二项式定理
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一、选择题
1.已知C0n+2C1n+22C2n+23C3n+…+2n C n n=729,则C1n+C2n+C3n+…+C n n等于()
A.63B.64C.31D.32
A[逆用二项式定理得C0n+2C1n+22C2n+23C3n+…+2n C n n=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,所以C1n+C2n+C3n+…+C n n=26-C0n=64-1=63.] 2.(2019·全国卷Ⅲ)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()
A.12 B.16
C.20 D.24
A[展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成,则x3的系数为C34+2C14=4+8=12.]
3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()
A.212B.211
C.210D.29
D[因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以C3n=C7n,解得n =10.根据二项式系数和的相关公式得,奇数项的二项式系数和为2n-1=29.故选D.]
4.在(x-2)6展开式中,二项式系数的最大值为a,含x5项的系数为b,则a b
=()
A.5
3B.-
5
3
C.3
5D.-
3
5
B [由条件知a =
C 36=20,b =C 16(-2)1
=-12,
∴a b =-5
3,故选B.]
5.(2019·深圳市高级中学高三适应性考试)已知? ?
???1+a x ? ????2x -1x 5的展开式中各
项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )
A .-80
B .-40
C .40
D .80
D [令x =1,得展开式的各项系数和为? ?
???1+a 1? ????2-115
=1+a ,∴1+a =2,
∴a =1,
∴? ?
???1+a x ? ????2x -1x 5
=? ????1+1x ? ????2x -1x 5
=? ????2x -1x 5
+1x ? ??
??2x -1x 5
, 所求展开式中常数项为? ?
???2x -1x 5
的展开式的常数项与x 项的系数和,
? ????2x -1x 5
展开式的通项为T r +1=C r 5(2x )5-r ·(-1)r (1x )r =(-1)r 25-r C r 5x 5-2r
, 令5-2r =1得r =2;令5-2r =0,无整数解, ∴展开式中常数项为8C 25=80,故选D.]
6.(2019·武汉模拟)在? ????x +1x -16的展开式中,含x 5项的系数为( )
A .6
B .-6
C .24
D .-24
B [由? ????x +1x -16
=C 06? ????x +1x 6
-C 16? ????x +1x 5
+C 26? ????x +1x 4
+…-C 56? ????x +1x +C 66,可知只有-C 16
? ????x +1x 5
的展开式中含有x 5,所以? ??
??x +1x -16
的展开式中含x 5
项的系数为-C 05C 1
6=-6,故选B.]
7.若(1+x +x 2)6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 12x 12,则a 2+a 4+…+a 12=( ) A .284 B .356 C .364
D .378
C [令x =0,则a 0=1;
令x =1,则a 0+a 1+a 2+…+a 12=36, ①
令x =-1,则a 0-a 1+a 2-…+a 12=1, ② ①②两式左右分别相加,
得2(a 0+a 2+…+a 12)=36+1=730, 所以a 0+a 2+…+a 12=365, 又a 0=1,所以a 2+a 4+…+a 12=364.] 二、填空题
8.(2017·山东高考)已知(1+3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54,则n = .
4 [(1+3x )n 的展开式的通项为T r +1=C r n (3x )r ,令r =2,得T 3=9C 2n x 2,由题
意得9C 2n =54,解得n =4.]
9.(2019·山东济南模拟)? ????x -a x ? ????2x -1x 5
的展开式中各项系数的和为2,则该
展开式中含x 4项的系数为 .
-48 [令x =1,可得? ????x -a x ? ?
???2x -1x 5的展开式中各项系数的和为1-a =2,
得a =-1,则? ????x +1x ? ????2x -1x 5
展开式中x 4项的系数即是? ?
???2x -1x 5
展开式中的x 3项
与x 5项系数的和.又? ????2x -1x 5展开式的通项为T r +1=C r 5(-1)r ·25-r ·x 5-2r
,令5-2r =3,得r =1,令5-2r =5,得r =0,将r =1与r =0分别代入通项,可得x 3项与x 5项的系数分别为-80与32,故原展开式中x 4项的系数为-80+32=-48.]
10.(2019·江苏高考改编)设(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,n ≥4,n ∈N *.已知a 23=2a 2a 4,则n 的值为 .
5 [因为(1+x )n =C 0n +C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n
,n ≥4, 所以a 2 =C 2n =
n (n -1)2,a 3 = C 3
n =n (n -1)(n -2)6
, a 4=C 4n =
n (n -1)(n -2)(n -3)
24
.
因为a
23
=2a 2a 4,所以
=2×
n (n -1)
2
×n (n -1)(n -2)(n -3)24
,解得n =5.]
1.(2019·威海模拟)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开
式中,含x2项的系数是()
A.10 B.15
C.20 D.25
C[含x2项的系数为C22+C23+C24+C25=20.]
2.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,a k(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是()
A.5 B.6
C.7 D.8
(n=1,2,3,…,n).又(x+1)10展开式中二项式B[由二项式定理知a n=C n-1
10
系数最大项是第6项,∴a6=C510,则k的最大值为6.]
3.已知(1-2x)2 019=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a2 018(x-2)2 018+a2 019(x -2)2 019(x∈R),则a1-2a2+3a3-…-2 018a2 018+2 019a2 019=() A.-2 019 B.2 019
C.-4 038 D.0
C[因为(1-2x)2 019=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a2 018(x-2)2 018+a2
(x-2)2 019(x∈R),两边分别对x求导可得-2 019×2×(2x-1)2 018=a1+2a2(x 019
-2)+…+2 018a2 018(x-2)2 017+2 019a2 019(x-2)2 018(x∈R),令x=1得-4 038=a1-2a2+…-2 018a2 018+2 019a2 019,故选C.]
4.(2019·湖南长沙模拟)若x10-x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a5=.
251[x10-x5=[(x-1)+1]10-[(x-1)+1]5,则a5=C510-C05=252-1=251.]
1.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=C020+C120·2+C220·22+…+C2020·220, a≡b(mod 10),则b的值可以是()
A.2 011 B.2 012
C .2 013
D .2 014
A [因为a =(1+2)20=320=910=(10-1)10=C 0101010-C 110109+…-C 0
1010+
1,所以a 被10除所得的余数为1.观察各选项,知2011被10除得的余数是1,故选A.]
2.(2019·洛阳市第一次联考)已知(1+ax +by )5(a ,b 为常数,a ∈N *,b ∈N *)的展开式中不含字母x 的项的系数和为243,则函数f (x )=
sin 2x +b
2sin ? ??
?
?x +π4 ,x ∈[0,π
2]的最小值为 .
2 [令x =0,y =1,得(1+b )5=243,解得b =2.因为x ∈???
???0,π2,所以x +π4
∈??????π4,3π4,则sin x +cos x =2sin ? ????
x +π4∈[1,2],所以f (x )=sin 2x +b 2sin ? ???
?
x +π4=sin 2x +2
sin x +cos x =
2sin x cos x +2sin x +cos x
=
sin
x +
cos
x +
1
sin x +cos x
≥2
(sin x +cos x )·1
sin x +cos x
=2,当且仅当sin x +cos x =1时取“=”,所
以f (x )的最小值为2.]
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