数学归纳法在若干领域的应用
数学归纳法在若干领域的应用
学 生：杨茹珂
指导教师：王佛生
摘 要：本文主要介绍数学归纳法的历史由来及原理理论,通过对数学归纳法基本形式的学习与理解,用相应的数学实例进行分析,说明数学归纳法在若干领域的具体应用,最后总结数学归纳法的应用技巧和常见误区,并对数学归纳法在更多其他领域的应用举出实例.
关键词：数学归纳法;恒等式;不等式;几何;概率;数列;图论
Application of Mathematical Induction in Several Areas
Undergraduate： Yang Ruke
Supervisor： Wang Fosheng
Abstract： In this paper we mainly introduce the historical origin and principle theory of mathematical induction, through learning and understanding the Basic Form of Mathematical Induction, and analysis with corresponding math examples, explain the concrete application of mathematical induction in some fields, finally, the application skills and common misunderstandings of mathematical induction are summarized, and examples of the application of mathematical induction in more other fields are given.
Keywords： Mathematical Induction ; Identities ; Inequality ; Geometry ; Probability; Graph theory.
目 录
1 数学归纳法的历史由来 4
1.1 数学归纳法的起源 4
1.2 数学归纳法的发展 4
2 数学归纳法的原理理论 5
2.1 数学归纳法的理论依据 5
3 数学归纳法的应用 5
3.1 数学归纳法在中学数学教学中的应用 5
3.1.1 数学归纳法在证明恒等式中的应用 5
3.1.2 数学归纳法在证明不等式中的应用 6
3.1.3 数学归纳法在几何解题中的应用 7
3.1.4 数学归纳法在概率问题中的应用 8
3.1.5 数学归纳法在数列中的应用 10
3.2 数学归纳法在图论中的应用 11
4 数学归纳法在更多领域的应用 12
4.1 数学归纳法的应用技巧与常见误区 12
4.2 数学归纳法在更多领域的应用 12
5 总结语 13
参考文献 14
致 谢 15
1数学归纳法的历史由来
在漫长的数学学习生活中，数学归纳法是一种相当常用且十分重要的证明方法,也是初高中数学学习中，反复涉及的一个重要内容：主要用于证明与无穷的自然数集相关的命题.在很久以前,数学归纳法就已被用于处理数学问题.
1.1数学归纳法的起源
最早的数学归纳法,可以在印度和古希腊时期的著作中找到一丝踪迹,如：印度婆什迦罗(1114-1993)[1]研究的“循环方法”,以及欧几里得(公元前300年左右)研究的素数无限证明等.
在欧几里得所著的《几何原本》第九卷中：质数比任何指定出来的数目都要多,既：素数无穷.欧几里得关于素数无穷的证明十分经典：
假设：素数有限,令：这有限的个素数为：
再作一个自然数为：
若：该数为素数,则素数变为个,与有限个素数矛盾
若：该数不为素数,则
它必能被某一素数整除
但：它被已知个素数除都有余数1
故：它是已知个素数以外的新素数,与有限个素数矛盾
故：素数无穷.
欧几里得的证明说明：只要存在个素数,就一定存在第个素数.按照现代数学归纳法的证明要求,欧几里得的证明过程证明了从到的递推关系,即完成了数学归纳法最关键的一步.但因为欧几里得没有使用任何与数学归纳法相关的明显术语以及现代数学归纳法的推理格式,所以只能认为该证明中存在现代数学归纳法的一丝踪迹,猜测或许这就是数学归纳法的起源.
而已知最早明确使用数学归纳法的数学证明,出现在弗朗西斯科?莫洛里科所著的Arithmeticorum libri duo(1575年),在该作中,弗朗西斯科利用递推关系证明了前个奇数的总和是.
1.2数学归纳法的发展
在十七世纪之后,随着数学知识的发展,数学归纳法有了更为明晰的框架,多种形式的数学归纳法都得到了发展,各种数学归纳法的变异形式诸如起始命题证明、跳跃台阶设置等都得到了各位数学家的相应推广,从而发展出了第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推归纳法、螺旋式归纳法等多种形式的数学归纳法[7].
后来,由于分析算术化的需要,关于数的理论得到了充分的发展,最终将整个分析模块都建立在了自然数之上.
1889年,来自意大利的数学家C?Peano(1858-1932)发表了算术原理新方法,给出了Peano的自然数公理体系,使数学归纳法拥有了一个十分准确合理的理论基础.
格奥尔格?康托尔(1845-1918)在1897年建立起了集合论的基础,发明了超穷数,建立起了超穷序数与超穷基数理论,并且论述了良序集的特别理论,在此基础上,康托尔将数学归纳法扩展成为了超穷归纳法.(数学归纳法是超穷归纳法的特殊形式,由数学归纳法不能推出超穷归纳法)
2.数学归纳法的原理理论
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的重要方法,那么数学归纳法的理论依据就一定与自然数的基本性质有关联.
2.1数学归纳法的理论依据
Peano的自然数公理体系[13]：
①1属于自然数集,即(1是一个自然数);
②若,则有且仅有一个自然数紧跟在后面,记为;
③若,则;
④设,当时,;
⑤若是的一个子集,具有：
1);
2)若,有,
则.
依皮亚诺公理：
有;
记为2,则;
记为3,则;
记为4,则;
......
以此类推,便能得到自然数集.
其中,Peano的自然数公理体系的公理⑤又被称为归纳公理,是实现数学归纳法的逻辑基础,保证了数学归纳法的正确性,它就是数学归纳法最原始的理论基础.
3.数学归纳法的应用
数学归纳法在中学数学教学、图论、三角形重心定理推广、平面机构自由度等若干领域中都具有重要作用,该部分主要讨论数学归纳法在各领域中的证题技巧和具体
应用[15].
3.1数学归纳法在中学数学教学中的应用
3.1.1数学归纳法在恒等式证明中的应用
使用数学归纳法证明恒等式,只需做到等式两边的数值相等即可[11].
证明.
证明
①当时：
左右,
等式成立.
②当时：
;
则当时：
左
右
等式成立.
对于任意一个正整数,原命题成立.
3.1.2数学归纳法在不等式证明中的应用
数学归纳法中不等式的证明与恒等式的证明步骤十分类似[10].
证明.
证明
①当时：
左右;
不等式成立.
②当时：
;
则当时：
左
右
不等式成立.
对于任意一个正整数原命题成立.
3.1.3数学归纳法在几何解题中的应用
数学归纳法在几何解题中的应用主要在绘制平面几何图形的三心等方面[12].
设平面上现有个点,试做一个边形,以这个点为中点.
解
①如下图图1,当时：
平面上仅有3个点;
试作三角形恰以这3个点为中点;
只需将3个点两两相连,再过每点分别做连线的平行线即可.
图1
证明
四边形、四边形、四边形都为平行四边形
点分别为的中点
②当时：
平面上有个点;
试作边形恰以这个点为中点;
如下图图2,任意做一个四边形;
假设点分别为的中点;
若是的中点,则四边形是平行四边形.
证明
点分别为的中点
同理,
四边形是平行四边形
图2
点是边形的中点;
根据假设,这个边形可以得到.
3.1.4数学归纳法在概率问题中的应用
数学归纳法在概率中常用于证明概率相同问题[8].
假设：有个布袋子,每个布袋子有个白球,个黑球,每个球除颜色外完全相同.现在我们从布袋子1号中随机拿出一球放入布袋子2号,再从布袋子2号中随机拿出一球放入布袋子3号...以此类推,则从布袋子号中拿出白球的概率为?
解
①当时：
令“从布袋1号中拿出白球”;
则
②当时：
令“从布袋1号中拿出白球”,
“从布袋2号中拿出白球”;
则
与时结论相同;
推断：无论为什么正整数,概率都为.
③当时：
令“从布袋1号中拿出白球”,
“从布袋2号中拿出白球”,
......
“从布袋号中拿出白球”;
则
对所有正整数都成立.
3.1.5数学归纳法在数列中的应用
数列学习中，数学归纳法常用于求取最值问题[14].
已知为正项数列的前项和,,记数列的前项和为,则的最小值为?
解
①当时：
②当时：
③当时：
推断：当时：
④当时：
最小为
3.2数学归纳法在图论中的应用
在图论学习中,我们会发现有关顶点、边数或是自然数的习题,数学归纳法都起到了重要作用[9].
证明：若恰好有个顶点为奇数度的森林,则中存在条边不相交的路：,使得.
证明
非平凡树至少有两个度为1的顶点
的每一个非平凡连通分支至少存在2个奇度顶点
①当时：
仅有一个非平凡连通分支
是一条路
命