谈谈证明直线恒过点的几种方法

谈谈证明直线恒过点的几种方法

临川二中 周志如

直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，运算复杂，对能力要求高，在教学过程中总结了以下几种策略。

1、特殊引路和找定点

对于有些直线恒过定点的问题，可以先考虑动直线l 的特殊情况，找出定点P 的位置，然后证明该点P 在直线l 上，反映从特殊到一般的数学方法。

例1：已知椭圆2

212

x y +=的右准线l ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且BC∥x 轴，求证AC 经过定点。

证明：如图1，设l ⊥x 轴，垂足为E ，易求得F （1，0），E （2，0） 当AB ⊥x 轴时，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 点，则ABCD 为矩形

由椭圆的对称性可知，直线AC 与x 轴相交于EF 的中点N 3

(,0)2

以下证明N 即为直线AC 所经过的定点 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为

(1),(0)y k x k =-≠

1122(,),(,)A x y B x y ，则2(2,)C y 且12,x x 满足方程

2

22(1)12

x k x +-= 即2222(12)42(1)0k x k x k +-+-= ∴2122412k x x k +=+ 2122

2(1)

12k x x k

-?=+ 又22

11222x y =-<

得133

022

x -

<<

∴1302

x -

≠ 故直线AN 、CN 的斜率分别为：

111112(1)3232

y k x k x x -=

=

--

2

222(1)322

y k k x ==--

∴121121(1)(1)(23)

223

x x x k k k

x -----=-

1211212(1)(1)(23)3()24

x x x x x x x ----=+--

2222

1

[24(1)4(12)]012k k k k

=

---+=+ ∴120k k -=

综上所述，直线AC 经过定点N （3

,02

） 2、逆用直线系方程

过直线11:(,)0l f x y =与直线22:(,)0l f x y =的交点的直线系方程为

12(,)(,)f x y f x y λ+

=0 （R λ∈），反之，若直线l 的方程可表示为12(,)(,)f x y f x y λ+=0（R λ∈），则必过由12(,)0

(,)0

f x y f x y =??

=?确定的定点。

例2：设点A 和B 为抛物线2

4,(0)y px p =>上原点以外的两个动点。已知OA⊥OB，求证：直线AB 必过定点。

证明：设A （211,2pt pt ），B （2

22,2pt pt ）12(,t t ∵OA⊥OB （如图2）

x

∴12

2

212

221OA OB pt pt k K pt pt ?=

?=- 即124t t =- 由于12t t ≠ ，

直线AB 的方程为：221

1122

21

222()pt pt y pt x pt pt pt --=

-- 化简得：12122()20x t t y pt t -++= 即：12(28)()0x p t t y --+= ∴直线AB 过定点（4,0p ） 3、利用直线方程的定义

直线l 的方程为0Ax By C ++=，根据直线方程的定义，如果00(,)x y 是方程

0Ax By C ++=的一个解，那么点00(,)x y 在直线l 上，如果能根据已知条件求得一个等式

并化简为00()()0Af x b g y C +?+=（这里00(),()f x g y 为定值），那么（00(),()f x g y ）为方程0Ax By C ++=的一个解，从而点（00(),()f x g y ）是动直线l 上的点。

例3：设A （00,x y ）是抛物线2

2,(0)y px p =>上的定点，已知B 、C 是抛物线上的两切点，若直线AB 与AC 的斜率之积为定值C ，则直线BC 必过定点。

证明：设B 1122(,),(,)B x y C x y ，则2112y px = 2

222y px =

两式相减得：121212()()2()y y y y p x x -+=- 若BC 不与x 轴垂直，则12x x ≠，直线BC 的方程为

21211112122()()2y y y p

y y x x x x x y y p

--=-=--+

即：12122()0px y y y y y -++?= ① 则21020102010204()()

AB AC

y y y y p k k c x x x x y y y y --?=?==--++ ② 化简整理：00121222()()()0p

p x y y y y y c

-

--++= ③

比较①③得：002(,)p

x y c

-

-是方程①的解 ∴直线BC 过定点002(,)p

x y c

-

- 当BC⊥x 轴时，设1111(,),(,)B x y C x y -由②式得

22

1010102

1001010

()()()2()()()y y y y y y p

c x x x x x x x x ------?===---- 102p

x x c

=-

即直线BC 的方程为02p x x c =-

此时，直线BC 也过定点002(,)p

x y c

-

- 综上所得：直线BC 过定点002(,)p

x y c

-

-

证明直线平行

证明直线平行 证明直线平行证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c 由同位 角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。因为 a‖b,a‖c, 所以 b‖c (平行公理的推论) 2 “两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。 一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等, 两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六

一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例 2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc (1)根据定义。证明两个平面没有公共点。 由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。 (2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。 (3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。 2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面 与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。 3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。 因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平

空间直线和平面总结 知识结构图+例题

【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期中复习 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ (a//b,b//c a//c) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

面面垂直判定 面面垂直定义 αβαβ αβ =-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 面面∥ 面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=??0b b （3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。 常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体： （一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体） 性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =?=?=??? ? ????????

用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线的斜率之积等于

用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线 的斜率之积等于 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

用几何方法证明“坐标平面内，两直线互相垂直时，它们的斜率的 乘积等于-1” 证明：如图，直线y 1=k 1 x和直线y 2 =k 2 x互相垂直， 过直线y 1=k 1 x上任意一点A做AC⊥x轴于点C， 在直线y 2=k 2 x上取一点B使OB=OA，过B点做BD⊥x轴于点D， 则∠ACO=∠BDO=90°， 又∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∵∠ACO=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90°， ∴∠OAC=∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， 设OC=a，则BD=OC=a，AC=OD=k 1 a，∵点B在第二象限， ∴点B的坐标是（-k 1 a，a）， 把点B坐标代入直线y 2=k 2 x，

得：a=k 2×（-k 1a ）， ∴k 1k 2=-1. 应用举例： 如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足 ()()042 2=-++a b a .若点C 坐标为（-1,0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交PB 于点P ，试求点 P 坐标. 解：由()()042 2 =-++a b a 易得：a=4，b= -4， ∴点B 坐标为（0，-4）， ∵点C 坐标为（-1,0）， ∴线段BC 的解析式为y=-4x-4， ∵AH ⊥BC ， ∴线段AH 的斜率为 4 1， 因为点A 坐标为（4，0）， 易得线段AH 的解析式为14 1 -= x y ， 所以点P 的坐标为（0，-1）. 当然，该题利用全等三角形的知识解决起来会更简便一些。这留给同学们自己来解答.

3.1.2两条直线平行与垂直的判定 教案设计

3.1.2两条直线平行与垂直的判定 ●三维目标 1．知识与技能 (1)让学生掌握直线与直线的位置关系． (2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法． 2．过程与方法 (1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法． (2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识． (2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣． (3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神． ●重点难点 重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直． 难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明． 重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可． ●教学建议 本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想． ●教学流程 创设问题情境，引出问题：直线的平行与垂直同其斜率间分别存在什么关系？?引导学生回忆初中几何知识，先建立倾斜角同平行与垂直间的关系.?

用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线的斜率之积等于

用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线的斜率之积等于 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）

用几何方法证明“坐标平面内，两直线互相垂直时，它们的斜率的乘积 等于-1” 证明：如图，直线y 1=k 1x 和直线y 2=k 2x 互相垂直， 过直线y 1=k 1x 上任意一点A 做AC ⊥x 轴于点C ， 在直线y 2=k 2x 上取一点B 使OB=OA ，过B 点做BD ⊥x 轴于点D ， 则∠ACO=∠BDO=90 又∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90∵∠ACO=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90∴∠OAC=∠BOD ， ∴△AOC ≌△BOD （AAS 设OC=a ，则BD=OC=a 1∵点B 在第二象限， ∴点B 的坐标是（-k 1a ，a ）， 把点B 坐标代入直线y 2=k 2x ， 得：a=k 2×（-k 1a ）， ∴k 1k 2=-1. 应用举例： 如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B 若点C 坐标为（0，b ），且a 、b 满足()()0422=-++a b a .（-1,0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交PB 于点 P ，试求点P 坐

标. 解：由()()0422=-++a b a 易得：a=4，b=-4， ∴点B 坐标为（0，-4）， ∵点C 坐标为（-1,0）， ∴线段BC 的解析式为y=-4x-4， ∵AH ⊥BC ， ∴线段AH 的斜率为4 1， 因为点A 坐标为（4，0）， 易得线段AH 的解析式为14 1 -= x y ， 所以点P 的坐标为（0，-1）. 当然，该题利用全等三角形的知识解决起来会更简便一些。这留给同学们自己来解答.

1初中证明直线垂直平行的方法

证明两条直线垂直（直角)的常用方法 （一）相交线与平行线 1．定义法:两条直线相交成直角则两直线垂直。 2．两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。即:若a‖ｂ，ａ⊥c，则b⊥c。 3.邻补角的平分线互相垂直。 4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 (二）三角形 ５.证直角三角形:直角三角形的两直角边互相垂直。 ①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。 ②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。 ③勾股定理的逆定理:三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。 6．三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 ７.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。 8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。 （三）四边形 9.矩形的两邻边互相垂直。 10．菱形的两条对角线互相垂直平分,且平分每一组对角。 (四)圆 1２.半圆或直径所对的圆周角是直角。 1３.圆的切线垂直于过切点的半径。 （五)图形变换法 1４.轴对称图形的对称轴垂直平分对应点之间的连线。 15.同一法或反证法(不要求掌握） 证明直线平行的常用方法 （一）平行线与相交线: 1.在同一平面内，两条不相交的直线互相平行。 2．在同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行。 3.平行于同一直线的两直线互相平行。 4.平行线的判定方法: （1）同位角相等,两直线平行; （2)内错角相等，两直线平行; （3）同旁内角互补，两直线平行。 (二)三角形 ５.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。 6.一条直线截三角形的两边（或两边的延长线)所得的对应线段成比例,则这条直线平行于三角形的第三边。 (三）四边形 7.平行四边形的两组对边互相平行。 8.梯形的两底边平行。

直线度测量方法

直线度测量方法 1、光电法测量 光电法测量是以三台测径仪为基础进行检测的，可以用于测量运动中的 线、棒、管的外轮廓的直线度。 布置上图的的设备3台，三台设备同一时刻测量被测工件的位置数据左边和右边两台采集的位置连线，计算出中间设备的在直线度为0时的理论位置，与中间一台所获的的位置数据比较，差值即为被测工件在当前位置的直线偏差如下图所示。

测量单元的测量频率为500-1000HZ，采用电子同步控制单元实现3 台设备的同步采样，可连续检测，根据检测数据模拟出整根线、棒（管）材的直线度，左、右两台的距离可根据具体情况确定安装位置。 2、自准直法 自准直法直线度检测仪可用于圆管外径的直线度检测。平行光仪器是 将和准直望远镜结合为一体的一台仪器。 光源将位于物镜焦平面（物镜焦距二f）的分划板投射至无穷远（准直 光出射），经过平面反射镜返回的准直光经物镜后再次成像于同样位

于物镜焦平面（共焦系统）的光电传感器的探测面上，当反射镜发生了a 角度的偏转后，返回的分划板在光电传感器上的像会产生AS的位移，通过精确测量出AS值，即可准确计算出平面反射镜的偏转角度。 检测内孔直线度时，将平面反射镜伸入孔内，利用胀套保证反射镜与内孔垂直。当内孔有弯曲时反射镜将偏转一定的角度，通过反射镜的偏转角度可以计算出内孔的直线度。 3、PSD芯片激光测量法 激光器安装在激光器座上，激光器座的尾部有4个螺钉可以对激光的 照射角度进行微调。其头部与定心套连接后插入炮管孔内。位置检测单元

的激光位敏传感器安装在传感器座内，传感器座的头部与定心套连接，尾部与推杆连接。通过手动推动推杆可以使位置检测单元在炮管内孔内移动。 激光器定心去 工作时激光器发射1束激光射向激光位敏传感器，传感器内的PSD 芯片监测接收到的激光能量中心位置。定心套用来保证传感器一直处于炮管内孔的中心位置。当炮管在检测位置出现弯曲时，PSD芯片上的激光能量中心坐标值将发生变化。位置检测单元的电源线和数据线通过推杆中心孔与控制柜连接。

用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线的斜率之积等于

用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线的斜 率之积等于 Jenny was compiled in January 2021

用几何方法证明“坐标平面内，两直线互相垂直时，它们的斜率的乘积 等于-1” 证明：如图，直线y 1=k 1x 和直线y 2=k 2x 互相垂直， 过直线y 1=k 1x 上任意一点A 做AC ⊥x 轴于点C ， 在直线y 2=k 2x 上取一点B 使OB=OA ，过B 点做BD ⊥x 轴于点D ， 则∠ACO=∠BDO=90 又∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90∵∠ACO=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90∴∠OAC=∠BOD ， ∴△AOC ≌△BOD （AAS 设OC=a ，则BD=OC=a 1∵点B 在第二象限， ∴点B 的坐标是（-k 1a ，a ）， 把点B 坐标代入直线y 2=k 2x ， 得：a=k 2×（-k 1a ）， ∴k 1k 2=-1. 应用举例： 如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足 1,0），且AH ⊥ ()()042 2=-++a b a .若点C 坐标为（- BC 于点H ，AH 交PB 于点P ，试求点P 坐标.

解：由()()0422=-++a b a 易得：a=4，b=-4， ∴点B 坐标为（0，-4）， ∵点C 坐标为（-1,0）， ∴线段BC 的解析式为y=-4x-4， ∵AH ⊥BC ， ∴线段AH 的斜率为4 1， 因为点A 坐标为（4，0）， 易得线段AH 的解析式为14 1 -= x y ， 所以点P 的坐标为（0，-1）. 当然，该题利用全等三角形的知识解决起来会更简便一些。这留给同学们自己来解答.

必修二垂直证明常见模型及方法

垂直证明题常见模型及方法 证明空间线面垂直需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 基础篇 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） ○1 等腰（等边）三角形中的中线 ○ 2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○ 4 1:1:2 的直角梯形中 ○ 5 利用相似或全等证明直角。 例：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO OE ⊥ （2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥ 变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面A B C D 是矩形，已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥； 变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是 BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两 点重合于' A . 求证:' A D EF ⊥； B E 'A D F G

变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 o证明：AB ⊥PC 类型二：线面垂直证明 方法○1 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证： 1 AO BDE ⊥平面 变式1：在正方体1111ABCD A BC D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =，6BC = C E

用水平仪测量导轨直线度的方法

用水平仪测量导轨直线度的方法 在机械维修专业中常用到水平仪，它是机床修理、调整、安装最常用的测量仪器之一，主要用于检测机床导轨直线度、工作台平面度等。下面我们来了解水平仪是怎样测量导轨直线度的。 机床工作台的直线移动精度，在很大程度上取决于床身导轨的直线度。但机床导轨一般比较长，往往难以用平尺、检验棒等作为基准测量导轨的直线度，这时可以用水平仪进行测量。其工作原理是：假设在被测导轨上有一条理想水平直线作为测量基准，再把被测导轨分成若干段，然后用水平仪分别测出各段相对于理想水平直线所倾斜的角度值，通过绘制坐标图来确定导轨与水平直线的最大误差格数，最后运用公式(△H=n I L)计算出导轨与水平直线的误差值。具体步骤如下： 1、将水平仪放在导轨中间，调平导轨，防止导轨倾斜，无法准确读出水平仪读数。 2、水平仪放在一定长度L）的平行桥板上，不能直接放置在被测表面上。 3、将导轨分段，每段长度与桥板相适应，依次首尾相接，逐段测量并记录下每段读数及倾斜方向。 4、根据各段读数画出导轨直线度曲线图：以导轨的长度为横坐标，水平仪读数为纵坐标。根据读数依次画出各折线

段，每一段的起点要与前一段的终点重合。 例如C6132 车床的导轨长 1600mm．用精 度为l000mm 的框式水平仪 测量导轨在垂直平面内直线度误差。水平仪桥板长度为200mm，分8段测量。每段读数依次为：+l、+1、+2、0、-1、-l、0、，如图1所示。 按一定比例画出纵横坐标，作出导轨直线度曲线。如图2所示。 5、用两端点连线法或最小区域法确定最大误差读数和误差曲线形状。 两端点连线法：若导轨直线度误差曲线呈单凸或单凹时，作首尾两端点连线I-I，并过曲线最高点或最低点）作Ⅱ-Ⅱ直线与I—I平行。两包容线间取大坐标值即为最人误差值。如图2所示，最大误差在导轨长为600mm处。曲线右端点坐标值为格，按相似三角形解法，导轨600mm处最大误差值为=格。 最小区域 法：如果直线 度误差曲线

空间直线和平面复习总结.doc

学习好资料 欢迎下载 空间直线和平面 （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 面面平行性质 // a // b a , b a , b b a A a // b a a b A a , b b a // , b // a // // 公理 4 线面平行判定 面面平行判定 1 面面平行性质 线线∥ 线面∥ 面面∥ (a//b,b//c 线面平行性质 面面平行性质 1 // a//c) a // // // a a // b a // a // b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

a , b a b O l a , l b a l a 三垂线定理、逆定理线面垂直判定 1 面面垂直判定 PA , AO为 PO 线线⊥线面⊥面面⊥线面垂直定义面面垂直性质，推论 2 在内射影 l a a b a 则 a OA a PO l a a, a b a POa AO a a 面面垂直定义 l ，且二面角l 成直二面角 3.平行与垂直关系的转化： a a a / / b / / b a a 线面垂直判定 2 面面平行判定 2 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直性质 2 面面平行性质 3 a / / a / / b b a a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5.唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1.三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ： 0°＜θ ≤ 90°

（ 2）直线与平面所成的角：0°≤ θ ≤ 90° （0 时， b∥或b） （ 3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤ θ≤ 180° 2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（ 1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。 常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体： （一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体） 侧棱都相等 侧面是平行四边形 对角面是平行四边形 性质 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 S侧直截面周长侧棱长 V柱底面积高直截面面积侧棱长

初中数学解题方法：证明直线的平行或垂直

初中数学解题方法：证明直线的平行或垂直初中数学解题方法：证明直线的平行或垂直 1、证明两条直线平行的主要依据和方法： ⑵定义、在同一平面内不相交的两条直线平行。 ⑵平行定理：两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 ⑶平行线的判定：同位角相等（内错角或同旁内角），两直线平行。 ⑷平行四边形的对边平行。 ⑸梯形的两底平行。 ⑹三角形（或梯形）的中位线平行与第三边（或两底） ⑺一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。 2、证明两条直线垂直的主要依据和方法： ⑴两条直线相交所成的四个角中，由一个是直角时，这两条直线互相垂直。 ⑵直角三角形的两直角边互相垂直。 ⑶三角形的两个锐角互余，则第三个内角为直角。 ⑷三角形一边的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形。 ⑸三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。

⑹三角形（或多边形）一边上的高垂直于这边。 ⑺等腰三角形的顶角平分线（或底边上的中线）垂直于底边。 ⑻矩形的两临边互相垂直。 ⑼菱形的对角线互相垂直。 ⑽平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，或平分弦所对的弧的直径垂直于这条弦。 ⑾半圆或直径所对的圆周角是直角。 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 ⑿圆的切线垂直于过切点的半径。 教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一

实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0

高中数学竞赛辅导(证明两直线垂直或平行)

高中数学竞赛辅导（证明两直线垂直） 一、利用三角形中的基本定理 （1）勾股定理的逆定理：在△ABC中，若222 +=，则AB⊥AC;(2) 在△ABC中， AB AC BC D在边BC所在的直线上，若2222 -=-，则AD⊥BC；（3）在Rt△ABC中，∠ AB AC BD CD BAC=900，D是边BC上一点，若2 AB BD BC =?，则AD⊥BC。 1．已知⊙O和⊙O'相交于点A、B过点A的直线分别交⊙O和⊙O'于点P、Q，且AP=AQ，又M为PB（不含点A的）中点，N为QB（不含点A的）中点，求证：MN⊥AB。 2．圆内接四边形ABCD中，延长AB、DC交于点E，延长AD、BC交于F，EM、FN为圆的切线，分别以E、F为圆心，EM、FN为半径作弧，两弧交于K，求证：EK⊥KF。 3．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，PA=AB，D为BP的三等分点（即2BD=DP），求证：

AD⊥PO。 二、利用全等、相似或圆的性质，直接计算 4．△ABC的内心为I，内切圆分别切BC、CA于点D、E，如果BI交DE于点G，求证：AG⊥BG。 5．已知两个半径不相等的⊙O 1和⊙O 2 相交于M、N两点，且⊙O 1 和⊙O 2 分别与⊙O内切 于S、T两点，又S、N、T三点共线，求证：OM⊥MN。 6．半圆圆心为O，直径为AB，一直线交圆周于C、D，交AB于M（MB

三、利用另外的线作“桥” 7．已知⊙O 和⊙O '相交于A 、B 两点，P 为⊙O 上的点，PA 、PB 分别交⊙O '于C 、D ，求证：PO ⊥CD 8．已知⊙O 和⊙O '相交于A 、D 两点，过点D 作直线BC 垂直于AD ，分别交⊙O 、⊙O '于C 、B 两点，K 是BC 中点，过点A 的任一直线QP 交⊙O 、⊙O '于Q 、P 两点，M 是PQ 的中点，求证：MK ⊥PQ 。 9．AB 是⊙O 非直径的弦，过AB 中点P 作两弦1122,A B A B ，过点11,A B 作⊙O 的切线得交点1C ，过点22,A B 作⊙O 的切线得交点2C ，求证：OP ⊥1C 2C 。

用向量方法证明直线垂直,求两直线夹角

3.2．2用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 学习目标： 1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算 2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角 3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题 复习回顾 1、 向量数量积的运算及其性质？ 2、 向量夹角与线线夹角的联系与区别？ 3、 如何求向量的夹角？ 一、课前达标： 1、异面直线所成的角： 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示）， 则 .||||| |cos b a b a ??=θ 2、预习检测 （1）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥DA 1 . （2）如图，在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，E `1 、F 1分别是A 1B `1、C 1D 1的四等分点，求BE 1与DF 1所成的角．

二、典例分析： 1、建立坐标系证明线线垂直，求夹角 例3 在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值；⑶求FH 的长。 注意思考： （1） 如何建立坐标系、把已知条件转化为向量表示？ （2） 如何对已经表示出来的向量进行运算才可获得所需结论？ 巩固练习：练习A 1 练习B 1 2、选取基向量求解线线夹角：例4、（见课本100页） O -A B C ,O A =4,O B =5,O C =3; A O B =B O C = C O A =90,M ,N O A ,B C M N ,B C ∠∠∠三棱锥分别是中点，求直线所成角 注意：基向量的选取；如何用基向量来表示未知向量。 巩固练习：练习B 3 三：作业：如下图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.

直线度测量计算方法

1引言 在工程实际中，评定导轨直线度误差的方法常用两端点连线法和最小条件法。两端点连线法，是将误差曲线首尾相连，再通过曲线的最高和最低点，分别作两条平行于首尾相连的直线，两平行线间沿纵坐标测量的数值，通过数据处理后，即为导轨的直线度误差值;最小条件法，是将误差曲线的“高、高”(或“低、低”)两点相连，过低(高)点作一直线与之相平行，两平行线间沿纵标坐测量的数值，通过数据处理后，即为导轨的直线误差值。 最小条件法是仲裁性评定。两端点连线法不是仲裁性评定，只是在评定时简单方便，所以在生产实际中常采用，但有时会产生较大的误差。本文讨论这两种评定方法之间产生误差的极限值。 2误差曲线在首尾连线的同侧 测量某一型号液压滑台导轨的直线度误差，得到直线度误差曲线，如图1所示。由图可知，该误差曲线在其首尾连线的同侧。下面分别采用最小条件法和两端点连线法，评定该导轨直线度误差值。 (1)最小条件法评定直线度误差 根据最小条件法，图1曲线的首尾分别是低点1和低点2(低点1与坐标原点重合)，用直a1a1线相连，如图2所示。通过最高点3作a1a1直线的平行线a2a2。

在a1a1和a2a2两平行线包容的区域，沿y轴测量的数值，经数据处理，即为该导轨的直线度误差值δ最小法。 (2)两端点连线法评定直线度误差 根据两端点连线法，图1曲线的首尾也分别是曲线的两端点1和2，如图3所示。将曲线端点1和端点2，用直线b1b1相连，再通过高点作b1b1的平行线b2b2。在b1b1和b2b2两平行线包容的区域，沿y轴测量的数值，经数据处理，即为该导轨的直线度误差值δ两端点。 (3)求解两种评定方法产生的误差极限 由于是对同一导轨误差曲线求解直线度误差，图2中的“低点1”、“低点2”和“高点3”分别对应图3中的“端点1”、“端点2”和“高点3”，即直线 a1a1与直线b1b1重合，直线a2a2与直线b2b2重合，因此两种评定方法产生的误差值为零

空间直线和平面总结-知识结构图+例题

空间直线和平面 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥ 面面∥ 公理 4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ //,//I I ==???? a b a b 面面平行判定1 a b a b a //,//???? ??ααα 面面平行性质 a b a b A a b ??=????? ?ααββαβ ,//,////I 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ?I 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥ 三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：

导轨直线度误差检测方法介绍

导轨直线度误差检测方法介绍

一、直经度的定义 限制实际直线对理想直线变动量的一种形状公差。由形状（理想包容形状）、大小（公差值）、方向、位置四个要素组成。用于限制一个平面内的直线形状偏差，限制空间直线在某一方向上的形状偏差，限制空间直线在任一方向上的形状偏差。 几何误差是指零件加工后的实际形状、方向和相互位置与理想形状、方向和相互位置的差异。在形状上的差异称形状误差，在方向上的差异称方向误差，在相互位置上的差异称位置误差。直线度在几何公差中是最基础的部分，按检测关系分直线度属于被测要素中的单一要素——指对要素本身提出形状公差要求的被测要素。 二、导轨直线度误差检测方法 直线度误差的检测方法很多。工件较小时，常以刀口尺、检验平尺作为模拟理想直线，用光隙法或间隙法确定被测实际要素的直线度误差。当工件较大时，则常按国标规定的测量坐标值原则进行测量，取得必要的一组数据，经作图法或计算法得到直线度误差，还有种高效的测量方法就是直接利用太友科技的数据采集仪连接百分表来测量，无需人工读数、作图、分析，采集仪会自动读数数据并进行数据分析，一旦测量结果不合格还会自动产生报警功能。 测量直线度误差常用的仪器有：框式水平仪、合象水平仪、电感式水平仪、自准直仪以及数据采集分析仪等。这类仪器的特点是：测定微小角度的变化，换算为线值误差。本实验用合象水平仪和数据采集分析仪来进行直线度测量。 1、利用合象水平仪测量直线度法 1）合象水平仪的介绍 合象水平仪采用光学放大，并以对称棱镜使双象重合来提高读数精度，利用杠杆和微动螺杆传动机构来提高测量精度和增大测量范围。将合象水平仪置于被测工件表面上，当被测两点相对水平线不等高时，将引起两气泡象不重合，转动度盘，使两气泡重合，度盘转过格数代表被测两点相对水平线的高度差，见图2-3。

空间中点、直线、平面之间的位置关系知识点总结.doc

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （ 1）四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言： A l , B l ,且 A, B l。 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言： P,且 P I l , P l 。 公理 4 ：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言： a // l ,且 b // l a // b 。 （ 2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线 a,b ，经过空间任意一点O 作直线a // a, b // b，我们把a与b所成的角（或直角）叫异面直线 a,b 所成的夹角。（易知：夹角范围0 90 ） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 2. 位置关系：平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （ 3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线在平面内（l）有无数个公共点 直线与平面的位置关系有三种：直线与平面相交（l I A）有且只有一个公共点 直线在平面外 直线与平面平行（l / / ）没有公共点 （ 4）空间中平面与平面之间的位置关系

空间直线和平面复习总结

空间直线和平面（一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥面面∥ 公理4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ // , // I I == ? ? ? ? a b a b 面面平行判定1 a b a b a // , // ?? ? ? ? ? αα α 面面平行性质 a b a b A a b ?? = ? ? ? ? ? ? αα ββ αβ , //,// // I 线面平行性质 a a b a b // // α β αβ ? = ? ? ? ? ? ? I 面面平行性质1 αβ α β // // a a ? ? ? ? ? 面面平行性质 αγ βγ αβ // // // ? ? ? ? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

1).直线度和平面度

机 械 加 工 检 验 标 准 及 方 法.目的: .范围: 三.规范性引用文件 四.尺寸检验原则 1.基本原则: 2.最小变形原则: 3.最短尺寸链原则: 4.封闭原则: 5.基准统一原则: 6.其他规定 五.检验对环境的要求 1.温度 2.湿度 3.清洁度 4.振动 5.电压 六.外观检验 1.检验方法

2.检验目距 3.检测光源 4.检测时间 5.倒角、倒圆 7.伤痕 9.凹坑、凸起、缺料、多料、台阶10.污渍11.砂孔、杂物、裂纹12.防护包装

七.表面粗糙度的检验 1.基本要求 2.检验方法: 3.测量方向 4.测量部位 5.取样长度 八.线性尺寸和角度尺寸公差要求 1.基本要求2线性尺寸未注公差 九.形状和位置公差的检验 1.基本要求3.检测方法十?螺纹的检验 1.使用螺纹量规检验螺纹制件 2.单项检验 1^一 .外协加工件的检验规定 1.来料检验 2.成品检验计划十二.判定规则附注: 1.泰勒原则

.目的: 为了明确公司金属切削加工检验标准，使检验作业有所遵循，特制定本标准。 .范围: 本标准适用于切削加工（包括外协、制程、出货过程）各检验特性的检验。在本标准中, 切削加工指的是：车削加工、铣削加工、磨削加工、镗削加工、刨削加工、孔加工、拉削加 工和钳工作业等。本标准规定了尺寸检验的基本原则、对环境的要求、外观检验标准、线性 尺寸公差要求、形位公差要求、表面粗糙度的检验、螺纹的检验和判定准则。 注：本标准不适用于铸造、锻造、钣金、冲压、焊接加工后的检验，其检验标准另行制 定。本标准不拟对长度、角度、锥度的测量方法进行描述 ，可参看相关技术手册；形位公差 的测量可参看GB/T1958-1980;齿轮、蜗杆的检验可参看相关技术手册。 三.规范性引用文件 下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款。凡是注日期的引用文件，其随后 所有的修改单（不包括勘误的内容）或修订版均不适用于本标准，然而，鼓励根据本标准达 成协议的各方研究是否 可使用这些文件的最新版本。凡是不注日期的引用文件，其最新版 本适用于本 标准 计数抽样程序第1部分：按接收质量限（AQL ）检索的 逐批检验抽样计划 GB/T 1958-1980 形状和位置公差 检测规定 GB/T 1957-1981 光滑极限量规 Q/HXB 3000.1抽样检查作业指导书 Q/HXB 2005.1产品的监视和测量控制程序 Q/HXB 2005.15不合格品控制程序 GB/T 2828.1-2003 (ISO 2859-1:1989) GB/T 1804- 2000 (ISO2768-1:104989) 一般公差未注公差的线性和角度尺寸的公差 GB/T 1184 - 1996(ISO2768-2:1989) 形状和位置公差未注公差值