初三中考数学图形的旋转
考点跟踪训练33 图形的旋转
一、选择题 1．(2011·天津)下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是( )
答案 A
解析 只有图形A 旋转180°后与原图形能够完全重合，故选A. 2．(2011·嘉兴)如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )
A ．30°
B ．45°
C ．90°
D ．135° 答案 C
解析 线段OB 旋转后与OD 重合，∠BOD ＝90°，所以旋转角度为90°.
3．(2010·杭州)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°.在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′＝( )
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．50° 答案 C
解析 由CC ′∥AB ，得∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，由旋转，得AC ′＝AC ，∴∠CC ′A ＝∠C ′CA ＝70°，∴旋转角∠C ′AC ＝40°，∠B ′AB ＝40°.
4. (2011·湖州)如图，已知△OAB 是正三角形，OC ⊥OB ，OC ＝OB ，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转，使得OA 与OC 重合，得到△OCD ，则旋转的角度是( )
A ．150°
B ．120°
C ．90°
D ．60° 答案 A
解析 ∵△OAB 是正三角形，∴∠AOB ＝60°.又∵OC ⊥OB ，∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝60°＋90°＝150°.旋转的角度是150°.
5．(2011·大理)如图，等腰Rt △ABC 绕C 点按顺时针旋转到△A 1B 1C 1的位置(A ，C ，B 1
在同一直线上)，∠B ＝90°，如果AB ＝1，那么AC 运动到A 1C 1所经过的图形面积是( )
A.3π2
B.2π3
C.4π3
D.3π
4 答案 D
解析 在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝1，所以AC ＝2，S ＝135360π×(2)2＝3π
4
.
二、填空题
6．(2011·泉州)如图所示，以点O 为旋转中心，将∠1按顺时针方向旋转110°得到∠2，若∠1＝40°，则∠2的余角为_____________度．
答案 50
解析 由旋转的性质得∠1＝∠2＝40°，所以∠2的余角为90°－40°＝50°.
7．(2011·南京)如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，BE ＝CF ，连接AE 、BF ，将△ABE 绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF ，旋转角为a (0°＜a ＜180°)，则∠a ＝________.
答案 90°
解析 ∵△ABE ≌△BCF ， ∴∠BAE ＝∠CBF .
∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°， ∴∠CBF ＋∠BEA ＝90°
∴AE 与BF 所成的夹角等于90°，即∠a ＝90°.
8．(2011·泰州)如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC 绕点B 顺时针旋转到△A ′BC ′的位置，且点A ′、C ′仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是 __________平方单位(结果保留π)．
答案
13π
4
解析 在Rt △ABC 中，AB ＝22＋32＝13. 又∵∠A ′BA ＝∠C ′BC ＝90°，∴线段AB 扫过的图形的面积是90360×π×(13)2＝13
4
π.
9．(2010·台州)如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠C ＝60°，菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作，菱形中心O 所经过的路径总长为________．(结果保留π)
答案 (8 3＋4)π
解析 在第一次、第二次操作中，中心O 所经过的路径为弧长60180π×3＝3
3
π；
在第三次操作中，中心O 所经过的路径为弧长60180π×1＝1
3
π；
所以路径总长为12×????33
π＋33π＋1
3π＝(8 3＋4)π.
10．(2011·宜宾)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC 、BC 于点D 、F ，下列结论：①∠CDF ＝α；②A 1E ＝CF ；③DF ＝FC ；④AD ＝CE ；⑤A 1F ＝CE .其中正确的是__________．(写出正确结论的序号)
答案 ①②⑤
解析 ∵AB ＝BC ， ∴∠A ＝∠C ＝∠C 1.
又∵∠ABA 1＝∠CBC 1＝α，AB ＝A 1B ＝C 1B ， ∴△ABE ≌△C 1BF . ∴BE ＝BF ，AE ＝FC 1. 在△CDF 与△BC 1F 中， ∠C ＝∠C 1，
∠CFD ＝∠C 1FB ， ∴∠CDF ＝∠CBC 1＝α.
由A 1B －BE ＝BC －BF ，得A 1E ＝CF ，A 1C 1－FC 1＝AC －AE ，得A 1F ＝CE ，故结论①、②、⑤正确．
三、解答题 11．(2011·茂名)画图题：如图，将△ABC 绕点O 顺时针旋转180°后得到△A 1B 1C 1.请你画出旋转后的△A 1B 1C 1.
解 如图所示：
12．(2011·威海)我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．
(1)如图①，△ABC ≌△DEF ，△DEF 能否由△ABC 通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心；若不能，试简要说明理由．
(2)如图②，△ABC ≌△MNK ，△MNK 能否由△ABC 通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心；若不能，试简要说明理由．(保留必要的作图痕迹)
解(1)能，点O1就是所求作的旋转中心.
(2)能，点O2就是所求作的旋转中心．
13．(2011·聊城)将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC＝∠B′A′C＝30°)按图①方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O.
(1)求证：△BCE≌△B′CF；
(2)当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由．
解(1)∵∠BCE＋∠A′CA＝90°＝∠A′CA＋∠B′CF，
∴∠BCE＝∠B′CF，
又∵∠B＝∠B′，BC＝B′C，
∴△BCE≌△B′CF.
(2)AB与A′B′垂直，理由如下：
旋转角等于30°，即∠ECF＝30°，所以∠FCB′＝60°，又∠B＝∠B′＝60°，根据四边形的内角和可知∠BOB′的度数为360°－60°－60°－150°＝90°，所以AB与A′B′垂直．14．(2010·鸡西)平面内有一等腰直角三角板(∠ACB＝90°)和一直线MN.过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F.当点E与点A重合时(如图1)，易证：AF＋BF＝2CE.当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
解图2中，AF＝BF＝2CE成立，理由如下：
过B画BG⊥CE于G.
易证△ACE≌△CBG，四边形EFBG是矩形，
∴BG＝CE，AE＝CG，BF＝GE，
EF＝BG.
∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CG＋BG＋EG＝2CE；
图3中，AF＋BF＝2CE不成立，应为AF－BF＝2CE.
过B画BH⊥CE于H，
易证△ACE≌△CBH，
四边形EFBH是矩形，
∴BH＝CE，AE＝CH，BF＝EH，
EF＝BH.
∴AF－BF＝AE＋EF－(CH－CE)＝2CE.
15．(2011·安徽)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A′B′C.
(1)如图1，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.
证明：△A′CD是等边三角形；
图1
(2)如图2，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.
求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
图2
(3)如图3，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝______度时，EP长度最大，最大值为___________．
图3
解(1)∵AB∥CB′，∴∠ABC＝∠BCB′＝30°，
∴∠A ′CD ＝60°. 又∵∠A ′＝60°，
∴∠A ′CD ＝∠A ′＝∠A ′DC ＝60°， ∴△A ′CD 是等边三角形．
(2)∵∠ACA ′＝∠BCB ′，AC ＝A ′C ，BC ＝B ′C ， ∴△ACA ′∽△BCB ′，相似比为AC ∶BC ＝1∶3， ∴S △ACA ′ ∶S △BCB ′＝1∶3.
(3)120°；3
2
a .
当E 、C 、P 三点不共线时，EC ＋CP >EP ； 当E 、C 、P 三点共线时，EC ＋CP ＝EP ； 综上所述，EP ≤EC ＋CP ；
则当旋转120°时，E 、C 、P 三点共线，EP 长度最大，此时EP ＝EC ＋CP ＝12a ＋a ＝3
2a .