乘法公式专项练习题
A. x n 、y n 一定是互为相反数
C.x 2n 、y 2n 一定是互为相反数
D. x 2n —1、— y 2n — 1 一 定相等
10. 已知 a =1996x 1995, b =1996x 1996, c = 1996x 1997,那么 a 2 b 2 c 2 - ab -be - ca 的 值为( ). (A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4
11. 已知 X = 0，且 M =(x 2x 1)(x -2x 1) , N =(x x 1)(x -x 1)，则 M 与 N 的大小
关系为( ). (A ) M N (B ) M :: N (C ) M 二 N (D )无法确定
12. 设a 、b 、c 是不全相等的任意有理数.若x=a 2-bc , y 二b 2「ca,
z 二c 2「ab ，则x 、y 、z ().A .都不小于0 B .都不大于0 C .至少有一个小于0 D .至少有一个大于0 二、填空题
2 2 4 4
1. ( — 2x+y ) ( — 2x — y ) = __ . ( — 3x +2y ) ( ____ ) =9x — 4y .
2. (a+b — 1) (a — b+1) = ( _____ 2—( ____ )1
3. 两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形 的面积，差是 _____ .
4. 若 a 2+b 2 — 2a+2b+2=0,则 a 2004+b 2005= ___ .
5. 5 — (a — b)的最大值是 ________ 当5— (a — b)取最大值时，a 与b 的关系是 ___________ .
6.多项式9x 2 1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是
_____________ (填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况) 。
、选择题 乘法公式专项练习题 1 ?平方差公式(a+b ) (a — b ) =a 2— b 2中字母a , b 表示() A ?只能是数 B ?只能是单项式 C ?只能是多项式 D ?以上都可以 2 ?下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( ) A . (a+b ) (b+a ) B . ( — a+b ) (a — b ) 1 1 2 2 C .(丄 a+b ) (b — - a ) D . (a — b ) (b +a ) 3 3 3. 4. 5. 6. 7. 8. 列计算中，错误的有( )A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 ?(3a+4) (3a — 4) =9a i — 4；购(2a 2— b ) (2a 2+b ) =4a 2— b 2; 2 2 2 @(3 — x ) (x+3) =x — 9; ④(一x+y ) ?( x+y ) =—(x — y ) (x+y ) = — x — y . 若 x 2 — y 2=30,且 x — y=— 5,贝U x+y 的值是( )A . 5 B . 6 C . —6 D . — 5 若 x — x — m=(x — m)( x+1)且 x 工 0,则 m 等于( )A. —1 B.0
C.1
D.2 计算］(a 2— b 2)( a 2+b 2): 2等于() A. a 4— 2a 2b 2+b 4 B. a 6+2a 4b 4+b 6 C.a 6— 2a 4b 4+b 6 D.a 8- -2a 4b 4+b 8 已知(a+b)2=11,ab=2,则(a — b)2的值是() A.11 B.3 C.5 D.19 若x 2— 7xy+M 是一个完全平方式，那么 皿是( )A . 7y 2
B.49 y 2 C . ￡9 y 2 D.49y 2 2 2
4 n 为正整数，你认为正确的是(
) 9.若x,y 互为不等于0的相反数, B.( 丄八(丄广一定是互为相反数 x y
1
__ 2 2 1
7. 已知 x — 5x+1=0,贝卩 x + 為= ____ , X_x = ________ .
x 8. 已知(2005 — a)(2003 — a)=1000,请你猜想(2005 — a) 2+(2003 — a) 2= ___ .
9. 填空： ①a +b =(a+b) — _______ ②(a+b) =(a — b) +_ _
③a 3+b 3=(a+b)3— 3ab( _) ④a 4+b 4=(a 2+b 2)2 — _ _
⑤a 5+b 5=(a+b)(a 4+b 4) — _ ― ⑥a 5+b 5=(a 2+b 2)(a 3+b 3) — __ _
10. 已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是 ______________ -
11. 已知(2013 —x)(2011 —x) =2012，那么(2013 - x)2 (2011 - x)2= __________ 。
12. 计算：5(6 1)(62 1)(64 1)(68 1) 1 = __________________ 。
13. ________________________________________________________ 已知x, y 满足x 2 y 2 2^2x 10y ，则代数式一^ = ____________________________________________
x + y
1 已知a - =3 ,
a 15. ______________________________________________________ 已知 a —
b = 3,a ?
c = -5，贝U 代数式 ac - bc a 2 - ab =_____________________________________
16. 若 x-y =2,x 2 ? y 2 =4，则 x 2002 - y 2002 = _____________ 。
17. 若x 2 -13x ? 1 = 0，则x 4 ?厶 的个位数是 _____________ 。 x
18. x 2 y 2 z 2 -2x _4y 6z 14 = 0，贝U x y z= ___________________ 。
19. 如果正整数x,y 满足方程x 2-y 2=64，则这样的正整数对（x, y ）的个数是 ______________ 。
20. 已知 a = 2013x 1,b = 2013x 2,c = 2013x 3， 则 a 2 b 2 c 2 - ab - be - ca = _____________
21. 多项式x 2 + y 2-6x+8y +7的最小值为 ________________ .
22. 1. 345X 0.345 X 2.69 — 1.3453 — 1.345 X 0.345 2= __________ :
23. ___________________________________ 请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你 非常熟悉的公式，这个公式是 。
14. 4 2 .
a +a +1= 2 - a
24.如图2,在长为a的正万形中挖掉一个边长为b的小正万形（a>b）,把余下的部分
剪成一个矩形，如图3,通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是 三、解答题
1
1. 计算(1)( a -2b+3c)2— (a+2b — 3c)2; (2) [ab(3 - b) -2a(b — - b 2) ] ( - 3a 2b 3);
2 (3) - 2100x 0.5 100x ( - 1)2005- ( - 1) -5; (4) [(x+2y)( x -2y)+4( x - y)2-6x ] - 6x.
2 4
2 2 2 2 2 2 2 (5) (a+2) (a+4) (a+16) (a - 2) (6) 1 -2 +
3 -
4 +……+ 99 - 100 + 101
(7) (2+1) (22+1) (24+1)-( 22n +1) +1 (n 是正整数)；
2. 解方程(1) x(9x - 5) - (3x - 1)(3 x+1)=5. (2) (x+2) + (2x+1) (2x - 1) =5 (x 2+3)
3. 若 x 工 1,贝U( 1+x ) (1 — x ) =1 — x , (1 — x ) (1+x+x ) =1 — x , (1 — x )
(?1+x+x+x ) =1-
x 4. (1)观察以上各式并猜想：(1 — x ) (1+x+x 2+…+x n ) = _______ . (n 为正整数)(2)根据 你的猜想计算： ◎( 1 -2) (1+2+22+23+24+25) = _____ .
②2+22+23+^ +2n = _____ (n 为正整数).③(x — 1 ) (x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1) = ______ .
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
?( a — b ) (a+b ) = _______ . ?(a — b ) (a +ab+b ) = ________ .
@( a — b ) (a 3+a 2b+ab 2+b 3) = _____ .
2 4 24 2 2 4
4. 计算.(2+1)(2 +1)(2 +1)=(2 -1)(2+1)(2 +1)(2 +1)=(2 - 1)(2 +1)(2 +1)
=(24- 1)(2 4+1)=28- 1. 根据上式的计算方法，请计算
364
(3+1)(3 2+1)(3 4+1)…(332+1)-—的值. 2 5.
已知 m i +n 2-6m+10 n+34=0 求 m+n 的值 6. 已知
a+b = 6,a-b=4 求 ab 与 a 2+b 2 的值。 111
7.已知(a-b)=5,ab=3 求(a b)2 与 3(a 2 b 2)的值。8.已知 x ，y ，z=1，且—?一 ?— =0，
x y z
求x 2 y 2 z 2的值？
9. 广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向 要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？
10. 试说明不论x,y 取何值，代数式x 2 y 2 6^4y 15的值总是正数。
11. 已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式3(a 2 b 2 c 2^(a b c)2，请
说明该三角形是什么三角形？
12. 已知 a=3x-20， b=3xT8， c=3x-16，求：代数式 a 2 ? b 2 ? c 2 - ab - ac - bc 的值。 8 8 8
13. 若 M -123456789 123456786，N -123456788 123456787 试比较 M 与 N 的大小
14. 已知 a 2 a -^0，求 a 3 2a 2 2007 的值.
1 刃(1
2 20002
1
亏川"「999
15. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等
腰梯形(如图J甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为_____________________。
16. 已知250-4能被60~70之间的两个整数整除，求这两个整数？
初中数学竞赛专题
——乘法公式
石狮一中黄约翰
一、内容提要
1. 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开)，还可以由右到左逆用(因式分解)，还要记住一些重要的变形及其逆运算一一除法等。
2. 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a ± b)2=a2± 2ab+b2,
平方差公式：(a+b) (a —b)=a2—b2
立方和(差)公式：(a ± b)(a 2二ab+b2)=a3± b3
3. 公式的推广：
2 2 2 2 2
5.多项式平方公式：(a+b+c+d) =a+b+c+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各
项平方和加上每两项积的2倍。
6 .二项式定理：(a ± b)3=a3± 3a2b+3ab2± b3
(a ± b) 4=a4± 4a3b+6a2b2± 4ab3+b4)
(a± b) 5=a5±5a4b+10aV ± 10a2b3+ 5ab4± b5)
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
7 .由平方差、立方和(差)公式引伸的公式
(a+b) (a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4
(a+b)(a 4—a3b+a2b2—ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a 5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
2n —1 2n—2 2n —3. 2 2n —2 2n —1 2n 2n
(a+b)(a —a b+a b —…+ ab —b )=a —b
(a+b)(a —a b+a b —…一ab +b )=a +b
类似地：
n— 1 n—2 n—3 2 n— 2 n— 1 n n
(a—b) (a +a b+a b+???+ ab +b )=a — b
4. 公式的变形及其逆运算
由(a+b) 2=a2+2ab+6 得a2+b2=(a+b)2—2ab
由(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a 3+b3=(a+b)3—3ab(a+b)
5. 由公式的推广③可知：当n为正整数时
a n—
b n能被(a—b)整除,
a2n+1+b2n+1能被（a+b）整除,
a2n—b2n能被（a+b）及（a—b）整除