2016年高考数学理试题分类汇编
导数及其应用
一、选择题
1、(2016年四川高考)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )= ln ,01,
ln ,1,x x x x -<?>?
图象上点P 1,P 2处
的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值
范围是
(A )(0,1) (B )(0,2) (C )(0,+∞) (D )(1,+∞) 【答案】A
2、(2016年全国I 高考)函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为
【答案】D
二、填空题
1、(2016年全国II 高考)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线ln(1)y x =+的切线,则b = . 【答案】1ln 2-
2、(2016年全国III 高考)已知()f x 为偶函数,当0x <时,()ln()3f x x x =-+,则曲线
()y f x =在点(1,3)-处的切线方程
是_______________。 【答案】21y x =--
三、解答题
1、(2016年北京高考) 设函数()a x f x xe bx -=+,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+, (1)求a ,b 的值; (2)求()f x 的单调区间.
【解析】 (I )()e a x f x x bx -=+
∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+
∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+,(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①
2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②
由①②解得:2a =,e b =
(II )由(I )可知:2()e e x f x x x -=+,2()(1)e e x f x x -'=-+
令2()(1)e x g x x -=-,
∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-
∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-
∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ?∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增,无减区间.
2、(2016年山东高考)已知()2
21
()ln ,R x f x a x x a x -=-+
∈. (I )讨论()f x 的单调性;
(II )当1a =时,证明()3
()'2
f x f x +
>对于任意的[]1,2x ∈成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数3
2
2)1
1(=)(′
x x x a x f --- 3
22)(1(=x ax x )--
当0≤a 时,(0,1)∈x ,0>)(′
x f ,)(x f 单调递增,
)(1,∈+∞x ,0<)(′x f ,)(x f 单调递减;
当0>a 时,3
3
22
+(2)(1(=2)(1(=)(′
x a
x a x x a x ax x x f ))-
-)
--
(1) 当<2<a 0时,
1>2
a
, (0,1)∈x 或),(
∈+∞2
a
x ,0>)(′
x f ,)(x f 单调递增, )(1,∈a
x 2
,0<)(′
x f ,)(x f 单调递减; (2) 当2=a 时,
1=2
a
, )(0,
∈+∞x ,0≥)(′x f ,)(x f 单调递增, (3) 当2>a 时,1<2
<0a
,
)(0,
∈a
x 2
或∞)(1,∈+x ,0>)(′
x f ,)(x f 单调递增, ,1)(
∈a
x 2
,0<)(′
x f ,)(x f 单调递减; (Ⅱ) 当1=a 时,2
1
2+
ln =)(x x x x x f --,
323
22
+11=2)(1(=)(′x x x x x x x f 2--)--
于是)2
+1112+ln =)(′
)(322
x x x x x x x x f x f 2---(---,
-1-1-322+3+
ln =x
x x x x ,]2,1[∈x
令x x x ln =)g(- ,322
+3+
=)h(x
x x x -1-1,]2,1[∈x , 于是)(+(g =)(′
)(x h x x f x f )-,
0≥1
=1=)(g ′x
x x x -1-,)g(x 的最小值为1=g(1);
又4
2432+=+=)(h ′x x x x x x x 6
-2-362-3-
设6+23=)(θ2
x x x --,]2,1[∈x ,因为1=)1(θ,10=)2(θ-
, 所以必有]2,1[0∈x ,使得0=)(θ0x ,且
0<<1x x 时,0>)(θx ,)(x h 单调递增; 2<<0x x 时,0<)(θx ,)(x h 单调递减;
又1=)1(h ,21=
)2(h ,所以)(x h 的最小值为2
1
=)2(h . 所以2
3
=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′
)(h x h x x f x f ))-. 即2
3
)()(+
'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立.
3、(2016年四川高考)设函数f (x )=ax 2-a -ln x ,其中a ∈R. (I )讨论f (x )的单调性;
(II )确定a 的所有可能取值,使得f (x ) >-e 1-x+在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
【解析】(I )由题意,()2121
'2,0ax f x ax x x x
-=-=
> ①当0a ≤时,2210ax -≤,()'0f x ≤,()f x 在()0,+∞上单调递减.
②当0a >时,()2'a x x f x x
?+- ????=
,当x ?∈ ?时,()'0f x <;
当x ?
∈+∞???
时,()'0f x >. 故()f x
在? ?
上单调递减,在?+∞???
上单调递增. (II )原不等式等价于()11e 0x
f x x
--+>在()1,x ∈+∞上恒成立.
一方面,令()()12
111e ln e x x g x f x ax x a x x
--=-+=--+-,
只需()g x 在()1,x ∈+∞上恒大于0即可.
又∵()10g =,故()'g x 在1x =处必大于等于0.
令()()1211'2e x
F x g x ax x x -==-+-,()'10g ≥,可得12
a ≥.
另一方面,
当12a ≥时,()311123233
12122'2e 1e e x x
x x x F x a x x x x x
---+-=+-+≥+-+=+ ∵()1,x ∈+∞故320x x +->,又1e 0x ->,故()'F x 在1
2
a ≥时恒大于0.
∴当1
2
a ≥时,()F x 在()1,x ∈+∞单调递增.
∴()()1210F x F a >=-≥,故()g x 也在()1,x ∈+∞单调递增. ∴()()10g x g >=,即()g x 在()1,x ∈+∞上恒大于0.
综上,1
2
a ≥.
4、(2016年天津高考)设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈,其中R b a ∈,
(I)求)(x f 的单调区间;
(II) 若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:1023x x +=; (Ⅲ)设0>a ,函数|)(|)(x f x g =,求证:)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于...4
1
. 【解析】(1)()()3
1f x x ax b
=---
()()2'31f x x a =--
① 0a ≤,单调递增;
②0a >,()f x 在,1?-∞ ?单调递增,在11? ?单调递减,在
1??+∞ ? ???单调递增 (2)由()0'0f x =得()2
031x a -=
∴()()()3
2
0000131f x x x x b =----()()2
00121x x b =----
()()()()32
000032223132f x x x x b -=----- ()[]2
00018896x x x b =---+- ()()200=121x x b ----
()()()00132=f x f x f x ∴-=
1023
x x ∴+=
(3)欲证()g x 在区间[02],上的最大值不小于
1
4
,只需证在区间[02],上存在12,x x ,
使得121
()()2
g x g x -≥即可
①当3a ≥时,()f x 在[]02,上单调递减
(2)12f a b =-- (0)1f b =--
1
(0)(2)2242
f f a -=->
≥递减,成立 当03a <<时,
3
11f a b ???=-- ???a b =+23a b =-
11f a b ??+=- ??23a b =-- ∵(2)12f a b =-- (0)
1f b =-- ∴(2)(0)22f f a -=-
若3
04
a <≤时,()()102222f f a -=-≥,成立
当3
4a >时,411132f f ??-= ??, 所以,()g x 在区间[02],上的最大值不小于1
4
成立
5、(2016年全国I 高考)已知函数
有两个零点.
(I )求a 的取值范围; (II )设x 1,x 2是
的两个零点,证明:+x 2<2.
解:⑴ 由已知得:()()()()()
'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+
① 若0a =,那么()()0202x f x x e x =?-=?=,()f x 只有唯一的零点2x =,不合题意;
② 若0a >,那么20x x e a e +>>,
所以当1x >时,()'0f x >,()f x 单调递增 当1x <时,()'0f x <,()f x 单调递减 即:
故()f x 在()1,+∞上至多一个零点,在(),1-∞上至多一个零点 由于()20f a =>,()10f e =-<,则()()210f f <,
根据零点存在性定理,()f x 在()1,2上有且仅有一个零点. 而当1x <时,x e e <,210x -<-<,
故()()()()()()()2
2
2
212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--
则()0f x =的两根11t =
,21t =+, 12t t <,因为0a >,故当1x t <或2x t >时,()()2
110a x e x e -+-->
因此,当1x <且1x t <时,()0f x >
又()10f e =-<,根据零点存在性定理,()f x 在(),1-∞有且只有一个零点. 此时,()f x 在R 上有且只有两个零点,满足题意.
③ 若02
e
a -<<,则()ln 2ln 1a e -<=,
当()ln 2x a <-时,()1ln 210x a -<--<,()
ln 2220a x e a e a -+<+=,
即()()()
'120x f x x e a =-+>,()f x 单调递增; 当
()ln 21
a x -<<时,10x -<,
()
ln 2220a x e a e
a -+>+=,即
()()()'120x f x x e a =
-+
<,()f x 单调递减; 当1x >时,10x ->,()
ln 2220a x e a e a -+>+=,即()'0f x >,()f x 单调递增.
即:
而极大值
()()()(){
}
2
2
ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+???????????????
故当1x ≤时,()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -????,那么()()l n 20f
x f a -???≤
恒成立,即
()0f x =无解 而当1x >时,()f x 单调递增,至多一个零点
此时()f x 在R 上至多一个零点,不合题意.
④ 若2
e
a =-,那么()ln 21a -=
当()1ln 2x a <=-时,10x -<,()
ln 2220a x e a e
a -+<+=,即()'0f x >,
()f x 单调递增
当()1ln 2x a >=-时,10x ->,()
ln 2220a x e a e
a -+>+=,即()'0f x >,
()f x 单调递增
又()f x 在1x =处有意义,故()f x 在R 上单调递增,此时至多一个零点,不合题意.
⑤ 若2
e
a <-,则()ln 21a ->
当1x <时,10x -<,()
ln 212220a x e a e a e
a -+<+<+=,即()'0f x >,
()f x 单调递增
当()1ln 2x a <<-时,10x ->,()
ln 2220a x e a e
a -+<+=,即()'0f x <,
()f x 单调递减
当()ln 2x a >-时,()1ln 210x a ->-->,()
ln 2220a x e a e
a -+>+=,即()'0f x >,
()f x 单调递增
即:
故当()ln 2x a -≤时,()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-,那么()0f x e -<≤恒成立,即()0f x =无解
当()ln 2x a >-时,()f x 单调递增,至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点,不合题意.
综上所述,当且仅当0a >时符合题意,即a 的取值范围为()0,+∞.
⑵ 由已知得:()()120f x f x ==,不难发现11x ≠,21x ≠,
故可整理得:()()
()()
1
2
1222
122211x x x e x e a x x ---==--
设()()()
2
21x
x e g x x -=-,则()()12g x g x = 那么()()()
2
3
21'1x x g x e x -+=-,当1x <时,()'0g x <,()g x 单调递减;当1x >时,
()'0g x >,()g x 单调递增. 设0m >,构造代数式: ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-??
+--=
-=+ ?+??
设()2111
m
m h m e m -=++,0m > 则()()
2
22
2'01m m h m e m =
>+,故()h m 单调递增,有()()00h m h >=.
因此,对于任意的0m >,()()11g m g m +>-.
由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上,不妨设12x x <,则必有121x x <<
令110m x =->,则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--?->=???????? 而121x ->,21x >,()g x 在()1,+∞上单调递增,因此:()()121222g x g x x x ->?-> 整理得:122x x +<.
6、(2016年全国II 高考)
(Ⅰ)讨论函数x
x 2f (x)x 2
-=
+e 的单调性,并证明当0x >时,(2)20x x e x -++>; (Ⅱ)证明:当[0,1)a ∈时,函数2
x =(0)x e ax a g x x
-->()有最小值.设()g x 的最小值为
()h a ,求函数()h a 的值域.
【解析】⑴证明:()2e 2
x
x f x x -=
+ ()()()22224e e 222x
x
x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++??
∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ,时,()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞,和上单调递增 ∴0x >时,
()2e 0=12
x
x f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++>
⑵ ()
()()
24
e 2e x
x a x x ax a g x x ----'=
()
4
e 2e 2x x x x ax a x -++=
()322e 2x x x a x x
-??
+?+
?+??=
[)01a ∈,
由(1)知,当0x >时,()2e 2
x
x f x x -=?+的值域为()1-+∞,,只有一解. 使得
2e 2
t
t a t -?=-+,(]02t ∈, 当(0,)x t ∈时()0g x '<,()g x 单调减;当(,)x t ∈+∞时()0g x '>,()g x 单调增
()()
()
2
22e 1e
e 1e 22
t t
t
t t t a t t h a t t t -++?-++=
=
=
+ 记()e 2t
k t t =+,在(]0,2t ∈时,()()()2
e 102t t k t t +'=>+,∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ??
=∈ ???
,.
7、(2016年全国III 高考)设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+,其中0a >,记|()|f x
的最大值为A . (Ⅰ)求()f x '; (Ⅱ)求A ;
(Ⅲ)证明|()|2f x A '≤.
解析:(Ⅰ)'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---. (Ⅱ)当1a ≥时,
'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =
因此,32A a =-. ………4分
当01a <<时,将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--.
令2()2(1)1g t at a t =+--,则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值,(1)g a -=,(1)32g a =-,
且当14a t a -=时,()g t 取得极小值,极小值为221(1)61
()1488a a a a g a a a
--++=--=-.
令1114a a --<
<,解得13a <-(舍去),15
a >.
8、(2016年浙江高考)已知3a ≥,函数F (x )=min{2|x ?1|,x 2?2ax +4a ?2}, 其中min{p ,q }=,>p p q q p q.≤???
,,
(I )求使得等式F (x )=x 2?2ax +4a ?2成立的x 的取值范围;
(II )(i )求F (x )的最小值m (a ); (ii )求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )
.
(II )(i )设函数()21f x x =-,()2
242g x x ax a =-+-,则
()()min 10f x f ==,()()2min 42g x g a a a ==-+-,
所以,由()F x 的定义知()()(){}
min 1,m a f g a =,即
(
)20,3242,2a m a a a a ?≤≤?=?-+->+??
(ii )当02x ≤≤时,
()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==,
当26x ≤≤时,
()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=.
所以,
()348,34
2,4
a a a a -≤
≥?. 9、(2016江苏)已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. (1) 设a =2,b =
12
. ① 求方程()f x =2的根;
②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值; (2)若01,1a b <<>,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值. 解:(1)因为12,2
a b ==
,所以()22x x f x -=+.
①方程()2f x =,即222x x -+=,亦即2(2)2210x x
-?+=, 所以2
(21)0x
-=,于是21x =,解得0x =. ②由条件知2222(2)2
2(22)2(())2x
x x x f x f x --=+=+-=-.
因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立,且()0f x >,
所以2(())4
()
f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.
而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=,且
2((0))44(0)f f +=, 所以4m ≤,故实数m 的最大值为4.
(2)因为函数()()2g x f x =-只有1个零点,而00
(0)(0)220g f a b =-=+-=, 所以0是函数()g x 的唯一零点.
因为'()ln ln x x
g x a a b b =+,又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>, 所以'
()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a
a
x b
=-
. 令'()()h x g x =,则''
2
2
()(ln ln )(ln )(ln )x
x
x
x
h x a a b b a a b b =+=+,
从而对任意x R ∈,'
()0h x >,所以'
()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数, 于是当0(,)x x ∈-∞,''0()()0g x g x <=;当0(,)x x ∈+∞时,''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数,在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <,则0002x x <<,于是0()(0)02
x
g g <=, 又log 2
log 2log 2(log 2)220a a a a g a
b a =+->-=,
且函数()g x 在以0
2
x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断,所以在0
2
x 和log 2a 之间存在()g x 的零点,记为1x . 因为01a <<,所以log 20a <,又
02
x <,所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >,同理可得,在02
x
和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点,矛盾.
因此,
00
x=.
于是
ln
1
ln
a
b
-=,故ln ln0
a b
+=,所以1
ab=.