2011高考数学课下练兵：计数原理与概率、随机变量及其分布[理]

第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布[理]概率[文]

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得

梅花”与事件“乙分得梅花”是 ( ) A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．以上答案均不对

解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件． 答案：C

2．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为

( )

解析：A 游戏盘的中奖概率为38

，B 游戏盘的中奖概率为

13

，C 游戏盘的中奖概率为

2

2

2(2)4(2)

4

r r r ππ--=

，D 游戏盘的中奖概率为

22

1

r

r

ππ

=

，A 游戏盘的中奖概率最大．

答案：A

3．[理]某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么

不同的选派方案种数为 ( ) A ．14 B ．24 C ．28 D ．48

解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为

C 12·C 34＋C 2

2·C 24＝2×4＋1×6＝14.

法二：从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种，故至少有1名女生的选派

方案种数为C 46－C 4

4＝15－1＝14. 答案：A

[文]在△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内任投一点．那么点落在△ABD 内的概为( ) A.13 B.12 C.14 D.16

解析：因为D 是BC 的中点，所以S △ABD ＝1

2S △ABC ，

所以点落在△ABD 内的概率为1

2.

答案：B

4．[理](2009·辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女

医生都有，则不同的组队方案共有 ( )

A ．70种

B ．80种

C ．100种

D ．140种

解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C 25×C 14＋C 15×C 2

4＝70种．

答案：A

[文]两个骰子的点数分别为b 、c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为 ( ) A.12 B.1536 C.1936 D.56

解析：共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2

－4c ≥0，∴b 2

≥4c ，满足条件的数记为(b 2,

4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24),19个结果，P ＝19

36

答案：C

5．[理](2009·重庆高考)????x 2＋2x 8的展开式中x 4

的系数是 ( ) A ．16 B ．70 C ．560 D ．1 120

解析：由二项展开式通项公式得T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k ????2x k ＝2k C k 8x

16－3k

.由16－3k ＝4，得k ＝4，则x 4的系数为24C 48＝1 120. 答案：D

[文]某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ( ) A.25 B.35 C.12 D.34 解析：P ＝5－25＝35

答案：B

6．若A 、B 为一对对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1

y

，则x ＋y 的最小值为( )

A ．9

B ．10

C ．6

D ．8 解析：由已知得4x ＋1

y ＝1(x >0，y >0)，

∴x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋1

y )＝5＋(4y x ＋x y

)≥9.

答案：A

7．[理]从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为Ax ＋By ＋C ＝0中的A ，B ，C (A ，B ，C 互不相等)的

值，所得直线恰好经过原点的概率为 ( ) A.

41335 B.18 C.528 D.38

解析：P ＝7×68×7×6＝1

8

.

答案：B

[文]一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 ( ) A.

112 B.110 C.325 D.12125

解析：每条棱上有8块，共8×12＝96块． ∴概率为8×121 000＝12125.

答案：D

8．在区域???

x ＋y －

2≤0，x －y ＋

2≥0，

y ≥0

内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )

A.π2

B.π8

C.π6

D.π4 解析：区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为

P

=

2.14

2A B C

S S π

π?=

=

?半圆

答案：D

9．[理]在(x 2－1

x

)n 的展开式中，常数项为15，则n ＝ ( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k ＋1项T k ＋1＝C k n 2()

n k x

－·(－1

x

)k ＝C k n

23(1)k

n k

x

－－应有2n －3k ＝0，∴n ＝

3k

2

，而n 是正整数，故k ＝2,4,6….结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k ＝4，n ＝6. 答案：D

[文]已知直线y ＝x ＋b 的横截距在[－2,3]范围内，则直线在y 轴上的截距b 大于1的概 率是 ( )

A.15

B.25

C.35

D.45 解析：P ＝2－12－(－3)＝1

5

.

答案：A

10．[理]用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，

这样的六位数的个数是 ( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．10

解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有A 22A 22＝4(个)，

当2不在个位时，共有A 12·A 12·A 22·A 2

2＝16(个)， 所以若个位是偶数，有4＋16＝20个六位数． 同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数， 因此，这样的六位数的个数是40. 答案：A

[文]若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为 ( )

A.15

B.310

C.25

D.12 解析：P ＝510＝12

. 答案：D

11．[理]口袋中有4个白球，n 个红球，从中随机地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率大于0.6，则n

的最小值为 ( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16

解析：由已知条件可得C 24＋C 2

n

C 2n ＋4

>0.6，

解之得n >12或n <1(舍去)，∴n 的最小值为13. 答案：A

[文]一个坛子里有编号为1,2…，12的12个大小相同的球，其中1至6号球是红球，其余的是黑球，

若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为 ( ) A.

122 B.111 C.322 D.211

解析：从12个球中任取两个的做法有66种．

∴取到的是红球且至少有1个球号码为偶数的做法共有15－3＝12种， ∴P ＝1266＝211

.

答案：D

12．[理]若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，则与x 轴有公共

点的二次函数的概率是 ( ) A.

1750 B.1350 C.12 D.15

解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有C 1

5A 2

5＝100个，其中与x 轴有公共点的二次函数需满足b 2≥4ac ，当c ＝0时，a ，b 只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A 25个，当c ≠0时，若b ＝3，此时满足条件的(a ，c )取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b ＝4时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b ＝5时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，故其概率为34100＝1750.

答案：A

[文]若－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的概率等于 ( ) A.12 B.13 C.23 D.34

解析：方程x 2

+2ax +b 2

=0有实根时，应有4a 2

-4b 2

≥0，即|a |≥|b |，当-1≤a ≤1，-1≤b ≤1时，(a ，b )对应的区域是一个正方形，满足|a |≥|b |的(a ，b ) 对应的区域是如图所示的阴影部分，画出图形可得：P =1.2

答案：A

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)

13．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原

点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________． 解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，

因此P =

2

1

.44

16

ππ?=

?

答案：

16

π

14．[理](2009·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，

b ＝________.

解析：由题意?????

a ＋

b ＋

c ＋

1

12

＝1，－a ＋c ＋1

6＝0，

a ·1＋c ·1＋112

×22

＝1，

解得a ＝

512，b ＝c ＝14

. 答案：512 1

4

[文]如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =7.现在向该矩形内随机投一点P ，则 ∠APB >90°时的概率为 . 解析：P =21

5()522.3556

π

π?=

答案：

556

π

15．[理](2010·安徽师大附中模拟)a ＝0

π? (sin x ＋cos x )d x 则二项式(a x －

1x

)6展开式中含x 2的项的系数

是________． 解析：a ＝0

π?

(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )|π0

＝(sin π－cos π)－(sin0－cos0) ＝(0＋1)－(0－1)＝2. 又∵T r ＋1＝C r 6(a x )6r a － (－1x

)r

＝C r 6 6r

a － (－1)r x (6－r 2－r

2)

＝C r 6 6r

a

－ (－1)r 3r

x

－.

由3－r ＝2，解r ＝1，

∴x 2项的系数为－C 16a 5

＝－192.

答案：－192

[文]如图所示，a ，b ，c ，d 是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率为 .

解析：上个开关任意闭合2个，有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 共6种方案，

电路被接通的条件是：①开关d 必须闭合；②开关a ，b ，c 中有一个闭合即电路被接通有ad 、bd 和

cd 共3种方案，所以所求的概率是

31.6

2

答案：12

16．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是________．

解析：由题意知m ＝b a ，e ＝1＋m 2

，仅当m ＝1或2时，13时的概率P ＝79.

答案：7

9

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x ，y ∈N *}．

(1)求从A 中任取一个元素是(1,2)的概率； (2)从A 中任取一个元素，求x ＋y ≥10的概率； (3)[理]设Y 为随机变量，Y ＝x ＋y ，求E (Y )．

解：(1)设从A 中任取一个元素是(1,2)的事件为B ，则P (B )＝1

36

，所以从A 中任取一个元素是(1,2)的概率为1

36

.

(2)设从A 中任取一个元素，x ＋y ≥10的事件为C ，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共6种情况， 于是P (C )＝1

6

，

所以从A 中任取一个元素，x ＋y ≥10的概率为1

6.

(3)[理]Y 可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. P (Y ＝2)＝136，P (Y ＝3)＝236，P (Y ＝4)＝3

36， P (Y ＝5)＝436，P (Y ＝6)＝536，P (Y ＝7)＝636， P (Y ＝8)＝

536，P (Y ＝9)＝436，P (Y ＝10)＝3

36， P (Y ＝11)＝

236P (Y ＝12)＝136

. 则E (Y )＝2×1363×236＋4×336＋5×436＋6×536＋7×636＋8×536＋9×436＋10×336＋11×236＋12×1

36

＝7.

18．(本小题满分12分)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M 、N 、

P 是将半圆圆周四等分的三个分点．

(1)从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角 三角形的概率；

(2)在半圆内任取一点S ，求三角形SAB 的面积大于82的概率．

解：(1)从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM 、ABN 、ABP 、AMN 、AMP 、ANP 、BMN 、BMP 、BNP 、MNP ，其中是直角三角形的只有ABM 、ABN 、ABP 3个， 所以这3个点组成直角三角形的概率P ＝

3

10

.

(2)连结MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ， 易求得OD ＝22，

当S 点在线段MP 上时，S △ABS =

12

×

所以只有当S 点落在阴影部分时，三角形SAB 面积才能大于 S 阴影=S 扇形OMP -S △OMP =

12

×

2

π

×42-

12

×42=4π-8，

所以由几何概型公式得三角形SAB 的面积大于P =482

.82πππ

π

--=

19．[理](本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规

定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人．已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名． (1)求工人的配置合理的概率；

(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率．

解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有C 48＋C 38C 12种选法．工人的配臵合理的 概率C 48＋C 38C 1

2

C 4

10＝1315

(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配臵合理的概率均为13

15，故

“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为C 12

1315(1－1315)＝52

225

. [文](本小题满分12分)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标． (1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；

(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．

解：(1)点P 的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，

(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C ：x 2+y 2≤10上的点P 的坐标有： (0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种．故点P 落在区域C ：x 2

+y 2

≤10内 的 概率为

49

.

(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为

25

.

20．[理](本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一

区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.

(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；

(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为X ，求X 的分布列及其数学期望．

解：(1)设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域A 、D 同色时，共有5×4×3×1×3＝180种；

当区域A 、D 不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；

因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种． 它们是等可能的．

又因为A 、D 为红色时，共有4×3×3＝36种； B 、E 为红色时，共有4×3×3＝36种；

因此，事件M 包含的基本事件有：36＋36＝72种． 所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P (M )＝72420＝6

35

. (2)随机变量X 的取值分别为0,1,2.

则当X ＝0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色， 若A 、D 为同色时，共有4×3×2×1×2＝48种； 若A 、D 为不同色时，共有4×3×2×1×1＝24种； 即X ＝0所包含的基本事件有48＋24＝72种，

所以P(X＝0)＝72

420

＝

6

35

；

由第(1)问得P(X＝2)＝6 35

；

所以P(X＝1)＝1－6

35

－

6

35

＝

23

35

从而随机变量X的分布列为：

所以，E(X)＝0×6

35

＋1×

23

35

＋2×

6

35

＝1.

[文](本小题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记z＝|x－2|＋|y－x|.求z的所有可能的取值，并求出z取相应值时的概率．

解：z的所有可能取值为0,1,2,3.

当z＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，

当z＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，

当z＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况，

当z＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况，

∵有放回地抽两张卡片的所有情况有9种．

∴P(z＝0)＝1

9

，P(z＝1)＝

4

9

，P(z＝2)＝

2

9

，

P(z＝3)＝2 9 .

21．[理](本小题满分12分)(2009·陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如列下：

(1)求a的值和X的数学期望；

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的

概率.

解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，

解得a＝0.2.

∴X的概率分布列为

∴E (X )＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.

(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”． 则由事件的独立性得

P (A 1)＝C 12P (X ＝2)P (X ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝[P (X ＝1)]2

＝0.32

＝0.09， ∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.

[文](本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．

(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )；

(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？

(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．

解：(1)基本事件空间与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *,1≤x ≤5,1≤y ≤5}中的元素一一对应． 因为S 中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数为n ＝25. 事件A 包含的基本事件数共5个： (1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)， 所以P (A )＝

525＝1

5

. (2)B 与C 不是互斥事件，因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次．

(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件为13个，所以甲赢的概率为13

25，乙赢的概率为

1225

， 所以这种游戏规则不公平．

22．[理](本小题满分14分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，

记事件A ＝“恰有一个红球”，事件B ＝“第3个是红球”． 求：(1)不放回时，事件A 、B 的概率； (2)每次抽后放回时，A 、B 的概率．

解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共6×5×4＝120个，又事件A 中含有基本事件3×2×4×3＝72个，(第一

个是红球，则第2,3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)， ∴P (A )＝

72120＝35

. 第3次取到红球对前两次没有什么要求，

因为红球数占总球数的1

3，每一次取到都是随机地等可能事件，

∴P (B )＝1

3

.

(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63＝216种，事件A 含基本事件3×2×4×4＝96种． ∴P (A )＝96216＝4

9

.

第三次抽到红球包括B 1＝{红，黄，红}，B 2＝{黄，黄，红}，B 3＝{黄，红，红}，B 4＝{红，红，红}四种两两互斥的情形，P (B 1)＝2×4×2216＝227P (B 2)＝4×4×2216＝4

27

， P (B 3)＝4×2×2216＝2

27， P (B 4)＝

2×2×2216＝1

27

， ∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3)＋P (B 4) ＝

227＋427＋227＋127＝13

. [文](本小题满分14分)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字． (1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率； (2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；

(3)若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a ，第二次朝下面上的数字为纵坐标b ，求点(a ，b )落在直线x －y ＝1下方的概率．

解：(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A ，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2,3,4}，{1,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则P (A )＝3

4

.

(2)记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B ，两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共6种，则P (B )＝616＝38

. (3)记事件“抛掷后点(a ，b )在直线x －y ＝1的下方”为C ，要使点(a ，b )在直线x －y ＝1的下方，则

需b＜a－1，当b＝1时，a＝3或4；当b＝2时，a＝4.

则所求的概率P(C)＝3 16 .

高考数学 计数原理 知识汇总

计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去

2017南开秋学期《概率论与统计原理》在线作业2

17秋学期《概率论与统计原理》在线作业 试卷总分:100 得分:100 一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分) 1. 设A，B为两个事件，如果P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（A│B）=0.5，则P（B│A）=（） A. 0.2 B. 0.3 C. 1/3 D. 2/3 满分：2 分 正确答案:C 26. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 3. 有10道“是非题”，每道题答对的概率为0.5，则10道题中答对5道题的概率为 A. 0.80 B. 0.50 C. 0.25 D. 0.15 满分：2 分 正确答案:C 4. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:B

5. A. A B. B C. C D. D 满分：2 分正确答案:D 6. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 7. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分正确答案:B 8. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分

正确答案:D 9. 设随机变量X～B（n，p），已知EX=0.6，DX=0.48，则n，p的值为（）。 A. n = 2，p =0.2 B. n = 6，p =0.1 C. n = 3，p =0.2 D. n = 2，p =0.3 满分：2 分 正确答案:C 10. 设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p = ( ) 时，成功次数的标准差的值为最大 A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 0.75 满分：2 分 正确答案:C 11. 已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=P（BC）=1/16，P（AB）=0，则事件”A，B，C都不发生“的概率为（） A. 0 B. 0.375 C. 0.50 D. 0.625 满分：2 分 正确答案:B 12. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 13. 某轮胎厂广告声称它的产品可以平均行驶24000公里。现随机抽选20个轮胎作试验，

计数原理知识点总结与训练

计数原理知识点总结 一、两个计数原理 3、两个计数原理的区别 二、排列与组合 1、排列： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列 的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号 表 示. 3、排列数公式： 其中 4、组合： 一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 5、组合数： 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号 表示。 6、组合数公式： 其中 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. 7、性质： m n A m n A ()()() ()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=Λ . ,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()() ()! !! !121m n m n m m n n n n C m n -= +---= Λ . ,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1 1+-=+

三、二项式定理 如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式： 2、性质： 0241351 2 n n n n n n n C C C C C C -=+++=+++=L L 奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：

2011年浙江省高考数学理科试卷(含答案)

2011年浙江省高考数学理科试卷(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 一、选择题 （1）设函数若，则实数 （） （A）—4或—2 （B）—4或 2 （C）—2或4 （D）—2或2 （2）把负数的共轭复数记作i,i为虚数单位。 若z=1+i,则（） （A）（B） （C）（D)3 (3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的直观图可以是（） （4）下列命题中错误的是 （） （A）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定 直线平行于平面β （B）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内 2 ,0, () ,0. x x f x x x -≤ ? =? ?> ()4 fα=α= z (1)z z - +?= 3i-3i+ 13i +

一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ， l αβ?=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有 直线都垂直于平面β （5）设实数x 、y 是不等式 组 ，若x 、y 为整数，则 34x y + 的最小值为 （ ） （A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 （6）若02πα<<，02πβ-<<，1 cos ()23 πα+=，3 cos ()42πβ-= 则cos ()2βα+= （A ）3 （B ）3- （C ）53 （D ）69 - （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1 a b <”或1 b a >的 （ ） （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充 250x y +-> 270x y +->， 0x ≥，0y ≥

计数原理基本知识点

计数原理基本知识点 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =??? 种不同的方法 3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫 做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤） 6 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． 7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．． ．用符号m n C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或)! (!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ； 12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C

《概率论与统计原理》、《概率与统计原理》期末复习资料121220

一、填空题 1、设A ，B ，C 为三个事件，则下列事件“B 发生而A 与C 至少有一个发生”，“A ，B ，C 中至少有两个发生”，“A ，B ，C 中至少有一个发生”，“A ，B ，C 中不多于一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有两个发生”分别可表示为 、 、 、 、 、 。 参考答案： B （A+ C ，AB+AC+BC ，A +B +C ，C A +C B +B A ，AB C +AC B +A BC ， BC A +C B A +C AB 考核知识点：事件的关系及运算，参见P9 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为 、 、 。 参考答案：0.04，0.04，0.1 考核知识点：古典型概率，参见P11 3、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k 个球，则第k 次取出黑球的概率为 。 参考答案：0.6 考核知识点：古典型概率，参见P13 4、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为 ，获利10~15万元的概率为 。 参考答案：0.2，0.4 考核知识点：概率的性质，参见P16~P17 5、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为 ；取到的两个球颜色相同的概率为 ；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为 。 参考答案：0.4，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质，参见P18~P19 6、设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）= 0.6，P （B ）= 0.3，则P （A+B ）= ；P （A +B ） = ；P （A B ）= ；P （B A ）= 。 参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1 考核知识点：概率的性质，参见P19 7、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为 ；至少有一人中靶的概率为 。

高中计数原理与概率计数原理

高中计数原理与概率计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理 二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多. 三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种 错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. ∴选B

高中数学选修计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????-Λn n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==L 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

2011年浙江省高考数学试卷及答案(文科)

绝密★考试结束前 2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式 11221 ()3 V h S S S S =++ 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 34 3 V R π= 其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么 ()()()P A B P A P B +=+

一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 １．若{1},{1}P x x Q x x =<>，则 A ．P Q ? B ．Q P ? C ．R C P Q ? D ．R Q C P ? 2．若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +?= A ．13i + B ．33i + C ．3i - D ．3 X +2y -5≥0 3．若实数x ，y 满足不等式组 2x +y -7≥0，则3x +4y 的最小值是 x ≥0,y ≥0 A ．13 B ．15 C ．20 D ．28 4．若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则 A ．a 内存在直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 5．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2 s i n c o s c o s A A B + = A ．-12 B ．1 2 C ．-1 D ．1 6．若,a b 为实数，则“01ab ∠∠”是“1 b a ∠”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 A ． B ． C ． D ． 8．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 A ． 110 B ．310 C ．35 D ．910

《概率论与统计原理》复习资料

《概率论与统计原理》复习资料

《概率论与统计原理》复习资料 一、填空题 1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。 参考答案： B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C A+C B+B A，AB C+AC B+A BC，A+C AB A+C B BC 考核知识点：事件的关系及运算 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。 参考答案：0.04，0.02，0.1 考核知识点：古典型概率 3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。 参考答案：1/8，3/8 考核知识点：古典型概率 4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。 参考答案：0.6 考核知识点：古典型概率 5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。 参考答案：0.2，0.4 考核知识点：概率的性质 6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取

到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。 参考答案：0.4，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质 7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P （A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（B A）= 。 参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1 考核知识点：概率的性质 8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。 参考答案：（1）0.26；（2）0.96 考核知识点：事件的独立性 9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。 参考答案：5) - - 1( 1p 考核知识点：事件的独立性 10、设随机变量X~N（1，4），则P{0 ≤X＜1.6}= ；P{X＜1}= ；P{X=x0}= 。 参考答案：0.3094，0.5，0 考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质 11、设随机变量X～B（n，p），已知E X=0.6，D X=0.48，则n = ，p = 。 参考答案：3，0.2 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 12、设随机变量X服从参数为（100，0.2）的二项分布，则 E X= ，D X= 。 参考答案：20，16 考核知识点：随机变量的数学期望和方差

计数原理、概率

计数原理、概率 两个基本计数原理 导学目标：理解分类计数原理和分步计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． 自主梳理 1．分类计数原理 完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n 步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法． 3．分类计数原理与分步计数原理，都是涉及完成一件事的不同方法的种数，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，从思想方法的角度看，分类计数原理的运用是将一个问题进行“分类”思考，分步计数原理是将问题进行“分步”思考． 自我检测 1．(2009·北京改编)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________． 2. 右图小圆圈表示络的结点，结点之间的连线表示它们有线相联，连线上标注的数字表示该段线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________． 3．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种． 4．(2018·湖北改编)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是________． 5. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有________种．(以数字作答) 探究点一分类计数原理的应用 例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

2011年浙江省高考数学文科卷解析版

2011年浙江省高考数学文科卷解析版 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. （1）若{1},{1}P x x Q x x =<>，则 A ．P Q ? B ．Q P ? C ．R C P Q ? D ．R Q C P ? （2）若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +?= A ．13i + B ．33i + C ．3i - D ．3 【答案】 A 【解析】：22(1)1(1)z z z z i i +?=+=+++2112i i i =++++112113i i i =+++-=+ （3）若实数x ，y 满足不等式组250, 270,0,0,x y x y x y +-≥?? +-≥??≥≥? 则3x +4y 的最小值是 A ．13 B ．15 C ．20 D ．28 【答案】 A 【解析】：作出可行域，25032701 x y x x y y +-==????+-==??由得， min 334113z A =?+?=故选 （4）若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 【答案】 B 【解析】：直线l 不平行于平面a ，l a ?所以l 与a 相交 （5）在A B C ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2 sin cos cos A A B += A ．－ 12 B ． 12 C ． －1 D ． 1

（6）若,a b 为实数，则 “0b >0）与双曲线 2 2 2:14 y C x - =有公共的焦点，2C 的一条渐 近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段A B 三等分，则 （A ）2 132 a = （B ）2a =13 （C ）2 12 b = （D ）2b = 2

2011年浙江省高考数学试卷及答案(理科)

糖果工作室 原创 欢迎下载！ 绝密★考试结束前 2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 如果事件,A B 互斥 ，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ?=? 如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()(1) (0,1,2,...,)k k n k n n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式 121()3V h S S = + 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13 V Sh = 其中S 表示 锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 2 4S R π= 球的体积公式 3 43 V R π= 其中R 表示球的半径

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.设函数2 , 0(), x x f x x x -≤?=?>?，若()4f a =，则实数a = （A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 2.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +?= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3 3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 4.下列命题中错误．． 的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ?=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 5.设实数x 、y 是不等式组250 2700,0x y x y x y +->?? +->??≥≥? ，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是 （A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 6.若02 π α<< ，02 π β- <<，1cos( )4 3 π α+= ，cos ( )4 2 3 π β - = ，则cos ()2 β α+ = （A 3 （B ）3 - （C 9 （D ）9 - 7.若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b < 或1b a >”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 8.已知椭圆2212 2 : 1x y C a b + =（a >b >0）与双曲线 2 2 2:14 y C x - =有公共的焦点，2C 的一条渐近线 与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则

南开18春学期《概率论与统计原理》在线作业

(单选题) 1: 要求次品率低于10%才能出厂，在检验时原假设应该是（） A: p≥0.1 B: p≤0.1 C: p＜0.1 D: p＞0.1 正确答案: (单选题) 2: 设X和Y是相互独立的两个随机变量，X在[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数为2的泊松分布，则E（XY）=（） A: 0.5 B: 1 C: 2 D: 4 正确答案: (单选题) 3: 设随机变量X~N（0，1），则方程t2+2 X t+4=0没有实根的概率为（） A: 0.6826 B: 0.9545 C: 0.9773 D: 0.9718 正确答案: (单选题) 4: 设人的体重为随机变量X，且EX=a，DX=b。则10个人的体重记为Y，则（）成立。 A: EY=a B: EY=10a C: DY=b D: DY=10a 正确答案: (单选题) 5: 设随机变量X在区间[1，3] 上服从均匀分布，则P{-0.5＜X＜1.5} 为（） A: 1 B: 0.5 C: 0.25 D: 0 正确答案: (单选题) 6: 在抽样方式与样本容量不变的情况下，要求提高置信时，就会 A: 缩小置信区间 B: 不影响置信区间 C: 可能缩小也可能增大置信区间 D: 增大置信区间 正确答案: (单选题) 7: 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E[X^2]=（） A: 1 B: 1.5 C: 4/3 D: 2 正确答案: (单选题) 8: 某工厂生产的零件出厂时每200个装一盒，这种零件由合格和不合格两类，合格率为0.99。设每盒中不合格数为X，则X通常服从（） A: 正态分布 B: 均匀分布 C: 指数分布 D: 二项分布 正确答案: (单选题) 9: 从0，1，2，…，9共10个数字中的任意两个（可重复使用）组成一个两位数的字码，则字码之和为4的概率为（） A: 0.02

概率论与统计原理复习资料

《概率论与统计原理》复习资料 一、填空题 1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。 参考答案： B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C B+B A+C A，AB C+AC B+A BC，A+C AB B A+C BC 考核知识点：事件的关系及运算 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。 参考答案：，， 考核知识点：古典型概率 3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率 为，恰好有2枚正面向上的概率为。 参考答案：1/8，3/8 考核知识点：古典型概率 4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。 参考答案： 考核知识点：古典型概率 5、假设某商店获利15万元以下的概率为，获利10万元以下的概率为，获利5万元以下的概率为，则该商店获利5~10万元的概率 为，获利10~15万元的概率为。 参考答案：， 考核知识点：概率的性质 6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率 为。

参考答案：，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质 7、设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）= ，P （B ）= ，则P （A+B ）= ；P （A +B ）= ；P （A B ）= ；P （B A ）= 。 参考答案：，，， 考核知识点：概率的性质 8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为，，，则恰有一人中靶的概率为 ；至少有一人中靶的概率为 。 参考答案：（1）；（2） 考核知识点：事件的独立性 9、每次试验的成功率为p （0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为 。 参考答案：5)1(1p -- 考核知识点：事件的独立性 10、设随机变量X ~N （1，4），则P{0 ≤X ＜}= ；P{X ＜1}= ；P{X =x 0}= 。 参考答案：，，0 考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质 11、设随机变量X ～B （n ，p ），已知E X =，D X =，则n = ，p = 。 参考答案：3， 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 12、设随机变量X 服从参数为（100，）的二项分布，则E X = ， D X = 。 参考答案：20，16 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 13、设随机变量X 服从正态分布N （，），则E X 2= ，D （2X -3）= 。 参考答案：，1 考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质 14、设由来自正态总体)9,(2μN 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间为 。

2021-2022年高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练82古典概型理

2021年高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练82古典概 型理 1．将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥而非对立事件 C ．B 与C 是互斥而非对立事件 D ．B 与C 是对立事件 答案 A 解析 由题意知，事件A 包含的基本事件为向上点数为1，2，3，事件B 包含的基本事件为向上的点数为4，5，6.事件C 包含的点数为1，3，5.A 与B 是对立事件，故选A. 2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B ．至少有1件次品和全是次品 C ．至少有1件正品和至少有1件次品 D ．至少有1件次品和全是正品 答案 A 解析 依据互斥和对立事件的定义知，B ，C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对立事件；只有A 是互斥事件但不是对立事件． 3．(xx·广东茂名模拟)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是( ) A.1 3 B.12 C.16 D.14 答案 D

解析 符合条件的所有两位数为12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12个，能被4整除的数为12，32，52，共3个，故所求概率P ＝312＝1 4 . 4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C 解析 从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P ＝2 3 . 5．从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.37 答案 A 解析 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100 ＝0.53，故选A. 6．(xx·天津改编)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为1 3，则甲获胜的概率 和甲不输的概率分别为( ) A.16，1 6 B.12，23 C.16，23 D.23，12 答案 C 解析 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝1 6. 设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝2 3 .(或设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)

(完整版)计数原理知识点、题型小结doc

第一章、计数原理知识点小结 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有1m 种方法， 在第2类方案中有2m 种不同的方法，种方法类方案中有第n m n 那么， 完成这件工作共有 种不同的方法. 2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有1m 种不同的方法，完成第 2步有2m 种不同的方法，，种方法步中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同方法。 3.两种方法的区别与联系： 4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细 分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分 别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任 务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。 5.常用的方法有：填空法，使用时注意： 6.常见的题型： （1）有关数字排列问题 例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个 呢？） 变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ 小结： （2）形如n m m n 和的问题。 例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方 法？ 变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情 况（没有并列冠军） 小结： （3）涂色问题 4块（ABCD ）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？ 变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不 同，则有多少种不同的涂色方法？ 小结：

2011年浙江高考理科数学试题及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学（理科） 选择题部分（共50分） 参考公式： 如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V sh = 如果事件,A B 相互独立，那么 其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ?=? 锥体的体积公式 13 V sh = 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设函数2,0 (),0x x f x x x -≤?=?>?，若()4f a =，则实数a = （A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 （2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +?= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3 （3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 （4）下列命题中错．误． 的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ?=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

（5）设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->??+->??≥≥? ，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是 （A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 （6）若02π α<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()423 πβ-=，则cos ()2βα+= （A ）33 （B ）33- （C ）539 （D ）69 - （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a >”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （8）已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线 2 22:14 y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a = （B ）2a =13 （C ）212 b = （D ）2b =2 （9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。若将其随机地并排摆放到书架的 同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ）15 （B ）25 （C ）53 （D ）45 （10）设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++。记集合 {|()0,},{|()0,}.S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若||S ，||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．． 的是 （A ）||1S = 且 ||0T = （B ）||1S = 且 ||1T = （C ）||2S = 且 ||2T = （D ）||2S = 且 ||3T = 非选择题部分（共100分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。