癌症治疗方案
摘要
癌症对人类健康和生命的肆虐引起全球高度的关注,目前的研究认为,癌症的发生是一个复杂的过程而且受诸多因素的影响。
问题一,本文首先通过对Logistic 进行改进,得到关于肿瘤体积的增长率模型
)1()(ma x b
b
v v
r v r -=;该模型不仅包含Logistic 模型本身,还适用于体积增长率随体积发
生不同变化的肿瘤细胞的增长情况,可以更好的预测未来肿瘤体积的变化。因此,它更具有普适性。接着,我们运用离散化思想,得到了肿瘤细胞增长的体积变化迭代模型:
),()1()()1(max t v v v r t v t v b
b -+=+t=0,1,2...最后在该模型的基础上我们模拟出了肿瘤体积
的生长规律,能够为人们及早发现癌症及早治疗提出合理的建议。
问题二,我们要为肺癌患者制定治疗方案,首先我们根据患者病情确定治愈所需总剂量,在这个问题上,我们假设患者的肿瘤刚好为1cm (109个肿瘤细胞),治愈的标准是肿瘤细胞减少到105个,通过建立L-Q 模型:
2
D D e
s βα--=
用曲线拟合方法计算出各参数,已知存活率S 即可算出总剂量D=20Gy 。
然后在此基础上引入非常规分割放疗方案,通过建立评价因子模型,来评价非常规分割放疗方案相对于医学上常用的常规分割放疗方案的优劣。我们最后得出加速超分割放疗方案是最优的方案。
问题三,首先,我们将机体设想成一个房室, 假定药物在房室中的分布是均匀的, 如图:
上图表示在口服给药时用的一室模型,图中D 为所给的药物剂量;k α为吸收速率常数;F 为吸收百分数;C 为在服药时刻血液中药物浓度;V 为室的理论容积,此处为人的血液总体积;k 为血液中药物浓度消减速率常数。
接着我们首先建立了服药一次体内药物浓度变化的一室模型,并计算得到了参数k 和k α的值。其次,建立了周期脉冲给药一室模型,并得到身体中药量随时间变化的模型:
[]
)()()()()()(ττααα
ταττn t k n t k n t k e e n x k
k k e n x t x ---------
= 我们假设体内药物浓度在[L 1,L 2]范围内药效最好,所以当药物浓度下降到L 1时为服药时间,通过对模型的求解我们得到了最佳的服药时间间隔τ。最后为防止患者产生耐药性,我们对服药时间做相应的调整,得到了最优的重度癌痛患者的服药方案。
关键词:Logistic 模型 L-Q 模型 放射治疗 药物动力学 离散化思想
1 问题重述
癌症,医学术语亦称恶性肿瘤,中医学中称岩,由控制细胞生长增殖机制失常而引起的疾病。癌细胞除了生长失控外,还会局部侵入周遭正常组织甚至经由体内循环系统或淋巴系统转移到身体其他部分。目前,世界上受癌症病魔侵害的人数正在逐年增加,如何有效的研究肿瘤细胞的生长繁殖规律,如何给人们提出有效的预防措施以及更加有效的癌症治疗方案已成为人们关注的普遍问题。
我们根据本文的相关要求确定了需要解决三个问题:
(1)针对肿瘤细胞的增长规律建立恰当的数学模型,制定合理的措施,及早发现病症及早治疗
(2)建立模型,为肺癌设计一个可行有效的放射治疗方案(医生认为当体内癌细
胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭)。
(3)建立适当的模型,为重度肺癌病人设计一种有效的病人服药方法。
2 模型的假设与符号的说明
2.1模型的假设
(1)肿瘤直径至少为10mm时,才能被检查出来。
(2)在肿瘤生长初期,每经过一定的时间σ,肿瘤体积就增加一倍。
(3)在肿瘤生长后期,由于各种生理条件的限制,肿瘤细胞数目逐渐趋向某个
稳定值。
(4)假设重度癌痛患者服用盐酸吗啡缓释片超过3天将会产生耐药性。
(5)患者服药后,所有药物都能被完全吸收,即药物吸收率F=1。
(6)消化系统中所留存的药物最多只能存在两个服药周期。
2.2 符号的说明
BED e 表示分割放疗早反应组织生物效应剂量,能够反映出放疗对早反应组织的
杀伤程度;
BED t 表示分割放疗肿瘤组织生物效应剂量,能够反映出放疗对肿瘤组织的杀伤
程度;
BED l 表示分割放疗晚反应组织生物效应剂量,能够反映出放疗对晚反应组织的
杀伤程度;
TEF 表示治疗效果因子,能够反映非常规分割放疗方案相对于常规分割放疗方
案的优劣;
TRC 治疗风险因子,能够反映出非常规放疗方案相对于常规分割放疗方案对正
常组织所产生的损害的大小;
H 表示综合评价因子,能够综合考虑治疗效果和治疗风险;v0为肿瘤初始体积;
V(t)
为t时刻肿瘤的体积;
r(v)
肿瘤不同体积时的增长率;
r 为肿瘤刚产生时体积增长率;
D
治疗总剂量;
s
细胞存活率;
α
单位剂量所产生的细胞存活线性生物效应;
β单位剂量所产生的细胞存活二次生物效应;
D
为所给的药物剂量;
kα为吸收速率常数, 即单位时间内从消化系统中吸收的药物与当时消化系
统中的药物的比值
F
为吸收分数, 即药物中能被吸收进人血液循环的药物比例;C
血液中药物浓度;
V 人的血液总量;
k 为消除速率常数,即单位时间内从血液中减少的的药物与当时血液中的药
物的比值
3 问题分析
恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀手,研究恶性肿瘤的生长规律,有助于人类认识其生长特点,寻找控制消灭它的措施。本文针对肿瘤的生长规律和治疗措施做了相应的研究。
3.1 问题一
由于癌症患者多发现于晚期,如果能够早一点发现,会有更多的机会治愈,或者极大地延长患者的寿命。对于问题一,要制定合理的措施,及早发现病症及早治疗癌症,就需要知道肿瘤细胞的生长规律和发病规律。因此,我们将构建一个肿瘤细胞增长规律的数学模型,并以此来对癌症的预防提出建议。
3.2 问题二
对于问题二,为肺癌设计一个可行有效的放射治疗方案。经过初步分析,我们认为要解决这个问题,需要知道放射性药物对细胞的致死规律、人体对放射性物质的承受能力等内容以及肿瘤细胞核正常细胞的自我修复能力。因此,我们建立了放射性物质对细胞的致死规律的数学模型和放射治疗方案的合理性评估函数。最后结合SPASS求解得到相关参数,再综合各方面因素对肺癌患者提出了放射治疗的合理方案。
3.3 问题三
为了给重度癌症患者设计一种合理的服药方案。我们首先确定了我们需要解决的问题:服药后血液中药物浓度随时间的变化情况、血药浓度在什么大小范围内药效较好以及长期服用同种药物是否有害。经过查阅相关治疗,我们确定了我们的解题思路。首先建立服药一次体内药物浓度变化的一室模型,并计算得到了相关参数的值。其次,建立了周期脉冲给药一室模型,并得到身体中药量随时间变化的模型。最后,我们假设体内药物浓度在[L 1,L 2]范围内药效最好,通过对模型的求解得到最佳的服药时间间隔。
4 模型的建立与求解
4.1 问题一
4.1.1 模型的建立
模型一
因为肿瘤在初期有固定的倍增时间,所以假设肿瘤体积的增长率r 是常数,则可以得到如下方程
)()
()(t rv t
t v t t v =?-+? 其微分方程为:
?????==0)0()(v v t rv d d t v
对此式求解微分方程得到:()rt e v t v
0=。其中,)(t v 为t 时刻肿瘤的体积,v 0
为肿
瘤初始体积。设肿瘤倍增时间为σ,则
)
()r
2ln ,2==+σσ解得t v t v
下面我们根据不同的肿瘤的增倍时间σ可以求得不同肿瘤的增长率r ,如表一:
表一 σ(天数)
7
28
49
70
91
112
r
0.0990
0.0248
0.0141 0.0099 0.0076 0.0062
于是我们得到不同肿瘤组织的生长曲线,如图一。
从图一中可以看出每一种肿瘤组织的增长都是呈指数形式无限制的增长,说明模型一只适用于肿瘤细胞增长初期的描述,在其增长的后期与实际情况不符。于是,下面我们对增长率r 做了相应的改变得到模型二。
模型二
考虑到实际情况,相对增长率会随着细胞体积的增加而减少。因此,根据Logistic 模型,我们设立增长率为:sv r v r -=)(,s 为常数。
有v=v 0时,r v r =)(,max v v =时,0)(=v r ;所以得到:)1()(max v v r v r -=;但是由于当增长率下降到一定值时,它不再随着v 的增长而线性下降,而下降得相对缓慢。所以我们对Logistic 模型进行了改进,设增长率为:b sv r v r -=)(,b 为常数。根据v=v0时,
r v r =)(,max v v =时,0)(=v r ;所以得到体积增长率函数为:
)
1()(max b
b
v v r v r -
=
当b=1时,即为Logistic 模型。
假设有一种肿瘤初期倍增时间为70天,则根据模型一可以得到702ln 2ln ==T r ,
假设肿瘤被发现时最小半径R min =5mm ,则3min 034R v π=;R max =20mm ,则3
max max 3
4R v π=。
令]3,1.0[∈b ,中间间隔0.1取一个值,用MATLAB 做出)(v r 的图像如图二。
3
经过对图形的分析我们可以得出,在Logistic 模型基础上改进后的体积增长率函数模型,不仅包含Logistic 模型本身,还适用与体积增长率函数不同的肿瘤细胞增长情况,更具有普适性。
于是我们得到肿瘤的体积变化的微分方程:
)()1(max
t v v v r d d b b
t v -= 将其离散化的到肿瘤细胞的增长模型为:
...2,1,0),()1()()1(max
=-+=+t t v v v r t v t v b b
因为该模型包含了Logistic 模型,而且可以对不同肿瘤组织的增长情况进行模拟,因此用它来模拟肿瘤细胞的增长更加准确。
4.1.2 模型的应用
应用一
若已知某种肿瘤在一段时间内自然增长的数据,如表二。
表二
t t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 v v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7
则可以根据肿瘤细胞增长模型拟合出相应的b 、r 和v max 值。
应用二
若已知某种肿瘤细胞的b 、r 和v max 值,则可以根据肿瘤细胞增长模型得知该肿瘤未来某个时刻的大小。图(三)为v0 =523.5988,v2 = 5.2360e+005,r=log(2)/70;b 取0.5~1.5之间不同值时的肿瘤生长预测曲线。
4.1.3 为预防癌症制定的措施
假设制定措施的目的是为了在肿瘤长到一定大小前被查出来。
假设某种肿瘤初期倍增时间σ=70天,最大体积为482890mm 3,需要在体积为282760mm 3前检查出来。r 取0.95,则根据上面年建立的模型可以算出肿瘤从半径为0.5mm
长大到体积为282760mm 3
的时候所用的时间为263天,所以为了及早发现及早治疗癌症,建议人们可以至少每263天到医院检查一次。
4.2 问题二
4.2.1模型描述
上世纪七、八十年代出现的有名的NSD 公式和L-Q 公式,伴随放射治疗至今,虽然这两个公式各有其优缺点,但由于NSD 公式中的有关参数均为常数,其值不能随组织不同而变化,同时要将它运用到除皮肤以外的其他组织也缺乏放射生物和生物物理支持,而L-Q 公式可以分别考察照射后早反应组织和晚反应组织的生物效应,从而在选择治疗方案时,会更注意到保护晚反应组织等重要脏器。鉴于此,本文选择建立了一个LQ 模型来确定治愈肺癌患者所需要的总剂量,然后建立了放射治疗方案评价模型,来评价各种治疗方案的优劣。
4.2.2 模型的建立
L-Q 模型的表达式为:2
D D e s βα--=,其中α--单位剂量所产生的细胞存活线性生物效应;β--单位剂量所产生的细胞存活二次生物效应;D --治疗总剂量;s --细胞存活率。
4.3.3 具体实施
(1)放疗总剂量的确定
我们通过所建立的L-Q 模型来确定放疗的总剂量。首先,我们查阅相关资料得到肺癌的治疗总剂量D 与细胞存活率s 的实验数据,如表三:
表三
D 0 1 2 4 6 8 s 1 0.89 0.71 0.54 0.29 0.10
应用SPASS 软件实现对放射剂量和细胞存活率的曲线拟合,于是我们得到相关参数值: α=0.103;β=0.018;R 2=0.991。其中R 2=0.991说明曲线的拟合效果较好。
若假设肿瘤直径为1cm 即达到109个时,就开始治疗。治愈的标准时使癌细胞下降到105个(医生认为当体内癌细胞数小于105个时即可凭借体内免疫系统杀灭)。则存活率为:
4
951011010==s ,将其带入2
D D e
s βα--=中得到:D=20Gy ,即当肺部肿瘤大小为1cm 是
开始治疗,只需20Gy 就可以治愈(20Gy 是在肺部组织能够承受的范围下)。
(2)确定放疗方案
医学上的常规分割治疗方案为:1.8~2Gy /次,1次/日,5次/周。这方法对肿瘤有一定的效果, 而且对正常组织损伤少。然而这一标准分割法不是最好的分割模式, 并不适合于所有的瘤。因此改变放射剂量、时间等因素成为提高放射疗效的重要途径之一。任何不同于上述常规分割法的分割放射方法统称为非常规分割放射方法。非常规分割放射方法主要有如下几种:大分割放射、分段放射, 超分割放射, 加速分割放射和加速超分割放射。
非常规分割放疗方案的原理[1]:
这些非常规放射方案都包含总剂量、总疗程、每次分割剂量和间隔时间等因素。实验和临床资料表明,总疗程和急性反应有关, 而和晚期反应关系不大。急性反应组织受每次分割剂量影响较小, 而分割剂量大小对晚期反应组织影响大。当分割剂量低于常规分割剂量时, 要达到某一放射损伤所要的总剂量显著增加, 也就是说分割剂量减少可以保护那些晚反应组织;反之分割剂量加大,则较低总剂量即可引起晚期组织的放射损伤。当然每日分割间隔时间也很重要。
超分割放射是指每天给予两次或两次以上的放射,分割剂量低于常规放射, 总疗程与常规放射相似,总剂剂量增加(比常规放射提高15%到25%)。超分割放射的目的在于提高肿瘤局部区域控制率又不增加晚期反应,也就是加大晚反应正常组织与肿瘤组织之间对放射反应的差异。
加速分割放射是指每周放射5次以上,每周剂量>10Gy ,总疗程缩短(恰恰与分段放射相反),总剂量和分割剂量与常规分割法相同。加速分割放射的目的是尽可能地减少治疗过程中肿瘤的再增值。
加速超分割放射是指每天放射两次或两次以上,分割剂量较常规放射减少, 总疗程缩短, 是一种把加速分割与超分割放射结合起来的方法。
下面我们在总剂量为20Gy 的基础上得到不同方案的分割情况,如表三。
表三
方案 总剂量(Gy ) 单次剂
量(Gy /
次)
每日次
数 每周治
疗天数 总次数
常规分割放疗方案 20 2 1 5 10 加速分割放疗方案 20 2.5 2 5 8 大分割放疗方案 20 2.5 1 5 8 超分割放疗方案 21.6 1.2 2 5 18 加速超分割放疗方案 20 1.25 2
5
16
(3)建立评价方案优劣的指标
我们给出评价方案优劣的各个指标的计算公式如下:
)1(β
αd
D BED +
=[2]
,BED 代表了分次照射或低剂量率连续照射过程中的生物效应;
βα比值是临床应用公式、细胞存活曲线或等效分割公式中α参数和β参数之比;d 表示单次剂量;D 表示总剂量。
4.3.3(1)中拟合得到肺癌细胞6018
.0106
.0≈=
βα,因为早反应组织βα较大,和肺癌细胞的βα值比较接近,因此早反应组织的βα值近似为6,晚反应组织的βα值约为2。根据不同的 βα值可算出肺癌细胞,正常组织中的早反应组织,晚反应组织的BED 值分别为BED t BED e BED l 。
在此基础上,我们定义了函数:
(a )l
BED t
BED T EF μ
=,μ常量,设常规放疗方法的TEF 值为1,可求得μ。TEF 表示治疗效果因子,能够反映出非常规分割放疗方案相对于常规分割放疗方案的优劣;BED t 表示分割放疗肿瘤组织生物效应剂量,能够反映出放疗对肿瘤组织的杀伤程度; BED l 表示分割放疗晚组织生物效应剂量,能够反映出放疗对正常组织的杀伤程度。
(b ))
()()
()(e cf BED cf BED ucf BED ucf BED TRC l e l ++=
,因为BED t = BED e ,所以得到:
)
()()
()(t cf BED cf BED ucf BED ucf BED TRC l t l ++=
,ucf 表示非常规分割疗法,cf 表示常规疗法。TRC 治
疗风险因子,能够反映出非常规放疗方案相对于常规分割放疗方案对正常组织所产生的损害的大小;
(c )TRC
TEF
H
。H 表示综合评价因子,能够综合考虑治疗效果和治疗风险。 各个函数值结果如下:
表四
方案
BED t BED l TEF TRC H 常规分割放疗方案 26.70 40.00 1.00 1.00 1.00 加速分割放疗方案 26.00 39.00 1.00 0.97 1.02 大分割放疗方案 28.00 44.00 0.95 1.08 0.88 超分割放疗方案 25.90 34.56 1.12 0.91 1.24 加速超分割放疗方案
24.20
32.50
1.11
0.85
1.30
(4)各个方案的比较
判断标准:TEF>1,TRC<1,同时H 值越大越好。我们根据表四中计算的结果,综合考虑得出加速超分割放疗方案相对于常规分割方案为最好的肺癌放射治疗方案。
对于大分割放疗方案,它的TEF<1,TRC>1,H 较小,相对于常规方案属于最差的方案。原因可能是这种方案的单次剂量d 较大,对晚反应组织伤害较大。
其余两种方案的优劣性介于这两种方案之间。
(5)最终结论
综上所述,我们得出当发现肺部肿瘤大小为1cm 时的一个可行有效的放射治疗方案为加速超分割放疗方案,即:总剂量20Gy ,单次剂量1.25Gy /次,每日2次,治疗时间8天。
4.3 问题三
4.3.1模型描述
药物进人机体后,随血液输送到各个器官和组织的过程中,不断地被吸收、分布代谢,最终排出体外。药物在体内的配量状况是很复杂的,为了便于数学上的处理,将机体设想成若干个房室, 假定药物在房室中的分布是均匀的, 把药物在体内吸收、分布、代谢和排泄看成是在室与室之间进行。根据药物在体内的配量状况, 还可分为一室模型, 二室模型和多室模型。在模型的基础上可建立微分方程, 求出方程的解, 从而为进一步研究提供依据
在药物动力学中, 常用简化的室模型来研究药物在体内吸收、分布、代谢和排泄的时间过程, 本文建立在一室模型的基础上,把机体设想为一个同质单元来处理。
图四 口服给药模型
图四表示在口服给药时用的一室模型,图中D 为所给的药物剂量;k α为吸收速率常
数, 即药物从吸收部胃肠道进人全身血液循环的速率常数;F 为吸收分数, 即剂量中能被吸收进人血液循环的分数,这里我们假设F=1;C 为在时刻时血中药物浓度;V 为室的理论容积, 通常叫做药物的表现分布容积;k 为消除速率常数, 即所给药物经过代谢或 排泄而消除的速率常数。
4.3.2 模型建立
模型一:服药一次体内药物浓度变化的一室模型
假设吸收和消除均是一级速率过程,在t 时刻时,体内的药量为x ,吸收部位的药量为x α, 则按图三所示的室模型可建立如下数学模型:
???????-=-=)
2()1(αααααx K d dx
Kx x K d d t
t
x
初始条件为:t=0时,0,==x D x α。由方程(2)得到:t k De x ?-=α,带入(1)式:
t k t
x
De k kx d d αα-=+ 这是一个一阶线性微分方程,解此方程并利用初始条件得到:
)()
(t k kt e e k k D
k x ααα----=
由于在机体内的药量无法测定,因此常常用相应时间的血药浓度来代替, 即有:
)()
(t k kt e e k k V D k V x C ααα----==
该方程表示了药物在一次口服剂量D 后的血液浓度C 是随时间t 的变化而变化, 其变化曲线(简称C-t 曲线),如图五。
图五 血药浓度变化曲线
对方程求导,即:
)()
(t k kt t C e k ke k k V D k d d αααα--+--=,令它的值为0,所以:
k
k k k t ααln 1
max -=
.
参数k 与k α的确定:
由于口服盐酸吗啡缓释片血药浓度达峰时间较长,一般为服后2~3小时,消除半衰期为3.5~5 小时。因此,我们假设服药后max t =2.5个小时,体内药物浓度达到峰;消除半衰期t ?=4小时。
我们由公式
Kx d d t
x
-=得到:A Ae x kt ,-=为常数。根据半衰期为t ?=4小时,所以: 2
1
)()()
()(==?+-?+-t k t t k Ae Ae t x t t x ,即:42ln =k 。根据服药后max t =2.5个小时,体内药物浓度达到峰值,由k
k k k t ααln 1
max -=
得到:k α=0.7697.
模型二:周期脉冲给药一室模型
口服药物剂量为D ,假设药物的吸收和消除都是一级速率过程, 吸收速率常数为k α; 消除速率常数为k ;时间t ,体内药量为x( t );吸收部位的药量为x α;F 为所给剂量D 被吸收到体内的分数,令F=1;考虑每间隔τ时刻多次重复给药可得到如下脉冲微分方程:
(*),Kx x K d d t x -=αα;αααx K d dx
t
-=,τn x ≠; τττααn x D n x n x =+=+,)()(;
)(+
τ
αn x 表示刚服完药吸收部位的药量。由于ααα
x K d dx t
-=是独立的,因此可得:
)1(,)()()(τ
ττααα+≠=--n t e n x t x n t k
;)1(,)()()(τττααα+≠=--n t e n x t x n t k
其中ττ)1(+<≤n t n ,将)
()()(τα
αατn t k e n x t x --=带入(*)式得到: ττττααα)1(,)()(+<≤-=--n t n kx e n x K d d n t k t
x
; 由实际意义可以假设k k >α,即吸收速率常数大于消除速率常数, 由常数变易法由
上面的方程得到了体内药物量随时间变化的模型:
[]
)()()()()()(ττααα
ταττn t k n t k n t k e e n x k
k k e n x t x ---------
=; 其中ττ)1(+<≤n t n ,进而可以确定:
[]
kt t k kt e e n x k
k k e n x n x ------
=+ατττααα
)()())1((; 考虑到人在服药过后肯定会进行例如吃饭喝水等生理活动,口服后未被吸收的药物不可能一直留在消化系统中,因此我们假设口服后在消化系统中的药物最多只能在两个服药周期中还存在,所以t k De D n x ατα-+=)(,根据盐酸吗啡缓释片说明书所述,盐酸吗啡缓释片每次服用为10~20mg ,并假设最优有效浓度的最小值为1.5ug/ml ,根据上述模型,运用matlab 进行模拟,使每当体内药物浓度低于1.5ug/ml 时自动吃药,分别得到了每次吃药药量为10mg 、15mg 、20mg 的体内药物浓度随时间变化的曲线,其中纵坐标低于1.5ug/m 部分的点为若未吃药时浓度的变化。我们据此为癌痛病人设计服药方法。
图六 每次服药20mg 时体内的药物浓度随时间的变化曲线
图七 每次服药15mg 时体内的药物浓度随时间的变化曲线
图八每次服药10mg时体内的药物浓度随时间的变化曲线
例如根据图六,如果癌痛病人每次服药为20mg,并要使药物浓度保持在1.5ug/ml到4.3ug/ml之间,则第一次到第二次服药的时间间隔应当短些,应小于8小时,而以后每次可间隔10小时服一次药,假设当浓度小于0.25ug/ml时不会产生耐药性,则在第6次服药后应当停止服药以免产生耐耐药性(若第7次服药,则在第72小时时浓度还未0.25ug/ml,因此可能产生耐药性),并且停药时间应不低于24小时(据图可以观察到当服用一次药后要使浓度降低到0.25ug/ml以下至少要24小时)。
如果如果癌痛病人每次服药不为为20mg,根据上面的推理,亦可得到对应的建议。
5 模型的进一步讨论
(1)对于模型一,我们所建立的模型不仅适用于肿瘤细胞的增长,还能够用来对人口数目的增长以及自然状态下群体动植物的繁殖情况进行描述。
(2)对于模型二,L-Q模型的计算结果随着剂量d的加大会逐渐偏离实验结果,还可以在此基础上对它进行改进,以消除这一影响。
(3)对于模型三,为了更加准确地对重症癌痛病人的服药情况提出合理的建议,还可以考虑多室模型,更加细致地研究患者体内药物弄的的变化规律。
6 模型的优缺点
6.1 优点
(1)模型一对Logistic模型进行了改进,能够用于体积增长率变化不用的肿瘤组
织,更具有普适性。
(2)模型二推倒严密,所模拟的结果与实际偏差较小;能反应出治疗方案对肿瘤的杀伤程度,也能反应出对正常组织的损伤,为综合评价治疗方案提供了可靠依据。
(3)模型三将机体设想成若干个房室,把药物在体内吸收、分布、代谢和排泄看成是在室与室之间进行,做法独特。并且模型简便,执行力强,模拟的结果具有适用性强。
6.2 缺点
(1)模型一只考虑了肿瘤细胞自身的增长,而忽略了它与机体其他组织的相互作用,导致模拟的结果与实际存在一定的偏差。
(2)L-Q模型具有一定的局限性,它没有考虑到时间的因素。
(3)只考虑了单室模型,并且假设吸收率和消耗率为常数,没有对他们进行进一步的讨论。
7 参考文献
[1]《辐射剂量—细胞存活率曲线的数学模型及其应用》涂开成曹珍山叶长青;
[2]《鼻咽癌的非常规分割放射治疗》中国医药科技出版社2003年版;
[3] 周怀梧,《医药应用高等数学》,济南,山东教育出版社,1985;
[4] 江明,《性药理学》北京人民卫生出版社;
[5] 周怀梧,《医用生物数学》北京人民卫生出版社;
[6] 孙瑞元,《药效动力学基本理论及量效关系》北京人民出版社199l;
8 附录
8.1指数模型的肿瘤生长预测
r=[log(2)/7 log(2)/28 log(2)/49 log(2)/70 log(2)/91 log(2)/112];
V0=(4/3)*pi*(5^3);
t=1:1000;
for i=1:6
v=V0*exp(r(i)*t);
plot(t,v)
axis([0 1000 0 200000])
xlabel('天数')
ylabel('肿瘤体积单位:mm^3')
hold on
end
v=500:250000;
r1=0.0034-(0.0034/250000)*v;
r2=0.0034-(0.0034/(250000^0.4))*(v.^0.4);
plot(v,r1,v,r2)
8.2 取不同b值时改进的Logistic模型对肿瘤的生长预测
for b=0.5:0.1:1.5
v0=(4/3)*pi*(5^3);v=v0;r=log(2)/70;
t=0;v2=(4/3)*pi*(50^3);
plot(t,v)
hold on
for t=1:1500
v=v+r*(1-(v^b)/(v2^b))*v;
plot(t,v)
hold on
end
end
v=v0:v0/10:v1;
for b=0.1:0.1:3
r=log(2)/10-((log(2)/10)/(v1^b))*(v.^b);
plot(v,r)
axis([v0 v1 0 log(2)/10])
hold on
end
v=500:250000;
r1=0.0034-(0.0034/250000)*v;
r2=0.0034-(0.0034/(250000^0.4))*(v.^0.4);
plot(v,r1,v,r2)
8.3 体内药物浓度变化曲线
K=log(2)/4;Ka=0.7697;F=1;D=20;tt=[0];T0=20;T1=20;A=1.5;
for t=0:0.1:T0
c=(Ka*F*D/(Ka-K))*(exp(-K*t)-exp(-Ka*t));
c=(c/4000)*1000;
plot(t,c)
hold on