普遍洛伦兹变换的简捷推导
第15卷第3期
重庆教育学院学报Vol.15No.32002年5月Journal of Chongqing College of Education May.2002文章编号:1008-6390(2002)03-0035-02
普遍洛伦兹变换的简捷推导
苏燕飞
(广东茂名学院物理系,广东茂名 525000)
摘 要:根据特殊洛伦兹变换导出普遍洛伦兹变换公式,针对一般教科书不介绍的内容作
了知识扩展.
关键词:特殊洛伦兹变换;普遍洛伦兹变换;电动力学
中图分类号:O442 文献标识码:A
在普通的电动力学教材中洛伦兹变换都是特殊的变换式,普遍的变换式很少出现.其实在实际中应用普遍洛伦兹变换处理问题的例子很多,如运动介质中光的速度等.本文从特殊洛伦兹变换推出普遍的洛伦兹变换公式,扩展电力力学教材的知识范围.
1 普遍的相对论时空坐标变换式
特殊的洛伦兹变换是:
当 (x ,y ,z )系以匀速v =(v ,0,0)相对于惯性系 (x ,y ,z )运动时,它们之间的变换关系为:x
= (x -v t ),y =y ,z =z ,t = (t -v c 2x ).式中 =(1-v 2c 2)-12.现在我们来推导 (x ,y ,z )以匀速v =(v x ,v y ,v z )相对于惯性系 (x ,y ,z )运动时,它们之间的变换关系.
由特殊洛伦兹变换得出:从 (x ,y ,z )系到 (x ,y ,z )系的变换中,垂直于v 的方向上长度不变,
而平行于v 的方向上,长度的变换要乘上因子 ,时间的变换则为t = (t -v !r c 2),因此,需要把垂直于v 和平行于v 的关系分开考虑.为此把任意一点P (图1)的位矢r 和r 都分解成平行于v 和垂直于v 的分量:
r =r ?+r #,r =r ?+r # . (1-1)
用e 表示v 方向上的单位矢量,则:
r ?=(r !e )e =(r !v v )v v =v !r v 2v (1-2)根据上面的结论,便得:r ? = (r ?-v t ).
(1-3)r # =r
#.(1-4)
t = (t -v !r c 2.(1-5)由(1-3)和(1-4)得收稿日期:2001-06-04
作者简介:苏燕飞(1965?),女,广东茂名人,广东茂名学院物理系,讲师.!35!
r =r ?+r # = (r ?-v t )+r #=r +( -1)r ?- v t =r
+( -1)v !r v 2- v t . (1-6)(1-5)和(1-6)式便是矢量形式的普遍洛伦兹变换关系.它们的分量式为:
x =[1+( -1)v x 2v 2]x +( -1)v x v y v 2y +( -1)v x v z v 2z - v x t .(1-7)y =( -1)v y v x v 2x +[1+( -1)v y 2v 2]y +( -1)v y v z v 2z - v y t (1-8)Z =( -1)v z v x v 2x +( -1)v z v y v 2y +[1+( -1)v z 2v 2]z - v x t (1-9)t =- (v x c 2x +v y c 2y +v z c 2z -t )(1-10)*这就是普遍洛伦兹变换,现讨论如下.
1.1 普通洛伦兹变换的逆变换把(1-6)式中的r 与r ,t 与t 互换,同时把v 换成-v 即得逆变换的矢量形式:r =r +( -1)v !r v 2v + v t (1-10)分量式把(1-7),(1-8),(1-9)式的(x ,y ,z ,t )分别与(x ,y ,z ,t )互换,同时把v 换成-v 即可.
1.2 若令普遍洛伦兹变换中v x =v ,v y =v z =0,便回到特殊洛伦兹变换.
2 普遍速度变换公式若一质点以匀速u 相对于 系运动,以u 相对于 系运动.它们的关系如何?根据(1-6)和(1-5)式,质点相对于 系的速度为:u =d r dt
.(1-11)相对于 系的速度为:u =d r d t =d r +( -1)v !d r v 2v - v d t (d t -v !d r c 2)=u +[( -1)v !u v 2- ]v (1-v !u c 2).(1-12)这便是 系与 系间的普遍速度变换公式,现作如下讨论.
2.1 普遍速度变换的逆变换把(1-12)式中u 与u 互换,将v 换成-v 即为u =u +[( -1)v !u v 2+ ]v (1+v !u c 2)(1-13)
2.2 若令v =(v ,0,0)则由(1-12)式得:
u x =u x -v 1-u x v c 2, u y =u y (1-u x v c 2), u z =u z (-u x v c 2).2.3 若v =(v ,0,0) u
=(u ,0,0),即由(1-13)式便回到原爱因斯坦速度叠加定理:
u =u +v 1+u v c 2.参 考 文 献
[1] 郭硕鸿.电动力学[M].北京:高等教育出版社,1985.
[2] 梁绍荣.电动力学[M].北京:北京师范大学出版社,1986.[责任编辑 曾 静]!36!