人教【数学】数学 一元二次方程的专项 培优易错试卷练习题含详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．

【答案】（1）k ＞

34；（2 【解析】

【分析】

（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，

利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，

∴k ＞34

； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，

设方程的两个根为m ，n ，

∴m ＋n ＝5，mn ＝5，

∴

=

=.

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

2．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）

【答案】124x x 23

==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.

试题解析：因式分解，得

2212x x 3-=-（）（）

开平方，得

12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）

解得124x x 23

==-，

3．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．

【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．

4．关于x 的一元二次方程． （1）.求证：方程总有两个实数根；

（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）-1. 【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.

(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗 的最小值.

【详解】

(1)证明：依题意，得

． ， ∴

． ∴方程总有两个实数根． 由

． 可化为：

得

， ∵ 方程的两个实数根都是正整数，

∴

． ∴

． ∴ 的最小值为． 【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.

5．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？

【答案】羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米.

【解析】

试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

试题解析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米． 根据题意得 （100﹣4x ）x=400，

解得 x 1=20，x 2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x 2=5舍去． 即AB=20，BC=20

考点：一元二次方程的应用．

6．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.

解: 22228160m mn n n -+-+=，

222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=

22()(4)0m n n ∴-+-=，

0,40m n n ∴-=-=，

4,4n m ∴==.

根据你的观察，探究下面的问题:

（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.

（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.

（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.

【答案】（1）2（2）6（3）7

【解析】

【分析】

（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；

（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；

（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．

【详解】

（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0

∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0

∴（x +y ）2+（y +1）2=0

∴x +y =0 y +1=0

解得：x =1，y =﹣1

∴x ﹣y =2；

（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0

∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0

∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0

∴a ﹣3=0，b ﹣4=0

解得：a =3，b =4

∵三角形两边之和＞第三边

∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；

（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7．

故答案为7．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．

7．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：

这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254

y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：

（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；

（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？

（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.

【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.

【解析】

【分析】

（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；

（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；

（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围

【详解】

（1）设该函数的解析式为:m=kx+b

由题意得:98=k b 94=3k b +??+?

解得:k=-2,b=100

∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.

（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，

()1210025204W t t ??=-++- ??? 21151002

t t =-++ ()2115612.52t =-

-+ ∵102

<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.

（3）由题意得：()1210025204W t t a ??=-++-- ??? ()211525001002

t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，

∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，

∴15220a +≥，

∴ 2.5a ≥，

∴2.54a ≤<.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.

8．如图，一艘轮船以30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km ，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km ．

（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？

（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？

（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？

【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过15﹣15h 就会进入台风影响区；（3）215小时．

【解析】

【分析】

（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．

（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．

（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.

【详解】

解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，

当B′C′=200时，将受到台风影响，

根据勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=2002，

整理得到：t2﹣30t+210=0，

解得t15

由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．

（2）由（1）可知经过(1515h就会进入台风影响区；

（3）由（1）可知受到台风影响的时间为15151515h．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．

9．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：

∵（a b -）2=a ﹣2ab +b ≥0

∴a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时取等号．

请利用上述结论解决以下问题：

（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +

1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x 的最大值为 ； （2）若y =27101

x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．

【解析】

【分析】

（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1

x

-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101

x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；

（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．

【详解】

（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x

?=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1

x -＞0．

∵﹣x 1x -≥1x x ??-?-= ???

2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最

小值为 2．当x ＜0时，x 1x

+

的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2． （2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141

x x x ++++=+=（x +1）

41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =

，∴

四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．

【点睛】

本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．

10．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息

信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；

信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：

信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．

()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？

()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？

【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元

【解析】

【分析】

()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；

()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润?销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．

【详解】

()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，

根据题意得：()()113x 222y 437x y +=?++-=??

， 解得：{5

6x y ==．

答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，

根据题意得：()()250010001500a a -+=，

整理得：22310a a -+=，

解得：10.5a =，21a =．

答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．