ?与BOC ?的面积比表示为x 的函数)(x m ，并判断)(x m 是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由. 解：（1）设)()()(x g x f x F -=，则)(' x F =x x x += +- 1111 ，……2分 当0>x 时，0)(' >x F ，所以函数)(x F 在（0，)∞+单调递增，又)(x F 在0=x 处连续，所以0)0()(=>F x F ，即0)()(>-x g x f ， 所以)()(x g x f >。……4分 （2）设x k kx x g x G +- =)()(， 则)(x G 在（0，)∞+恒大于0，x k k k x x G ++-+=2 )1ln()(， 2 2222) )(1()2()(11)('x k x x k k x x k k x x G ++-+=+-+=，……6分 0)2(22=-+x k k x 的根为0和,22k k - 即在区间（0，)∞+上，0)('=x G 的根为0和,22 k k - 若022 >-k k ，则)(x G 在)2,0(2 k k -单调递减， 且0)0(=G ，与)(x G 在（0，)∞+ 恒大于0矛盾； 若022 ≤-k k ，)(x G 在（0，)∞+单调递增， 且0)0(=G ，满足题设条件，所以022 ≤-k k ，所以.20≤≤k ……9分 导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 设a> 0,函数g(x)= (a A2 + 14)e A x + 4?若E 1、E 2 € [0 , 4],使得|f( E 1) - g( E 2)| v 1 成立, 求a 的取值范围. 二、交点与根的分布 三、不等式证明 （一）做差证明不等式 LL期嗨敕门划=1扣 M】求的单调逼减区创！ <2)^7 I >-1 r求证1 I ----- + x+ 1 W；的宦义域为(一4 + Ehl&￡ /I U li 故)白 )替换构造不等式证明不等式 >=/U ) “川理k C 1；/< <6 N 实出氓I:的崗散丿I + 2 导数单元测试题（实验班用） 一、选择题 1．曲线3 2 3y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( ) A .31y x =- B .35y x =-+ C .35y x =+ D .2y x = 2．函数21()e x f x x +=?,[]1,2-∈x 的最大值为( )． A .14e - B . 0 C .2e D . 23e 3.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(2,2)- B.[]2,2- C.(,1)-? D.(1,)+? 4.若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.1 (0,)2 B. (,1)-? C. (0,)+? D. (0,1) 5.若2a >，则函数3 21()13 f x x ax =-+在区间(0,2)上恰好有( ) A ．0个零点 B ．3个零点 C ．2个零点 D ．1个零点 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )． A .(3)(2) 0(2)(3) 32 f f f f -''<<< - B .(3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- C . (3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- D .(3)(2) 0(2)(3)32 f f f f -''<<<- 8设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x <时,' ' ()()()()0f x g x f x g x +>, 高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法： )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法：设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x )()()(000 求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f （x ）=x 3 ﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169y x ） （2）若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线，求实数 m 的取值范围、 （提示：设曲线 )(x f y 上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。（答案： m 的范围是2,3） 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法：设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为（ )(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 建立 21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x ，12 212 )()(y y x f x x ；求出21,x x ，进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。（答案02e y x e ） 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与 0的 关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2）若 e x ,2，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。 方法1：研究导函数讨论。 方法2：转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题， 方法3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意：“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数，求实数 a 的取值范围． （答案 , 0） 题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ，R a 在区间 1,2 1内不单调，求实数 a 的取值范围。 （答案： 3, 2a ） ）三．极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ，求在2,1x 的极小值。 （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类） 题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。 方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。（答案：1） 高二数学导数专题训练 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x =+的递增区间是（ ） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足' (1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0 导数应用之双变量问题 （一）构造齐次式，换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【解析】（1）1,1a b ==-； （2）()2 ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x '=+- ， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? ， 两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ，只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一：因为120x x << ，只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t ，即证12ln 0t t t -+>. 令()()12ln 01h t t t t t =-+<<，则()()2 22 12110t h t t t t -'=--=-<， 所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形 为齐次式，设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -= ==-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x << ，只需证12ln ln 0x x -， 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 () 21 10 Q x x x '= ==<， 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()() 20Q x Q x >=，即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于1x （或2x ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法. 导数练习题（B ） 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间 （1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2 ()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值．导数练习题 含答案
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